Sumatorias estadistica

1. Sumatoria
Reglas
1

2. Reglas de sumatorias
• La sumatoria es un símbolo muy utilizado
en matemáticas que sirve para simplificar
formulas estadísticas.
• Una sumatoria permite representar
sumas muy grandes, de n sumandos o
incluso sumas infinitas y se expresa con
la letra griega sigma (Σ).
2

3. 5 + 4 + 8 + 7 + 5 + 1
Elementos a
Límite superior sumar
Límite inferior
Condición:
Índice de la
suma 3

4. Reglas de sumatorias
• Las sumatorias son útiles para expresar
sumas arbitrarias de números, por
ejemplo en fórmulas: así, si queremos
representar la «fórmula» para hallar la
media aritmética de n números:
4

5. Reglas de la sumatoria
1. Sumatoria de los datos de una variable.
5
Fuente: Matemáticas III, Estadística y Probabilidad, de Luis Magaña Cuéllar

6. 2. Sumatoria de una constante.
6

7. 3. Sumatoria de una variable y una
constante sumada o restada.
7

8. 4. Sumatoria de una variable con un
multiplicador o un divisor constantes.
8

9. 5. Sumatoria de potencias y raíces de una
variable.
9

10. 6. Regla para distribuir la sumatoria.
10

11. 7. Sumatoria del producto o el cociente de
dos o más variables.
11

12. Reglas de sumatorias
i X Y
1 2 5
2 3 2
3 4 0
4 1 1
12

13. Reglas de sumatorias
i X Y
1 2 -5
2 8 2
3 -7 1
4 0 3
13

14. Hoja de Ejercicios
14

15. Medidas de Tendencia
Central
La media aritmética
La mediana
La moda
- Datos no agrupados. - Datos agrupados.
15

16. Resumen de datos
36, 27, 21, 35, 35, 36, 27, 31, 35, 28, 24, 26, 36, 38, 22, 23, 39, 25, 21, 27, 39, 25, 33, 23, 29, 32, 23, 23, 26, 26, 39, 24, 22, 35, 25, 3
1, 35, 22, 32, 21, 32, 25, 34, 33, 24, 25, 36, 34, 24, 33, 26, 23, 35, 32, 23, 24, 31, 24, 35, 34, 38, 22, 23, 39, 25, 21, 27, 39, 25, 33, 23,
29, 32, 23, 23, 26, 26, 39, 24, 22, 35, 25, 31, 35, 22, 32, 21, 32, 25, 34, 33, 24, 25, 36, 34, 24, 33, 26, 23, 35, 32, 23, 24, 31, 24, 35, 3
4, 36, 27, 21, 35, 35, 36, 27, 31, 35, 28, 24, 26, 36, 38, 22, 23, 39, 25, 21, 27, 39, 25, 33, 23, 29, 32, 23, 23, 26, 26, 39, 24, 22, 35, 25,
31, 35, 22, 32, 21, 36, 27, 21, 35, 35, 36, 27, 31, 35, 28, 24, 26, 36, 38, 22, 23, 39, 25
Clase Marca de clase Frecuencia
30-32 31 5
32-34 33 3
34-36 35 2
36-38 37 4
Media = 35
16

17. Medidas de Tendencia Central -
Generalidades
• Aunque las distribuciones de frecuencia
sirven para propósitos útiles, existen
muchas situaciones en las que se requiere
otro tipo de resumen de datos.
• Existen situaciones en que se necesita
condensar los datos a través de tan solo
unas cuantas medidas descriptivas, las
cuales se pueden calcular a partir de los
datos de una muestra o de una población.
17

18. Medidas de Tendencia Central -
Generalidades
• A) Una medida descriptiva calculada a
partir de los datos de una muestra, se le
llama estadístico.
• B) Una medida descriptiva calculada a
partir de los datos de una población, se le
llama parámetro.
18

19. Medidas de Tendencia Central -
Generalidades
• Una medida de tendencia central es un
intento de identificar la calificación más
característica o central en un grupo de
calificaciones.
• Algunas de las MTC:
– Media. – Media ponderada.
– Moda. – Media móvil.
– Mediana. – Media geométrica.
Más comunes Menos comunes 19

20. Media - Características
• Es la medida de tendencia central más
usada.
• Se le conoce técnicamente como “media
aritmética”.
• Es el punto de equilibrio o centro de
gravedad de una serie de datos.
• Se define como la suma de todos los
datos dividido entre el número de
observaciones.
20

21. Media - Características
• Su fórmula es:
• Ejemplo:
– Media de edades en un grupo:
• 18, 20, 21, 18, 19
21

22. Media - Características
• Características:
– Es única. Para un conjunto de datos, hay una y
sólo una media.
– Simplicidad. El cálculo y comprensión de la
media son muy sencillos.
– Como todos y cada uno de los valores en el
conjunto de datos entran en su cálculo, ésta es
afectada por cada valor. Por lo tanto los valores
de extremos influyen en la media y en algunos
casos pueden distorsionarla y llega a ser
indeseable como MTC. 22

23. Mediana - Características
• Es aquel valor que divide al conjunto de
datos en dos partes iguales. De manera
que el 50% de los datos tenga un valor
mayor que la mediana, y el 50% de los
datos tenga un valor menor.
• Teniendo todos los datos ordenados de
menor a mayor, la mediana sería:
– En caso de datos impares: valor a la mitad.
– En caso de datos pares: promedio de los dos
valores que quedan a la mitad de los datos. 23

24. Mediana - Ejemplo
• Obtener la mediana de:
– 10, 54, 21, 33, 53.
– 15, 10, 25, 30, 28, 21.
24

25. Moda - Características
• Es aquel valor que ocurre con mayor
frecuencia. Si todos los valores son
diferentes, no hay moda.
• En un conjunto de datos puede haber más
de una moda:
– Dos modas: bimodal.
– Más de dos modas: multimodal.
• Se puede utilizar para datos cualitativos
(ej. Diagnósticos).
25

26. Moda - Ejemplo
• Edades de cinco empleados:
– 30, 55, 47, 21, 18
• Edades de seis empleados:
– 21, 20, 21, 21, 21, 18
• Edades de diez empleados:
– 20, 21, 20, 34, 22, 24, 20, 27, 27 y 27.
26

27. Posición en la gráfica
27

28. Media ponderada
• A veces puede ser útil otorgar pesos o
valores a los datos dependiendo de su
relevancia para determinado estudio. En
esos casos se puede utilizar una media
ponderada.
28

29. Media ponderada
29

30. Media ponderada
• Ejemplo:
Parcial Peso Calificación (p) (X)
(p) obtenida
(X)
1er Parcial
2do Parcial
3er Parcial
4to Parcial
Sumas:
30

31. Media móvil
• El método de las medias móviles en
estadística es un método utilizado para
analizar un conjunto de datos en modo de
puntos para crear series de promedios.
Así las medias móviles son una lista de
números en la cual cada uno es el
promedio de un subconjunto de los datos
originales.
31

32. Media móvil
• Por ejemplo, si se tiene un conjunto de
100 datos el primer valor de la serie de
medias móviles podría ser el promedio de
los primeros 25 términos, luego el
promedio de los términos 2 al 26, el tercer
elemento de los términos 3 al 27 y así,
hasta por último el promedio de los
últimos 25 números del 76 al 100.
32

33. Media móvil
33

34. Media geométrica
• El empleo más frecuente de la media
geométrica es el de promediar variables
tales como porcentajes, tasas, números
índices, etc., es decir, en los casos en los
que se supone que la variable presenta
variaciones acumulativas.
34

35. Media geométrica
• Ventajas e inconvenientes:
– En su cálculo intervienen todos los valores de
la distribución.
– Los valores extremos tienen menor influencia
que en la media aritmética.
– Es única.
– Su cálculo es más complicado que el de la
media aritmética.
– Cuando la variable toma al menos un x = 0
entonces G se anula. 35

36. Media geométrica
• Por ejemplo, la media geométrica de 2 y
18 es
• Otro ejemplo, la media de 1, 3 y 9 sería
36

37. Media geométrica
• Ejemplo:
Las tasas de interés de tres bonos son
5%, 18% y 3%.
La media geométrica es = 1.0847.
La media aritmética es (5 + 7 + 4)/3 =
1.0867.
La MG da una cifra de ganancia más
conservadora porque no tiene una
ponderación alta para la tasa de 18%. 37

38. Hoja de ejercicios
• Media, mediana y moda
38

39. Medidas de posición
“Cuantiles”:
Cuartil, Decil y Percentil
39

40. • Un conjunto de puntuaciones o
mediciones puede dividirse en un cierto
número de partes iguales mediante la
selección de valores que correspondan a
una posición determinada en dicho
conjunto.
• Ejemplo:
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
50% 11 50% 40

41. Cuantil - Definición
• Término estadístico que designa
parámetros de posiciones que subdividen
en partes iguales el conjunto de valores
ordenados (según el criterio asumido
previamente) de menor a mayor.
41

42. Cuartil (cuartila)
• Cada uno de los 3 puntos o valores que
dividen al grupo de datos en 4 partes
iguales.
• Se representan por Q1, Q2, Q3:
42

43. Decil (decila)
• Cada uno de los 9 puntos o valores que
dividen al grupo de datos en 10 partes
iguales.
• Se pueden representar:
43

44. Percentil (porcentil, o centil)
• Cada una de las 99 puntuaciones o
valores que dividen al grupo de datos en
100 partes iguales.
• El percentil indica el porcentaje de valores
del conjunto que queda por debajo de ese
valor en particular.
• Ejemplo, Percentil 70, significa que ese
valor es más alto que el 70% de los datos,
y menor que el 30%.
44

45. Percentil (centil)
P7 P55 P70 P95
45

46. Comparación entre cuantiles
46

47. Comparación entre cuantiles
Q1 = P25
Q2 = D5 = P50 = Mediana
Q3 = P75
47

48. Ejemplo:
• Calcular cuartiles y deciles:
– 56, 64, 67, 78, 79, 88, 89, 90, 94, 95
– 20, 21, 20, 34, 22, 24, 20, 27, 27, 27
• Ordenar de menor a mayor, luego dividir
en partes iguales.
48

49. Medidas de dispersión
Rango, Varianza y Desviación
estándar
49

50. Importancia de una medida de
dispersión
• Caso 1:
– 50, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 56
– Media = 53
– Desviación estándar = 2.3979
• Caso 2:
– 1, 2, 5, 10, 53, 96, 101, 104, 105
– Media = 53
– Desviación estándar = 48.6261
50

51. Importancia de una medida de dispersión
• Caso 1: Li - Ls X F
10 – 19 14.5 10
20 – 29 24.5 11
30 – 39 34.5 10 35
– Media = 24.5 30
25
20
15
• Caso 2: Li - Ls X F
10
10 – 19 14.5 1
5
20 – 29 24.5 30
0
30 – 39 34.5 1
10 - 19 20 - 29 30 - 39
– Media = 24.5
51

52. Generalidades
• Las medidas de dispersión nos permitirán
ver cuánto se alejan de la media una serie
de datos.
• Es decir, si los valores son parecidos o
varían mucho entre sí.
52

53. Tipos
• Rango.
• Desviación media.
• Varianza.
• Desviación estándar.
53

54. Rango
• Es la diferencia entre el valor máximo de
los datos, y el valor mínimo.
• Fórmula
54

55. Desviación media
• Es el promedio de la desviación en
números absolutos de un conjunto de
datos respecto de su media.
• Fórmula:
55

56. Varianza
• Da una medida de la variación de los
datos respecto a la media (los valores
están elevados al cuadrado).
• Fórmula
56

57. Desviación estándar (típica)
• Nos da la medida típica en que los datos
se desvían de la media. A mayor el valor,
mayor la distancia entre cada dato y la
media.
• Fórmula
57

58. Ejemplo:
• Obtener Rango, Varianza y Desviación
estándar.
• Edades de cinco empleados:
– 20, 21, 20, 34, 22.
58

59. Solución:
X
20 23.4 -3.4 11.56
21 23.4 -2.4 5.76
20 23.4 -3.4 11.56
34 23.4 10.6 112.36
22 23.4 -1.4 1.96
143.2
59

60. Fórmula simplificada de
Varianza y Desviación estándar
60

61. Ejemplo:
• Obtener Rango, Varianza y Desviación
estándar.
• Edades de cinco empleados:
– 20, 21, 20, 34, 22.
61

62. Solución:
20 400
21 441
20 400
34 1156
22 484
62

63. Hoja de ejercicios
• Rango, varianza y desviación estándar
63

64. 64

65. Medidas de Tendencia
Central con
Datos agrupados
65

66. Datos agrupados
• “Datos no agrupados” le llamamos a los
datos “crudos” o “en bruto”, es decir, a los
datos dispersos. Ej. 5, 7, 5, 4, 7 (años de
niños en un grupo).
• “Datos agrupados” le llamamos a los
datos organizados en tablas o en
distribuciones de frecuencias.
• La diferencia en la presentación de los
datos hace que el procedimiento para
calcular las medidas sea diferente. 66

67. Media en Datos Agrupados
f = Frecuencia de cada clase.
X = Marca de clase (de cada clase).
n = Total de datos.
67

68. Mediana en Datos Agrupados
Li = Límite inferior de la clase donde se encuentra
la mediana.
n = Total de datos.
FAa = Frecuencia Acumulada de la clase anterior.
f = Frecuencia de la clase de la mediana.
T.C. = Tamaño de la clase de la mediana. 68

69. Moda en Datos Agrupados
Li = Límite inferior de la clase donde se encuentra
la moda.
d1 = Resta entre la frecuencia de la clase donde
se encuentra la moda, y la clase anterior.
d2 = Resta entre la frecuencia de la clase donde
se encuentra la moda, y la clase siguiente.
T.C. = Tamaño de la clase de la moda. 69

70. Medidas de Dispersión con
Datos agrupados
70

71. Rango
• Fórmula:
– Límite superior de la última clase, menos
Límite inferior de la primera clase.
71

72. Varianza
• Fórmula
72

73. Desviación estándar
• Fórmula
73

74. Fórmula simplificada
74

75. Ejercicio
Li - Ls LRi - LRs X F Fr F. A.
5–8 4.5 – 8.5 6.5 3 0.215 3
9 – 12 8.5 – 12.5 10.5 5 0.357 8
13 – 16 12.5 – 16.5 14.5 4 0.206 12
17 – 20 16.5 – 20.5 18.8 2 0.142 14
75