SlideShare une entreprise Scribd logo
1  sur  44
Télécharger pour lire hors ligne
Conjuntos, Relaciones y
Funciones
0.1 Conjuntos
El t´ermino conjunto y elemento de un conjunto son t´erminos primitivos y no
definidos. De un punto de vista intuitivo parece ser que cualquier colecci´on de
objetos puede ser considerado un conjunto. Sin embargo esto no es as´ı, ya que
de lo contrario se llega a paradojas. En general podemos decir informalmente
que los conjuntos no pueden ser “demasiado grandes”. (El lector interesado
puede consultar la referencia: Charles C. Pinter, Set Theory, Addison-Wesley,
1971)
De esta manera, siempre supondremos que todos los conjuntos son el-
ementos de un conjunto universal, U. A menudo U no se menciona ex-
pl´ıcitamente, tal como ocurre con el dominio de una funci´on proposicional.
Los conjuntos los denotamos por letras may´usculas:
A, B, C, . . .
y los elementos por letras min´usculas
a, b, c, . . . .
“a es un elemento del conjunto A”(o “a es un miembro de A” o “a est´a
en A” o “a pertenece a A”) se denota: a ∈ A.
Si un conjunto no tiene muchos elementos se pueden escribir todos ellos.
Por ejemplo si A es el conjunto con los elementos 1, 2, 3, 4 se indica como:
A = {1, 2, 3, 4}.
1
Otra forma de especificar los elementos de un conjunto es dando una regla.
Por ejemplo:
A = {a : a es un entero y 1 ≤ a ≤ 4}
o
A = {x : (x − 2)(x − 1)(x − 4)(x − 3) = 0}
representan el mismo conjunto.
La notaci´on {a : p(a)} se lee: “El conjunto de todos los a tales que p(a)
es verdadero”. Tambi´en se escribe {a / p(a)}.
Note que el orden en el cual se escriben los elementos de un conjunto no
es importante.
Definici´on 1 Un conjunto A es igual a un conjunto B, denotado A = B, si
y s´olo si cada elemento de A es un elemento de B y cada elemento de B es
un elemento de A. En simbolos:
(A = B) ←→ [(∀ x , x ∈ A −→ x ∈ B) ∧ (∀ x , x ∈ B −→ x ∈ A)]
o
(A = B) ←→ (∀ x , x ∈ A ←→ x ∈ B).
Ejemplo
{1, 2, 3} = {2, 3, 1} = {x : 1 ≤ x ≤ 3 y x es un entero }.
2
Los siguientes conjuntos son usualmente empleados en matem´atica:
N = {x : x es un n´umero entero x ≥ 1}
= {1, 2, 3, 4, . . .} (Conjunto de los n´umeros naturales)
Z = {x : x es un entero }
= {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} (Conjunto de los n´umeros enteros)
Q = {
x
y
: x, y ∈ Z, y = 0}
= {. . . , −
4
3
, −
3
2
, −
2
1
, −
1
1
,
0
2
,
1
3
, . . .} (Conjunto de los n´umeros racionales)
R = {x : x es n´umero real }.
Definici´on 2 Sean A, B conjuntos. Se dice que A es un subconjunto de B
si y s´olo si cada elemento de A es un elemento de B. Se denota por:
A ⊆ B ´o B ⊇ A.
En simbolos:
A ⊆ B ←→ (∀ x , x ∈ A −→ x ∈ B).
Si A no es subconjunto de B, se escribe A B.
Note que A ⊆ A. Si A ⊆ B pero A = B se dice que A es un subconjunto
propio de B, y se escribe
A ⊂ B ´o B ⊃ A.
Si A no es un subconjunto propio de B, se escribe:
A /⊂ B.
3
Es posible tener un conjunto sin elementos. Por ejemplo, el conjunto de
todos los estudiantes que miden 6 metros. Tal conjunto se llama conjunto
vac´ıo y se denota ∅. En simbolos:
∅ = {x : p(x) ∧ ¬p(x)}
donde p(x) es cualquier funci´on proposicional.
Definici´on 3 Sean A, B conjuntos. La uni´on de A y B (denotada A ∪ B)
es el conjunto de todos los elementos que est´an en A o en B. En simbolos:
A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}.
La intersecci´on de A y B (denotada A ∩ B) es el conjunto de todos los
elementos que est´an en A y en B. En simbolos:
A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}.
Si A ∩ B = ∅, se dice que A y B son disjuntos.
El complemento relativo de A en B (o complemento de A con respecto a B),
denotado por B − A (o B A) es el conjunto de todos los elementos en B
que no est´an en A. En simbolos:
B A = {x : x ∈ B ∧ x /∈ A}.
Si B es U, el conjunto universal, entonces U A = {x : x ∈ U ∧ x /∈ A} =
{x : x /∈ A} es llamado el complemento de A y se denota Ac
(o CU A).
Es ´util representar la definici´on anterior en t´erminos de Diagramas de Venn:


A


B
4
A ∩ B


A


B
A ∪ B


A


B
A B
An´alogamente se puede representar, por ejemplo, A ∩ (B ∪ C):
!
#
B
!
#
C
!
#
A
Note que un diagrama de Venn con dos conjuntos consiste de 4 regiones,
mientras que un diagrama con tres conjuntos consiste de 8 regiones (2×2×2 =
8). As´ı, un diagrama con 6 conjuntos requiere de 26
= 64 regiones. Esto hace
que los diagramas de Venn sean de uso limitado.
Definici´on 4 Sea A un conjunto. El conjunto de todos los subconjuntos de
A, denotado por P(A) (o 2A
) se llama conjunto potencia de A (o partes de
A ). En simbolos:
P(A) = {B : B ⊆ A}.
Ejemplo: Sea U = N = {x : x es un entero, x ≥ 1} = {1, 2, 3, 4, . . .}.
Sean A = {x : x es par } , B = {x : x = 2k − 1 para alg´un k ∈ N},
C = {y : y ≤ 4} , D = {1, 3}.
Entonces
A ∪ B = U ; A ∩ B = ∅ ; Ac
= B ; A B = A ;
5
Bc
= A ; B A = B ; C ∩ D = D ; C D ;
D C = ∅ ; D ⊆ C ; D ⊂ C ; Dc
⊇ A ;
P(D) = {∅, {1}, {3}, {1, 3}} ; 1 D ; 1 ∈ D ; A ∪ C = A ∪ D ;
∅ ∈ P(D) ; {1} ∈ P(D) ; 1 /∈ P(D).
En lo que sigue veremos algunos teoremas con respecto a propiedades de
conjuntos.
Teorema 5 Sean A y B conjuntos, tales que A ∩ B = A. Entonces A ⊆ B.
Demostraci´on. Sean A y B conjuntos, tales que A ∩ B = A. Sea a ∈ A.
Entonces
...
“Algo usando la hip´otesis A ∩ B = A”
...
As´ı, a ∈ B. Por lo tanto A ⊆ B.
Comentarios
Se comenz´o la demostraci´on “copiando el enunciado”. Esto es positivo
pero, en general, las demostraciones en matem´atica y especialmente en textos
avanzados, omiten esto y asumen que el lector lo infiere del contexto.
¿Cu´an detallada debe ser una demostraci´on? No hay una respuesta a
ello, pero por regla general se debe incluir suficiente informaci´on como para
que una persona de un nivel menor a lo que se lee, sea capaz de entender la
demostraci´on.
Cuando se comienza a hacer demostraciones en matem´atica una buena
idea es escribirla con el suficiente detalle de manera que al volver a leerla, a
6
la semana siguiente, seamos capaces de entenderla. De lo contrario, debemos
incluir mayores detalles.
Note que la demostraci´on comienza: “Sea a ∈ A”. Este es otro ejemplo
del uso de una variable “fija pero arbitraria”. Se asume que a es un elemento
de A pero nada m´as.
Observemos que en “Sea a ∈ A”estamos en realidad incluyendo dos casos,
uno de los cuales no hemos mencionado. Cuando se dice “Sea a ∈ A”,
estamos asumiendo que A = ∅. ¿Qu´e sucede si A = ∅? La raz´on de lo anterior
es que si A = ∅ la demostraci´on es trivial. En efecto, ∅ es subconjunto de
cualquier conjunto, en particular de B. As´ı, cada vez que escribamos algo de
la forma :
“Sea a ∈ A”
debemos estar siempre seguros que el caso A = ∅ no causa problemas.
Ejercicio: Complete la demostraci´on anterior.
Teorema 6 Sean A y B conjuntos. Entonces
A − B = A ∩ Bc
.
Demostraci´on. Sean A y B conjuntos. Primero se prueba que A − B ⊆
A ∩ Bc
.
Sea x ∈ A − B. Entonces x ∈ A y x /∈ B (definici´on de A − B). Pero
x /∈ B implica que x ∈ Bc
. Por lo tanto x ∈ A y x ∈ Bc
. Luego x ∈ A ∩ Bc
.
Esto prueba que A − B ⊆ A ∩ Bc
.
Supongamos ahora que x ∈ A ∩ Bc
. Esto significa que x ∈ A y x ∈ Bc
(por definici´on de intersecci´on). Pero x ∈ Bc
significa que x /∈ B. Por lo
tanto x ∈ A y x /∈ B, esto es, x ∈ A − B. As´ı A ∩ Bc
⊆ A − B. Ya que se ha
probado que A − B ⊆ A ∩ Bc
y A ∩ Bc
⊆ A − B, se tiene demostrado que
A − B = A ∩ Bc
.
7
Teorema 7 Si A, B, C son conjuntos con A ⊆ B y B ⊆ C entonces A ⊆ C.
Demostraci´on. Sean A, B, C conjuntos con A ⊆ B y B ⊆ C. Sea a ∈ A.
Ya que A ⊆ B se tiene a ∈ B. Adem´as, ya que B ⊆ C y a ∈ B se tiene que
a ∈ C. Por lo tanto A ⊆ C.
Teorema 8 Sean A, B conjuntos. Entonces
A ⊆ B ←→ A ∩ B = A.
Demostraci´on. Sean A, B conjuntos. Primero, mostraremos que A ⊆ B
implica A ∩ B = A.
Supongamos que A ⊆ B. Sea z ∈ A∩B. Entonces z ∈ A y z ∈ B. Luego
z ∈ A y, por lo tanto, A ∩ B ⊆ A.
Ahora, sea z ∈ A. Ya que A ⊆ B, z ∈ B. Por lo tanto z ∈ A y z ∈ B, lo
que significa z ∈ A ∩ B. As´ı, hemos probado que A ⊆ A ∩ B. Esto, junto a
A ∩ B ⊆ A, implica que A = A ∩ B.
Ahora, para demostrar que A ∩ B = A implica A ⊆ B, supongamos que
A ∩ B = A. Sea a ∈ A. Entonces, ya que A = A ∩ B, a ∈ A ∩ B. Luego,
a ∈ B. Esto implica que A ⊆ B.
Teorema 9 Sean A, B conjuntos. Entonces A ∩ (B − A) = ∅.
Demostraci´on. Sean A, B conjuntos. Como ∅ es un subconjunto de cualquier
conjunto se tiene ∅ ⊆ A∩(B−A). De esta manera, s´olo debemos mostrar que
A ∩ (B − A) ⊆ ∅. Haremos esto indirectamente, esto significa que asumire-
mos que existe un elemento en A ∩ (B − A) que no es un elemento de ∅
y obtendremos una contradicci´on. Note que como ∅ no tiene elementos, lo
´unico que se puede hacer es asumir un elemento en A ∩ (B − A) y llegar a
una contradicci´on.
8
Suponga que existe y ∈ A ∩ (B − A). Entonces y ∈ A y y ∈ B − A. Pero
y ∈ B − A implica que y ∈ B y y /∈ A. As´ı, se tiene que y ∈ A y y /∈ A, una
contradicci´on. Esto completa la prueba.
0.2 Conjuntos de validez de funciones proposi-
cionales
Como una aplicaci´on de la teor´ıa de conjuntos desarrollada, consideremos la
siguiente definici´on.
Definici´on 10 Sea p una funci´on proposicional con dominio D. El conjunto
de validez de p es:
P := {x ∈ D : p(x) es verdadero }.
Ejemplos
a) Sea D = {1, 2, 3, 4, 6}, p(x) : “ x es par”y q(x) : “ x es un primo”.
Entonces se tiene:
P = {2, 4, 6} Q = {2, 3}.
b) Sea D = R, p(x) : “x2
− 3x + 2 = 0”y q(x) : “ sin2
(x) + cos2
(x) = 1”.
Entonces
P = {1, 2} Q = R
(Verificaci´on: Ejercicio).
En ´algebra se denominan tambi´en a los conjuntos anteriores: Conjuntos
soluci´on.
9
Se pueden usar las operaciones entre conjuntos para expresar los conjuntos
de validez de funciones proposicionales compuestas. As´ı, por ejemplo, si P,
Q corresponden a los conjuntos de validez de funciones proposicionales p, q
respectivamente, entonces
P ∩ Q = {x : p(x) ∧ q(x)},
es el conjunto de validez para p(x) ∧ q(x).
P ∪ Q = {x : p(x) ∨ q(x)},
es el conjunto de validez para p(x) ∨ q(x).
Pc
= {x : ¬p(x)},
es el conjunto de validez de ¬p(x).
¿Qu´e ocurre con p(x) −→ q(x)? Recordemos que
(p −→ q) ⇐⇒ (¬p ∨ q)
entonces se ve que
Pc
∪ Q = {x : ¬p(x) ∨ q(x)}
es el conjunto de validez de p(x) −→ q(x).
Ejemplos
a) Sea D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; p(x) : “x es par”, q(x) : “x es impar”, r(x) : “x
es 2 ´o 3”. Entonces :
i) El conjunto de validez de p(x) ∨ q(x) es:
P ∪ Q = D.
10
ii) El conjunto de validez de p(x) ∧ q(x) es:
P ∩ Q = ∅.
iii) El conjunto de validez de p(x) −→ q(x) es:
Pc
∪ Q = {1, 3, 5}.
iv) El conjunto de validez de ¬r(x) es:
Rc
= {1, 4, 5, 6}.
b) Sea D = R y p(x) : “x2
− 3x + 2  0”. Entonces sabemos que,
algebraicamente, p(x) es equivalente a:
(x − 2)(x − 1)  0.
Sean : p1(x) : “x − 2  0”
p2(x) : “x − 1  0”
p3(x) : “x − 2  0”
p4(x) : “x − 1  0”
Entonces p(x) es equivalente a:
[p1(x) y p2(x)] o [p3(x) y p4(x)].
Observemos ahora que (en notaci´on de intervalos):
P1 = (2, ∞)
P2 = (1, ∞)
P3 = (−∞, 2)
P4 = (−∞, 1).
Entonces, el conjunto de validez para p(x) es:
(P1 ∩ P2) ∪ (P3 ∩ P4),
11
esto es :
[(2, ∞) ∩ 1, ∞)] ∪ [(−∞, 2) ∩ (−∞, 1)] = (2, ∞) ∪ (−∞, 1) = R − [1, 2].
(Verificaci´on: Ejercicio).
0.3 Relaciones
Sabemos que un conjunto est´a determinado por sus elementos; esto es, {a, b} =
{b, a} y que el orden en el cual los elementos aparecen no hace diferencia.
En ocasiones, deseamos distinguir cuando los mismos elementos est´an
puestos en orden diferente. Para hacer esto introducimos el concepto de par
ordenado.
Es posible realizar lo anterior en t´erminos de conjuntos (ver lista de ejer-
cicios), sin embargo esta definici´on no es muy ´util, de manera que conside-
raremos un par ordenado como un t´ermino indefinido. La notaci´on ser´a
est´andar:
(a, b)
donde a es el primer elemento y b es el segundo elemento. La propiedad en
la cual estamos realmente interesados es:
Definici´on 11 Sean (a, b), (c, d) pares ordenados. Entonces (a, b) = (c, d)
si y s´olo si a = c y b = d.
Note que la definici´on anterior distingue orden: (a, b) = (b, a) a menos que
a = b.
Con el concepto de par ordenado, se puede definir una nueva operaci´on
entre conjuntos: El producto cartesiano de dos conjuntos:
12
Definici´on 12 Sean A, B conjuntos. El producto cartesiano de A con B,
denotado A × B; es el conjunto de todos los pares ordenados con primer
elemento en A y segundo elemento en B. En simbolos:
A × B = {(a, b) : a ∈ A y b ∈ B}.
Ejemplo: Si A = {1, 2, 3}, B = {a, b}, C = ∅ entonces:
A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}
B × A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}
A × C = ∅
B × C = ∅.
Se puede graficar A × B en un arreglo rectangular:
b (1, b) (2, b) (3, b)
B
a (1, a) (2, a) (3, a)
1 2 3
A
Observe en este ejemplo que A×B = B ×A y que A×C = B ×C no implica
que A = B.
Definici´on 13 Sean A, B conjuntos. Una relaci´on de A a B es un sub-
conjunto de A × B. Si R es una relaci´on de A a B entonces un elemento
(a, b) ∈ R ser´a denotado como:
aRb.
El dominio de R (denotado Dom(R)) es el conjunto de todos los primeros
elementos de R; en simbolos
Dom(R) = {a : (a, b) ∈ R} = {a : aRb}.
13
La imagen de R (denotado por Im(R)) es el conjunto de todos los segundos
elementos de R; en simbolos
Im(R) = {b : (a, b) ∈ R} = {b : aRb}.
Observe que Dom(R) ⊆ A y Im(R) ⊆ B.
Si A = B se dice que R es una relaci´on en A.
Ejemplo: Sea A = {1, 2, 3} y R la relaci´on “menor que”en A; esto es:
aRb si y s´olo si a  b. Se puede ilustrar lo anterior con un diagrama:
3 (1, 3) (2, 3) (3, 3)
A 2 (1, 2) (2, 2) (3, 2)
1 (1, 1) (2, 1) (3, 1)
1 2 3
A
donde cada elemento de este arreglo es un elemento de A × A y, (1, 3), (2, 3)
y (1, 2) son los pares ordenados de la relaci´on R.
En este ejemplo: Dom(R) = {1, 2}, Im(R) = {2, 3}.
Antes de seguir adelante con la teor´ıa, veremos una serie de ejemplos para
fijar ideas.
a) Sea A el conjunto de todas las personas (vivas) del mundo. Para
x, y ∈ A definimos:
xRy si y s´olo si y es el padre de x.
Entonces R es una relaci´on en A. Los pares ordenados son de la forma:
(x, padre de x) y Dom(R) = {x : uno de los padres de x esta vivo }.
Ejercicio: Encuentre Im(R).
14
b) Sea A = R. Para x, y ∈ R definimos
xRy si y s´olo si y = x2
.
Entonces R es una relaci´on en R y los pares ordenados son de la forma (x, x2
).
Note que lo anterior corresponde a nuestra familiar par´abola. Dom(R) = R,
Im(R) = {x : x ≥ 0}. En general todas las funciones que conocemos son
relaciones.
c) Sea A cualquier conjunto. Para x, y ∈ A se define
xRy si y s´olo si x = y.
Entonces R es una relaci´on en A. Los pares ordenados son de la forma (x, x),
Dom(R) = A y Im(R) = A.
d) Sea A cualquier conjunto. Si B, C son subconjuntos de A se define:
BRC si y s´olo si B ⊆ C.
Entonces R es una relaci´on en P(A) y Dom(R) = Im(R) = P(A). En
particular, si A = {1, 2}, entonces
R = {(∅, ∅), (∅, {1}), (∅, {2}), (∅, A), ({1}, {1}), ({1}, A), ({2}, {2}), ({2}, A), (A, A)}
e) Sea A el conjunto de todos los chilenos y sea B el conjunto de enteros
positivos menor que 100.000.000. Para x ∈ A y y ∈ B definimos
xRy si y s´olo si y es el n´umero de carn´e de x.
Entonces R es una relaci´on de A en B. Los pares ordenados son de la forma:
( persona , n´umero de carn´e de la persona ),
Dom(R) = {x : x es una persona que tiene un n´umero de carn´e} y Im(R) =
{x : x es alg´un n´umero de carn´e }.
15
f) Sea A = {1, 2, 3}, B = {1, 2}. Entonces R = {(3, 1), (3, 2)}, S = ∅,
T = A × B son todas relaciones de A en B.
Dom(R) = {3} , Im(R) = {1, 2}
Dom(S) = ∅ , Im(S) = ∅
Dom(T ) = A , Im(T ) = B.
Note que las relaciones no necesariamente “tienen sentido”, o poseen una
particular regla de formaci´on.
g) Sean A, B conjuntos de proposiciones y para p ∈ A, q ∈ B se define:
pRq si y s´olo si p −→ q es una tautolog´ıa. Entonces R es una relaci´on de A
en B y un par ordenado (p, q) ∈ R si y s´olo si q es una consecuencia l´ogica
de p.
Ejercicio: Encuentre Im(R).
h) Sea A el conjunto de todos los tri´angulos en el plano. Si s, t ∈ A
diremos que sRt si y s´olo si s es similar (semejante) a t. Entonces R es una
relaci´on en A y Dom(R) = Im(R) = A (Verificaci´on: Ejercicio).
i) Para x, y ∈ R se define xRy si y s´olo si x ≤ y. Entonces R es una
relaci´on en R con Dom(R) = Im(R) = R.
j) Para x, y ∈ Z se define xRy si y s´olo si x divide a y (lo cual se denota:
x|y) y se define como:
x|y ←→ ∃z ∈ Z y = xz.
As´ı: 3|6, 2|8, −3|6, 3|−9, 2|0 y 2 no divide a 9, que se escribe 2 /| 9. Entonces
R es una relaci´on en Z, con Dom(R) = Im(R) = Z (ya que cada entero se di-
vide a si mismo). Elementos t´ıpicos de R son: (1, 3), (7, 21), (1001, 1001), (−1, 3).
16
k) Para x, y ∈ N se define xRy si y s´olo si 5|(x − y). Entonces R es una
relaci´on en N con Dom(R) = Im(R) = N (Verificaci´on: Ejercicio).
Existen ciertas propiedades que una relaci´on puede o no poseer; algunas
de las m´as importantes son las siguientes:
Definici´on 14 Sea R una relaci´on en el conjunto A. Diremos que:
a) R es reflexiva si y s´olo si ∀ a ∈ A, aRa.
b) R es sim´etrica si y s´olo si ∀ a, b ∈ A, aRb −→ bRa.
c) R es transitiva si y s´olo si ∀ a, b, c ∈ A, (aRb ∧ bRc) −→ aRc.
d) R es antisim´etrica si y s´olo si ∀ a, b ∈ A, (aRb ∧ bRa) −→ a = b.
e) R es irreflexiva si y s´olo si ∀ a ∈ A, ¬(aRa) (´o a /R a).
f) R es completa si y s´olo si ∀ a, b ∈ A, a = b −→ (aRb ∨ bRa).
g) R es asim´etrica si y s´olo si ∀ a, b ∈ A, aRb −→ ¬(bRa).
h) R es una relaci´on de equivalencia si y s´olo si R es reflexiva, sim´etrica
y transitiva.
i) R es un orden parcial si y s´olo si R es reflexiva, transitiva y anti-
sim´etrica.
j) R es un orden parcial estricto si y s´olo si R es irreflexiva y transitiva.
k) R es un orden total si y s´olo si R es un orden parcial y completa.
l) R es un orden total estricto si y s´olo si es un orden parcial estricto y
completa.
Ejemplo: Sea A = {1, 2, 3, 4} y
R = {(1, 2), (2, 3)}
S = {(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1), (3, 4)}
T = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}.
Entonces:
R no es reflexiva, no es sim´etrica, no es transitiva, es antisim´etrica, es
irreflexiva, no es completa, es asim´etrica.
17
S no es reflexiva, no es sim´etrica, es transitiva, no es antisim´etrica, no es
irreflexiva, no es completa, no es asim´etrica.
T es reflexiva, es sim´etrica, es transitiva, es antisim´etrica, no es irreflexiva,
no es completa, no es asim´etrica.
Se puede tambi´en tener una idea gr´afica de las propiedades anteriores.
Por ejemplo, si A = {1, 2, 3, 4}, entonces para que R sea reflexiva, debe
contener al menos la diagonal principal.
4 (1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4)
3 (1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3)
2 (1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2)
1 (1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1)
1 2 3 4
A
Si R es sim´etrica, entonces su gr´afico debe ser sim´etrico con respecto a la
diagonal principal: As´ı, si (2, 3) y (4, 2) son elementos de R entonces (3, 2)
y (2, 4) deben tambi´en estar en R.
4 (1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4)
3 (1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3)
2 (1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2)
1 (1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1)
1 2 3 4
A
Algunos de los ejemplos dados (a)-k)) tambi´en satisfacen algunas propiedades
de la definici´on 16. Por ejemplo:
= : es una relaci´on de equivalencia.
18
≤ y ⊆ : son ordenes parciales.
 y ⊂ : son ordenes parciales estrictos.
≤ : es un orden total.
 : es un orden total estricto.
En general, podemos pensar en relaci´on de equivalencia como una idea
abstracta de igualdad y en orden parcial como una idea abstracta del concepto
de orden en los n´umeros reales.
Definici´on 15 Sea R una relaci´on de A en B. La relaci´on inversa, denotada
R−1
, es la relaci´on de B en A dada por: xR−1
y si y s´olo si yRx. En simbolos:
R−1
= {(x, y) : (y, x) ∈ R}.
Se observa que Dom(R−1
) = Im(R) y Im(R−1
) = Dom(R).
Por ejemplo, si R es la relaci´on “padre”del ejemplo a), entonces R−1
es
la relaci´on “hijo”: xR−1
y si y s´olo si y es un hijo de x.
Otro ejemplo es el siguiente: Si R es la relaci´on en N dada por xRy si y
s´olo si x  y, entonces xR−1
y si y s´olo si y  x.
Definici´on 16 Sea R una relaci´on de A en B y sea S una relaci´on de B en
C. Entonces R compuesta con S, denotada S ◦ R, es la relaci´on de A en C
dada por
S ◦ R = {(x, z) : ∃ y ∈ B [(x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ S]}.
La raz´on de revertir el orden de S y R en la notaci´on anterior tendr´a sentido
al trabajar con funciones posteriormente. Observe que, en efecto, S ◦ R es
una relaci´on de A en C pues si (x, y) ∈ R entonces x ∈ A y, si (y, z) ∈ S
entonces z ∈ C. Luego S ◦ R ⊆ A × C.
19
Como un ejemplo de compuestas de relaciones, sean
A = {1, 2, 3, 4} , B = {a, b, c} , C = {4, 5, 6}
y
R = {(1, a), (1, b), (3, a)} , S = {(a, 5), (b, 4), (a, 6), (c, 6)}.
Entonces nos preguntamos: ¿Qu´e segundas coordenadas de elementos de R
coinciden con primeras coordenadas de elementos de S? Esto producir´a los
elementos de S ◦ R.
Por ejemplo, (1, a) ∈ R y (a, 5) ∈ S nos da (1, 5) ∈ S ◦ R. Continuando,
obtenemos:
(1, 4) ∈ S ◦ R pues (1, b) ∈ R y (b, 4) ∈ S
(3, 5) ∈ S ◦ R pues (3, a) ∈ R y (a, 5) ∈ S
(1, 6) ∈ S ◦ R pues (1, a) ∈ R y (a, 6) ∈ S
(3, 6) ∈ S ◦ R pues (3, a) ∈ R y (a, 6) ∈ S
As´ı, S ◦ R = {(1, 5), (1, 4), (3, 5), (1, 6), (3, 6)}.
Definici´on 17 Sea A un conjunto. La relaci´on identidad en A, denotada
por IA, es definida por
IA = {(x, x) : x ∈ A}.
As´ı aIAb si y s´olo si a = b.
Ejemplo Sea A = {1, 2, 3} y R la relaci´on en A dada por R = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)}.
Entonces
a) R−1
= {(2, 1), (3, 1), (3, 2)}.
b) IA = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}.
c) R−1
◦ R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 1)}.
20
d) R ◦ R−1
= {(2, 2), (2, 3), (3, 3), (3, 2)}.
e) R ◦ R = {(1, 3)}.
f) R−1
◦ R−1
= {(3, 1)}.
g) R ◦ IA = IA ◦ R = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)}.
h) R−1
◦ IA = IA ◦ R−1
= {(2, 1), (3, 1), (3, 2)}.
Una conclusi´on adicional que podemos obtener de este ejemplo es:
R ◦ R−1
= R−1
◦ R,
luego la composici´on no es conmutativa.
Ejemplo: Sea A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6}, C = {2, 3, 4} con
R = {(1, 4), (1, 5), (2, 6), (3, 4)}
una relaci´on de A en B, y
S = {(4, 2), (4, 3), (6, 2)}
una relaci´on de B en C.
Lo anterior se puede mostrar con un diagrama:
%
'$
%
'$
%
'$
Algunos c´alculos muestran que:
a) S ◦ R = {(1, 2), (1, 3), (3, 2), (3, 3), (2, 2)}.
b) R−1
= {(4, 1), (5, 1), (6, 2), (4, 3)}.
c) S−1
= {(2, 4), (3, 4), (2, 6)}.
d) R−1
◦ S−1
= {(2, 1), (3, 1), (2, 3), (2, 2), (3, 3)}.
e) (S ◦ R)−1
= {(2, 1), (3, 1), (2, 3), (3, 3), (2, 2)}.
Se observa que R ◦ S y S−1
◦ R−1
no est´an definidos y que R−1
◦ S−1
=
(S ◦ R)−1
.
21
A fin de practicar un poco m´as con demostraciones, veremos que esta
´ultima igualdad es siempre verdadera.
Teorema 18 Sean A, B, C conjuntos; R una relaci´on de A en B y S una
relaci´on de B en C. Entonces
(S ◦ R)−1
= R−1
◦ S−1
.
Demostraci´on. Es de ayuda considerar la siguiente figura para tener en
mente los diferentes tipos de relaciones involucradas:
%
'$
A
%
'$
B
%
'$
C
Primero, observamos que (S ◦ R)−1
es una relaci´on de C en A, de la
misma forma que lo es R−1
◦ S−1
. As´ı, al menos hay una chance que sean
iguales.
Recordando que las relaciones son conjuntos, para demostrar que son
iguales debemos probar que los conjuntos son iguales.
Sea (x, z) ∈ (S ◦ R)−1
. Entonces (z, x) ∈ S ◦ R. Luego, existe y ∈ B tal
que (z, y) ∈ R y (y, x) ∈ S. Concluimos que (y, z) ∈ R−1
y (x, y) ∈ S−1
.
Por lo tanto (x, z) ∈ R−1
◦ S−1
. Esto prueba que (S ◦ R)−1
⊆ R−1
◦ S−1
.
Para probar la inclusi´on opuesta, sea (x, z) ∈ R−1
◦ S−1
. Entonces existe
y ∈ B tal que (x, y) ∈ S−1
y (y, z) ∈ R−1
. Luego (y, x) ∈ S y (z, y) ∈ R.
Por lo tanto (z, x) ∈ S ◦ R, de donde (x, z) ∈ (S ◦ R)−1
como quer´ıamos.
Ejemplo: Sea A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6}, C = {6, 7, 8} y D = {1, 4, 6}.
22
Definimos las siguientes relaciones
R = {(1, 4), (3, 5), (3, 6)} relaci´on de A en B
S = {(4, 6), (6, 8))} relaci´on de B en C
T = {(6, 1), (8, 6), (6, 4)} relaci´on de C en D.
Estas relaciones se ilustran en la siguiente figura:
%
'$
%
'$
%
'$
%
'$
Entonces podemos formar
S ◦ R = {(1, 6), (3, 8)} una relaci´on de A en C
y
T ◦ S = {(4, 1), (4, 4), (6, 6)} una relaci´on de B en D.
Ahora, las relaciones anteriores se pueden componer con T y R para obtener
T ◦ (S ◦ R) = {(1, 1), (1, 4), (3, 6} una relaci´on de A en D
y
(T ◦ S) ◦ R = {(1, 1), (1, 4), (3, 6)} una relaci´on de A en D.
Observemos que son iguales. Esto no es excepcional a este ejemplo. La
propiedad se denomina: Composici´on de relaciones es asociativa. El resulta-
do es como sigue:
Teorema 19 Sean A, B, C, D conjuntos y R una relaci´on de A en B, S una
relaci´on de B en C y T una relaci´on de C en D. Entonces
T ◦ (S ◦ R) = (T ◦ S) ◦ R.
23
Se deja la demostraci´on del resultado anterior como un ejercicio, as´ı como
la del siguiente:
Teorema 20 Sea R una relaci´on en A. Entonces R es transitiva si y s´olo
si
R ◦ R ⊆ R.
0.4 Particiones y relaciones de equivalencia
Veamos con un poco m´as de detalle la relaci´on de equivalencia del ejemplo
siguiente: R es una relaci´on en N dada por:
xRy si y s´olo si 5|(x − y) (←→ ∃ k ∈ Z , 5k = x − y).
Si definimos
Si = {x : xRi} , i ∈ N,
se tiene
S1 = {x : xR1} = {1, 6, 11, 16, . . .}
S2 = {x : xR2} = {2, 7, 12, 17, . . .}
S3 = {x : xR3} = {3, 8, 13, 18, . . .}
S4 = {x : xR4} = {4, 9, 14, 19, . . .}
S5 = {x : xR5} = {5, 10, 15, 20, . . .}
S6 = {x : xR6} = {1, 6, 11, 16, . . .} = S1
S7 = S2 , S8 = S3 , etc.
Gr´aficamente
N
24
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
...
...
...
...
...
S1 S2 S3 S4 S5
Hay varias cosas interesantes de observar.
En una primera impresi´on, se podr´ıa haber supuesto que los conjuntos Si
eran infinitos, pero s´olo hay 5 de ellos.
Tambi´en, la uni´on de estos conjuntos es N; esto es, dado cualquier ele-
mento y ∈ N, y es un elemento de estos cinco conjuntos. M´as precisamente,
hay exactamente uno de estos conjuntos que tiene “y”como un elemento.
Lo anterior significa tambi´en que, dados dos conjuntos Si entonces ya sea
son iguales o disjuntos.
Veremos que cada relaci´on de equivalencia genera conjuntos con las propie -
dades anteriores. Para ello necesitaremos previamente de algunas defini-
ciones.
Definici´on 21 Sea A un conjunto no vac´ıo. Una partici´on Π de A es una
colecci´on de subconjuntos no vac´ıos de A tales que cada elemento de A es un
elemento de exactamente uno de estos conjuntos.
Observe que si Π es una partici´on de A, entonces los elementos de Π son
subconjuntos de A, que denominaremos bloques de Π. Se nota que si B y C
son bloques de Π, entonces B = C ´o B ∩ C = ∅. Tambi´en, la uni´on de todos
los elementos de Π es A.
Podemos pensar de una partici´on de un conjunto como en un “corte”del
conjunto en pedazos disjuntos.
Ejemplos
25
a) Sea A un conjunto no vac´ıo. Entonces Π1 = {{x} : x ∈ A} y Π2 = {A}
son particiones de A. En cierto sentido, Π1 es la partici´on “m´as fina”de A
mientras que Π2 es la partici´on “menos fina”.
b) Sea A = {1, 2, 3, 4}. Entonces Π1 = {{1}, {2, 3}, {4}} y
Π2 = {{1, 4}, {2, 3}} son particiones de A.
c) Con respecto a los conjuntos Si de la introducci´on, se observa que
{S1, S2, S3, S4, S5} es una partici´on de N.
Hay una interrelaci´on muy estrecha entre particiones y relaciones de
equivalencia. En efecto, dada una relaci´on de equivalencia en un conjun-
to se puede generar una partici´on (Ejemplo de N anteriormente) y dada una
partici´on se puede generar una relaci´on de equivalencia.
Para analizar lo anterior en detalle, requerimos la siguiente definici´on.
Definici´on 22 Sea R una relaci´on de equivalencia en un conjunto no vac´ıo
A. Sea x ∈ A. La clase de equivalencia de x m´odulo R, denotada [x]R (´o
x|R), es el conjunto de todos los elementos de A que est´an R-relacionados
a x. En simbolos:
[x]R = {y ∈ A : yRx}.
El conjunto de todas las clases de equivalencia se denota [A]R (´o A|R) y se
llama A m´odulo R. En simbolos
[A]R = {[x]R : x ∈ A}.
Con respecto al ejemplo de la introducci´on, tenemos:
[2]R = S2 = {2, 7, 12, 17, . . .}
[4]R = [9]R = [14]R
[N]R = {[1]R, [2]R, [3]R, [4]R, [5]R}
= {[6]R, [12]R, [18]R, [9]R, [25]R}
26
Como otros ejemplos, sea A un conjunto no vac´ıo y R la relaci´on de igualdad:
xRy si y s´olo si x = y. Sea S = A×A (tambi´en una relaci´on de equivalencia).
Entonces, para cada x ∈ A:
[x]R = {x} y [x]S = A
[A]R = {{x} : x ∈ A} y [A]S = {A}.
Algunas propiedades generales de las clases de equivalencia se presentan en
el siguiente resultado.
Teorema 23 Sea R una relaci´on de equivalencia en el conjunto no vac´ıo A.
Entonces
a) ∀ x ∈ A, [x]R = ∅.
b) ∀ x, y ∈ A , [x]R ∩ [y]R = ∅ si y s´olo si xRy.
c) ∀ x, y ∈ A , [x]R = [y]R si y s´olo si xRy.
d) ∀ x, y ∈ A , [x]R = [y]R si y s´olo si [x]R ∩ [y]R = ∅.
Demostraci´on.
a) Ya que R es reflexivo, xRx ∀ x ∈ A. Luego, x ∈ [x]R y, por lo tanto
∀ x ∈ A, [x]R = ∅.
b) Suponga que x, y son elementos de A y que [x]R ∩ [y]R = ∅. Sea
z ∈ [x]R ∩ [y]R. Entonces xRz y yRz. Ya que R es sim´etrica, zRy. Adem´as
R es transitiva por lo que xRy como deseabamos.
Supongamos que xRy. Entonces y ∈ [x]R. Pero y ∈ [y]R tambi´en.
Luego, [x]R ∩ [y]R = ∅.
c) Si [x]R = [y]R entonces y ∈ [x]R, luego xRy.
Supongamos ahora que xRy y sea z ∈ [x]R. Entonces xRz. Por la
simetr´ıa de R se tiene yRx. Luego, por transitividad, yRz. Luego z ∈ [y]R.
Esto prueba que [x]R ⊆ [y]R.
27
Se deja como ejercicio probar que [y]R ⊆ [x]R.
Finalmente, observe que d) se obtiene directamente de b) y c).
Teorema 24 Sea A un conjunto no vac´ıo y R una relaci´on de equivalencia
en A. Entonces [A]R es una partici´on de A.
Demostraci´on. Ejercicio.
Hemos visto que una relaci´on de equivalencia induce una partici´on del
conjunto. Este proceso tambi´en trabaja en reversa, esto es, una partici´on de
un conjunto induce una relaci´on de equivalencia en el conjunto.
Antes de probar lo anterior, daremos un nombre a dicha relaci´on.
Definici´on 25 Sea Π una partici´on de un conjunto A. Se define una relaci´on
A|Π (“A m´odulo Π”) en A por: (x, y) ∈ A|Π si y s´olo si existe B ∈ Π tal
que {x, y} ⊆ B.
En palabras: x est´a relacionado con y si y s´olo si x e y son ambos elementos
del mismo bloque de la partici´on.
Ejemplo: Sean A = {1, 2, 3, 4} y Π2 = {{1, 4}, {2, 3}}, entonces
A|Π2 = {(1, 1), (1, 4), (4, 1), (4, 4), (2, 2), (2, 3), (3, 3), (3, 2)}.
Teorema 26 Sea Π una partici´on de un conjunto no vac´io A. Entonces A|Π
es una relaci´on de equivalencia en A.
Demostraci´on. Sea Π una partici´on de A. Por conveniencia, denotemos R
a A|Π. Debemos probar que R es reflexiva, sim´etrica y transitiva.
28
R es reflexiva: Sea x ∈ A. Como x es un elemento de alg´un bloque de Π,
se tiene xRx. Luego, R es reflexiva.
R es sim´etrica: Si xRy, donde x e y est´an en el mismo bloque de Π lo
cual implica que yRx. As´ı R es sim´etrica.
R es transitiva: Suponga que xRy y yRz. Entonces existen B, C ∈ Π
tales que {x, y} ⊆ B y {y, z} ⊆ C. Ahora, y ∈ B ∩ C, luego B ∩ C = ∅. Por
lo tanto, B = C. As´ı {x, z} ⊆ B lo que dice que xRz. Concluimos que R es
transitiva y luego una relaci´on de equivalencia.
0.5 Funciones
Las funciones juegan un papel muy importante en matem´atica. Una precisa
definici´on es la siguiente.
Definici´on 27 Sea f una relaci´on de A en B. Entonces f es una funci´on
de A en B (denotado f : A → B y se lee “f es una funci´on de A en B”) si
y s´olo si
a) Dom(f) = A
b) ∀ x ∈ A, ∀ y, z ∈ B [(x, y) ∈ f ∧ (x, z) ∈ f] → y = z.
En palabras, lo anterior dice que si f es una relaci´on de A en B tal que para
cada x ∈ A existe exactamente un y ∈ B tal que (x, y) ∈ f, entonces f es
una funci´on.
La condici´on a) garantiza que para cada x ∈ A existe al menos un tal “y”
y la condici´on b) garantiza que hay a lo m´as uno. As´ı, tomados juntos, hay
exactamente uno.
29
Si f es una funci´on de A en B entonces la “propiedad funcional”de cada
x ∈ A relacionado a exactamente un y ∈ B permite el uso de la notaci´on
funcional
y = f(x).
Como ejemplos de relaciones que son funciones y algunas que no lo son,
consideremos los siguientes:
A = {1, 2, 3, 4} , B = {1, 2, 3, 4, 5}
f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)}
g = {(1, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 5)}
h = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}.
Entonces f, g y h son relaciones de A en B, pero s´olo f es una funci´on; g
no es funci´on ya que (1, 2) y (1, 3) son elementos de g. Tampoco h es una
funci´on ya que Dom(h) = {1, 2, 3} = A.
Observemos que f tiene una simple forma y puede ser descrita por una
f´ormula: ∀ x ∈ A, f(x) = x + 1.
La mayor´ıa de las funciones conocidas en c´alculo son dadas por una
f´ormula. Sin embargo esto no es necesario y, en general en matem´atica,
las funciones no est´an dadas por f´ormulas.
Usaremos las siguientes notaciones y nombres cuando trabajemos con
funciones.
Sea f : A → B y (x, y) ∈ f entonces escribimos y = f(x).
Observe que el nombre de la funci´on es f y que f(x) no es el nombre de
la funci´on sino un elemento de B.
Si y = f(x) entonces decimos que y es la imagen de x y que x es una
preimagen de y.
30
Observe que se usa “la”cuando se habla de imagen y se usa “una”cuando
se habla de preimagenes ya que un elemento de B puede tener varios elemen-
tos de A relacionados.
Ya que f es una relaci´on se puede hablar de su dominio e imagen, com-
poner f con otras relaciones y analizar su inversa.
Note que aunque Dom(f) = A, no necesariamente es Im(f) = B. De
esta manera es conveniente tener tambi´en un nombre para B. Usualmente
se le denomina codominio de f.
Ejemplo: Sean A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {a, b, c, d} y definamos f : A → B
por f(1) = b, f(2) = b, f(3) = a, f(4) = d, f(5) = a. Gr´aficamente:
%
'$
%
'$
La imagen de 2 es b. Una preim´agen de a es 5 (otra es 3). c no tiene
preim´agenes.
El siguiente resultado es ´util para determinar cuando dos funciones son
iguales.
Teorema 28 Sean f : A → B y g : A → B. Entonces f = g si y s´olo si
∀ x ∈ A, f(x) = g(x).
Demostraci´on. Primero, supongamos que f = g y sea z ∈ A. Entonces
∃ y ∈ B (z, y) ∈ f. Ya que f = g, (z, y) ∈ g. Luego y = g(z) y y = f(z).
Esto prueba que g(z) = f(z).
Ahora supongamos que ∀ x ∈ A, f(x) = g(x). Ya que funciones son
relaciones y relaciones son conjuntos de pares ordenados, para mostrar que
f = g se debe mostrar que ellos son iguales como conjuntos de pares orde-
nados. Con este fin, sea (w, z) ∈ f. Entonces z = f(w) = g(w). Luego
31
(w, z) ∈ g y se tiene f ⊆ g. Intercambiando los roles de f y g se puede
mostrar que g ⊆ f de lo cual se obtiene que f = g.
Existen ciertas propiedades que las funciones pueden o no tener. Si estas
propiedades son usadas frecuentemente entonces requieren nombres. Algunos
de estos son dados en la siguiente definici´on.
Definici´on 29 Sea f : A → B. Entonces:
a) Se dice que f es uno a uno (o f es inyectiva) si y s´olo si ∀ w, z ∈ A,
f(w) = f(z) implica w = z.
b) Se dice que f es sobre (o f es sobreyectiva) si y s´olo si Im(f) = B.
c) Se dice que f es biyectiva (o biunivoca) si y s´olo si f es a la vez uno
a uno y sobre.
Las siguientes figuras ilustran varias posibilidades.
%
'$
%
'$
%
'$
%
'$
Sobreyectiva pero no 1-1 1-1 pero no sobre
%
'$
%
'$
%
'$
%
'$
No es sobre y no es 1-1 1-1 y sobre
Recordemos que ya que funciones son relaciones, ellas tienen inversas que
son relaciones. As´ı, podemos hablar de la inversa de cualquier funci´on, pero
no hay raz´on para esperar que esta inversa sea tambi´en una funci´on.
En este sentido las funciones biyectivas son importantes, ya que ellas son
exactamente aquellas funciones cuyas inversas son tambi´en funciones.
32
Teorema 30 Sea f : A → B una funci´on. Entonces f−1
: B → A es una
funci´on si y s´olo si f es biyectiva.
Demostraci´on. Primero, supongamos que f−1
es una funci´on de B en A.
Debemos mostrar que f es 1-1 y sobre.
Supongamos que f(x) = f(y) = z. Esto significa que (x, z) ∈ f y (y, z) ∈
f. Entonces f−1
(z) = x y f−1
(z) = y. Pero f−1
es una funci´on, luego x = y.
Esto muestra que f es 1-1.
Para mostrar que f es sobre, sea y ∈ B. Ya que Dom(f−1
) = B, existe un
x ∈ A tal que f−1
(y) = x. Luego (y, x) ∈ f−1
, lo cual implica que (x, y) ∈ f.
As´ı, y ∈ Im(f). Esto prueba que B ⊆ Im(f). Ya que es evidente que
Im(f) ⊆ B se tiene mostrado que Im(f) = B.
Ahora supongamos que f es 1-1 y sobre. Se debe mostrar que f−1
es una
funci´on de B en A; esto es, se debe mostrar que Dom(f−1
) = B y que si
(y, x) ∈ f−1
y (y, z) ∈ f−1
entonces x = z.
Primero, sea y ∈ B. Entonces ya que f es sobre, existe un x ∈ A tal que
f(x) = y ´o (x, y) ∈ f. As´ı (y, x) ∈ f−1
y luego x ∈ Dom(f−1
). Esto prueba
que B = Dom(f−1
).
Ahora, supongamos que (y, x) ∈ f−1
y (y, z) ∈ f−1
. Entonces f(x) = y
y f(z) = y. Pero f es 1-1, luego lo anterior implica que x = z. Luego f−1
es
una funci´on.
Se observa que el hecho que f es 1-1 implica que f−1
tiene la propiedad
de funci´on y que f−1
sobre implica que Dom(f−1
) = B.
As´ı, si f : A → B es tal que f es 1-1 pero no sobre B, entonces f−1
es
una funci´on de Im(f) en A pero no es una funci´on de B en A.
Se deja como un ejercicio mostrar que la composici´on de funciones es
tambi´en una funci´on.
Si f : A → B y G : B → C entonces (g ◦ f) : A → C denota la
33
composici´on de f y g.
Si (g ◦ f)(x) = z, entonces (x, z) ∈ (g ◦ f), lo cual significa que existe
y ∈ B tal que (x, y) ∈ f y (y, z) ∈ g. Luego, f(x) = y y g(y) = z. Por lo
tanto, z = g(y) = g(f(x)) ´o
(g ◦ f)(x) = g(f(x)),
que es la notaci´on usual.
Ya que funciones son relaciones se pueden componer y, en consecuencia,
los resultados para relaciones valen para funciones. As´ı, si f, g son funciones
con dominios e imagenes apropiadas, entonces
(g ◦ f)−1
= f−1
◦ g−1
aunque (g ◦ f)−1
, f−1
y g−1
pueden no ser funciones.
El teorema 32 nos dice que si f, g son biyectivas entonces f−1
y g−1
ser´an
funciones.
Teorema 31 Sean f : A → B y g : B → C biyectivas.Entonces (g ◦ f) :
A → C es biyectiva.
Demostraci´on. Debemos probar que (g ◦ f) : A → C es biyectiva.
Primero, supongamos que existen x, y ∈ A tales que (g ◦ f)(x) = (g ◦
f)(y). Entonces g(f(x)) = g(f(y)). Como g es 1-1, f(x) = f(y). Ahora,
como f es 1-1, x = y. Luego, g ◦ f es 1-1.
Segundo, para demostrar que g ◦f es sobre, sea z ∈ C. Ya que g es sobre,
existe y ∈ B tal que g(y) = z. Pero f tambi´en es sobre, luego exsite x ∈ A
tal que f(x) = y. Por lo tanto, z = g(y) = g(f(x)) = (g ◦ f)(x). As´ı, g ◦ f
es sobre.
La demostraci´on anterior es t´ıpica para mostrar que una cierta funci´on
es biyectiva. Sin embargo hay otras alternativas.
34
Sea f : A → B. Una demostraci´on directa para probar que f es 1-1
podr´ıa tomar la siguiente forma: Sean x, y ∈ A con f(x) = f(y).
...
“Alguna cosa u otra dependiente de f”
...
As´ı x = y y f es 1-1.
Una demostraci´on contrapositiva deber´ıa ser de la forma: Sean x, y ∈ A,
con x = y.
...
“Alguna cosa dependiendo de f”
...
As´ı f(x) = f(y) y f es 1-1.
Una demostraci´on directa para mostrar que f es sobre, podr´ıa ser: Sea
y ∈ B
...
“Algo dependiente de f”
...
As´ı, existe x ∈ A tal que f(x) = y. Luego f es sobre.
En resumen: Para mostrar que f es 1-1 se debe probar que distintos ele-
mentos en el dominio tienen distintas im´agenes y para mostrar que f es sobre
se debe probar que cada elemento de B tiene una preimagen.
Ejemplo: Demostremos que f : R → R dada por f(x) = ax + b, a = 0, es
biyectiva.
35
Primero una prueba directa que f es 1-1.
Sean x, y ∈ R con f(x) = f(y). Entonces ax + b = ay + b, lo cual implica
que ax = ay. Ya que a = 0, se tiene x = y y por lo tanto f es 1-1.
Una prueba contrapositiva podr´ıa ser: Sean x, y ∈ R con x = y. Entonces
ya que a = 0, ax = ay. Luego se tiene ax + b = ay + b y as´ı f(x) = f(y).
Para mostrar que f es sobre, sea z ∈ R. Entonces
z − b
a
es tambi´en un
elemento de R (ya que a = 0) y
f
z − b
a
= a
z − b
a
+ b = z − b + b = z.
Luego f es sobreyectiva.
Observe que la elecci´on de
z − b
a
fu´e el resultado de resolver la ecuaci´on
f(x) = ax + b = z para x.
Teorema 32 Sean f : A → B y g : B → C biyectivas. Entonces (g ◦ f)−1
:
C → A y ∀ x ∈ C,
(g ◦ f)−1
(x) = (f−1
◦ g−1
)(x) = f−1
(g−1
(x)).
La demostraci´on queda como ejercicio. Sin embargo note que la mayor parte
ya fu´e mostrada previamente.
Observemos que la relaci´on identidad en A, IA, es una funci´on de A
en A que llamaremos funci´on identidad. Usando una notaci´on funcional:
IA(x) = x , ∀ x ∈ A.
La raz´on del nombre anterior se aclara en el siguiente resultado.
Teorema 33 Sea f : A → B. Entonces
a) f ◦ IA = f.
b) IB ◦ f = f.
c) Si f es biyectiva entonces f−1
◦ f = IA y f ◦ f−1
= IB (´o ∀ x ∈ A,
f−1
(f(x)) = x y ∀ x ∈ B, f(f−1
(x)) = x).
36
Demostraci´on.
a) y b) son f´aciles de probar, pues si x ∈ A, entonces
(f ◦ IA)(x) = f(IA(x)) = f(x)
y
(IB ◦ f)(x) = IB(f(x)) = f(x).
Para mostrar c), observemos primero que como f es biyectiva, f−1
es una
funci´on, de modo que f(x) = y si y s´olo si f−1
(y) = x.
Ahora, sea x ∈ A y sea y = f(x). Entonces
(f−1
◦ f)(x) = f−1
(f(x)) = f−1
(y) = x = IA(x).
An´alogamente, sea x ∈ B y sea f−1
(x) = y. Entonces
(f ◦ f−1
)(x) = f(f−1
(x)) = f(y) = x = IB(x).
Se puede extender la idea de funci´on en una manera natural desde elemen-
tos individuales del dominio a subconjuntos del dominio. Esto es, f : A → B
puede ser extendido a f : P(A) → P(B).
Definici´on 34 Sea f : A → B. Si C ⊆ A entonces se define
f(C) = {f(x) : x ∈ C}.
Si D ⊆ B entonces
f−1
(D) = {x : f(x) ∈ D}.
f(C) se llama la imagen de C y f−1
(D) la preimagen de D.
Ejemplo: Sea f : A → B donde A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 3, 5} y f es dada
por f(1) = 1, f(2) = 1, f(3) = 5, f(4) = 5. Entonces
f({1, 3}) = {1, 5} , f({1, 2}) = {1} ,
f−1
({1}) = {1, 2} , f−1
({4}) = ∅.
37
Teorema 35 Sea f : A → B y sean C ⊆ D ⊆ B. Entonces
f−1
(C) ⊆ f−1
(D).
Demostraci´on. Sea x ∈ f−1
(C). Entonces x ∈ A y f(x) ∈ C. Ya que
C ⊆ D, f(x) ∈ D. Pero esto dice que x ∈ f−1
(D).
Observemos que nuestras familiares operaciones aritm´eticas (+, −, ·, ÷)
son funciones, como tambi´en lo son los conectivos l´ogicos (∨, ∧, −→, ←→)
y las operaciones entre conjuntos (∩, ∪, ). Hay un nombre especial para
funciones de esta clase.
Definici´on 36 Sea A un conjunto. ∗ se llama una operaci´on binaria en A
si y s´olo si ∗ : A × A → A es una funci´on.
Se observa que una operaci´on binaria en A asocia a cada par de elementos de
A otro elemento de A. Debido a esto, en este caso nos apartamos de nuestra
notaci´on usual y escribimos
a ∗ b = c en vez de ∗ ((a, b)) = c.
Por ejemplo, con + : R×R → R (suma de n´umeros reales) se escribe 2+3 = 5
en vez de +((2, 3)) = 5.
Hay varias propiedades que una operaci´on binaria puede o no poseer.
Definici´on 37 Sea ∗ una operaci´on binaria en un conjunto A. Entonces:
a) Se dice que ∗ es conmutativa si y s´olo si ∀ a, b ∈ A,
a ∗ b = b ∗ a.
b) Se dice que ∗ es asociativa si y s´olo si ∀ a, b, c ∈ A,
a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c.
38
c) Se dice que e ∈ A es una identidad para ∗ si y s´olo si ∀ a ∈ A,
a ∗ e = e ∗ a = a.
d) Si e es una identidad para ∗ y x ∈ A se dice que x es invertible si y
s´olo si ∃ y ∈ A x ∗ y = y ∗ x = e. El elemento “y” es llamado una inversa
de x.
e) Se dice que a ∈ A es idempotente para ∗ si y s´olo si a ∗ a = a.
Ejemplos:
a) + en R es conmutativo, asociativo, tiene 0 como una identidad y cada
elemento es invertible (el inverso de x es −x). El ´unico elemento idempotente
es 0.
b) − en R no es conmutativo, no es asociativo, no tiene elemento identidad
y el ´unico elemento idempotente es 0.
c) ∪ en P(A), para alg´un conjunto A. Esta operaci´on es conmutativa,
asociativa, ∅ es una identidad y cada elemento es idempotente.
Algunos resultados sobre operaciones binarias son los siguientes.
Teorema 38 Sea ∗ una operaci´on binaria en A. Entonces existe a lo m´as
una identidad para ∗.
Demostraci´on. Supongamos que e y e son identidades para ∗. Entonces,
e = e ∗ e = e .
(Observe que la primera igualdad es verdadera pues e es una identidad y la
segunda es v´alida pues e es una identidad). Concluimos que e = e y luego ∗
tiene a lo m´as una identidad.
Teorema 39 Si ∗ es una operaci´on binaria asociativa con identidad e en A
y x ∈ A, entonces x tiene a lo m´as una inversa.
39
Demostraci´on. Suponga que x ∈ A tiene y e y como inversas. Entonces
x ∗ y = y ∗ x = e y x ∗ y = y ∗ x = e. Luego
y = y ∗ e = y ∗ (x ∗ y ) = (y ∗ x) ∗ y = e ∗ y = y .
En virtud de los teoremas anteriores podemos hablar de la identidad y el
inverso de un elemento (si existe).
40
0.6 Ejercicios
1. Sean U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {x : (x − 2)2
(x −
3) = 0} y C = {x : x es impar}. Hallar
a) A ∪ B b) A ∩ (B ∪ C) c) C − A d) C ∪ Ac
e) (A ∪ C)c
f) Ac
∩ Cc
g) P(B)
2. Sean A, B, C conjuntos y U el conjunto universal. Demuestre las
siguientes propiedades
a) A ∪ ∅ = A b) A ∩ ∅ = ∅
c) A − ∅ = A d) A ∪ U = U
e) A ∩ U = A f) A ∪ Ac
= U
g) A ∩ Ac
= ∅ h) A − A = ∅
i) A − B ⊆ A j) A ∩ B ⊆ A
k) A ∪ B ⊇ A l) A ∩ B ⊆ A ∪ B
m) (Ac
)c
= A n) (A ∪ B)c
= Ac
∩ Bc
o) (A ∩ B)c
= Ac
∪ Bc
p) A ∪ (B − A) = A ∪ B
q) (A ∪ B) − (A ∩ B) = (A − B) ∪ (B − A)
r) A − (B ∪ C) = (A − B) ∩ (A − C)
s) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
t) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
3. Sean A, B conjuntos. Considere las conjeturas siguientes. Demuestre
que son verdaderas ´o bien de un contraejemplo para mostrar que son
falsas.
a) P(A) ∪ P(B) ⊆ P(A ∪ B)
41
b) P(A) ∩ P(B) ⊆ P(A ∩ B)
c) P(A ∪ B) ⊆ P(A) ∪ P(B)
d) P(A ∩ B) ⊆ P(A) ∩ P(B)
e) P(A ∩ B) ⊆ P(A ∪ B).
4. Sean A = {a, b, c}, B = {1, 2}, C = {4, 5, 6}.
a) D´e la lista de los elementos de A × B, B × A, A × C.
b) D´e ejemplos de relaciones de A en B y de B en A, con 4 elementos
cada una.
5. Sean A, B, C, D conjuntos. Demuestre o de contraejemplos para las
siguientes conjeturas.
a) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)
b) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)
c) (A × B) ∩ (Ac
× B) = ∅
d) (A ⊆ B ∧ C ⊆ D) −→ A × C ⊆ B × D
e) A ∪ (B × C) = (A ∪ B) × (A ∪ C)
f) A ∩ (B × C) = (A ∩ B) × (A ∩ C)
g) (A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D)
h) A × (B − C) = A × B − A × C
6. Sean A, B conjuntos y R, S relaciones de A en B. Demuestre:
a) Dom(R ∪ S) = Dom(R) ∪ Dom(S)
b) Dom(R ∩ S) ⊆ Dom(R) ∩ Dom(S)
c) Im(R ∪ S) = Im(R) ∪ Im(S)
d) Im(R ∩ S) ⊆ Im(R) ∩ Im(S)
42
7. Se define el par ordenado (a, b) por: (a, b) = {{a}, {a, b}}. Demuestre
que con la definici´on anterior se tiene:
(a, b) = (c, d) ←→ (a = c ∧ b = d).
8. Sean A = {1, 2, 4}, B = {1, 3, 4}. Sean R = {(1, 3), (1, 4), (4, 4)} una
relaci´on de A en B, S = {(1, 1), (3, 4), (3, 2)} una relaci´on de B en A y
T = ∅ una relaci´on de A en B. Encuentre:
a) Dom(R) b) Dom(S) c) Dom(T).
d) Im(R) e) Im(S) f) Im(T).
g) S ◦ R h) R ◦ S.
i) Dom(S ◦ R) j) Im(S ◦ R).
k) Dom(R ◦ S) l) Im(R ◦ S).
m) R−1
n) S−1
.
o) IA p) IB.
q) R−1
◦ S−1
r) S−1
◦ R−1
.
s) (R ◦ S)−1
t) (S ◦ R)−1
.
u) T−1
v) I−1
B .
w) (R ◦ S) ◦ R x) R ◦ (S ◦ R).
9. Sean R una relaci´on de A en B y S una relaci´on de B en C. Muestre
que:
a) Dom(S ◦ R) ⊆ Dom(R).
b) Im(S ◦ R) ⊆ Im(S).
c) Im(R) ⊆ Dom(S) implica Dom(S ◦ R) ⊆ Dom(R).
43
10. Sean A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y Π = {{2, 4, 6}, {1, 5}, {3}}. Liste los ele-
mentos de A|Π. Encuentre [2]A|Π.
11. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y sea f : A → A una funci´on dada por
f(x) =
x + 1 , si x = 6;
1 , si x = 6.
a) Encuentre f(3), f(6), f ◦ f(3), f(f(2)).
b) Encuentre una preimagen de 2 y de 1.
c) Muestre que f es inyectiva.
12. Muestre que f : R → R dada por f(x) = x3
es 1-1 y sobre mientras
que g : R → R dada por g(x) = x2
− 1 no es 1-1 ni es sobre.
13. Sean A, B y f : A → B tales que
A = {1, 2, 3, 4}
B = {1, 2, 3}
f = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)(4, 2)}.
Encuentre f−1
◦ f.
14. Sean A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 3, 4, 5} y f : A → B dada por
f(1) = f(4) = f(6) = 3 ; f(2) = 5 y f(3) = f(5) = 4.
Encuentre:
a) f({1, 2, 3}), f(A − {2}), f(A) − {2}.
b) f−1
({3}), f−1
({4, 5}), f−1
({2}).
c) f({1, 2} ∩ {2, 6}), f({1, 2}) ∩ f({2, 6}).
44

Contenu connexe

Tendances

Analisis libro gerardo____5toao
Analisis libro gerardo____5toaoAnalisis libro gerardo____5toao
Analisis libro gerardo____5toaoOmar Hernandez
 
Logica Y Teoria De Conjuntos
Logica Y Teoria De ConjuntosLogica Y Teoria De Conjuntos
Logica Y Teoria De ConjuntosLISHAVELY
 
Estructura discreta unidad III
Estructura discreta unidad IIIEstructura discreta unidad III
Estructura discreta unidad IIIYurena122
 
Conjuntos bueno
Conjuntos buenoConjuntos bueno
Conjuntos buenoLuis Elias
 
Calculo estocastico
Calculo estocasticoCalculo estocastico
Calculo estocasticoedgarvillca
 
Estructuras discretas unidad iii
Estructuras discretas unidad iiiEstructuras discretas unidad iii
Estructuras discretas unidad iiihprspven
 
Teoria de Conjuntos - PPT
Teoria de Conjuntos - PPTTeoria de Conjuntos - PPT
Teoria de Conjuntos - PPTmgog_lsi
 
Calculo de predicados e inferencias logicas
Calculo de predicados e inferencias logicasCalculo de predicados e inferencias logicas
Calculo de predicados e inferencias logicasRicardo Santaella
 
Capitulo1 conjuntos 3
Capitulo1 conjuntos 3Capitulo1 conjuntos 3
Capitulo1 conjuntos 3mozart32621
 
Teoria de-conjuntos romeo gobbo
Teoria de-conjuntos romeo gobboTeoria de-conjuntos romeo gobbo
Teoria de-conjuntos romeo gobboromeogobbouft
 
Conjuntos 2
Conjuntos 2Conjuntos 2
Conjuntos 2bhylenia
 
Estructura
EstructuraEstructura
EstructuraPaolLara
 

Tendances (17)

1 estructuras
1 estructuras1 estructuras
1 estructuras
 
Analisis libro gerardo____5toao
Analisis libro gerardo____5toaoAnalisis libro gerardo____5toao
Analisis libro gerardo____5toao
 
Logica Y Teoria De Conjuntos
Logica Y Teoria De ConjuntosLogica Y Teoria De Conjuntos
Logica Y Teoria De Conjuntos
 
Estructura discreta unidad III
Estructura discreta unidad IIIEstructura discreta unidad III
Estructura discreta unidad III
 
Conjuntos bueno
Conjuntos buenoConjuntos bueno
Conjuntos bueno
 
Calculo estocastico
Calculo estocasticoCalculo estocastico
Calculo estocastico
 
Sets cap3
Sets cap3Sets cap3
Sets cap3
 
Teoría de Conjuntos
Teoría de ConjuntosTeoría de Conjuntos
Teoría de Conjuntos
 
Estructuras discretas unidad iii
Estructuras discretas unidad iiiEstructuras discretas unidad iii
Estructuras discretas unidad iii
 
5 estructuras-algebraicas
5 estructuras-algebraicas5 estructuras-algebraicas
5 estructuras-algebraicas
 
Teoria de Conjuntos - PPT
Teoria de Conjuntos - PPTTeoria de Conjuntos - PPT
Teoria de Conjuntos - PPT
 
Conjuntos y funciones
Conjuntos y funcionesConjuntos y funciones
Conjuntos y funciones
 
Calculo de predicados e inferencias logicas
Calculo de predicados e inferencias logicasCalculo de predicados e inferencias logicas
Calculo de predicados e inferencias logicas
 
Capitulo1 conjuntos 3
Capitulo1 conjuntos 3Capitulo1 conjuntos 3
Capitulo1 conjuntos 3
 
Teoria de-conjuntos romeo gobbo
Teoria de-conjuntos romeo gobboTeoria de-conjuntos romeo gobbo
Teoria de-conjuntos romeo gobbo
 
Conjuntos 2
Conjuntos 2Conjuntos 2
Conjuntos 2
 
Estructura
EstructuraEstructura
Estructura
 

Similaire à Conjuntos relaciones-funciones

Similaire à Conjuntos relaciones-funciones (20)

Proba-Conjuntos.pdf
Proba-Conjuntos.pdfProba-Conjuntos.pdf
Proba-Conjuntos.pdf
 
Álgebra Capítulo 2 (Teoría de Conjuntos)
Álgebra Capítulo 2 (Teoría de Conjuntos)Álgebra Capítulo 2 (Teoría de Conjuntos)
Álgebra Capítulo 2 (Teoría de Conjuntos)
 
Conjuntos
ConjuntosConjuntos
Conjuntos
 
Teoria de conjuntos
Teoria de conjuntosTeoria de conjuntos
Teoria de conjuntos
 
Trabajo de estructuras
Trabajo de estructurasTrabajo de estructuras
Trabajo de estructuras
 
Matematica basica 02
Matematica basica 02Matematica basica 02
Matematica basica 02
 
FMMA010_apunte_s8.pdf
FMMA010_apunte_s8.pdfFMMA010_apunte_s8.pdf
FMMA010_apunte_s8.pdf
 
Teoria de conjuntos new
Teoria de conjuntos newTeoria de conjuntos new
Teoria de conjuntos new
 
Teoria de conjuntos new
Teoria de conjuntos newTeoria de conjuntos new
Teoria de conjuntos new
 
Teoría elemental de conjuntos
Teoría elemental de conjuntosTeoría elemental de conjuntos
Teoría elemental de conjuntos
 
Introducción
Introducción Introducción
Introducción
 
Conjunto
ConjuntoConjunto
Conjunto
 
Unidad 1 numeros reales
Unidad 1 numeros reales Unidad 1 numeros reales
Unidad 1 numeros reales
 
Conjuntos
ConjuntosConjuntos
Conjuntos
 
Fasciculo 5
Fasciculo 5Fasciculo 5
Fasciculo 5
 
Algebra Abstracta Alg Abs F06
Algebra Abstracta Alg Abs F06Algebra Abstracta Alg Abs F06
Algebra Abstracta Alg Abs F06
 
1° encuentro teoria de conjuntos
1° encuentro   teoria de conjuntos1° encuentro   teoria de conjuntos
1° encuentro teoria de conjuntos
 
Teoria de conjuntos y Algebra Booleana
Teoria de conjuntos y Algebra BooleanaTeoria de conjuntos y Algebra Booleana
Teoria de conjuntos y Algebra Booleana
 
Unidad3.teoriadeconjuntos
Unidad3.teoriadeconjuntosUnidad3.teoriadeconjuntos
Unidad3.teoriadeconjuntos
 
Teoriadeconjuntos
TeoriadeconjuntosTeoriadeconjuntos
Teoriadeconjuntos
 

Conjuntos relaciones-funciones

  • 1. Conjuntos, Relaciones y Funciones 0.1 Conjuntos El t´ermino conjunto y elemento de un conjunto son t´erminos primitivos y no definidos. De un punto de vista intuitivo parece ser que cualquier colecci´on de objetos puede ser considerado un conjunto. Sin embargo esto no es as´ı, ya que de lo contrario se llega a paradojas. En general podemos decir informalmente que los conjuntos no pueden ser “demasiado grandes”. (El lector interesado puede consultar la referencia: Charles C. Pinter, Set Theory, Addison-Wesley, 1971) De esta manera, siempre supondremos que todos los conjuntos son el- ementos de un conjunto universal, U. A menudo U no se menciona ex- pl´ıcitamente, tal como ocurre con el dominio de una funci´on proposicional. Los conjuntos los denotamos por letras may´usculas: A, B, C, . . . y los elementos por letras min´usculas a, b, c, . . . . “a es un elemento del conjunto A”(o “a es un miembro de A” o “a est´a en A” o “a pertenece a A”) se denota: a ∈ A. Si un conjunto no tiene muchos elementos se pueden escribir todos ellos. Por ejemplo si A es el conjunto con los elementos 1, 2, 3, 4 se indica como: A = {1, 2, 3, 4}. 1
  • 2. Otra forma de especificar los elementos de un conjunto es dando una regla. Por ejemplo: A = {a : a es un entero y 1 ≤ a ≤ 4} o A = {x : (x − 2)(x − 1)(x − 4)(x − 3) = 0} representan el mismo conjunto. La notaci´on {a : p(a)} se lee: “El conjunto de todos los a tales que p(a) es verdadero”. Tambi´en se escribe {a / p(a)}. Note que el orden en el cual se escriben los elementos de un conjunto no es importante. Definici´on 1 Un conjunto A es igual a un conjunto B, denotado A = B, si y s´olo si cada elemento de A es un elemento de B y cada elemento de B es un elemento de A. En simbolos: (A = B) ←→ [(∀ x , x ∈ A −→ x ∈ B) ∧ (∀ x , x ∈ B −→ x ∈ A)] o (A = B) ←→ (∀ x , x ∈ A ←→ x ∈ B). Ejemplo {1, 2, 3} = {2, 3, 1} = {x : 1 ≤ x ≤ 3 y x es un entero }. 2
  • 3. Los siguientes conjuntos son usualmente empleados en matem´atica: N = {x : x es un n´umero entero x ≥ 1} = {1, 2, 3, 4, . . .} (Conjunto de los n´umeros naturales) Z = {x : x es un entero } = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} (Conjunto de los n´umeros enteros) Q = { x y : x, y ∈ Z, y = 0} = {. . . , − 4 3 , − 3 2 , − 2 1 , − 1 1 , 0 2 , 1 3 , . . .} (Conjunto de los n´umeros racionales) R = {x : x es n´umero real }. Definici´on 2 Sean A, B conjuntos. Se dice que A es un subconjunto de B si y s´olo si cada elemento de A es un elemento de B. Se denota por: A ⊆ B ´o B ⊇ A. En simbolos: A ⊆ B ←→ (∀ x , x ∈ A −→ x ∈ B). Si A no es subconjunto de B, se escribe A B. Note que A ⊆ A. Si A ⊆ B pero A = B se dice que A es un subconjunto propio de B, y se escribe A ⊂ B ´o B ⊃ A. Si A no es un subconjunto propio de B, se escribe: A /⊂ B. 3
  • 4. Es posible tener un conjunto sin elementos. Por ejemplo, el conjunto de todos los estudiantes que miden 6 metros. Tal conjunto se llama conjunto vac´ıo y se denota ∅. En simbolos: ∅ = {x : p(x) ∧ ¬p(x)} donde p(x) es cualquier funci´on proposicional. Definici´on 3 Sean A, B conjuntos. La uni´on de A y B (denotada A ∪ B) es el conjunto de todos los elementos que est´an en A o en B. En simbolos: A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}. La intersecci´on de A y B (denotada A ∩ B) es el conjunto de todos los elementos que est´an en A y en B. En simbolos: A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}. Si A ∩ B = ∅, se dice que A y B son disjuntos. El complemento relativo de A en B (o complemento de A con respecto a B), denotado por B − A (o B A) es el conjunto de todos los elementos en B que no est´an en A. En simbolos: B A = {x : x ∈ B ∧ x /∈ A}. Si B es U, el conjunto universal, entonces U A = {x : x ∈ U ∧ x /∈ A} = {x : x /∈ A} es llamado el complemento de A y se denota Ac (o CU A). Es ´util representar la definici´on anterior en t´erminos de Diagramas de Venn: A B 4
  • 5. A ∩ B A B A ∪ B A B A B An´alogamente se puede representar, por ejemplo, A ∩ (B ∪ C): ! # B ! # C ! # A Note que un diagrama de Venn con dos conjuntos consiste de 4 regiones, mientras que un diagrama con tres conjuntos consiste de 8 regiones (2×2×2 = 8). As´ı, un diagrama con 6 conjuntos requiere de 26 = 64 regiones. Esto hace que los diagramas de Venn sean de uso limitado. Definici´on 4 Sea A un conjunto. El conjunto de todos los subconjuntos de A, denotado por P(A) (o 2A ) se llama conjunto potencia de A (o partes de A ). En simbolos: P(A) = {B : B ⊆ A}. Ejemplo: Sea U = N = {x : x es un entero, x ≥ 1} = {1, 2, 3, 4, . . .}. Sean A = {x : x es par } , B = {x : x = 2k − 1 para alg´un k ∈ N}, C = {y : y ≤ 4} , D = {1, 3}. Entonces A ∪ B = U ; A ∩ B = ∅ ; Ac = B ; A B = A ; 5
  • 6. Bc = A ; B A = B ; C ∩ D = D ; C D ; D C = ∅ ; D ⊆ C ; D ⊂ C ; Dc ⊇ A ; P(D) = {∅, {1}, {3}, {1, 3}} ; 1 D ; 1 ∈ D ; A ∪ C = A ∪ D ; ∅ ∈ P(D) ; {1} ∈ P(D) ; 1 /∈ P(D). En lo que sigue veremos algunos teoremas con respecto a propiedades de conjuntos. Teorema 5 Sean A y B conjuntos, tales que A ∩ B = A. Entonces A ⊆ B. Demostraci´on. Sean A y B conjuntos, tales que A ∩ B = A. Sea a ∈ A. Entonces ... “Algo usando la hip´otesis A ∩ B = A” ... As´ı, a ∈ B. Por lo tanto A ⊆ B. Comentarios Se comenz´o la demostraci´on “copiando el enunciado”. Esto es positivo pero, en general, las demostraciones en matem´atica y especialmente en textos avanzados, omiten esto y asumen que el lector lo infiere del contexto. ¿Cu´an detallada debe ser una demostraci´on? No hay una respuesta a ello, pero por regla general se debe incluir suficiente informaci´on como para que una persona de un nivel menor a lo que se lee, sea capaz de entender la demostraci´on. Cuando se comienza a hacer demostraciones en matem´atica una buena idea es escribirla con el suficiente detalle de manera que al volver a leerla, a 6
  • 7. la semana siguiente, seamos capaces de entenderla. De lo contrario, debemos incluir mayores detalles. Note que la demostraci´on comienza: “Sea a ∈ A”. Este es otro ejemplo del uso de una variable “fija pero arbitraria”. Se asume que a es un elemento de A pero nada m´as. Observemos que en “Sea a ∈ A”estamos en realidad incluyendo dos casos, uno de los cuales no hemos mencionado. Cuando se dice “Sea a ∈ A”, estamos asumiendo que A = ∅. ¿Qu´e sucede si A = ∅? La raz´on de lo anterior es que si A = ∅ la demostraci´on es trivial. En efecto, ∅ es subconjunto de cualquier conjunto, en particular de B. As´ı, cada vez que escribamos algo de la forma : “Sea a ∈ A” debemos estar siempre seguros que el caso A = ∅ no causa problemas. Ejercicio: Complete la demostraci´on anterior. Teorema 6 Sean A y B conjuntos. Entonces A − B = A ∩ Bc . Demostraci´on. Sean A y B conjuntos. Primero se prueba que A − B ⊆ A ∩ Bc . Sea x ∈ A − B. Entonces x ∈ A y x /∈ B (definici´on de A − B). Pero x /∈ B implica que x ∈ Bc . Por lo tanto x ∈ A y x ∈ Bc . Luego x ∈ A ∩ Bc . Esto prueba que A − B ⊆ A ∩ Bc . Supongamos ahora que x ∈ A ∩ Bc . Esto significa que x ∈ A y x ∈ Bc (por definici´on de intersecci´on). Pero x ∈ Bc significa que x /∈ B. Por lo tanto x ∈ A y x /∈ B, esto es, x ∈ A − B. As´ı A ∩ Bc ⊆ A − B. Ya que se ha probado que A − B ⊆ A ∩ Bc y A ∩ Bc ⊆ A − B, se tiene demostrado que A − B = A ∩ Bc . 7
  • 8. Teorema 7 Si A, B, C son conjuntos con A ⊆ B y B ⊆ C entonces A ⊆ C. Demostraci´on. Sean A, B, C conjuntos con A ⊆ B y B ⊆ C. Sea a ∈ A. Ya que A ⊆ B se tiene a ∈ B. Adem´as, ya que B ⊆ C y a ∈ B se tiene que a ∈ C. Por lo tanto A ⊆ C. Teorema 8 Sean A, B conjuntos. Entonces A ⊆ B ←→ A ∩ B = A. Demostraci´on. Sean A, B conjuntos. Primero, mostraremos que A ⊆ B implica A ∩ B = A. Supongamos que A ⊆ B. Sea z ∈ A∩B. Entonces z ∈ A y z ∈ B. Luego z ∈ A y, por lo tanto, A ∩ B ⊆ A. Ahora, sea z ∈ A. Ya que A ⊆ B, z ∈ B. Por lo tanto z ∈ A y z ∈ B, lo que significa z ∈ A ∩ B. As´ı, hemos probado que A ⊆ A ∩ B. Esto, junto a A ∩ B ⊆ A, implica que A = A ∩ B. Ahora, para demostrar que A ∩ B = A implica A ⊆ B, supongamos que A ∩ B = A. Sea a ∈ A. Entonces, ya que A = A ∩ B, a ∈ A ∩ B. Luego, a ∈ B. Esto implica que A ⊆ B. Teorema 9 Sean A, B conjuntos. Entonces A ∩ (B − A) = ∅. Demostraci´on. Sean A, B conjuntos. Como ∅ es un subconjunto de cualquier conjunto se tiene ∅ ⊆ A∩(B−A). De esta manera, s´olo debemos mostrar que A ∩ (B − A) ⊆ ∅. Haremos esto indirectamente, esto significa que asumire- mos que existe un elemento en A ∩ (B − A) que no es un elemento de ∅ y obtendremos una contradicci´on. Note que como ∅ no tiene elementos, lo ´unico que se puede hacer es asumir un elemento en A ∩ (B − A) y llegar a una contradicci´on. 8
  • 9. Suponga que existe y ∈ A ∩ (B − A). Entonces y ∈ A y y ∈ B − A. Pero y ∈ B − A implica que y ∈ B y y /∈ A. As´ı, se tiene que y ∈ A y y /∈ A, una contradicci´on. Esto completa la prueba. 0.2 Conjuntos de validez de funciones proposi- cionales Como una aplicaci´on de la teor´ıa de conjuntos desarrollada, consideremos la siguiente definici´on. Definici´on 10 Sea p una funci´on proposicional con dominio D. El conjunto de validez de p es: P := {x ∈ D : p(x) es verdadero }. Ejemplos a) Sea D = {1, 2, 3, 4, 6}, p(x) : “ x es par”y q(x) : “ x es un primo”. Entonces se tiene: P = {2, 4, 6} Q = {2, 3}. b) Sea D = R, p(x) : “x2 − 3x + 2 = 0”y q(x) : “ sin2 (x) + cos2 (x) = 1”. Entonces P = {1, 2} Q = R (Verificaci´on: Ejercicio). En ´algebra se denominan tambi´en a los conjuntos anteriores: Conjuntos soluci´on. 9
  • 10. Se pueden usar las operaciones entre conjuntos para expresar los conjuntos de validez de funciones proposicionales compuestas. As´ı, por ejemplo, si P, Q corresponden a los conjuntos de validez de funciones proposicionales p, q respectivamente, entonces P ∩ Q = {x : p(x) ∧ q(x)}, es el conjunto de validez para p(x) ∧ q(x). P ∪ Q = {x : p(x) ∨ q(x)}, es el conjunto de validez para p(x) ∨ q(x). Pc = {x : ¬p(x)}, es el conjunto de validez de ¬p(x). ¿Qu´e ocurre con p(x) −→ q(x)? Recordemos que (p −→ q) ⇐⇒ (¬p ∨ q) entonces se ve que Pc ∪ Q = {x : ¬p(x) ∨ q(x)} es el conjunto de validez de p(x) −→ q(x). Ejemplos a) Sea D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; p(x) : “x es par”, q(x) : “x es impar”, r(x) : “x es 2 ´o 3”. Entonces : i) El conjunto de validez de p(x) ∨ q(x) es: P ∪ Q = D. 10
  • 11. ii) El conjunto de validez de p(x) ∧ q(x) es: P ∩ Q = ∅. iii) El conjunto de validez de p(x) −→ q(x) es: Pc ∪ Q = {1, 3, 5}. iv) El conjunto de validez de ¬r(x) es: Rc = {1, 4, 5, 6}. b) Sea D = R y p(x) : “x2 − 3x + 2 0”. Entonces sabemos que, algebraicamente, p(x) es equivalente a: (x − 2)(x − 1) 0. Sean : p1(x) : “x − 2 0” p2(x) : “x − 1 0” p3(x) : “x − 2 0” p4(x) : “x − 1 0” Entonces p(x) es equivalente a: [p1(x) y p2(x)] o [p3(x) y p4(x)]. Observemos ahora que (en notaci´on de intervalos): P1 = (2, ∞) P2 = (1, ∞) P3 = (−∞, 2) P4 = (−∞, 1). Entonces, el conjunto de validez para p(x) es: (P1 ∩ P2) ∪ (P3 ∩ P4), 11
  • 12. esto es : [(2, ∞) ∩ 1, ∞)] ∪ [(−∞, 2) ∩ (−∞, 1)] = (2, ∞) ∪ (−∞, 1) = R − [1, 2]. (Verificaci´on: Ejercicio). 0.3 Relaciones Sabemos que un conjunto est´a determinado por sus elementos; esto es, {a, b} = {b, a} y que el orden en el cual los elementos aparecen no hace diferencia. En ocasiones, deseamos distinguir cuando los mismos elementos est´an puestos en orden diferente. Para hacer esto introducimos el concepto de par ordenado. Es posible realizar lo anterior en t´erminos de conjuntos (ver lista de ejer- cicios), sin embargo esta definici´on no es muy ´util, de manera que conside- raremos un par ordenado como un t´ermino indefinido. La notaci´on ser´a est´andar: (a, b) donde a es el primer elemento y b es el segundo elemento. La propiedad en la cual estamos realmente interesados es: Definici´on 11 Sean (a, b), (c, d) pares ordenados. Entonces (a, b) = (c, d) si y s´olo si a = c y b = d. Note que la definici´on anterior distingue orden: (a, b) = (b, a) a menos que a = b. Con el concepto de par ordenado, se puede definir una nueva operaci´on entre conjuntos: El producto cartesiano de dos conjuntos: 12
  • 13. Definici´on 12 Sean A, B conjuntos. El producto cartesiano de A con B, denotado A × B; es el conjunto de todos los pares ordenados con primer elemento en A y segundo elemento en B. En simbolos: A × B = {(a, b) : a ∈ A y b ∈ B}. Ejemplo: Si A = {1, 2, 3}, B = {a, b}, C = ∅ entonces: A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)} B × A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)} A × C = ∅ B × C = ∅. Se puede graficar A × B en un arreglo rectangular: b (1, b) (2, b) (3, b) B a (1, a) (2, a) (3, a) 1 2 3 A Observe en este ejemplo que A×B = B ×A y que A×C = B ×C no implica que A = B. Definici´on 13 Sean A, B conjuntos. Una relaci´on de A a B es un sub- conjunto de A × B. Si R es una relaci´on de A a B entonces un elemento (a, b) ∈ R ser´a denotado como: aRb. El dominio de R (denotado Dom(R)) es el conjunto de todos los primeros elementos de R; en simbolos Dom(R) = {a : (a, b) ∈ R} = {a : aRb}. 13
  • 14. La imagen de R (denotado por Im(R)) es el conjunto de todos los segundos elementos de R; en simbolos Im(R) = {b : (a, b) ∈ R} = {b : aRb}. Observe que Dom(R) ⊆ A y Im(R) ⊆ B. Si A = B se dice que R es una relaci´on en A. Ejemplo: Sea A = {1, 2, 3} y R la relaci´on “menor que”en A; esto es: aRb si y s´olo si a b. Se puede ilustrar lo anterior con un diagrama: 3 (1, 3) (2, 3) (3, 3) A 2 (1, 2) (2, 2) (3, 2) 1 (1, 1) (2, 1) (3, 1) 1 2 3 A donde cada elemento de este arreglo es un elemento de A × A y, (1, 3), (2, 3) y (1, 2) son los pares ordenados de la relaci´on R. En este ejemplo: Dom(R) = {1, 2}, Im(R) = {2, 3}. Antes de seguir adelante con la teor´ıa, veremos una serie de ejemplos para fijar ideas. a) Sea A el conjunto de todas las personas (vivas) del mundo. Para x, y ∈ A definimos: xRy si y s´olo si y es el padre de x. Entonces R es una relaci´on en A. Los pares ordenados son de la forma: (x, padre de x) y Dom(R) = {x : uno de los padres de x esta vivo }. Ejercicio: Encuentre Im(R). 14
  • 15. b) Sea A = R. Para x, y ∈ R definimos xRy si y s´olo si y = x2 . Entonces R es una relaci´on en R y los pares ordenados son de la forma (x, x2 ). Note que lo anterior corresponde a nuestra familiar par´abola. Dom(R) = R, Im(R) = {x : x ≥ 0}. En general todas las funciones que conocemos son relaciones. c) Sea A cualquier conjunto. Para x, y ∈ A se define xRy si y s´olo si x = y. Entonces R es una relaci´on en A. Los pares ordenados son de la forma (x, x), Dom(R) = A y Im(R) = A. d) Sea A cualquier conjunto. Si B, C son subconjuntos de A se define: BRC si y s´olo si B ⊆ C. Entonces R es una relaci´on en P(A) y Dom(R) = Im(R) = P(A). En particular, si A = {1, 2}, entonces R = {(∅, ∅), (∅, {1}), (∅, {2}), (∅, A), ({1}, {1}), ({1}, A), ({2}, {2}), ({2}, A), (A, A)} e) Sea A el conjunto de todos los chilenos y sea B el conjunto de enteros positivos menor que 100.000.000. Para x ∈ A y y ∈ B definimos xRy si y s´olo si y es el n´umero de carn´e de x. Entonces R es una relaci´on de A en B. Los pares ordenados son de la forma: ( persona , n´umero de carn´e de la persona ), Dom(R) = {x : x es una persona que tiene un n´umero de carn´e} y Im(R) = {x : x es alg´un n´umero de carn´e }. 15
  • 16. f) Sea A = {1, 2, 3}, B = {1, 2}. Entonces R = {(3, 1), (3, 2)}, S = ∅, T = A × B son todas relaciones de A en B. Dom(R) = {3} , Im(R) = {1, 2} Dom(S) = ∅ , Im(S) = ∅ Dom(T ) = A , Im(T ) = B. Note que las relaciones no necesariamente “tienen sentido”, o poseen una particular regla de formaci´on. g) Sean A, B conjuntos de proposiciones y para p ∈ A, q ∈ B se define: pRq si y s´olo si p −→ q es una tautolog´ıa. Entonces R es una relaci´on de A en B y un par ordenado (p, q) ∈ R si y s´olo si q es una consecuencia l´ogica de p. Ejercicio: Encuentre Im(R). h) Sea A el conjunto de todos los tri´angulos en el plano. Si s, t ∈ A diremos que sRt si y s´olo si s es similar (semejante) a t. Entonces R es una relaci´on en A y Dom(R) = Im(R) = A (Verificaci´on: Ejercicio). i) Para x, y ∈ R se define xRy si y s´olo si x ≤ y. Entonces R es una relaci´on en R con Dom(R) = Im(R) = R. j) Para x, y ∈ Z se define xRy si y s´olo si x divide a y (lo cual se denota: x|y) y se define como: x|y ←→ ∃z ∈ Z y = xz. As´ı: 3|6, 2|8, −3|6, 3|−9, 2|0 y 2 no divide a 9, que se escribe 2 /| 9. Entonces R es una relaci´on en Z, con Dom(R) = Im(R) = Z (ya que cada entero se di- vide a si mismo). Elementos t´ıpicos de R son: (1, 3), (7, 21), (1001, 1001), (−1, 3). 16
  • 17. k) Para x, y ∈ N se define xRy si y s´olo si 5|(x − y). Entonces R es una relaci´on en N con Dom(R) = Im(R) = N (Verificaci´on: Ejercicio). Existen ciertas propiedades que una relaci´on puede o no poseer; algunas de las m´as importantes son las siguientes: Definici´on 14 Sea R una relaci´on en el conjunto A. Diremos que: a) R es reflexiva si y s´olo si ∀ a ∈ A, aRa. b) R es sim´etrica si y s´olo si ∀ a, b ∈ A, aRb −→ bRa. c) R es transitiva si y s´olo si ∀ a, b, c ∈ A, (aRb ∧ bRc) −→ aRc. d) R es antisim´etrica si y s´olo si ∀ a, b ∈ A, (aRb ∧ bRa) −→ a = b. e) R es irreflexiva si y s´olo si ∀ a ∈ A, ¬(aRa) (´o a /R a). f) R es completa si y s´olo si ∀ a, b ∈ A, a = b −→ (aRb ∨ bRa). g) R es asim´etrica si y s´olo si ∀ a, b ∈ A, aRb −→ ¬(bRa). h) R es una relaci´on de equivalencia si y s´olo si R es reflexiva, sim´etrica y transitiva. i) R es un orden parcial si y s´olo si R es reflexiva, transitiva y anti- sim´etrica. j) R es un orden parcial estricto si y s´olo si R es irreflexiva y transitiva. k) R es un orden total si y s´olo si R es un orden parcial y completa. l) R es un orden total estricto si y s´olo si es un orden parcial estricto y completa. Ejemplo: Sea A = {1, 2, 3, 4} y R = {(1, 2), (2, 3)} S = {(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1), (3, 4)} T = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}. Entonces: R no es reflexiva, no es sim´etrica, no es transitiva, es antisim´etrica, es irreflexiva, no es completa, es asim´etrica. 17
  • 18. S no es reflexiva, no es sim´etrica, es transitiva, no es antisim´etrica, no es irreflexiva, no es completa, no es asim´etrica. T es reflexiva, es sim´etrica, es transitiva, es antisim´etrica, no es irreflexiva, no es completa, no es asim´etrica. Se puede tambi´en tener una idea gr´afica de las propiedades anteriores. Por ejemplo, si A = {1, 2, 3, 4}, entonces para que R sea reflexiva, debe contener al menos la diagonal principal. 4 (1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) 3 (1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) 2 (1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) 1 (1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) 1 2 3 4 A Si R es sim´etrica, entonces su gr´afico debe ser sim´etrico con respecto a la diagonal principal: As´ı, si (2, 3) y (4, 2) son elementos de R entonces (3, 2) y (2, 4) deben tambi´en estar en R. 4 (1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) 3 (1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) 2 (1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) 1 (1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) 1 2 3 4 A Algunos de los ejemplos dados (a)-k)) tambi´en satisfacen algunas propiedades de la definici´on 16. Por ejemplo: = : es una relaci´on de equivalencia. 18
  • 19. ≤ y ⊆ : son ordenes parciales. y ⊂ : son ordenes parciales estrictos. ≤ : es un orden total. : es un orden total estricto. En general, podemos pensar en relaci´on de equivalencia como una idea abstracta de igualdad y en orden parcial como una idea abstracta del concepto de orden en los n´umeros reales. Definici´on 15 Sea R una relaci´on de A en B. La relaci´on inversa, denotada R−1 , es la relaci´on de B en A dada por: xR−1 y si y s´olo si yRx. En simbolos: R−1 = {(x, y) : (y, x) ∈ R}. Se observa que Dom(R−1 ) = Im(R) y Im(R−1 ) = Dom(R). Por ejemplo, si R es la relaci´on “padre”del ejemplo a), entonces R−1 es la relaci´on “hijo”: xR−1 y si y s´olo si y es un hijo de x. Otro ejemplo es el siguiente: Si R es la relaci´on en N dada por xRy si y s´olo si x y, entonces xR−1 y si y s´olo si y x. Definici´on 16 Sea R una relaci´on de A en B y sea S una relaci´on de B en C. Entonces R compuesta con S, denotada S ◦ R, es la relaci´on de A en C dada por S ◦ R = {(x, z) : ∃ y ∈ B [(x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ S]}. La raz´on de revertir el orden de S y R en la notaci´on anterior tendr´a sentido al trabajar con funciones posteriormente. Observe que, en efecto, S ◦ R es una relaci´on de A en C pues si (x, y) ∈ R entonces x ∈ A y, si (y, z) ∈ S entonces z ∈ C. Luego S ◦ R ⊆ A × C. 19
  • 20. Como un ejemplo de compuestas de relaciones, sean A = {1, 2, 3, 4} , B = {a, b, c} , C = {4, 5, 6} y R = {(1, a), (1, b), (3, a)} , S = {(a, 5), (b, 4), (a, 6), (c, 6)}. Entonces nos preguntamos: ¿Qu´e segundas coordenadas de elementos de R coinciden con primeras coordenadas de elementos de S? Esto producir´a los elementos de S ◦ R. Por ejemplo, (1, a) ∈ R y (a, 5) ∈ S nos da (1, 5) ∈ S ◦ R. Continuando, obtenemos: (1, 4) ∈ S ◦ R pues (1, b) ∈ R y (b, 4) ∈ S (3, 5) ∈ S ◦ R pues (3, a) ∈ R y (a, 5) ∈ S (1, 6) ∈ S ◦ R pues (1, a) ∈ R y (a, 6) ∈ S (3, 6) ∈ S ◦ R pues (3, a) ∈ R y (a, 6) ∈ S As´ı, S ◦ R = {(1, 5), (1, 4), (3, 5), (1, 6), (3, 6)}. Definici´on 17 Sea A un conjunto. La relaci´on identidad en A, denotada por IA, es definida por IA = {(x, x) : x ∈ A}. As´ı aIAb si y s´olo si a = b. Ejemplo Sea A = {1, 2, 3} y R la relaci´on en A dada por R = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)}. Entonces a) R−1 = {(2, 1), (3, 1), (3, 2)}. b) IA = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}. c) R−1 ◦ R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 1)}. 20
  • 21. d) R ◦ R−1 = {(2, 2), (2, 3), (3, 3), (3, 2)}. e) R ◦ R = {(1, 3)}. f) R−1 ◦ R−1 = {(3, 1)}. g) R ◦ IA = IA ◦ R = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)}. h) R−1 ◦ IA = IA ◦ R−1 = {(2, 1), (3, 1), (3, 2)}. Una conclusi´on adicional que podemos obtener de este ejemplo es: R ◦ R−1 = R−1 ◦ R, luego la composici´on no es conmutativa. Ejemplo: Sea A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6}, C = {2, 3, 4} con R = {(1, 4), (1, 5), (2, 6), (3, 4)} una relaci´on de A en B, y S = {(4, 2), (4, 3), (6, 2)} una relaci´on de B en C. Lo anterior se puede mostrar con un diagrama: % '$ % '$ % '$ Algunos c´alculos muestran que: a) S ◦ R = {(1, 2), (1, 3), (3, 2), (3, 3), (2, 2)}. b) R−1 = {(4, 1), (5, 1), (6, 2), (4, 3)}. c) S−1 = {(2, 4), (3, 4), (2, 6)}. d) R−1 ◦ S−1 = {(2, 1), (3, 1), (2, 3), (2, 2), (3, 3)}. e) (S ◦ R)−1 = {(2, 1), (3, 1), (2, 3), (3, 3), (2, 2)}. Se observa que R ◦ S y S−1 ◦ R−1 no est´an definidos y que R−1 ◦ S−1 = (S ◦ R)−1 . 21
  • 22. A fin de practicar un poco m´as con demostraciones, veremos que esta ´ultima igualdad es siempre verdadera. Teorema 18 Sean A, B, C conjuntos; R una relaci´on de A en B y S una relaci´on de B en C. Entonces (S ◦ R)−1 = R−1 ◦ S−1 . Demostraci´on. Es de ayuda considerar la siguiente figura para tener en mente los diferentes tipos de relaciones involucradas: % '$ A % '$ B % '$ C Primero, observamos que (S ◦ R)−1 es una relaci´on de C en A, de la misma forma que lo es R−1 ◦ S−1 . As´ı, al menos hay una chance que sean iguales. Recordando que las relaciones son conjuntos, para demostrar que son iguales debemos probar que los conjuntos son iguales. Sea (x, z) ∈ (S ◦ R)−1 . Entonces (z, x) ∈ S ◦ R. Luego, existe y ∈ B tal que (z, y) ∈ R y (y, x) ∈ S. Concluimos que (y, z) ∈ R−1 y (x, y) ∈ S−1 . Por lo tanto (x, z) ∈ R−1 ◦ S−1 . Esto prueba que (S ◦ R)−1 ⊆ R−1 ◦ S−1 . Para probar la inclusi´on opuesta, sea (x, z) ∈ R−1 ◦ S−1 . Entonces existe y ∈ B tal que (x, y) ∈ S−1 y (y, z) ∈ R−1 . Luego (y, x) ∈ S y (z, y) ∈ R. Por lo tanto (z, x) ∈ S ◦ R, de donde (x, z) ∈ (S ◦ R)−1 como quer´ıamos. Ejemplo: Sea A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6}, C = {6, 7, 8} y D = {1, 4, 6}. 22
  • 23. Definimos las siguientes relaciones R = {(1, 4), (3, 5), (3, 6)} relaci´on de A en B S = {(4, 6), (6, 8))} relaci´on de B en C T = {(6, 1), (8, 6), (6, 4)} relaci´on de C en D. Estas relaciones se ilustran en la siguiente figura: % '$ % '$ % '$ % '$ Entonces podemos formar S ◦ R = {(1, 6), (3, 8)} una relaci´on de A en C y T ◦ S = {(4, 1), (4, 4), (6, 6)} una relaci´on de B en D. Ahora, las relaciones anteriores se pueden componer con T y R para obtener T ◦ (S ◦ R) = {(1, 1), (1, 4), (3, 6} una relaci´on de A en D y (T ◦ S) ◦ R = {(1, 1), (1, 4), (3, 6)} una relaci´on de A en D. Observemos que son iguales. Esto no es excepcional a este ejemplo. La propiedad se denomina: Composici´on de relaciones es asociativa. El resulta- do es como sigue: Teorema 19 Sean A, B, C, D conjuntos y R una relaci´on de A en B, S una relaci´on de B en C y T una relaci´on de C en D. Entonces T ◦ (S ◦ R) = (T ◦ S) ◦ R. 23
  • 24. Se deja la demostraci´on del resultado anterior como un ejercicio, as´ı como la del siguiente: Teorema 20 Sea R una relaci´on en A. Entonces R es transitiva si y s´olo si R ◦ R ⊆ R. 0.4 Particiones y relaciones de equivalencia Veamos con un poco m´as de detalle la relaci´on de equivalencia del ejemplo siguiente: R es una relaci´on en N dada por: xRy si y s´olo si 5|(x − y) (←→ ∃ k ∈ Z , 5k = x − y). Si definimos Si = {x : xRi} , i ∈ N, se tiene S1 = {x : xR1} = {1, 6, 11, 16, . . .} S2 = {x : xR2} = {2, 7, 12, 17, . . .} S3 = {x : xR3} = {3, 8, 13, 18, . . .} S4 = {x : xR4} = {4, 9, 14, 19, . . .} S5 = {x : xR5} = {5, 10, 15, 20, . . .} S6 = {x : xR6} = {1, 6, 11, 16, . . .} = S1 S7 = S2 , S8 = S3 , etc. Gr´aficamente N 24
  • 25. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ... ... ... ... ... S1 S2 S3 S4 S5 Hay varias cosas interesantes de observar. En una primera impresi´on, se podr´ıa haber supuesto que los conjuntos Si eran infinitos, pero s´olo hay 5 de ellos. Tambi´en, la uni´on de estos conjuntos es N; esto es, dado cualquier ele- mento y ∈ N, y es un elemento de estos cinco conjuntos. M´as precisamente, hay exactamente uno de estos conjuntos que tiene “y”como un elemento. Lo anterior significa tambi´en que, dados dos conjuntos Si entonces ya sea son iguales o disjuntos. Veremos que cada relaci´on de equivalencia genera conjuntos con las propie - dades anteriores. Para ello necesitaremos previamente de algunas defini- ciones. Definici´on 21 Sea A un conjunto no vac´ıo. Una partici´on Π de A es una colecci´on de subconjuntos no vac´ıos de A tales que cada elemento de A es un elemento de exactamente uno de estos conjuntos. Observe que si Π es una partici´on de A, entonces los elementos de Π son subconjuntos de A, que denominaremos bloques de Π. Se nota que si B y C son bloques de Π, entonces B = C ´o B ∩ C = ∅. Tambi´en, la uni´on de todos los elementos de Π es A. Podemos pensar de una partici´on de un conjunto como en un “corte”del conjunto en pedazos disjuntos. Ejemplos 25
  • 26. a) Sea A un conjunto no vac´ıo. Entonces Π1 = {{x} : x ∈ A} y Π2 = {A} son particiones de A. En cierto sentido, Π1 es la partici´on “m´as fina”de A mientras que Π2 es la partici´on “menos fina”. b) Sea A = {1, 2, 3, 4}. Entonces Π1 = {{1}, {2, 3}, {4}} y Π2 = {{1, 4}, {2, 3}} son particiones de A. c) Con respecto a los conjuntos Si de la introducci´on, se observa que {S1, S2, S3, S4, S5} es una partici´on de N. Hay una interrelaci´on muy estrecha entre particiones y relaciones de equivalencia. En efecto, dada una relaci´on de equivalencia en un conjun- to se puede generar una partici´on (Ejemplo de N anteriormente) y dada una partici´on se puede generar una relaci´on de equivalencia. Para analizar lo anterior en detalle, requerimos la siguiente definici´on. Definici´on 22 Sea R una relaci´on de equivalencia en un conjunto no vac´ıo A. Sea x ∈ A. La clase de equivalencia de x m´odulo R, denotada [x]R (´o x|R), es el conjunto de todos los elementos de A que est´an R-relacionados a x. En simbolos: [x]R = {y ∈ A : yRx}. El conjunto de todas las clases de equivalencia se denota [A]R (´o A|R) y se llama A m´odulo R. En simbolos [A]R = {[x]R : x ∈ A}. Con respecto al ejemplo de la introducci´on, tenemos: [2]R = S2 = {2, 7, 12, 17, . . .} [4]R = [9]R = [14]R [N]R = {[1]R, [2]R, [3]R, [4]R, [5]R} = {[6]R, [12]R, [18]R, [9]R, [25]R} 26
  • 27. Como otros ejemplos, sea A un conjunto no vac´ıo y R la relaci´on de igualdad: xRy si y s´olo si x = y. Sea S = A×A (tambi´en una relaci´on de equivalencia). Entonces, para cada x ∈ A: [x]R = {x} y [x]S = A [A]R = {{x} : x ∈ A} y [A]S = {A}. Algunas propiedades generales de las clases de equivalencia se presentan en el siguiente resultado. Teorema 23 Sea R una relaci´on de equivalencia en el conjunto no vac´ıo A. Entonces a) ∀ x ∈ A, [x]R = ∅. b) ∀ x, y ∈ A , [x]R ∩ [y]R = ∅ si y s´olo si xRy. c) ∀ x, y ∈ A , [x]R = [y]R si y s´olo si xRy. d) ∀ x, y ∈ A , [x]R = [y]R si y s´olo si [x]R ∩ [y]R = ∅. Demostraci´on. a) Ya que R es reflexivo, xRx ∀ x ∈ A. Luego, x ∈ [x]R y, por lo tanto ∀ x ∈ A, [x]R = ∅. b) Suponga que x, y son elementos de A y que [x]R ∩ [y]R = ∅. Sea z ∈ [x]R ∩ [y]R. Entonces xRz y yRz. Ya que R es sim´etrica, zRy. Adem´as R es transitiva por lo que xRy como deseabamos. Supongamos que xRy. Entonces y ∈ [x]R. Pero y ∈ [y]R tambi´en. Luego, [x]R ∩ [y]R = ∅. c) Si [x]R = [y]R entonces y ∈ [x]R, luego xRy. Supongamos ahora que xRy y sea z ∈ [x]R. Entonces xRz. Por la simetr´ıa de R se tiene yRx. Luego, por transitividad, yRz. Luego z ∈ [y]R. Esto prueba que [x]R ⊆ [y]R. 27
  • 28. Se deja como ejercicio probar que [y]R ⊆ [x]R. Finalmente, observe que d) se obtiene directamente de b) y c). Teorema 24 Sea A un conjunto no vac´ıo y R una relaci´on de equivalencia en A. Entonces [A]R es una partici´on de A. Demostraci´on. Ejercicio. Hemos visto que una relaci´on de equivalencia induce una partici´on del conjunto. Este proceso tambi´en trabaja en reversa, esto es, una partici´on de un conjunto induce una relaci´on de equivalencia en el conjunto. Antes de probar lo anterior, daremos un nombre a dicha relaci´on. Definici´on 25 Sea Π una partici´on de un conjunto A. Se define una relaci´on A|Π (“A m´odulo Π”) en A por: (x, y) ∈ A|Π si y s´olo si existe B ∈ Π tal que {x, y} ⊆ B. En palabras: x est´a relacionado con y si y s´olo si x e y son ambos elementos del mismo bloque de la partici´on. Ejemplo: Sean A = {1, 2, 3, 4} y Π2 = {{1, 4}, {2, 3}}, entonces A|Π2 = {(1, 1), (1, 4), (4, 1), (4, 4), (2, 2), (2, 3), (3, 3), (3, 2)}. Teorema 26 Sea Π una partici´on de un conjunto no vac´io A. Entonces A|Π es una relaci´on de equivalencia en A. Demostraci´on. Sea Π una partici´on de A. Por conveniencia, denotemos R a A|Π. Debemos probar que R es reflexiva, sim´etrica y transitiva. 28
  • 29. R es reflexiva: Sea x ∈ A. Como x es un elemento de alg´un bloque de Π, se tiene xRx. Luego, R es reflexiva. R es sim´etrica: Si xRy, donde x e y est´an en el mismo bloque de Π lo cual implica que yRx. As´ı R es sim´etrica. R es transitiva: Suponga que xRy y yRz. Entonces existen B, C ∈ Π tales que {x, y} ⊆ B y {y, z} ⊆ C. Ahora, y ∈ B ∩ C, luego B ∩ C = ∅. Por lo tanto, B = C. As´ı {x, z} ⊆ B lo que dice que xRz. Concluimos que R es transitiva y luego una relaci´on de equivalencia. 0.5 Funciones Las funciones juegan un papel muy importante en matem´atica. Una precisa definici´on es la siguiente. Definici´on 27 Sea f una relaci´on de A en B. Entonces f es una funci´on de A en B (denotado f : A → B y se lee “f es una funci´on de A en B”) si y s´olo si a) Dom(f) = A b) ∀ x ∈ A, ∀ y, z ∈ B [(x, y) ∈ f ∧ (x, z) ∈ f] → y = z. En palabras, lo anterior dice que si f es una relaci´on de A en B tal que para cada x ∈ A existe exactamente un y ∈ B tal que (x, y) ∈ f, entonces f es una funci´on. La condici´on a) garantiza que para cada x ∈ A existe al menos un tal “y” y la condici´on b) garantiza que hay a lo m´as uno. As´ı, tomados juntos, hay exactamente uno. 29
  • 30. Si f es una funci´on de A en B entonces la “propiedad funcional”de cada x ∈ A relacionado a exactamente un y ∈ B permite el uso de la notaci´on funcional y = f(x). Como ejemplos de relaciones que son funciones y algunas que no lo son, consideremos los siguientes: A = {1, 2, 3, 4} , B = {1, 2, 3, 4, 5} f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)} g = {(1, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 5)} h = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}. Entonces f, g y h son relaciones de A en B, pero s´olo f es una funci´on; g no es funci´on ya que (1, 2) y (1, 3) son elementos de g. Tampoco h es una funci´on ya que Dom(h) = {1, 2, 3} = A. Observemos que f tiene una simple forma y puede ser descrita por una f´ormula: ∀ x ∈ A, f(x) = x + 1. La mayor´ıa de las funciones conocidas en c´alculo son dadas por una f´ormula. Sin embargo esto no es necesario y, en general en matem´atica, las funciones no est´an dadas por f´ormulas. Usaremos las siguientes notaciones y nombres cuando trabajemos con funciones. Sea f : A → B y (x, y) ∈ f entonces escribimos y = f(x). Observe que el nombre de la funci´on es f y que f(x) no es el nombre de la funci´on sino un elemento de B. Si y = f(x) entonces decimos que y es la imagen de x y que x es una preimagen de y. 30
  • 31. Observe que se usa “la”cuando se habla de imagen y se usa “una”cuando se habla de preimagenes ya que un elemento de B puede tener varios elemen- tos de A relacionados. Ya que f es una relaci´on se puede hablar de su dominio e imagen, com- poner f con otras relaciones y analizar su inversa. Note que aunque Dom(f) = A, no necesariamente es Im(f) = B. De esta manera es conveniente tener tambi´en un nombre para B. Usualmente se le denomina codominio de f. Ejemplo: Sean A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {a, b, c, d} y definamos f : A → B por f(1) = b, f(2) = b, f(3) = a, f(4) = d, f(5) = a. Gr´aficamente: % '$ % '$ La imagen de 2 es b. Una preim´agen de a es 5 (otra es 3). c no tiene preim´agenes. El siguiente resultado es ´util para determinar cuando dos funciones son iguales. Teorema 28 Sean f : A → B y g : A → B. Entonces f = g si y s´olo si ∀ x ∈ A, f(x) = g(x). Demostraci´on. Primero, supongamos que f = g y sea z ∈ A. Entonces ∃ y ∈ B (z, y) ∈ f. Ya que f = g, (z, y) ∈ g. Luego y = g(z) y y = f(z). Esto prueba que g(z) = f(z). Ahora supongamos que ∀ x ∈ A, f(x) = g(x). Ya que funciones son relaciones y relaciones son conjuntos de pares ordenados, para mostrar que f = g se debe mostrar que ellos son iguales como conjuntos de pares orde- nados. Con este fin, sea (w, z) ∈ f. Entonces z = f(w) = g(w). Luego 31
  • 32. (w, z) ∈ g y se tiene f ⊆ g. Intercambiando los roles de f y g se puede mostrar que g ⊆ f de lo cual se obtiene que f = g. Existen ciertas propiedades que las funciones pueden o no tener. Si estas propiedades son usadas frecuentemente entonces requieren nombres. Algunos de estos son dados en la siguiente definici´on. Definici´on 29 Sea f : A → B. Entonces: a) Se dice que f es uno a uno (o f es inyectiva) si y s´olo si ∀ w, z ∈ A, f(w) = f(z) implica w = z. b) Se dice que f es sobre (o f es sobreyectiva) si y s´olo si Im(f) = B. c) Se dice que f es biyectiva (o biunivoca) si y s´olo si f es a la vez uno a uno y sobre. Las siguientes figuras ilustran varias posibilidades. % '$ % '$ % '$ % '$ Sobreyectiva pero no 1-1 1-1 pero no sobre % '$ % '$ % '$ % '$ No es sobre y no es 1-1 1-1 y sobre Recordemos que ya que funciones son relaciones, ellas tienen inversas que son relaciones. As´ı, podemos hablar de la inversa de cualquier funci´on, pero no hay raz´on para esperar que esta inversa sea tambi´en una funci´on. En este sentido las funciones biyectivas son importantes, ya que ellas son exactamente aquellas funciones cuyas inversas son tambi´en funciones. 32
  • 33. Teorema 30 Sea f : A → B una funci´on. Entonces f−1 : B → A es una funci´on si y s´olo si f es biyectiva. Demostraci´on. Primero, supongamos que f−1 es una funci´on de B en A. Debemos mostrar que f es 1-1 y sobre. Supongamos que f(x) = f(y) = z. Esto significa que (x, z) ∈ f y (y, z) ∈ f. Entonces f−1 (z) = x y f−1 (z) = y. Pero f−1 es una funci´on, luego x = y. Esto muestra que f es 1-1. Para mostrar que f es sobre, sea y ∈ B. Ya que Dom(f−1 ) = B, existe un x ∈ A tal que f−1 (y) = x. Luego (y, x) ∈ f−1 , lo cual implica que (x, y) ∈ f. As´ı, y ∈ Im(f). Esto prueba que B ⊆ Im(f). Ya que es evidente que Im(f) ⊆ B se tiene mostrado que Im(f) = B. Ahora supongamos que f es 1-1 y sobre. Se debe mostrar que f−1 es una funci´on de B en A; esto es, se debe mostrar que Dom(f−1 ) = B y que si (y, x) ∈ f−1 y (y, z) ∈ f−1 entonces x = z. Primero, sea y ∈ B. Entonces ya que f es sobre, existe un x ∈ A tal que f(x) = y ´o (x, y) ∈ f. As´ı (y, x) ∈ f−1 y luego x ∈ Dom(f−1 ). Esto prueba que B = Dom(f−1 ). Ahora, supongamos que (y, x) ∈ f−1 y (y, z) ∈ f−1 . Entonces f(x) = y y f(z) = y. Pero f es 1-1, luego lo anterior implica que x = z. Luego f−1 es una funci´on. Se observa que el hecho que f es 1-1 implica que f−1 tiene la propiedad de funci´on y que f−1 sobre implica que Dom(f−1 ) = B. As´ı, si f : A → B es tal que f es 1-1 pero no sobre B, entonces f−1 es una funci´on de Im(f) en A pero no es una funci´on de B en A. Se deja como un ejercicio mostrar que la composici´on de funciones es tambi´en una funci´on. Si f : A → B y G : B → C entonces (g ◦ f) : A → C denota la 33
  • 34. composici´on de f y g. Si (g ◦ f)(x) = z, entonces (x, z) ∈ (g ◦ f), lo cual significa que existe y ∈ B tal que (x, y) ∈ f y (y, z) ∈ g. Luego, f(x) = y y g(y) = z. Por lo tanto, z = g(y) = g(f(x)) ´o (g ◦ f)(x) = g(f(x)), que es la notaci´on usual. Ya que funciones son relaciones se pueden componer y, en consecuencia, los resultados para relaciones valen para funciones. As´ı, si f, g son funciones con dominios e imagenes apropiadas, entonces (g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1 aunque (g ◦ f)−1 , f−1 y g−1 pueden no ser funciones. El teorema 32 nos dice que si f, g son biyectivas entonces f−1 y g−1 ser´an funciones. Teorema 31 Sean f : A → B y g : B → C biyectivas.Entonces (g ◦ f) : A → C es biyectiva. Demostraci´on. Debemos probar que (g ◦ f) : A → C es biyectiva. Primero, supongamos que existen x, y ∈ A tales que (g ◦ f)(x) = (g ◦ f)(y). Entonces g(f(x)) = g(f(y)). Como g es 1-1, f(x) = f(y). Ahora, como f es 1-1, x = y. Luego, g ◦ f es 1-1. Segundo, para demostrar que g ◦f es sobre, sea z ∈ C. Ya que g es sobre, existe y ∈ B tal que g(y) = z. Pero f tambi´en es sobre, luego exsite x ∈ A tal que f(x) = y. Por lo tanto, z = g(y) = g(f(x)) = (g ◦ f)(x). As´ı, g ◦ f es sobre. La demostraci´on anterior es t´ıpica para mostrar que una cierta funci´on es biyectiva. Sin embargo hay otras alternativas. 34
  • 35. Sea f : A → B. Una demostraci´on directa para probar que f es 1-1 podr´ıa tomar la siguiente forma: Sean x, y ∈ A con f(x) = f(y). ... “Alguna cosa u otra dependiente de f” ... As´ı x = y y f es 1-1. Una demostraci´on contrapositiva deber´ıa ser de la forma: Sean x, y ∈ A, con x = y. ... “Alguna cosa dependiendo de f” ... As´ı f(x) = f(y) y f es 1-1. Una demostraci´on directa para mostrar que f es sobre, podr´ıa ser: Sea y ∈ B ... “Algo dependiente de f” ... As´ı, existe x ∈ A tal que f(x) = y. Luego f es sobre. En resumen: Para mostrar que f es 1-1 se debe probar que distintos ele- mentos en el dominio tienen distintas im´agenes y para mostrar que f es sobre se debe probar que cada elemento de B tiene una preimagen. Ejemplo: Demostremos que f : R → R dada por f(x) = ax + b, a = 0, es biyectiva. 35
  • 36. Primero una prueba directa que f es 1-1. Sean x, y ∈ R con f(x) = f(y). Entonces ax + b = ay + b, lo cual implica que ax = ay. Ya que a = 0, se tiene x = y y por lo tanto f es 1-1. Una prueba contrapositiva podr´ıa ser: Sean x, y ∈ R con x = y. Entonces ya que a = 0, ax = ay. Luego se tiene ax + b = ay + b y as´ı f(x) = f(y). Para mostrar que f es sobre, sea z ∈ R. Entonces z − b a es tambi´en un elemento de R (ya que a = 0) y f z − b a = a z − b a + b = z − b + b = z. Luego f es sobreyectiva. Observe que la elecci´on de z − b a fu´e el resultado de resolver la ecuaci´on f(x) = ax + b = z para x. Teorema 32 Sean f : A → B y g : B → C biyectivas. Entonces (g ◦ f)−1 : C → A y ∀ x ∈ C, (g ◦ f)−1 (x) = (f−1 ◦ g−1 )(x) = f−1 (g−1 (x)). La demostraci´on queda como ejercicio. Sin embargo note que la mayor parte ya fu´e mostrada previamente. Observemos que la relaci´on identidad en A, IA, es una funci´on de A en A que llamaremos funci´on identidad. Usando una notaci´on funcional: IA(x) = x , ∀ x ∈ A. La raz´on del nombre anterior se aclara en el siguiente resultado. Teorema 33 Sea f : A → B. Entonces a) f ◦ IA = f. b) IB ◦ f = f. c) Si f es biyectiva entonces f−1 ◦ f = IA y f ◦ f−1 = IB (´o ∀ x ∈ A, f−1 (f(x)) = x y ∀ x ∈ B, f(f−1 (x)) = x). 36
  • 37. Demostraci´on. a) y b) son f´aciles de probar, pues si x ∈ A, entonces (f ◦ IA)(x) = f(IA(x)) = f(x) y (IB ◦ f)(x) = IB(f(x)) = f(x). Para mostrar c), observemos primero que como f es biyectiva, f−1 es una funci´on, de modo que f(x) = y si y s´olo si f−1 (y) = x. Ahora, sea x ∈ A y sea y = f(x). Entonces (f−1 ◦ f)(x) = f−1 (f(x)) = f−1 (y) = x = IA(x). An´alogamente, sea x ∈ B y sea f−1 (x) = y. Entonces (f ◦ f−1 )(x) = f(f−1 (x)) = f(y) = x = IB(x). Se puede extender la idea de funci´on en una manera natural desde elemen- tos individuales del dominio a subconjuntos del dominio. Esto es, f : A → B puede ser extendido a f : P(A) → P(B). Definici´on 34 Sea f : A → B. Si C ⊆ A entonces se define f(C) = {f(x) : x ∈ C}. Si D ⊆ B entonces f−1 (D) = {x : f(x) ∈ D}. f(C) se llama la imagen de C y f−1 (D) la preimagen de D. Ejemplo: Sea f : A → B donde A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 3, 5} y f es dada por f(1) = 1, f(2) = 1, f(3) = 5, f(4) = 5. Entonces f({1, 3}) = {1, 5} , f({1, 2}) = {1} , f−1 ({1}) = {1, 2} , f−1 ({4}) = ∅. 37
  • 38. Teorema 35 Sea f : A → B y sean C ⊆ D ⊆ B. Entonces f−1 (C) ⊆ f−1 (D). Demostraci´on. Sea x ∈ f−1 (C). Entonces x ∈ A y f(x) ∈ C. Ya que C ⊆ D, f(x) ∈ D. Pero esto dice que x ∈ f−1 (D). Observemos que nuestras familiares operaciones aritm´eticas (+, −, ·, ÷) son funciones, como tambi´en lo son los conectivos l´ogicos (∨, ∧, −→, ←→) y las operaciones entre conjuntos (∩, ∪, ). Hay un nombre especial para funciones de esta clase. Definici´on 36 Sea A un conjunto. ∗ se llama una operaci´on binaria en A si y s´olo si ∗ : A × A → A es una funci´on. Se observa que una operaci´on binaria en A asocia a cada par de elementos de A otro elemento de A. Debido a esto, en este caso nos apartamos de nuestra notaci´on usual y escribimos a ∗ b = c en vez de ∗ ((a, b)) = c. Por ejemplo, con + : R×R → R (suma de n´umeros reales) se escribe 2+3 = 5 en vez de +((2, 3)) = 5. Hay varias propiedades que una operaci´on binaria puede o no poseer. Definici´on 37 Sea ∗ una operaci´on binaria en un conjunto A. Entonces: a) Se dice que ∗ es conmutativa si y s´olo si ∀ a, b ∈ A, a ∗ b = b ∗ a. b) Se dice que ∗ es asociativa si y s´olo si ∀ a, b, c ∈ A, a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c. 38
  • 39. c) Se dice que e ∈ A es una identidad para ∗ si y s´olo si ∀ a ∈ A, a ∗ e = e ∗ a = a. d) Si e es una identidad para ∗ y x ∈ A se dice que x es invertible si y s´olo si ∃ y ∈ A x ∗ y = y ∗ x = e. El elemento “y” es llamado una inversa de x. e) Se dice que a ∈ A es idempotente para ∗ si y s´olo si a ∗ a = a. Ejemplos: a) + en R es conmutativo, asociativo, tiene 0 como una identidad y cada elemento es invertible (el inverso de x es −x). El ´unico elemento idempotente es 0. b) − en R no es conmutativo, no es asociativo, no tiene elemento identidad y el ´unico elemento idempotente es 0. c) ∪ en P(A), para alg´un conjunto A. Esta operaci´on es conmutativa, asociativa, ∅ es una identidad y cada elemento es idempotente. Algunos resultados sobre operaciones binarias son los siguientes. Teorema 38 Sea ∗ una operaci´on binaria en A. Entonces existe a lo m´as una identidad para ∗. Demostraci´on. Supongamos que e y e son identidades para ∗. Entonces, e = e ∗ e = e . (Observe que la primera igualdad es verdadera pues e es una identidad y la segunda es v´alida pues e es una identidad). Concluimos que e = e y luego ∗ tiene a lo m´as una identidad. Teorema 39 Si ∗ es una operaci´on binaria asociativa con identidad e en A y x ∈ A, entonces x tiene a lo m´as una inversa. 39
  • 40. Demostraci´on. Suponga que x ∈ A tiene y e y como inversas. Entonces x ∗ y = y ∗ x = e y x ∗ y = y ∗ x = e. Luego y = y ∗ e = y ∗ (x ∗ y ) = (y ∗ x) ∗ y = e ∗ y = y . En virtud de los teoremas anteriores podemos hablar de la identidad y el inverso de un elemento (si existe). 40
  • 41. 0.6 Ejercicios 1. Sean U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {x : (x − 2)2 (x − 3) = 0} y C = {x : x es impar}. Hallar a) A ∪ B b) A ∩ (B ∪ C) c) C − A d) C ∪ Ac e) (A ∪ C)c f) Ac ∩ Cc g) P(B) 2. Sean A, B, C conjuntos y U el conjunto universal. Demuestre las siguientes propiedades a) A ∪ ∅ = A b) A ∩ ∅ = ∅ c) A − ∅ = A d) A ∪ U = U e) A ∩ U = A f) A ∪ Ac = U g) A ∩ Ac = ∅ h) A − A = ∅ i) A − B ⊆ A j) A ∩ B ⊆ A k) A ∪ B ⊇ A l) A ∩ B ⊆ A ∪ B m) (Ac )c = A n) (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc o) (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc p) A ∪ (B − A) = A ∪ B q) (A ∪ B) − (A ∩ B) = (A − B) ∪ (B − A) r) A − (B ∪ C) = (A − B) ∩ (A − C) s) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) t) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) 3. Sean A, B conjuntos. Considere las conjeturas siguientes. Demuestre que son verdaderas ´o bien de un contraejemplo para mostrar que son falsas. a) P(A) ∪ P(B) ⊆ P(A ∪ B) 41
  • 42. b) P(A) ∩ P(B) ⊆ P(A ∩ B) c) P(A ∪ B) ⊆ P(A) ∪ P(B) d) P(A ∩ B) ⊆ P(A) ∩ P(B) e) P(A ∩ B) ⊆ P(A ∪ B). 4. Sean A = {a, b, c}, B = {1, 2}, C = {4, 5, 6}. a) D´e la lista de los elementos de A × B, B × A, A × C. b) D´e ejemplos de relaciones de A en B y de B en A, con 4 elementos cada una. 5. Sean A, B, C, D conjuntos. Demuestre o de contraejemplos para las siguientes conjeturas. a) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) b) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) c) (A × B) ∩ (Ac × B) = ∅ d) (A ⊆ B ∧ C ⊆ D) −→ A × C ⊆ B × D e) A ∪ (B × C) = (A ∪ B) × (A ∪ C) f) A ∩ (B × C) = (A ∩ B) × (A ∩ C) g) (A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D) h) A × (B − C) = A × B − A × C 6. Sean A, B conjuntos y R, S relaciones de A en B. Demuestre: a) Dom(R ∪ S) = Dom(R) ∪ Dom(S) b) Dom(R ∩ S) ⊆ Dom(R) ∩ Dom(S) c) Im(R ∪ S) = Im(R) ∪ Im(S) d) Im(R ∩ S) ⊆ Im(R) ∩ Im(S) 42
  • 43. 7. Se define el par ordenado (a, b) por: (a, b) = {{a}, {a, b}}. Demuestre que con la definici´on anterior se tiene: (a, b) = (c, d) ←→ (a = c ∧ b = d). 8. Sean A = {1, 2, 4}, B = {1, 3, 4}. Sean R = {(1, 3), (1, 4), (4, 4)} una relaci´on de A en B, S = {(1, 1), (3, 4), (3, 2)} una relaci´on de B en A y T = ∅ una relaci´on de A en B. Encuentre: a) Dom(R) b) Dom(S) c) Dom(T). d) Im(R) e) Im(S) f) Im(T). g) S ◦ R h) R ◦ S. i) Dom(S ◦ R) j) Im(S ◦ R). k) Dom(R ◦ S) l) Im(R ◦ S). m) R−1 n) S−1 . o) IA p) IB. q) R−1 ◦ S−1 r) S−1 ◦ R−1 . s) (R ◦ S)−1 t) (S ◦ R)−1 . u) T−1 v) I−1 B . w) (R ◦ S) ◦ R x) R ◦ (S ◦ R). 9. Sean R una relaci´on de A en B y S una relaci´on de B en C. Muestre que: a) Dom(S ◦ R) ⊆ Dom(R). b) Im(S ◦ R) ⊆ Im(S). c) Im(R) ⊆ Dom(S) implica Dom(S ◦ R) ⊆ Dom(R). 43
  • 44. 10. Sean A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y Π = {{2, 4, 6}, {1, 5}, {3}}. Liste los ele- mentos de A|Π. Encuentre [2]A|Π. 11. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y sea f : A → A una funci´on dada por f(x) = x + 1 , si x = 6; 1 , si x = 6. a) Encuentre f(3), f(6), f ◦ f(3), f(f(2)). b) Encuentre una preimagen de 2 y de 1. c) Muestre que f es inyectiva. 12. Muestre que f : R → R dada por f(x) = x3 es 1-1 y sobre mientras que g : R → R dada por g(x) = x2 − 1 no es 1-1 ni es sobre. 13. Sean A, B y f : A → B tales que A = {1, 2, 3, 4} B = {1, 2, 3} f = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)(4, 2)}. Encuentre f−1 ◦ f. 14. Sean A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 3, 4, 5} y f : A → B dada por f(1) = f(4) = f(6) = 3 ; f(2) = 5 y f(3) = f(5) = 4. Encuentre: a) f({1, 2, 3}), f(A − {2}), f(A) − {2}. b) f−1 ({3}), f−1 ({4, 5}), f−1 ({2}). c) f({1, 2} ∩ {2, 6}), f({1, 2}) ∩ f({2, 6}). 44