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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE CONJUNTOS

Numa classe de 30 alunos, 16 gostam de matemática e 20 de história. O número de alunos
desta classe que gostam de matemática e de história é:

   a)    Exatamente 16
   b)    Exatamente 10
   c)    No máximo 6
   d)    No mínimo 6
   e)    Exatamente 18

Solução:

Usando o teorema da inclusão, teremos:

N(M υ H) = N(M) + N(H) – N( M      H) substituindo obteremos

N(M υ H) = 16 + 20 - N( M     H)

N(M υ H)= 36 - N( M    H)

Ora mais o conjunto tem 30 alunos e isto significa que tem no máximo 30 alunos.

Assim 30 = 36 - N( M     H)

Logo N( M     H) = 6 , concluímos que no mínimo 6 alunos gostam de matemática e de história.

Item d

Sejam os conjuntos A com 2 elementos, B com 3 elementos e C com 4 elementos, então:

   a)    A     tem no máximo 1 elemento.
   b)    A
   c)    (A
   d)    (A
   e)    A

Solução:

   a) É falso já que o número de elementos de A é 2, isso significa que A    pode ter no
      máximo 2 elementos.
   b) É falso já que A    pode ser no máximo 6 elementos, basta considerar o caso em que
      os conjuntos não têm nenhum elemento em comum.
   c) Esse é o item verdadeiro como A tem 2 elementos considere que esses 2 elementos
      também pertence a B e assim A           , logo essa interseção com o conjunto C pode
      ter no máximo 2 elementos .
   d) É falso já que A                                         e como C tem 4 elementos,
      isso implica que (A
   e) A       tem exatamente 2 elementos já que por definição o conjunto vazio não possui
      nenhum elemento.
Numa universidade são lidos apenas 2 jornais X e Y. 80% dos alunos da mesma lêem o jornal X
e 60 % lêem o jornal Y. Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais,
assinale a alternativa que corresponde ao percentual de alunos que lêem ambos.

    a) 80% b) 14 % c) 40% d)60% e) 48%
Solução:
Pela leitura é garantido que a interseção é diferente de vazio, então analisando o diagrama
temos:




80% - x+ x+ 60% - x = 100%
140% - x = 100%
X= 40 %

(FUVEST) Uma pesquisa de mercado sobre o consumo de três marcas A, B e C de um
determinado produto apresentou os seguintes resultados:
A=48% A e B = 18%
B=45% B e C = 25%
C=50% A e C= 15% NENHUM DAS MARCAS A, B e C= 5%

    a) Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem as três marcas A, B e C.
    b) Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem uma e apenas uma das 3
        marcas.
Solução
    a) Veja a figura
Como não sabemos o valor da interseção dos 3 conjuntos vamos chamar de x. Assim
1 )A
2)A
3)A
4)B                  ,
Logo,
5) n(A)= 48 – (15 –x +x +18-x)= 15 + x
6)n(B)= 45 - (18 – x +x 25 – x)= 2+ x
7)n(C)= 50 – (15- x +x + 25 – x)=10 + x
Lembrando que 5% não consome nenhuma das marcas.
Então, basta agora somar todos esses valores e igual a 100% que representa todos os
entrevistados.
15% + x – x + 15% - x +18% -x + 2% +x + 25% -x + 10% + x + 5% = 100%
90% + x = 100%
X= 10%

b)
15% + x + 2% + x 10% +x = y
27% + 3x= y
27% + 3. 10% = y
27% + 30%= y
57% = y
(PUC-SP) Em um exame de vestibular, 30% dos candidatos eram da área de Humanas. Dentre
esses candidatos, 20 % optaram pelo curso de Direito. Do total dos candidatos, qual era a
porcentagem dos que optaram por Direito.
    a) 50% b)20% c)10% d) 6% e) 5%
Solução:
Observem que essa é uma questão bem simples basta apenas o candidato ter conhecimento
de porcentagem, já que podemos ver essa pergunta como sendo quanto é 20% de 30%.
Assim 30% X     =6%

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Exercícios resolvidos de conjuntos

  • 1. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE CONJUNTOS Numa classe de 30 alunos, 16 gostam de matemática e 20 de história. O número de alunos desta classe que gostam de matemática e de história é: a) Exatamente 16 b) Exatamente 10 c) No máximo 6 d) No mínimo 6 e) Exatamente 18 Solução: Usando o teorema da inclusão, teremos: N(M υ H) = N(M) + N(H) – N( M H) substituindo obteremos N(M υ H) = 16 + 20 - N( M H) N(M υ H)= 36 - N( M H) Ora mais o conjunto tem 30 alunos e isto significa que tem no máximo 30 alunos. Assim 30 = 36 - N( M H) Logo N( M H) = 6 , concluímos que no mínimo 6 alunos gostam de matemática e de história. Item d Sejam os conjuntos A com 2 elementos, B com 3 elementos e C com 4 elementos, então: a) A tem no máximo 1 elemento. b) A c) (A d) (A e) A Solução: a) É falso já que o número de elementos de A é 2, isso significa que A pode ter no máximo 2 elementos. b) É falso já que A pode ser no máximo 6 elementos, basta considerar o caso em que os conjuntos não têm nenhum elemento em comum. c) Esse é o item verdadeiro como A tem 2 elementos considere que esses 2 elementos também pertence a B e assim A , logo essa interseção com o conjunto C pode ter no máximo 2 elementos . d) É falso já que A e como C tem 4 elementos, isso implica que (A e) A tem exatamente 2 elementos já que por definição o conjunto vazio não possui nenhum elemento.
  • 2. Numa universidade são lidos apenas 2 jornais X e Y. 80% dos alunos da mesma lêem o jornal X e 60 % lêem o jornal Y. Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, assinale a alternativa que corresponde ao percentual de alunos que lêem ambos. a) 80% b) 14 % c) 40% d)60% e) 48% Solução: Pela leitura é garantido que a interseção é diferente de vazio, então analisando o diagrama temos: 80% - x+ x+ 60% - x = 100% 140% - x = 100% X= 40 % (FUVEST) Uma pesquisa de mercado sobre o consumo de três marcas A, B e C de um determinado produto apresentou os seguintes resultados: A=48% A e B = 18% B=45% B e C = 25% C=50% A e C= 15% NENHUM DAS MARCAS A, B e C= 5% a) Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem as três marcas A, B e C. b) Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem uma e apenas uma das 3 marcas. Solução a) Veja a figura
  • 3. Como não sabemos o valor da interseção dos 3 conjuntos vamos chamar de x. Assim 1 )A 2)A 3)A 4)B , Logo, 5) n(A)= 48 – (15 –x +x +18-x)= 15 + x 6)n(B)= 45 - (18 – x +x 25 – x)= 2+ x 7)n(C)= 50 – (15- x +x + 25 – x)=10 + x Lembrando que 5% não consome nenhuma das marcas. Então, basta agora somar todos esses valores e igual a 100% que representa todos os entrevistados. 15% + x – x + 15% - x +18% -x + 2% +x + 25% -x + 10% + x + 5% = 100% 90% + x = 100% X= 10% b) 15% + x + 2% + x 10% +x = y 27% + 3x= y 27% + 3. 10% = y 27% + 30%= y 57% = y
  • 4. (PUC-SP) Em um exame de vestibular, 30% dos candidatos eram da área de Humanas. Dentre esses candidatos, 20 % optaram pelo curso de Direito. Do total dos candidatos, qual era a porcentagem dos que optaram por Direito. a) 50% b)20% c)10% d) 6% e) 5% Solução: Observem que essa é uma questão bem simples basta apenas o candidato ter conhecimento de porcentagem, já que podemos ver essa pergunta como sendo quanto é 20% de 30%. Assim 30% X =6%