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Cálculo de Derivadas
    Sean a, b y k constantes (números reales) y consideremos a: u y v como
funciones.


     Derivada...
Derivadas de sumas, productos y cocientes


Derivada de una suma




Derivada de una constante por una función




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Derivada de un producto




Derivada de una constante partida por una función




Derivada de un cociente




Ejemplos de ...
Derivadas exponenciales
Derivada de la función exponencial




Derivada de la función exponencial de base e




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Derivada de logarítmos
Derivada de un logaritmo




Como,                         también se puede expresar así:




Deriv...
Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos:




Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos:




        ...
Derivada del coseno




Derivada de la tangente




Derivada de la cotangente




Derivada de la secante




Derivada de l...
Derivadas trigonométricas inversas
Derivada del arcoseno




Derivada del arcocoseno




                                 ...
Derivada del arcotangente




Derivada del arcocotangente




Derivada del arcosecante




Derivada del arcocosecante




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Derivada de la función compuesta
             Regla de la cadena




Ejemplos de derivadas de funciones compuestas




   ...
Derivada de la función inversa

Si f y g son funciones inversas, es decir                  . Entonces




      Ejemplos d...
.


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     .



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Ejemplos de derivadas de funciones potenciales-exponenciales



     Derivar to...
Derivada enésima

     En algunos casos, podemos encontrar una fórmula general para cualquiera de las
derivadas sucesivas ...
Derivación implícita
      Funciones implícitas


     Una correspondencia o una función está definida en forma implícita ...
Diferencial de una función

     Sea f(x) una función derivable. Diferencial de una función correspondiente al
incremento ...
Calcular el incremento del área del cuadrado de 2 m de lado, cuando aumentamos
1mm su lado.


     S = x 2 dS = 2x dx


  ...
Tabla de derivadas de funciones compuestas

   Función               Derivada                          Ejemplos

Constante...
Funciones exponenciales




Funciones logarítmicas




Funciones trigonométricas




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  1. 1. Cálculo de Derivadas Sean a, b y k constantes (números reales) y consideremos a: u y v como funciones. Derivada de una constante Derivada de x Derivada de la función lineal Derivada de una potencia Derivada de una raíz cuadrada Derivada de una raíz Ejemplos de derivadas 1
  2. 2. Derivadas de sumas, productos y cocientes Derivada de una suma Derivada de una constante por una función 2
  3. 3. Derivada de un producto Derivada de una constante partida por una función Derivada de un cociente Ejemplos de derivadas con operaciones de funciones 3
  4. 4. Derivadas exponenciales Derivada de la función exponencial Derivada de la función exponencial de base e Ejemplos de derivadas exponenciales 4
  5. 5. Derivada de logarítmos Derivada de un logaritmo Como, también se puede expresar así: Derivada de un logaritmo neperiano Ejemplos de derivadas de logarítmos 5
  6. 6. Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos: Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos: Derivadas trigonométricas Derivada del seno 6
  7. 7. Derivada del coseno Derivada de la tangente Derivada de la cotangente Derivada de la secante Derivada de la cosecante Ejemplos de derivadas trigonométricas 7
  8. 8. Derivadas trigonométricas inversas Derivada del arcoseno Derivada del arcocoseno 8
  9. 9. Derivada del arcotangente Derivada del arcocotangente Derivada del arcosecante Derivada del arcocosecante Ejemplos de derivadas trigonométricas inversas 9
  10. 10. Derivada de la función compuesta Regla de la cadena Ejemplos de derivadas de funciones compuestas 10
  11. 11. Derivada de la función inversa Si f y g son funciones inversas, es decir . Entonces Ejemplos de derivadas de funciones inversas Derivar, usando la derivada de la función inversa: y = arc sen x Derivar, usando la derivada de la función inversa: y = arc tg x Derivada de la función potencial-exponencial Estas funciones son del tipo: Para derivarla se puede utilizar esta fórmula: O bien tomamos logaritmos y derivamos: 11
  12. 12. . . . . . Ejemplos de derivadas de funciones potenciales-exponenciales Derivar tomando logaritmos: . . . . Derivadas sucesivas Si derivamos la derivada de una función, derivada primera, obtenemos una nueva función que se llama derivada segunda, f''(x). Si volvemos a derivar obtenemos la derivada tercera, f'''(x). Si derivamos otra vez obtenemos la cuarta derivada f'v y así sucesivamente. Ejemplo: Calcula las derivadas 1ª, 2ª, 3ª y 4ª de: 12
  13. 13. Derivada enésima En algunos casos, podemos encontrar una fórmula general para cualquiera de las derivadas sucesivas (y para todas ellas). Esta fórmula recibe el nombre de derivada enésima, f'n(x). Ejemplo: Calcula la derivada enésima de: 13
  14. 14. Derivación implícita Funciones implícitas Una correspondencia o una función está definida en forma implícita cuando no aparece despejada la y sino que la relación entre x e y viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero. Derivadas de funciones implícitas Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que: x'=1. En general y'≠1. Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'. Ejemplos: Cuando las funciones son más complejas vamos a utilizar una regla para facilitar el cálculo: 14
  15. 15. Diferencial de una función Sea f(x) una función derivable. Diferencial de una función correspondiente al incremento h de la variable independiente, es el producto f'(x) · h. Se representa por dy. La diferencial en un punto representa el incremento de la ordenada de la tangente, correspondiente a un incremento de la variable. Ejemplo: Calcular la diferencial de las funciones: 15
  16. 16. Calcular el incremento del área del cuadrado de 2 m de lado, cuando aumentamos 1mm su lado. S = x 2 dS = 2x dx d(S)= 2·2· 0.001 = 0.004 m2 16
  17. 17. Tabla de derivadas de funciones compuestas Función Derivada Ejemplos Constante y=k y'=0 y=8 y'=0 Identidad y=x y'=1 y=x y'=1 Funciones potenciales Derivadas de sumas, restas, productos y cocientes de funciones 17
  18. 18. Funciones exponenciales Funciones logarítmicas Funciones trigonométricas 18
  19. 19. 19

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