Metodos de Conteo: Diagramas de arbol, combinaciones y permutaciones

1. Alumno: Cesar Jesús Estrada Escobedo
2do Cuatrimestre Sección “A”
Maestro: Lic. Edgar Gerardo Mata Ortiz
Materia: Estadística
Fecha: 27/02/12

2. Métodos de Conteo:
*Diagrama de Árbol:
Un diagrama de árbol es una herramienta que se utiliza para determinar todos los
posibles resultados de un experimento aleatorio. En el cálculo de la probabilidad
se requiere conocer el número de elementos que forman parte del espacio
muestral, estos se pueden determinar con la construcción del diagrama de árbol.
El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados del
experimento, el cual consta una serie de pasos, donde cada uno de los pasos
tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza en los
problemas de conteo y probabilidad.
Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para
cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad. Cada una de
estas ramas se conoce como rama de primera generación.
En el final de cada rama de primera generación se constituye a su vez, un nudo
del cual parten nuevas ramas conocidas como ramas de segunda generación,
según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible
final del experimento (nudo final).
Hay que tener en cuenta que la construcción de un árbol no depende de tener el
mismo número de ramas de segunda generación que salen de cada rama de
primera generación y que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo
ha de dar 1.
Existe un principio sencillo de los diagramas de árbol que hace que éstos sean
mucho más útiles para los cálculos rápidos de probabilidad: multiplicamos las
probabilidades si se trata de ramas adyacentes (contiguas), el ejemplo de alumna
de la primera facultad, o bien las sumamos si se trata de ramas separadas que
emergen de un mismo punto, el ejemplo de encontrar un alumno.
Ejemplos:
Una universidad está formada por tres facultades:
La 1ª con el 50% de estudiantes.
La 2ª con el 25% de estudiantes.
La 3ª con el 25% de estudiantes.
Las mujeres están repartidas uniformemente, siendo un 60% del total en cada
facultad.

3. ¿Probabilidad de encontrar una alumna de la primera facultad?
¿Probabilidad de encontrar un alumno varón?
pero también podría ser lo contrario.

4. Combinación:
Son números que determinan el número de formas de seleccionar elementos de
un conjunto y aparecen en la expansión binomial.
Es un arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que
ocupan los mismos dentro del arreglo. En una combinación nos interesa formar
grupos y el contenido de los mismos.
La fórmula para determinar el número de combinaciones es:
nCr = Combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos
Donde se observa que,
Normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar en si
el orden de las cosas es importante. En otras palabras:
"Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y
bananas": no importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser
"bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la
misma ensalada.
"La combinación de la cerradura es 472": ahora sí importa el orden.
"724" no funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2.
Si el orden sí importa es una permutación.
Problemas resueltos de combinaciones
1. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un
comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités
diferentes se pueden formar?

5. No entran todos los elementos.
No importa el orden: Juan, Ana.
No se repiten los elementos.
2. ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete
colores del arco iris tomándolos de tres en tres?
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
3. A una reunión asisten 10 personas y se
intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se
han intercambiado?
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.

6. 4. En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de
botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro
botellas?
No entran todos los elementos. Sólo elije 4..
No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de
anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís.
Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una
botella del mismo tipo.
5. ¿Cuántas apuestas de Lotería Primitiva de una columna
han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis
resultados, de 49?
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.

7. 6. ¿Cuántas diagonales tiene un pentágono y
cuántos triángulos se puede informar con sus vértices?
Vamos a determinar en primer lugar las rectas que
se pueden trazar entre 2 vértices.
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
Son , a las que tenemos que restar los lados que
determinan 5 rectas que no son diagonales.
Permutación:
Una permutación es una combinación ordenada.
Permutaciones:
Hay dos tipos de permutaciones:
1. Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podría ser "333".
2. Sin repetición: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes
quedar primero y segundo a la vez.

8. 1. Permutaciones con repetición
Son las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las
permutaciones posibles son:
n × n × ... (r veces) = nr
(Porque hay n posibilidades para la primera elección, DESPUÉS
hay n posibilidades para la segunda elección, y así.)
Por ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10 números para elegir (0,1,...,9) y
eliges 3 de ellos:
10 × 10 × ... (3 veces) = 103 = 1000 permutaciones
Así que la fórmula es simplemente:
nr
donde n es el número de cosas que
puedes elegir, y eliges r de ellas
(Se puede repetir, el orden importa)
2. Permutaciones sin repetición:
En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso.
Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16
bolas de billar?
Después de elegir por ejemplo la "14" no
puedes elegirla otra vez.
Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15
posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:
16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000
Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería
solamente:
16 × 15 × 14 = 3360

9. Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16.
Combinación:
Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que
ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.
Permutación:
Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa
cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.
Problemas Resueltos:
1.- Se extrae aleatoriamente una carta de un mazo de 52 piezas.
Determina las siguientes probabilidades.
En todos los ejercicios el espacio muestra tiene 52 elementos.
A.- Probabilidad de extraer un as= P(as)=?
B.- Probabilidad de extraer un jota de corazones P(JCorazones)=?
C.- Probabilidad de extraer un tres de tréboles o un seis de diamantes.
D.- Obtener una carta de corazones.
E.- Extraer cualquier figura excepto corazones.
A) Casos Favorables= 4
P(as)= 4/52=0.07692 ó 7.69%
B) Casos Favorables= 1
P(J♥)= 1/52=0.019230 ó 1.923%
C) Casos Favorables= 2
P(3♣ ó 6 ♦)=¿?
P(3♣ ó 6 ♦)= 2/52= 0.03846 ó 3.846%
D) Casos Favorables= 13
P(♥)=?
P(♥)= 13/52= 0.25 ó 25%
E) P(♣♠♦)=?
E) Casos Favorables= 39
P(♣♠♦)=39/52=0.75 ó 75%
F) Casos Favorables= 16
F) P(10 ó ♣)=?
P(10 ó ♣)=16/52=0.3076 ó 30.76%
G) P(Ni 4 Ni ♣)=?
G)Casos Favorables=36
H) P(Ni 4 Ni ♣)=36/52=0.6923 ó 69.23%

10. El espacio muestra es: Los números del 2 al 10 y las letras J,Q,K,A.
2.-Una bola se extrae aleatoriamente de una caja que contiene 6 bolas rojas, 4
bolas blancas y 5 bolas azules. Determinar la probabilidad de que sea (a) Roja, (b)
Blanca, (c) Azul, (d) No Roja, (e) Roja o Blanca.
A) Método 1
A)6/15=0.4 ó 40% Roja
B)4/15= 0.26 ó 26% Blanca
C)5/15= 0.33 ó 33% Azul
3.-Un dado se lanza dos veces. Hallar la probabilidad de obtener 4,5 ó 6 en el
primer lanzamiento y 1,2, 3 ó 4 en el segundo lanzamiento.
P(A1nA2)= P(A1) P(A2) (A1)= P(A1) P(A2)= (3/6) (4/6)= 1/3
Método 2:
P(A1nA2)= 12/36=1/3=0.3333
3.- Encontrar la probabilidad de no obtener un total de 7 u 11 en ninguno de los
dos lanzamientos de un par de dados honrados.
P(A)=1-P(A)= 1 2/9=7/9
4.- Se extraen dos cartas de una baraja de 52 cartas. Hallar la probabilidad de
que ambas sean ases si la carta (a) se remplaza, (b) no se remplaza.

11. Método 1:
A) P(A1nA2)= P(A1)P(A2)(A1)= (4/52)(4/52)=1/160
B) P(A1nA2)= P(A1)P(A2 lA1)=(4/52)(3/51)=1/221
Método 2:
A) (4)(4)/(52)(52)=1/169
B) (52)(51)
Baraja Española
A) En el caso de la Baraja Española, el espacio muestra es :
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11,12
B) Determina el espacio muestra si se toma en cuenta la figura.
En este caso, son 52 resultados posibles.
5.- Veinte pilotos participan en una carrera de automovilismo. Los primeros 6
lugares acumulan puntos para el campeonato. ¿De cuántas maneras posibles
pueden los pilotos ocupar los seis lugares?
Hay que hacer un total de seis elecciones (una para cada lugar), de modo que
k=6. Si la primera elección es para el primer lugar, este puede ser ocupado por
cualquiera de los veinte pilotos y entonces n1=20. El segundo lugar puede ser
ocupado por cualquiera de los dieciocho pilotos restantes, por lo que n3=18.
De esta forma n4=17,n5=16 y n6=15. Por la regla del producto, el total de
maneras que los pilotos pueden ocupar los 6 primeros lugares es:
(20) (19)(18)(17)(16)(15)= 27,907,200.

12. 6.- Un grupo de 60 alumnos del Conalep que va graduarse debe elegir a un
Comité de Graduación formado por un presidente, un vicepresidente, un secretario
y un tesorero.
¿Cuántos posibles comités se pueden formar?
El presidente puede ser electo de un total de 60 maneras, el vicepresidente de un
total de 59 maneras, el secretario de un total de 58 maneras y un tesorero de un
total de 57 maneras. Por la regla del producto, el total del comités posibles es de:
(60)(59)(58)(57)=11,703,240.
7.- El entrenador de la selección mexicana de fútbol debe decidir cómo se deben
tirar los cinco primeros penales obligatorios en caso de un empate ¿Cuántas
elecciones posibles debe considerar?
En este caso se deben escoger 5 jugadores de un total de 11 que hay en la
cancha. Hay entonces P511 = (11)(10)(9)(8)(7)=55440 elecciones posibles para
determinar cómo se tirarán los cinco penales obligatorios.
8.- El mánager de un equipo de beisbol debe determinar el orden al bat de sus
jugadores. ¿Cuántos órdenes posibles hay?
Ahora debemos elegir a todos los 9 jugadores que abren el juego y hay por lo
tanto P99= (9)(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1)=362,880 órdenes posibles al bat.

13. Bibliografía:
*Wikipedia La Enciclopedia Libre
*http://www.disfrutalasmatematicas.com/combinatoria/combinaciones-
permutaciones.html
*http://www.vitutor.com/pro/1/a_c.html
*http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/07Combinaciones
.htm
*http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/04Permutaciones
.htm
*Murray y Spliege. Probabilidad y Estadística, Primera Edición. Mc Graw Hill.
México 1976.
*http://es.scribd.com/doc/60476471/Probabilidad-y-Estadistica-Teoria-y-760-
Problemas-Resueltos-Murray-R-Spiegel-1976-Schaum-s-McGraw-Hill-388p
*Guillermo Pastor. Estadística Básica. Editorial Trillas, Decimoprimera reimpresión,
Enero 2003, México.