Commande optimale

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Cours de commande optimale de Polytech'Clermont-Ferrand.

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  • Réduire le détail de la narration ! Optimiser  Minimiser ou maximiser un élément intrinsèque ou caractéristique du système étudié !
  • Analogie avec la loi de la réfraction de la lumière : vitesse1*sin(alpha1)=Vitesse2*sin(alpha2) A vérifier ces noms grecs dans le Robert !
  • Quand on parle d’optimalité d’une commande, d’une opération bourssière ou de la structure d’un avion par exemple, c’est que nous avons eu à faire une optimisation !
  • Principe fondamental de la dynamique !
  • Principe fondamental de la dynamique !
  • Commande optimale

    1. 1. Automatique dans l’espace d’état - II Commande optimale (AURO6) Lounis ADOUANE LASMEA , UMR CNRS 6602, Bureau 3113 24 Avenue des landais, 63177 AUBIERE Cedex Lounis.Adouane@lasmea.univ-bpclermont.fr Tel. 04 73 40 72 45
    2. 2. Plan <ul><li>Principe du minimum d’une fonctionnelle </li></ul><ul><li>Commande optimale quelconque </li></ul><ul><li>Commande optimale quadratique (cas continu) </li></ul><ul><li>Commande optimale quadratique (cas discret) </li></ul><ul><li>Introduction générale </li></ul><ul><li>Critères d’optimisation </li></ul>
    3. 3. Bibliographie J. Macki , « Introduction to Optimal Control Theory » Series: Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1995. P. De Larminat , «  Automatique : commande des systèmes linéaires   » Hermes, 1996. P. Borne et al., «  Commande et optimisation des processus   », Collection Méthodes et Pratiques de l’Ingénieur, volume 1, Technip, 1990. M. Bergounioux , « Optimisation et contrôle des systèmes linéaires   », Dunod, Collection Sciences Sup., 2001.
    4. 4. Introduction générale 1) Légende de la fondation de Carthage (814. av. JC), le souverain avait permis aux Phéniciens de fonder une ville dont le pourtour était délimité par une peau de vache ; Didon ( première reine de Carthage ) en fit une grande lanière et choisit une forme circulaire pour avoir la plus grande surface (S). Exemples historiques d’optimisation x 1 x 2 S Formulation mathématique du problème : X=[x 1 x 2 ] T S(X * ) = Max (S(X)) Sous la contrainte Longueur de la courbe = constante
    5. 5. Introduction générale Exemples historiques d’optimisation A B La résolution de ce problème a permis de développer les méthodes du calcul variationnel . 2) Courbe brachistochrone (vient du grec brakhisto-chronos (le plus court-temps)) Problème formalisé par Bernoulli au XVI eme siècle et qui consiste à trouver l’allure de la courbe qui permet à une masse soumise à la seule force de gravité de relier le point A au point B en un minimum de temps. L’arc d’une cycloïde est la courbe optimale.
    6. 6. Introduction générale Il existe deux sortes d’optimisation en automatique  : 2. L’optimisation fonctionnelle , où l’on suppose au contraire que le correcteur est de structure complètement libre et donc que la loi de commande u(t) (ou u k ) qui sera appliquée à l’entrée du procédé peut être choisie arbitrairement. À une fonction u(t) donnée on fait correspondre une valeur donnée d’un certain critère J , qui est donc une fonctionnelle ( fonction de fonction ) . C’est sur cette deuxième forme d’optimisation que portera ce cours. 1. L’optimisation paramétrique , qui consiste à rechercher les paramètres optimaux d’un correcteur C(p) de structure imposée, par exemple, les paramètre K p et T i d’un correcteur de type PI, en cherchant à rendre minimale une fonction de coût J : On cherche alors K p et T i tels que :
    7. 7. Introduction générale Exemple : Alunissage d’une fusée Equation de la dynamique du système : Contrainte : Critère à minimiser : L’objectif est d’annuler la vitesse de la fusée au point d’impact avec le sol lunaire ( z(t f )=0 et z_p(t f )=0 ), tout en minimisant la consommation de carburant (qui est proportionnelle à la poussée P ). Surface de la lune Z Hauteur = z(t) (Poussée verticale) (Force gravitationnelle)
    8. 8. Introduction générale Le problème général pour la détermination d’une commande optimale d’un processus peut se résumer comme suit : Un processus étant défini par son modèle, il faut trouver parmi les commandes admissibles celle qui permet à la fois : <ul><li>de vérifier des conditions initiales et finales données, </li></ul><ul><li>de satisfaire diverses contraintes imposées, </li></ul><ul><li>d’optimiser un critère choisi. </li></ul>

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