Ignacio E. Grossmann Epper Fecha: 1999-02

1. [1
Técnicas de Programación no Lineal Mixta
para Ingeniería de Sistemas de Procesos
Ignacio E. Grossmann
Departamento de Ingeniería Química, Universidad de Carnegie Mellon
Pittsburgh, PA 15213, EUA
Febrero 1999
RESUMEN
Este trabajo tiene como objetivo primordial el presentar un enfoque unificado al tratamiento y
derivación de técnicas de programación no lineal mixta entera (PNLME), Ramificación y
Acotamiento, Aproximación Exterior, Descomposición Generalizada de Benders y método
Extendido de Plano de Cortante, que son aplicables a problemas de optimización no lineal
discreta que se expresan en forma algebraica. Se presenta primero la solución de problemas de
PNLME con funciones convexas, y a continuación se hace una extensión al caso de no
convexidad. También se describe la solución de representaciones basadas en lógica
proposicional, conocidas como programas disyuntivos generalizados. Finalmente, se presentan
comparaciones numéricas relativas a una red de procesos sencilla con el objeto de confirmar las
propiedades teóricas de estos métodos.
INTRODUCCIÓN
La optimización mixta entera representa una infraestructura poderosa para el modelado
matemático de múltiples problemas de optimización que involucran variables continuas y
discretas. En los últimos cinco años ha habido un crecimiento pronunciado en el desarrollo de
estos modelos en ingeniería de sistemas de proceso (Grossmann et al, 1996; Grossmann, l996a;
Grossmann y Daichendt, 1996; Pinto y Grossmann, 1998; Shah, 1998; Grossmann et al, 1999).
Los métodos y códigos de programación lineal mixta entera (PLME), han estado disponibles y
se han aplicado a muchos problemas prácticos por más de veinte años (p.j. véase Nemhauser y
Wolsey, 1988). El método más común es el de ramificación y acotamiento basado en
programación lineal, que se ha implementado en códigos poderosos como OSL, CPLEX y
XPRESS. Las tendencias recientes en PLMIE incluyen el desarrollo de métodos de ramificación
y corte, como es el de expansión y proyección de Balas, Cena y Cornuejols (1993), en el que
como parte de la enumeración de la ramificación y acotamiento se generan planos de corte.
1

2. No es sino hasta recientemente que se ha podido contar con varios métodos y códigos nuevos
para problemas de programación no lineal mixta entera (PNLME) (Grossmann y Kravanja,
1977). En este trabajo se hará una revisión de los diversos métodos, enfatizando un tratamiento
unificado para su derivación. Como se mostrará, los diferentes métodos se pueden derivar de
tres subproblemas básicos de programación no lineal (PNL) y un problema de PLME de plano
cortante, los cuales corresponden esencialmente a los subproblemas básicos del método de
Aproximación Exterior. Primero se consideran propiedades de los algoritmos para el caso en el
que las funciones no lineales son convexas en las variables continuas y discretas, y a
continuación se presentan extensiones para el manejo de ecuaciones no lineales y no
convexidades. Finalmente, el trabajo considera propiedades y algoritmos de las representaciones
recientes basadas en lógica proposicional para la optimización discretalcontinua que son
conocidas como programas disyuntivos generalizados. Se presentan resultados numéricos de un
ejemplo sencillo para comparar los diversos algoritmos.
ELEMENTOS BÁSICOS DE LOS MÉTODOS DE PNLME
La forma más básica de un problema de PNLMIE cuando se representa en forma algebraica es la
siguiente:
min Z = f(x,y)
s.a. g3 (x,y) ~ 0 j EJ (Pl)
X E X, y E Y
donde J(), go son funciones dferenciab/es convexas, J es el conjunto de índices de
desigualdades, y (x, y) son variables continuas y discretas respectivamente. X comúnmente se
considera como un conjunto compacto convexo, p.j. x = {x x E R, Dx ~ d, x' <_ x <
mientras que Y corresponde a un conjunto discreto poliédrico de puntos enteros,
Y = {y 1 yEr', Ay< a} que en la mayoría de las aplicaciones está restringido a valores de
o y 1, yE {0, 1 }' . En la mayoría de las aplicaciones de interés, la función objetivo y las
funciones de restricción fQ, go son lineales en y (p.j. cargos de costos fijos y restricciones
lógicas).
Los métodos enfocados a la solución del problema (Pl) incluyen el de Ramificación y
Acotamiento (RA) (Gupta y Ravindran, 1985; Nabar y Schrage, 1991; Borchers y Mitchell,
1994; Stubbs y Mehrotra, 1996; Leyffer, 1998), el de Descomposición Generalizada de Benders
(DGB) (Geoffrion, 1972), el de Aproximación Exterior (AE) (Duran y Grossmann, 1986; Yuan
et al., 1988; Fletcher y Leyffer, 1994), el de ramificación y acotamiento basado en PL/PNL
(Quesada y Grossmann, 1992), y el Extendido de Plano Cortante (EPC) (Westerlund y
Pettersson, 1995).
2

3. Subproblemas PNL. Existen tres subproblemas básicos de PNIL que pueden considerarse para el
problema (Pl):
Relajación PNL
n,in Z k = .f(X,
y)CI
s.a. g3 (x, y) :~ 0 j c J
XEX,YEYR (PNL1)
y~ a,k iEI1
y~ ji ¡EJFS
donde YR es la relajación continua del conjunto Y, e I, I son los subconjuntos de
índices de las variables enteras yj, ¡J , las cuales están restringidas por cotas inferior y
superior, ak, ü7, en el paso k del procedimiento de enumeración de ramificación y
acotamiento. Debe notarse que a k = LY j,/J y , 1< k, ni < k donde y ,y, , son los
valores no enteros del paso previo, y [j, fi, son las funciones piso y techo, respectivamente.
Hay que notar también que si Ik = Ik = 0, (k =0), entonces (PNL1) corresponde a la
relajación continua PNL de (Pl). Excepto para unos cuantos casos especiales, la solución a este
problema da en general como resultado un vector no entero de variables discretas. El problema
(PNLI) también corresponde al paso k en la búsqueda de ramificación y acotamiento. La
función objetivo óptima Z proporciona una cota inferior absoluta para (Pl); para m > k, la
cota es válida solamente para I ci I, I ci I.
Subproblema PNIL para y/C fijo:
minZ =f(x,y " )
sa. g3 (x, y) ~ 0 j E J (PNL2)
XEX
el cual da como resultado una cota superior Zk para (Pl) siempre y cuando (PNL2) tenga
una solución factible. Cuando este no sea el caso, se considera el subproblema siguiente:
Subproblema de factibilidad parayk fijo:
min u
sa. g1 (x, yk) ~ u j E J (PNLF)
X E X,u E R 1
3

4. que puede interpretarse como la minimización de la medida de norma-infinito de no factibilidad
del subproblema correspondiente de PNL. Nótese que para un subproblema no factible, la
solución de (PNLF) da como resultado un valor estrictamente positivo de la variable escalar u.
Función
Objetivo
Convexa
f(x)
xl x2 X
Función Objetivo Subestimada
Región
Factibi
Conve
x
Región Factible Sobreestimada
Fig. 1. Interpretación geométrica de linearizaciones en el problema maestro (M-PME)
Plano Cortante PLME. La convexidad de las funciones no lineales se explota sustituyéndolas
por hiperplanos de soporte derivados en la solución de los subproblemas de PNL. En particular,
los nuevos valores y' (o (xK, yK)) se obtienen de un problema PLME de plano cortante que está
basado en los K puntos, (x', y'), k=1 ... K generados en los K pasos previos:
miii Zf = a
rk1
sa. a ~ f(xk,yk)+Vf(xk,y
_
k
Ly-yj (M - PMIE)
[l
g(xk,yk)+Vg1(xk,yk
x_xk
)i kk0 jEJkI
L - J J
x E X,y E Y
ni

5. (h) DGB, AE
donde JA cf. Cuando se incluye sólo un subconjunto de linearizaciones, éstas comúnmente
corresponden a las restricciones violadas en el problema (Pl). Alternativamente, es posible
incluir todas las linearizaciones en (M-PM1E). La solución de (M-PMIE) da como resultado una
cota inferior válida Z/' para el problema (Pl). Esta cota no decrece con el número de puntos de
linearización K. Nótese que como las funcionesf(x,y) y g(x,y) son convexas, las linearizaciones
en (M-PME) corresponden a aproximaciones exteriores de la región factible no lineal en el
problema (Pl). En la figura 1 se muestra una interpretación geométrica, donde se puede ver que
la función objetivo convexa es subestimada y la región factible convexa sobreestimada con estas
linearizaciones.
Algoritmos. Los diferentes métodos para resolver problemas de PNLME se pueden clasificar de
acuerdo al uso que hacen de los subproblemas (PNL1), (PNL2) y (PNLF), y a la especialización
específica del problema (M-PME) de PLME como se observa en la figura 2. Debe notarse que
en los métodos DGB y AE (caso (b)), y en el de ramificación y acotamiento basado en PL/PNL
(caso (d)), si se encuentran subproblemas de no factibilidad, se resuelve el problema (PNLF). A
continuación se explican cada uno de los métodos en términos de los subproblemas básicos.
Enumeración 1 PNL]
Arborescente 1 1
(a) Ramificación y Acotamiento
(c) EPC
M-PME PNIL2
44
(d) Ramificación y acotamiento basada en PL/PNL
Fig. 2. Pasos Principales en los Diferentes Algoritmos
1. Ramificación y Acotamiento. Mientras que el trabajo original en ramificación y
acotamiento (RA) se orientó primordialmente a problemas lineales (Dakin, 1965; Garfinkel y
Nemhauser, 1972; Taha, 1975), recientemente también se ha concentrado en problemas no
lineales (Gupta y Ravindran, 1985; Nabar y Schrage, 1991; Borchers y Mitchell, 1994; Stubbs y

6. Mehrotra, 1996; Leyffer, 1998). El método de RA se inicia resolviendo primero la relajación
continua PNL. Si todas las variables discretas toman valores enteros, se suspende la búsqueda.
En caso contrario, se ejecuta una búsqueda arborescente en el espacio de las variables enteras
y, i EJ . Éstas se fijan sucesivamente en los nodos correspondientes del árbol, dando lugar a
subproblemas PNL relajados de la forma (PNL1) que generan cotas inferiores para los
subproblemas en los nodos descendentes. Los nodos se cortan cuando la cota inferior excede la
cota superior vigente, cuando el subproblema es no factible o cuando todas las variables enteras
yi toman valores discretos. En este último caso se genera una cota superior del problema
original.
El método RA generalmente sólo resulta atractivo si los subproblemas PNL se resuelven con
poco esfuerzo, o cuando sólo se necesitan resolver unos cuantos de estos subproblemas. Esto
sucede, ya sea debido a la baja dimensionalidad de las variables discretas, o a que el traslape de
integralidad de la relajación continua PNL de (Pl) es pequeño.
II. Aproximación-Exterior (Duran y Grossmann, 1986; Yuan et al., 1988; Fletcher y Leyffer,
1994). El método AE surge cuando los subproblemas (PNL2) de PNL y los problemas maestros
(M-PMIE) de PLME con Jk = .1 se resuelven sucesivamente en un ciclo de iteraciones para
generar los puntos (x y). Para su derivación, el algoritmo AE se basa en el siguiente teorema
(Duran y Grossmann, 1986):
Teorema 1. El Problema (P) y el siguiente problema maestro (M-A de PLIvIE tienen la misma
solución óptima (x ,
y
min Z1 = a
IY - Y
1
s.a. a f(xk,yk)+Vf(x,yk)
_ k
]
k
k E K* (M - AE)
IX_Xkl
g1(xk,yk)+Vg3(xk,y
k ~
O JEJ
YY] J
X E X, y E Y
donde K*={k para todo ykEY, (x1', yk) factible, es la solución óptima para el problema (PNL2)}.
en

7. Como el problema maestro (M-AE) requiere la solución de todas las variables discretas yk, se
considera la siguiente relajación PLME, suponiendo que se tiene disponible la solución de K
subproblemas PNIL:
Min zf = a
1 1
sa. a ~ f(xkyk)+Vf(xky
_ k
IY - Y jj
(MIR-AE)
_k1g(xk,yk)+Vg(xk,y
k°
jEJ
IY - y] j
X E X,y E Y
Con la premisa de convexidad de las funciones f(x,y) y g(x,y), es fácil establecer la propiedad
siguiente,
Propiedad 1. La solución del problema (MR-A.), Zf, corresponde a una cota inferior de la
solución de/problema (Pj).
Nótese que esta propiedad se puede verificar en la figura 1. También, dado que las
linearizaciones de las funciones se acumulan conforme avanzan las iteraciones, los problemas
maestros (MR-AE) generan una secuencia no decreciente de cotas inferiores, Zj'.. <Z1k -o5:.
ya que las linearizaciones se acumulan conforme proceden las iteraciones k.
El algoritmo AE, de acuerdo a la propuesta de Duran y Grossmann (1986), consiste en la
ejecución de un ciclo de iteraciones mayores, k=1,..K, en las cuales el subproblema (PNTLI) se
resuelve para las y1 fijas correspondientes, y el problema maestro PLIVIE relajado (MIR.-AE) se
actualiza y resuelve con las linearizaciones de las funciones correspondientes en el punto (xk,y'),
para el cual se resuelve el subproblema correspondiente PNL2. Si es factible, la solución a ese
problema se utiliza para construir el primer problema maestro de PLME; en caso contrario, se
resuelve un problema de factibilidad (PNLF) para generar el punto continuo correspondiente. El
problema maestro
(M1R-AE) inicial de PLME genera entonces un nuevo vector de variables discretas. Los
subproblemas (PNL2) generan una cota superior que se utiliza para definir la mejor solución
hasta el momento, CSK= min(Zsk) . El ciclo de iteraciones continúa hasta que esta cota superior
y la cota inferior del problema maestro relajado, Zí, quedan dentro de una tolerancia
especificada.
El método AE en general requiere de relativamente pocos ciclos de iteraciones mayores. Una
razón para este comportamiento proviene de la siguiente propiedad:
7

8. Propiedad 2. El algoritmo AE converge trivialmente en una iteración si f(x,y) y g,y) son
lineales.
La prueba se deriva simplemente de que sif(x,y) y g(x,y) son lineales en x y eny, el problema
maestro (MIR-AE) de PLME es idéntico al problema original (Pl).
También es importante notar que el problema maestro MIPLE no tiene que resolverse hasta la
optimalidad. De hecho, dadas la cota superior CSK y una tolerancia e, es suficiente para generar
el nuevo (yK, xK) mediante la solución de:
nin Zf = Oa
sa. a ~ CSK_ e
[1 1a > f(xk,yk)±Vf(xk,y
X X
k
LY
k
Y]
(MIR-AEF)
1g1(xk,yk)+Vg1(xk,y
_
k
° JEJ
Iy - y]
x c X, y c Y
Mientras que en (MR-AB) la interpretación del nuevo punto y K es que éste representa la mejor
solución entera al problema maestro de aproximación, en (IVIIR-AEF) representa una solución
entera cuyo objetivo de acotamiento inferior no excede la cota superior vigente, CSK; en otras
palabras, es una solución factible de (MIR-AE) con una función objetivo por debajo del estimado
vigente. Nótese que en este caso, las iteraciones AE se terminan cuando (MIR-AEF) es no
factible.
Iii. Descomposición Generalizada de Benders (Geoffrion, 1972). El método DGB (Flippo y
Kan 1993) es de naturaleza similar al de Aproximación Exterior. La diferencia se presenta en la
definición del problema maestro (M-PME) de PLMIE. En el método DGB sólo se consideran las
desigualdades activas J' = {j lgj(x1, yk) = O} y el conjunto XEX se desecha. En particular, se
asume una aproximación exterior en un punto dado (xk, yk),
[l
a ~ f(x k , y k )+Vf(x k k,y
)
T X - X
1
LY
- y k]
(AB k )
IY-Y1
g(xk,yk)+Vg(xk,yk)
T X_X
k
I < o
J
[]

9. donde para un yk fijo, el punto xk corresponde a la solución óptima del problema (PNL2).
Haciendo uso de las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker y eliminando las variables continuas
x, las desigualdades en (AEk) se pueden reducir como a continuación se indica (Quesada y
Grossmann (1992)):
a ~: .f(xk , yk )+vf (x k , yk )T (y_yk )+( )T[g(xkyk)+vg (x k ,y k ) T (yy k )I (CLk)
que corresponde al corte Lagrangiano proyectado en el espacio-)). Esto se puede interpretar
como una restricción subrogada de las ecuaciones (k), ya que se obtiene como una
combinación lineal de éstas.
Para el caso donde no existe solución factible del problema (PNL2), si el punto xk se obtiene del
subproblema de factibilidad (PNLF), se podrá obtener el siguiente corte de factibilidad
proyectado en y, utilizando un procedimiento similar,
(Al)' [g(xk ,yk) + v g (xk,yk)T (k)1<
O (CFk)
De esta manera, el problema (M-PIVH) se reduce a un problema proyectado en el espacio-y:
nún Zf = a
sa. a ~ f(x k , y k )+V f(x k , y k )T_yk)
+ T [g(x k ,y k)+vg (xk,yk)_yk)] k EKSF (MR
(2k)T{g(xk,yk)+vg(xkyk)_yk)] kEKSNF
X E X, a E R1
donde KSF es el conjunto de subproblemas de factibilidad (PNL2) y KSNF el
conjunto de subproblemas de no factibilidad cuya solución está dada por (PNLF). También
KSF u KSNF 1 = K. Como el problema maestro (MIR-DGB) se puede derivar del problema
maestro (MR-AE), en el contexto del problema (Pl), la Descomposición Generalizada de
Benders se puede considerar como un caso particular del algoritmo de Aproximación Exterior.
De hecho, la siguiente propiedad aplica a los dos métodos (Duran y Grossmann, 1986):

10. Propiedad 3. Dado el mismo conjunto de K suhprohlenias, la cota inferior predicha por el
problema maestro relajado (MR-A) es mayor o igual a la que se predice por el problema
maestro relqjado (MR-DGB).
La prueba de esta propiedad surge del hecho de que los cortes Lagrangiano y de factibilidad,
(CLk) y (CFk), son subrogados de las aproximaciones exteriores (AEk). Dado que las cotas
inferiores de DGB son generalmente más débiles, este método requiere comúnmente de un
mayor número de ciclos o iteraciones mayores. Conforme aumenta el número de variables 0-1,
esta diferencia se hace más pronunciada. Esto es de esperarse ya que sólo se genera un nuevo
corte por iteración. Por lo tanto, más a menudo se deben añadir restricciones de usuario al
problema maestro para fortalecer las cotas. Como en el algoritmo AE, el compromiso se da
entre una predicción generalmente más fuerte de las cotas inferiores que en DGB, y un costo
computacional mayor para resolver el problema maestro (M-AE), ya que el número de
restricciones añadidas por iteración es igual al número de restricciones no lineales más la
función objetivo no lineal.
La siguiente propiedad de convergencia aplica al método DGB (Sahinidis y Grossmann, 1991):
Propiedad 4. Si e/problema Pl) tiene una separación de integralidad cero, el algoritmo DGB
converge en una sola iteración una vez que se encuentra el óptimo (x*, y)
La propiedad anterior implica que el único caso en el que se puede esperar que el método DGB
termine en una iteración, es cuando el vector discreto inicial es el óptimo, y cuando el valor de
la función objetivo de la relajación PNL del problema (Pl) es el mismo que el de la función
objetivo de la solución óptima mixta entera. Dada la relación del método DGB con el algoritmo
AE, la Propiedad 4 también la hereda el método AE.
Una propiedad adicional de los algoritmos AE y DGB es la siguiente (Turkay y Grossmann,
1996):
Propiedad S. El corte obtenido al ejecutar una iteración de Benders en el problema maestro
(VIR-AI de PLME es equivalente al corte obtenido del algoritmo DGB.
Haciendo uso de esta propiedad, en vez de resolver el problema (MR-AE) de PLME hasta la
optimalidad, por ejemplo con el método de ramificación y acotamiento basado en PL, es posible
generar un corte DGB con la simple ejecución de una iteración de Benders ( 1962) en PLME.
Como se discutirá posteriormente, esta propiedad se encontrará útil al derivar una versión
basada en lógica proposicional del algoritmo DGB.
10

11. Método Extendido de Plano Cortante (Westerlund y Pettersson, 1995). El método EPC,
que es una extensión del algoritmo de plano cortante de Kelley para PNL convexa
(Kelley, 1960), no depende del uso de subproblemas y algoritmos de PNL. Depende
sólo de la solución iterativa del problema (M-PMIE) mediante la incorporación
sucesiva de una linearización de la restricción más severamente violada en el punto predicho
(xk,yk) :i k
{ 5 5 G arg{ mcix 91(xk,yk)
D. La convergencia se alcanza cuando laJJ
violación de restricciones máxima se encuentra dentro de la tolerancia especificada. El valor
óptimo de la función objetivo de (M-PME) genera una secuencia no decreciente de cotas
inferiores. Por supuesto, también es posible ya sea agregar a (M-PMIE) linearizaciones de todas
las restricciones violadas en el conjunto J', o linearizaciones de todas las restricciones no
linealesj E.!
Nótese que ya que las variables discretas y continuas convergen simultáneamente, el método
EPC puede requerir un gran número de iteraciones. También, la función objetivo tiene que
definirse como lineal, lo que se puede realizar sencillamente con la introducción de una nueva
variable para transferir las no linearidades de la función objetivo como una desigualdad.
Ramificación y Acotamiento basada en PL/PNL (Quesada y Grossmann, 1992). Este
método evita la solución completa del problema maestro (M-AE) de PLME en cada iteración
mayor. El método empieza por resolver un subproblema inicial de PNL que es linearizado como
en (M-AE). La idea básica consiste entonces en aplicar el método de ramificación y acotamiento
basada en PL para (M-AE), en donde los subproblemas (PNIL2) de PNL se resuelven en aquellos
nodos en los que se encuentran soluciones enteras factibles. La necesidad de reiniciar la
búsqueda arborescente, se evita actualizando la representación del problema maestro en los
nodos abiertos vigentes del árbol con la incorporación de las linearizaciones correspondientes.
Este método también se puede aplicar a los métodos DGB y EPC. El método PL/PNL
comúnmente reduce en forma muy significativa el número de nodos a enumerar. El
compromiso, sin embargo, está en que podría aumentar el número de subproblemas de PNL. La
experiencia computacional ha indicado que a menudo el número de subproblemas de PNL no se
altera. Por lo tanto, este método resulta más apropiado para problemas en los cuales el cuello de
botella está en la solución del problema maestro de PLMIE. Leyffer (1993) ha reportado ahorros
substanciales con este método.
11

12. EXTENSIONES DE LOS MÉTODOS DE PNLME
En esta sección se dará una descripción general de algunas de las extensiones más importantes
de los métodos presentados en la sección anterior.
Problemas Maestros Cuadráticos. En la mayoría de los casos de interés, el problema (Pl) es
lineal en y: f(x,y) = O(x) + cTy, g(x,y) = h(x) + By. Cuando esto no es así, Fletcher y Leyffer
(1994) sugirieron la inclusión de una aproximación cuadrática a (MR-AEF) de la forma:
rninZK=a+ 1
2y—y y—y )K
sa. a< CSK_ s
a f(xk ,yk)+Vf(x k ,yk)T x_x 1
ly-Ykj
(M-PCME)
r_i ¡
g(xk,yk)+Vg(xk,yk)T
]
k
Ly-y j
X E X,y E Y,a E R1
donde V2 (xK,yI') es la matriz Hessiana del Lagrangiano del último subproblema de PNL
Nótese que ZK, en este caso, no predice cotas inferiores válidas. Como se hizo notar por Ding-
Mei y Sargent (1992), quienes desarrollaron un problema maestro similar a M-PCMIE, las
aproximaciones cuadráticas pueden ayudar a reducir el número de las iteraciones mayores, ya
que se obtiene una representación mejorada del espacio continuo. También hay que notar que
para funciones/(x, y) y g(x,y) convexas, el uso de (M-PCME) conduce a soluciones rigurosas ya
que las aproximaciones exteriores se mantienen válidas. También, si la función f(x,y) es no
lineal eny, siendo y una variable entera general, Fletcher y Leyffer (1994) han mostrado que el
algoritmo original AE podría requerir un mucho mayor número de iteraciones para converger
que cuando el problema maestro (M-PCME) es usado. Sin embargo, esto se obtiene a expensas
de tener que resolver un problema de PCME en lugar de otro de PLME. Por supuesto, la
situación ideal es cuando el problema original (Pl) es cuadrático en la función objetivo y lineal
en las restricciones, ya que así (M-PCME) es una representación exacta de tal programa
cuadrático mixto entero.
12

13. Reducción de la dimensionalidad del problema maestro en AE. El problema maestro
(MR-AE) puede involucrar un número grande de restricciones, como consecuencia de la
acumulación de linearizaciones. Una opción es conservar sólo el último punto de linearización,
aunque esto puede conducir a que no se logre la convergencia aun en problemas convexos, ya
que entonces no se puede garantizar el crecimiento monotónico de la cota inferior. Una ruta
rigurosa para reducir el número de restricciones sin mayor sacrificio de la fortaleza de la cota
inferior, se puede lograr en el caso del problema de PNILIVÍE altamente lineal:
min Z = aT w+r(v)+cry
sa. Dw+t(v)+Cy:z~ 0 (PL)
Fw + Gv + Ey < b
W E W, V E V, y E Y
donde (w, y) son variables continuas, y (r(v) , 1(v) )
funciones convexas no lineales. Como fue
mostrado por Quesada y Grossmann (1992), se pueden agregar aproximaciones lineales de la
función objetivo no lineal y de las restricciones no lineales con el siguiente programa maestro de
PLME:
neinZf =aTw+/3+cTy
sa.
[DW
k=1,..X (M-PLffi)
Fw + Gv + Ey < b
WEW,VEV,yEY,/3ER'
Los resultados numéricos han mostrado que la calidad de las cotas no se degrada mayormente
con el problema de PLME anterior, como podría suceder si se aplicara el método DGB a (PL).
tncorporación de cortes. Una forma de acelerar la convergencia en los algoritmos AE y DGB
cuando las variables discretas del problema (Pl) son 0-1, o de asegurar su convergencia sin
tener que resolver los subproblemas de factibilidad (PNLF), es con la introducción de los
siguientes cortes enteros, cuyo propósito es hacer no factible la elección de los valores 0-1
previos generados en las Kiteraciones anteriores (Duran y Grossmann, 1986):
Jyi -
~ —1 k = 1,...K (CorteE)
iBk iEN1
donde Bk={ ¡ = 1}, N"={ i 1 yik = 0}, k=l, ... K. Este corte se hace muy débil conforme
aumenta la dimensionalidad de las variables 0-1. Sin embargo, tiene la útil característica de
asegurar que se generen nuevos valores 0-1 en cada iteración mayor. De esta manera, el
algoritmo no regresará a un punto entero previo cuando se alcanza la convergencia. Al usar el
13

14. corte entero de arriba, la terminación ocurre tan pronto como Zf 2> CSK. También, en el caso
del método DGB a veces es posible generar múltiples cortes a partir de la solución de un
subproblema de PNL con el propósito de fortalecer la cota inferior (Magnanti y Wong, 1981).
Manejo de restricciones de igualdad. Para el caso cuando se añaden a (Pl) igualdades lineales
de la forma h(x, y) = O, no se presenta mayor dificultad, ya que éstas son invariantes a los
puntos de linearización. Sin embargo, si las ecuaciones son no lineales, se tienen dos
dificultades. Primero, no es posible forzar las igualdades linearizadas en los puntos K. Segundo,
las ecuaciones no lineales pueden, en general, introducir no convexidades, a menos que se
relajen como desigualdades convexas (Bazaara et al, 1994). Kocis y Grossmann (1987)
propusieron una estrategia de relajación de igualdades, en la que las igualdades no lineales se
sustituyen por desigualdades,
_k1TkVh(x,yk)T ~ OI(1)
-
k
j
donde T' = {t}, y = signo(2Jc) siendo 2 el multiplicador asociado a la ecuación
h1(x, y) = O. Nótese que éste es un procedimiento riguroso, si las ecuaciones se relajan como
desigualdades h(x, y) < O para toda y, siendo h(x, y) convexa. De otra manera, se podrían
generar soportes sin validez. Hay que notar también que en el problema maestro GDB,
(MR-GDB), no se requiere un tratamiento especial para el manejo de las ecuaciones, ya que
éstas simplemente se incluyen en los cortes Lagrangianos. Sin embargo, si las ecuaciones no se
relajan como desigualdades convexas, surgen dificultades similares a las del método AE.
Manejo de no convexidades. Cuando f(x,y) y g(x,y) son no convexas, se presentan dos
dificultades. Primero, los subproblemas de PNIL (PNL1), (PNIL2) y (PNILF) podrían no tener
una solución única de óptimo local. Segundo, el problema maestro (M-PME) y sus variantes
(p.j. M-PMEF, M-DGB, M-PCME), no garantizan una cota inferior válida Zf o una
representación de acotamiento válida con las que- el óptimo global pueda ser eliminado. Un
enfoque para enfrentar este problema es el de suponer una estructura especial en el problema de
PNLMIE y recurrir a métodos de optimización global (Horst y Pardalos, 1995; Quesada y
Grossmann, 1995; Grossmann, 1996b; Zamora y Grossmann, 1998). Con la combinación de
técnicas de optimización global, que usualmente toman la forma de métodos de ramificación y
acotamiento espacial, y con subproblemas convexos de PNLMIE, es posible la determinación
rigurosa del óptimo global. La otra opción es aplicar una estrategia heurística, tratando de
reducir hasta donde sea posible el efecto de las no convexidades. No es un método riguroso,
pero requiere de un esfuerzo computacional mucho menor. Aquí, sólo se describirá el segundo
enfoque en el que el objetivo es reducir el efecto de las noconvexidades al nivel del problema
maestro de PLME.
14

15. Viswanathan y Grossmann (1990) propusieron la incorporación de variables de holgura en el
problema maestro de PLIVIE para reducir la probabilidad de cortar soluciones factibles. Este
problema maestro (Penalización Aumentada ¡Relajación de Igualdades) (PARI) tiene la forma:
mm ZK= a + ±[wpk +wqk]
sa. a ~
X _ Xk
f(xk,yk)+Vf(xk,yk)T
- k
yy
k ] :~~
TkVh(xk,yk)T = 1,...K (M -PI)
ly-Y k
r_k1XX
g(xk , yk)+Vg(xk , yk)TI R q k
LyykJ
y—y 1 ~ B-1 k=l,...K
, E Bk iNk
X E X,y E Y,a E R', pkqk >- o
donde wp' y w11 son factores de peso que se escogen suficientemente grandes (p.j. 1000 veces la
magnitud del multiplicador de Lagrange). Nótese que si las funciones son convexas, entonces
el problema maestro (M-PARI) de PLME predice cotas inferiores rigurosas para (Pl) ya que
todas las variables de holgura se ajustan a cero. También es de mencionarse que el programa
DTCOPT (Viswanathan y Grossmann, 1990), que actualmente es el único programa comercial
disponible para la solución de problemas de PNLMIE (como parte del sistema de modelado
GAMS (Brooke et al., 1988)), está basado en el problema maestro anterior. Este código también
usa el subproblema relajado (PNLI) para generar la primer linearización del problema maestro
anterior, con lo cual el usuario no necesita especificar un valor entero inicial. También, como las
propiedades de acotamiento de (M-PARI) no se pueden garantizar, la búsqueda en problemas no
convexos se termina cuando ya no mejora la función objetivo en los subproblemas factibles de
PNL Es ésta una regla heurística que, sin embago, funciona razonablemente bien en muchos
problemas.
También debe notarse que otra modificación para reducir los efectos indeseables de las no
convexidades en el problema maestro consiste en la aplicación de pruebas globales de
convexidad seguidas de una validación adecuada de linearizaciones. Una posibilidad es la de
aplicar las pruebas a todas las linearizaciones con respecto al vector de solución vigente ( yK, xK)
(Kravanja y Grossmann, 1994). Las condiciones de convexidad que tienen que verificarse son
las siguientes:
15

16. rK_k1 1
—a ~ sI
LYK Yk ]
r K _k1
Tkvh(xkYk)T[K _yk] ~ S k=1,...K-1 (PGC)
rK_k1
g(xk,yk)+Vg(xk,yk)TI I~ B
LYK Yk ]
donde E es un vector de tolerancias pequeñas (pi. 1010) . Nótese que la prueba se omite para las
linearizaciones vigentes K, ya que éstas son siempre válidas para el punto de solución (yK, xK)
Con base en esta prueba, se efectúa una validación de las linearizaciones, y aquéllas en las que
no se satisface la verificación de arriba son simplemente desechadas del problema maestro. Esta
prueba se apoya en la suposición de que las soluciones de los subproblemas de PNL se están
acercando al óptimo global, y que las validaciones sucesivas, en forma progresiva, van
definiendo restricciones válidas de factibilidad alrededor del óptimo global. También hay que
notar que si los coeficientes del lado derecho de las linearizaciones se modifican para validar la
linearización, la prueba corresponde a una de la estrategia de dos fases de Kocis y Grossmann
(1988).
MÉTODOS BASADOS EN LÓGICA PROPOSICIONAL
Recientemente, ha habido una tendencia a representar los problemas de optimización discreta
lineal y no lineal, por modelos que consisten en restricciones algebraicas, disyunciones lógicas y
relaciones lógicas (Balas, 1985; Beaumont, 1991; Raman y Grossmann, 1993, 1994; Turkay y
Grossmann, 1996; Lee y Grossmann, 1999). En particular, el programa mixto entero (Pl)
también se puede formular como un programa generalizado disyuntivo, de acuerdo a lo expuesto
por Raman y Grossmann (1994):
min Z =Ck +f(x)
sa. g(x) = O
' zk
y hk(x)0 kESD (PGD)
Ck = Yik
fl(Y) 47erdadero
X E R, C E R', Y c {verdadero, falso}m
16

17. en donde YJ.k son las variable booleanas que establecen si un término dado en una disyunción es
verdadero [h,7 (x) ~ O], mientras que Q(Y) son las relaciones lógicas que se suponen para
expresarse en forma de lógica proposicional, incluyendo sólo variables booleanas. YJk son
variables auxiliares que controlan la parte del espacio factible en la que se encuentran las
variables continuas, x, y las variables ck representan cargos fijos que se activan a un valor Yik Si
el término correspondiente de la disyunción es verdadero. Finalmente, las condiciones lógicas,
Q(Y), expresan relaciones entre los conjuntos disyuntivos. En el contexto de problemas de
síntesis de procesos, las disyunciones en (PGD) surgen para cada unidad ¡ en la forma siguiente:
Y,
h(x)O y B'x=O ¡El (2)
c=O
en la cual aplican las desigualdades h, incurriéndose en un costo fijo si la unidad es
seleccionada (Y,); en caso contrario (-7Y) no hay costo fijo, y un subconjunto de las variables x
se ajusta a cero con la matriz B'.
Es importante notar que cualquier problema formulado como (PGD) siempre se puede
reformular como otro de PNLMIE de la forma del problema (Pl), y cualquier problema de la
forma (Pl) se puede expresar en la forma de (PGD). Sin embargo, para propósitos de modelado,
resulta ventajoso iniciar con el modelo (PGD) ya que éste captura en forma más directa tanto la
parte cualitativa (lógica) como la parte cuantitativa (ecuaciones) de un problema. Para
transformar (PGD) en (Pl), el camino más directo es el de reemplazar las variables booleanas
Y/fr por variables binarias Yifr, y las disyunciones por restricciones del tipo "M-mayor" de la
forma,
h k (x) ~ M(l - Yk), ¡ E Dk , k E SD
(3)
iEDk
donde M es una cota superior válida. Finalmente, las proposiciones lógicas Q(y) = Verdadero, se
convierten en desigualdades lineales como se describe por Williams (1985) y Raman y
Grossmann (1991).
Se consideran primero los algoritmos correspondientes a AE y DGB para problemas expresados
en la forma de (PGD). Como se describe por Turkay y Grossmann (1996) para valores fijos de
las variables booleanas, Yfk = verdadero y Y/k = falso para i :#- ¡ , el subproblema PNL
correspondiente es el siguiente:
17

18. minZ = 1 Ck+f(x)
kSD
sa. g(x)<0
h. (x) < 01
para = verdadero ¡ E Dk , k E SD (PNLD)
Ck = 71k J
B'X=0}para =falso iEDk ,i ~T,kESD
Ck -0
X E R, C1 E
Nótese que para cada disyunción k E SD sólo se imponen restricciones correspondientes a la
variable booleana Yk que sean verdaderas. También, los cargos fijos yk se aplican sólo a
estos términos. Suponiendo que se resuelven K subproblemas de (PNLD) en los cuales
se generan conjuntos de linearizaciones / =1, . .. K para subconjuntos de términos de disyunción
Lk = { / 1 Y'jk = verdadero }
, es posible definir el siguiente problema maestro AE disyuntivo:
min Z C + f(x)
sa. a ~ f(x1)+Vf(xl)T(x_xl)l
g(x1)+Vg(x1)T(x_xl)<0j
L
rk 1
kESD (MPGD)V
iDk /ELÍk
]L Ck = Yik
(Y) =Verdadero
a E R, X E R, CE Rm, YE {verdadero,falso}m
Debe tomarse en cuenta que antes de aplicar el problema maestro anterior, es necesario resolver
varios subproblemas de (PNILD) de tal manera de que se produzca al menos una aproximación
lineal de cada uno de los términos en las disyunciones. Como se mostró por Turkay y
Grossmann (1996), el seleccionar el menor número de subproblemas es equivalente a la
solución de un problema de cobertura de conjuntos, que es de tamaño pequeño y fácil de
resolver. En el contexto de problemas de síntesis de esquemas de proceso, otra forma de
generar las linearizaciones en (MIPGD) consiste en partir de un diagrama de flujo inicial y
suboptimizar los subsistemas remanentes como en la estrategia de modelado/descomposición
(Kocis y Grossmann, 1989; Kravanja y Grossmann, 1990).
18

19. El problema anterior (MIPGD) se puede resolver con los métodos descritos por Beaumont
(1991), Raman y Grossmann (1994), y Hooker y Osorio (1996). También es interesante notar
que para el caso de estructuras de proceso, Turkay y Grossmann (1996) han demostrado que si
la representación de la caja convexa de las disyunciones en (2) se utiliza en (MIPGD), entonces
al asumir que B' = 1, y convertir las relaciones lógicas Q(Y) en las desigualdades Ay -:5-a, se llega
al problema IVIPLE,
miii Zck+f(x)
sa. a ~ f(x)+Vf(x')T(x-x1)1
g(x1)+Vg(x1)T(x—x1) ~ 0
(PMEDF)
J
Vh1 (x l ) T x+v h(x 1 ) T x[_h1 (x 1 )+Vh1 (x l ) T x 1 1 lcK,iEIXN. 7
XA - XN + X 1
0~ xI xZy1
0<x 2 ~ x(l—y)Mi
Ay ~ a
xER,x ~ 0,x ~ o,y{o,1}mNi
donde el vector x se fracciona en las variables (x x. ,XN. )
para cada disyunción i, de
acuerdo a la definición de la matriz B. El conjunto de linearizaciones está dado por
KL 1 = [1 Y111 = Verdadero, 1= 1, .... L} que denota el hecho de que sólo un subconjunto de
desigualdades fueron forzadas para un subproblema 1 dado. Es interesante notar que el
algoritmo de Aproximación Exterior basado en lógica proposicional representa una
generalización de la estrategia de modelado/descomposición de Kocis y Grossmann (1989) para
la síntesis de diagramas de flujo de proceso.
Turkay y Grossmann (1996) también han demostrado que mientras que un método generalizado
de Benders basado en lógica proposicional (Geoffrion, 1972) no se puede derivar como en el
caso del algoritmo AE, sí se puede aprovechar la propiedad de los problemas PNLIVIE de que
ejecutar una iteración de Benders (Turkay y Grossmann, 1996) en el problema maestro PLME
del algoritmo AE, es equivalente a generar un corte generalizado de Benders. Por lo tanto, una
versión basada en lógica proposicional del método generalizado de Benders consiste en la
ejecución de una iteración de Benders en el problema maestro (PMEDF) de PLMIE (véase la
propiedad 5). Finalmente, también debe notarse que se pueden introducir variables de holgura a
(MIPGD) y a (PMEDF) para reducir el efecto de las no convexidades como en el problema
maestro de penalización aumentada PLME (Viswanathan y Grossmann, 1990).
19

20. En un enfoque alternativo para resolver el problema (PGD), Lee y Grossmann (1999) han
mostrado, con base en el trabajo de Stubbs y Mehrotra (1994), que la caja convexa de la
disyunción en el Programa Generalizado Disyuntivo (PGD), está dado por el siguiente teorema:
Teorema 2. La caja convexa de cada disyunción k E SD en el problema (PGD),
y h.k (x) ~ 0 (4)
icDk
ck Yik
donde h/(í'ç) -:~- O son desigualdades convexas, es un conjunto convexo y está dado por,
X = V )k, 2 k _ 1
i€Dk iDk
Ck = ik (CHk)
iDk
2kkk(vIk IÁ k )O iEDk
Esta prueba se hace realizando una linearización exacta de (4) con las variables no negativas
ik, y con base en la prueba de Mehrotra y Stubbs (1994) en la que se demuestra que Áh(v/)i) es
una función convexa si h(x) es una función convexa. En (CHk) las variables Vik se pueden
interpretar como variables desagregadas que se asignan a cada término disyuntivo, mientras que
2ik, se pueden interpretar como factores de peso que determinan la validez de las desigualdades
en los términos disyuntivos correspondientes. Nótese también que (CHk) se reduce al resultado
de Balas (1985) para el caso de restricciones lineales. Del Teorema 2, se desprende el siguiente
corolario (Lee y Grossmann, 1999):
Corolario. La relajación en programación no lineal de (PGD) está dada por,
min Z' = 2"k2k +f(x)
sa. g(x) <O
X V, Y A,, = 1 k E SD (PDR)
iDk i€Dk
2 h, h.k (vlk / 21k) 0 i E Dk , k E SD
A2a
X E R, Vjk =0,0 <2ik ~ 1, i E D k , k E SD
y da como resultado una cota inferior válida para la solución del problema (PGD).
20

21. El problema de relajación (PDR) se puede utilizar como base para construir un método de
ramificación y acotamiento de propósito especial, como se propuso por Lee y Grossmann
(1999). En forma alterna, el problema (PDR) se puede usar para reformular el problema (PGD)
como un problema ajustado de PNLME de la forma,
minZL
—71k2lk +f(x)
sa. g(x) <0
XV,k, 2lk=1 kESD
iEDk iDk
(21k +s)hlk (vlk I(21k +s))::~ O i cDk , k c SD (PME-DP)
—UIk ~V jk <UJk
A2 ~ a
xER, Vk ~:O, 2 k _{0,1}, /EDk, kESD
en el cual E es una tolerancia pequeña para evitar dificultades numéricas, y 2/k son variables
binarias que representan las variables booleanas Yik. Todos los algoritmos que se discutieron en
la sección sobre métodos de PNLME se pueden aplicar para resolver este problema. Para el caso
en el que las disyunciones tienen la forma de (2), Lee y Grossmann (1999) hicieron notar que
existe la relación siguiente entre el problema (PME-PD) con la aproximación exterior basada en
lógica proposicional de Turkay y Grossmann (1996). Si se consideran valores fijos de 2j-, se
llega a un subproblema de PNL de la forma (PNLD). Si, entonces, se efectúa una linearización
en el problema (PME-PD), se llega al problema (PMEDF) de PLME.
21

22. Ejemplo
Se presentan aquí resultados numéricos sobre un problema ejemplo que trata de la síntesis de
una red de procesos que fue originalmente formulada por Duran y Grossmann (1986) como un
problema de PNLMIE, y después por Turkay y Grossmann (1986) como otro de PGD. En la
figura 3 se muestra la superestructura que involucra la posibilidad de selección, o no, de 8
procesos. Las variables Booleanas 1'j denotan la existencia o no existencia de los procesos 1-8.
La solución óptima global es Z' = 68.01, y consiste en la selección de los procesos 2,4,6, y 8.
c
x7
E
Fig. 3. Superestructura para el ejemplo de red de procesos
El modelo en la forma de un problema PGD involucra disyunciones para selección de las
unidades, y lógica proposicional para la relación entre estas unidades. Cada disyunción contiene
las ecuaciones de cada unidad. El modelo es el siguiente:
Función objetivo:
min Z = cl+c2+c3+c4+c5+c6+c7+c8
+X2-10X3+X4-1 5x5-40x9+1 5x10+15x14+80x17
-65x 8+25X1 9-60X20+3 5x2 1-80x22-3 5x25+ 122
22

23. Balances de materia en los puntos de mezclaldivisión de corrientes:
X3+X5-X6-X11 = o
X13-X19-X21 = O
X17-X9-X16-X25 = O
X11-X12-X15 = O
X6-X7-X8 = O
X23-X20-X22 = O
X23-X14-X24 = O
Especificaciones en los flujos:
X1O-O. 8X17 < O
X1O-0 .4X17 > O
X12-5X14 < O
X12-2X14 > O
ir -, i
Unidadi: exp(x 3)-1—x 2 0vx 2 =x3 =0
L c1 5 i L c1=O ]
r y2 ir
Unidad 2: exp(x 5 /1.2)-1—x 4 O V1 x4 = x5 =0
[ c2=8 1 L c2=0 j
r y3 ir
Unidad 3 1 1.5x g —x8 +x10 = O VX8 = x9 = x10 = O
L c3 =6 1 L c3 =0 ]
r y4 ir
Unidad 4: 1.5(x12 +x14 )—x13 = O v x12 = x 13 =X 14 = O
L c4=1O ] [ c4= 0 ]
23

24. ir -1Y5
x15 -2x16 =0vx15 =x16 =OUnidad 5:
=6 1 [ C5
Y 6 ir -1y 6
Unidad 6: exp(x 20 11.5)-1—x 19 =0 V l X19=x20
L c6=7 ] L c6=0 ]
i
Unidad 7: [exP(x22) — 1 — x 21 0 V x 21 = x 22 O
c7=4 ] L c7 =O j
r y8 ir
Unidad 8: exp(x 18)-1—x 10 —x17 =0 vx10 =x17 =x18 =0
c8=5 i L c8=0 ]
Lógica proposicional [=(Yi)]:
Y1Y3vY4vY5
Y2Y3vY4vY5
Y3Y1vY2
Y3Y8
Y4Y1vY2
Y4=Y6vY7
Y5=Y1vY2
Y5Y8
Y6Y4
Y7Y4
Y8Y3VY5V(-1Y3A--X5)
24

25. Especificaciones:
Y1LY2
Y4LY5
Y6LY7
Variables:
Xj, c=0, Yi={ Verdadero, Falso} i=l,2, ... ,8, j=1,2, ... ,25
Como se observa en la Tabla 1, el algoritmo de ramificación y acotamiento (RA) de Lee y
Grossmann (1999) llega al óptimo en sólo 5 nodos en comparación con 17 nodos del método
estándar de ramificación y acotamiento aplicado a la formulación PNLME con restricciones de!
tipo M-mayor. Una diferencia mayor entre estos dos métodos es la cota inferior que se predice
por la PNL relajada. Es claro que la cota en el nodo raíz del método RA propuesto, que está
dada por el problema (PRD), es mucho más fuerte (62.48 vs. 15.08). En la Tabla 2 se muestra la
comparación con otros algoritmos cuando el problema se reformula como un problema apretado
de PNLME (PME-PD). Nótese que el algoritmo RA propuesto y el RA estándar generan la
misma cota inferior (62.48), ya que ambos inician con la solución del mismo problema de
relajación. La diferencia entre el número de nodos, 5 vs. 11, es debida a las reglas de
ramificación, que se usan de mejor forma en el método de ramificación y acotamiento especial
de Lee y Grossmann (1999). Los métodos de AE, DGB y EPC parten de una suposición inicia!
Y° = [1,0, 1, 1,0,0,1 , 1]. Nótese que en !os métodos de DGB y AE, una iteración mayor consiste en
un subprob!ema de PNL y un problema maestro de PLME. De acuerdo a lo que predice la
teoría, el método AE basado en lógica proposicional genera una cota inferior, 8.541, que es más
fuerte que la del método DGB. Por lo tanto, la AE requiere 3 iteraciones mayores contra 8 de la
DGB. El método EPC requiere 7 iteraciones, cada una involucrando la solución de un problema
en PLME. De esta manera, estos resultados muestran la mejora que se puede obtener con la
formulación basada en lógica proposicional, como es el caso del programa disyuntivo
generalizado (PDG). También muestra que el algoritmo de AE requiere menos iteraciones
mayores que los métodos DGB y EPC.
Tabla 1. Comparación de métodos de Ramificación y Acotamiento
Modelo MMayor BM PME-PD
Solución Método RA Algoritmo RA
Óptima
Estándar Propuesto
- No. denodos 17
68.01 Óptimo Relajado 15.08 62.48
IMI

26. Tabla 2. Comparación de varios algoritmos de reformulación PME-PD.
Método* RA RA AE GBD ECP
Estándar Propuesto (Mayores) (Mayores) (Mayores)
No. denodos 11 5 3 8 7
/ Iteraciones (Nodos) (Nodos) (Iter.) (Iter.) (Iter.)
Óptimo Relajado 62.48 62.48 8.541 -55 1.4 -5.077
*Todos los métodos resuelven el problema reformulado (PME-PD) de PNILME.
CONCLUSIÓN
En este trabajo se ha presentado un enfoque unificado al tratamiento y derivación de los
diferentes algoritmos de PNLMIE que se han reportado en la literatura. Como se ha mostrado
para el caso en que el problema se expresa en forma algebraica, el método de Ramificación y
Acotamiento, el Generalizado de Benders, el de Aproximación Exterior, el Extendido de Plano
Cortante y el de Ramificación y Acotamiento basado en PL/PNL se pueden derivar fácilmente
de tres subproblemas básicos de PNL y un problema maestro de PLME. Se pueden obtener
derivaciones similares para el caso en el que el problema se expresa como uno de optimización
disyuntiva generalizado. Se han presentado las propiedades teóricas más importantes de estos
métodos, así como extensiones a problemas no convexos. Los resultados numéricos del ejemplo
sencillo han confirmado las propiedades teóricas que se discutieron en el trabajo.
AGRADECIMIENTOS
El autor desea expresar su agradecimiento a la Academia Mexicana de Ingeniería por la
oportunidad de preparar este trabajo, que agrupa en forma resumida gran parte de su carrera
académica. También desea agradecer al Ing. Julián Castellanos quien lo introdujo a la
investigación, y a sus estudiantes mexicanos Marco Duran, Ignacio Quesada, Hector Yeomans y
Juan Zamora por hacer posible este trabajo por conducto de sus contribuciones en esta área.
26

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MM

30. Técnicas de Programación no Lineal Mixta
para Ingeniería de Sistemas de Procesos
Ignacio E. Grossmann
Departamento de Ingeniería Química, Universidad de Carnegie Mellon
Pirtsburgh, PA 15213, EUA
Febrero 1999
RESUMEN
Este trabajo tiene como ob!etivo primordial el presentar un enfoque unificado al tratamiento y
derivacion de técnicas de programación no Lineal mixta entera (PYL). Ramificación
Acotamiento, Aproxirnacion Exterior, Descomposición Generalizada de Benders y método
Extendido de Plano de Cortante, que son aplicables a problemas de optimización no lineal
ciscreta que se expresan en forma algebraica. Se presenta primero la solución de problemas de
PYL con funciones convexas, y a continuación se hace una extensión al caso de no
convexidad. Tambien se describe la solución de representaciones basadas en 1o2ica
procosictonal. conocidas como proamas o1siuntivos generalizados. Finalmente, se presentan
comparaciones numéricas relativas a una red de procesos sencilla con el objeto de conñrrnar las
propiedades teóricas de estos métodos.