1. هي الزاوية التي يقع رأسها في مركز الدائرة . الزاوية المركزية

2. الزاوية المحيطية هي الزاوية التي يقع رأسها على محيط الدائرة وضلعاها وتران . الزاوية المحيطية

3. الزاوية المركزية و المحيطية نظرية قياس الزاوية المركزية يساوي ضعف قياس الزاوية المحيطية المرسومة معها على القوس نفسه .

4. اثبات النظرية المطلوب : اثبات ان الزاوية المركزية تساوي ضعف الزاوية المحيطية البرهان : ننزل عمود من النقطة أ بحيث تمر بالمركز و تنتهي عند نقطة تسمي د قياس الزاوية 1 = قياس الزاوية 3 لان المثلث أم ب متساوي الساقين ( أب و م ب انصاف اقطار ) اذا الزاوية 5 = مجموع الزاويتين الداخليتين ما عدا مكملتها ( زاوية خارجية في المثلث ) اذا فهي = مجموع الزاويتين 1 و 3 كما ان الزاوية 2 = الزاوية 4 المثلث أ م جـ متساوي الساقين ( م أ و م جـ انصاف اقطار ) الزاوية ب م جـ = مجموع الزاويتين 5 و 6 أي انها تساوي مجموع الزوايا 1 و 2 و 3 و 4 و بما ان الزاويتين 1 و 3 متساويتين و الزاويتين 2 و 4 متساويتين فإن الزاوية ب م جـ = 2( الزاوية 1+ الزاوية 2) أي انها = 2 ( الزاوية ب أ جـ ) و هو المطلوب م أ ب جـ د 1 2 3 4 5 6 رسم توضيحي

5. الزاوية المركزية و المحيطية نظرية الزاويتان المحيطيتان المرسومتان على قوس واحد متساويتان

6. دائرة مركزها م الزاوية أ ب جـ و الزاوية أ د جـ زاويتان محيطيتان مرسومتان على قوس واحد المطلوب : اثبات ان الزاوية أ ب جـ = الزاوية أ د جـ نصل مركز الدائرة ( م ) بالنقطة أ و نصلها من الجهة الاخرى بالنقطة جـ تظهر لدينا زاوية مركزية مشتركة مع الزاويتين المحيطيين في نفس القوس الزاوية أ م جـ =2 * الزاوية أ ب جـ ( زاوية مركزية مشتركة مع زاوية محيطية في نفس القوس ) الزاوية أ م جـ = 2 * الزاوية أ د جـ ( زاوية مركزية مشتركة مع زاوية محيطية في نفس القوس ) 2* الزاوية أ ب جـ = 2* الزاوية أ د جـ اثبات النظرية

7. نظرية الزاوية المحيطية الواقعة على القطر تساوي 90 درجة

8. اثبات النظرية المطلوب : اثبات ان الزاوية أ ب جـ زاوية قائمة البرهان : الزاوية أ م جـ هي زاوية مركزية لان رأسها عند مركز الدائرة وبما انها عبارة عن خط مستقيم فهي تساوي 180 درجة الزاوية أ ب جـ هي زاوية محيطية مشتركة مع الزاوية المركزية ( أ م جـ ) في نفس القوس وبما ان الزاوية المحيطية تساوي نصف الزاوية المركزية المشتركة معها في نفس القوس اذا الزاوية أ ب جـ = 180/2 = 90 درجة وهو المطلوب

9. نظرية قياس الزاوية المماسية المحصورة بين مماس الدائرة وأي وتر فيها مار بنقطة التماس في إحدى جهتي الوتر، يساوي قياس الزاوية المحيطية المرسومة على هذا الوتر من الجهة الأخرى.

10. اثبات النظرية البرهان : بما ان ب ن قطر إذن الزاوية د ن ب قائمة إذن الزاوية ن ب د تتمم الزاوية د ن ب في المثلث ب د ن . أي أن مجموعهما يساوي 90 وبما أن أ ب مماس إذن الزاوية أ ب ن قائمة حسب النظرية . ( العمود النازل من مركز الدائرة على المماس يكون عمودي عليها ) إذن الزاوية د ب ن تتمم الزاوية د ب أ ينتج أن الزاوية د ب أ = الزاوية د ن ب لأن كلاً منهما تتم الزاوية ن ب د . لكن الزاوية د ن ب = الزاوية د هـ ب ( محيطيتان مرسومتان على القوس ب د ) إذن الزاوية د ب أ = الزاوية د هـ ب وهو المطلوب . وعموماً الزاوية د ب أ = أي زاوية محيطية مرسومة على الوتر د ب من الجهة الأخرى البعيدة عن طرف المماس أ ب .