1. physicsgg.wordpress.com
6 Η πλήρης απόδειξη του νόµου Planck
Η ορθή θεωρητική µελέτη του µέλανος σώµατος γίνεται στο πλαίσιο της κβαντικής
στατιστικής µηχανικής. Για τον λόγο αυτό ας θυµηθούµε µερικά σηµεία της στατιστικής
µηχανικής.
Κεντρικό ρόλο στην στατιστική µηχανική παίζει η συνάρτηση επιµερισµού Z .
Γνωρίζοντας την συνάρτηση επιµερισµού ενός συστήµατος µπορούµε να υπολογίσουµε τα
βασικά µεγέθη που χαρακτηρίζουν το σύστηµα.
Κλασικό ιδανικό αέριο.
Θεωρούµε αέριο Ν σωµατιδίων τα οποία δεν αλληλεπιδρούν µεταξύ τους. Κάθε
σωµατίδιο του αερίου µπορεί να αποκτήσει τις παρακάτω «ιδιαίτερες» ενέργειες
ε1 , ε 2 ,⋯ , ε r , ⋯
οι οποίες αντιστοιχούν σε ένα πλήρες σύνολο κβαντικών καταστάσεων, που συµβολίζονται
µε
1, 2,⋯ , r
και στις οποίες, αν η θερµοκρασία είναι υψηλή και το αέριο έχει µικρή πυκνότητα, ένα και
µοναδικό σωµατίδιο µπορεί να υπάρξει. Μια κατάσταση ως σύνολο καθορίζεται από τους
αριθµούς κατάληψης
n1 , n2 ,⋯ , nr ,⋯
που εκφράζουν τον αριθµό των σωµατιδίων που έχουν τις παραπάνω ενέργειες. Έτσι για
το κλασικό αέριο θα ισχύει για τους µέσους αριθµούς κατάληψης
nr ≪ 1, για κάθε r
Ο αριθµός των τρόπων µε τους οποίους µπορούν να διαταχθούν τα Ν σωµατίδια ώστε να
το αέριο να εµφανίζει τις ίδιες µακροσκοπικές ιδιότητες (ίδια θερµοκρασία, ίδιος όγκος, ίδια
πίεση) ονοµάζεται θερµοδυναµικό βάρος της κατάστασης και συµβολίζεται µε W . Για το
κλασικό αέριο ισχύειi
N!
W=
n1 !n2 !⋯ nM !
Χρησιµοποιώντας την προσέγγιση N ! ≈ N ln N − N και λογαριθµίζοντας την παραπάνω
σχέση έχουµε
M M
ln W = N ln N −
∑
i =1
ni ln ni ⇒ δ ln W = −
∑ i =1
(δ ni ln ni +δ ni ) ⇒
M M
δ ln W = −
∑ i =1
δ ni ln ni −
∑
i =1
δ ni = 0 (Ι)
Θέλουµε η τιµή του W να γίνει µέγιστη, άρα και του lnW , οπότε δ ln W = 0 .
Όµως ισχύει
∑ i
ni = N ⇒
∑ i
δ ni = 0
N!
i
Στην πραγµατικότητα έχουµε W = g1n1 g 2 2 ⋯ αλλά εδώ απλά παίρνουµε µια γεύση της
n
n1 !n2 !⋯ nM !
µεθόδου.
physicsgg.blogspot.com
2. physicsgg.wordpress.com
U=
∑ niε i ⇒ 0 =
∑ ε iδ ni
Θέλουµε να ισχύουν οι δύο τελευταίες εξισώσεις ταυτόχρονα γι αυτό εφαρµόζουµε την
µέθοδο των πολλαπλασιαστών Lagrange. Πολλαπλασιάζουµε την πρώτη επί α και τη
δεύτερη επί β, οπότε
−
∑i
(a + βε i )δ ni = 0
Η εξ. (Ι) γίνεται
M M M
δ ln W = −
∑
i =1
δ ni ln ni = −
∑i =1
δ ni ln ni −
∑
i =1
δ ni (a + βε i ) = 0 ⇒
∑
−
i
δ ni ( ln ni + a + βε i ) = 0 ⇒ ni = e− a e − βε i
Η τελική σχέση εκφράζει την κατανοµή Maxwell – Boltzmann.
Θα ισχύει
N=
∑ ni = e− a
∑ e − βε i = σταθερά
Η έκφραση Ζ1 =
∑ e − βε i είναι η συνάρτηση επιµερισµού για ένα µόριο.
Η συνάρτηση επιµερισµού του κλασικού αερίου δίνεται από την εξίσωση
N
Z = Z (T , V , N ) =
1 Ν 1
N!
Ζ1 =
N!
∑ r
exp(− βε r )
όπου β = 1 kT . ς δείγµα της χρησιµότητας της Ζ, δίνουµε την µέση ενέργεια συστήµατος
σε θερµοκρασία Τ
∂ ln Z
E=−
∂β
και την ελεύθερη ενέργεια
F = −kT ln Z
Κβαντικό αέριο. Η κβαντική φυσική διαιρεί τα σωµατίδια σε δυο ασυµβίβαστες κατηγορίες.
1η κατηγορία: Στην περίπτωση αυτή οι αριθµοί κατάληψης περιορίζονται στις τιµές
nr = 0 ή 1 ( για κάθε r )
Αυτή είναι η στατιστική Fermi – Dirac διότι µελετήθηκε για πρώτη φορά το 1926 από τον
Fermi και ανεξάρτητα από τον Dirac. Τα σωµατίδια που υπακούουν στην στατιστική αυτή
ονοµάζονται φερµιόνια. Τα φερµιόνια έχουν πάντα ηµιακέραιο σπιν.
2η κατηγορία: Κανένας περιορισµός δεν υπάρχει στους αριθµούς κατάληψης nr . Μπορούν
να πάρουν και παίρνουν όλες τις ακέραιες τιµές
nr = 0,1, 2,⋯ ( για κάθε r )
Αυτή είναι η στατιστική Bose – Einstein, που για πρώτη φορά εισήγαγε ο Bose το 1924 για
να αποδείξει τον νόµο της ακτινοβολίας του Planck και ο Einstein αναγνωρίζοντας τη
2
3. physicsgg.wordpress.com
σπουδαιότητά της την εφάρµοσε την ίδια χρονιά σε ιδανικό αέριο σωµατιδίων µε µάζα. Τα
σωµατίδια που υπακούουν στην στατιστική αυτή ονοµάζονται µποζόνια. Τα µποζόνια
έχουν πάντα ακέραιο σπιν.
Στη µελέτη της ακτινοβολίας του µέλανος σώµατος µας ενδιαφέρουν τα φωτόνια τα οποία:
(α) συµπεριφέρονται ως µποζόνια,
(β) δεν αλληλεπιδρούν µεταξύ τους και
(γ) ο αριθµός τους µέσα στην κοιλότητα δεν είναι σταθερός
Η συνάρτηση επιµερισµού του κβαντικού αερίου δίνεται από την εξίσωση
Z = Z (T , V , N ) =
n1n2 ⋯
∑
exp − β
∑ ∑ {
r
nr ε r =
n1n2 ⋯
exp − β (n1ε1 + n1ε1 + ⋯)}
Στην περίπτωση των φωτονίων θα ισχύει
∑ r
nr ≠ N (σταθερό) και θα έχουµε:
∞ ∞
Z = Z (T , V , N ) =
∑n1n2 ⋯
exp {− β (n1ε1 + n1ε1 + ⋯) = } ∑ ∑ n1 = 0
exp(− β n1ε1 )
n2 = 0
exp(− β n2ε 2 )⋯ =
∞ ∞ ∞
=
∏∑
r =1 nr = 0
e− β nrε r =
∏r =1
1
1 − e − βε r
Έτσι ο µέσος αριθµός κατάληψης στην κατάσταση i µε ενέργεια ε i = hfi θα είναι
1 ∂ ln Z 1
ni = − = βε
β ∂ε i e i −1
Αποµένει να υπολογίσουµε τον αριθµό των καταστάσεων για τον οποίο το µέτρο της ορµής
ενός φωτονίου που βρίσκεται σε δοχείο όγκου V, βρίσκεται στο διάστηµα από p έως
p + dp . Ο υπολογισµός είναι ο ίδιος µε τον υπολογισµό των κανονικών τρόπων
ταλάντωσης και θα πάρουµε
V 4π p 2 dp
ϕ ( p )dp = 3
h
Όµως το γεγονός ότι το φωτόνιο δεν έχει µάζα ηρεµίας συνεπάγεται ότι το σπιν του µπορεί
να έχει µόνο 2 ανεξάρτητες κατευθύνσεις: µια παράλληλη και µια αντιπαράλληλη µε την
ορµή του. Έτσι, εξαιτίας των δυο πολώσεων η παραπάνω σχέση γίνεται
V 4π p 2 dp V 8π p 2 dp V ω 2 d ω
ϕ ( p )dp = 2 = =
h3 h3 π 2c3
Συνεπώς ο αριθµός των φωτονίων µε συχνότητες από ω έως ω + dω θα είναι
1 V ω 2 dω
dNω = nωϕ (ω ) d ω = β ℏω
e − 1 π 2c3
Η ενέργεια των φωτονίων
ω 3d ω V ℏ
dEω = ℏω dNω = β ℏω
e − 1 π 2c3
και η πυκνότητα ενέργειας
3
4. physicsgg.wordpress.com
ℏ ω 3dω
u (ω , T ) =
π 2 c 3 e β ℏω − 1
ή
8π h f3
u ( f ,T ) =
(
c3 e hf kT − 1 )
4
