1. RING
A. PENDAHULUAN
Pada pertemuan pertama telah dijelaskan materi tentang grup dan subgrup. Di dalam
grup, dikenal pengertian dan sifat-sifat grup, dan subgrup yang berkaitan dengan ring.
Ring adalah suatu himpunan tak kosong yang memenuhi dua operasi biner terhadap
penjumlahan dan perkalian.
Adapun yang akan dibahas dalam makalah ini yaitu : sifat – sifat ring, sub ring,
integral domain, dan field. Hal ini erat hubungannya dengan materi yang akan dibahas
sekarang yaitu ring. Sehingga setelah mempelajari materi ini, diharapkan :
1. Mengetahui sifat-sifat ring
2. Menjelaskan Sub ring
3. Menjelaskan integral domain
4. Menjelaskan Field.
B. Definisi RING
Ring adalah suatu himpunan tak kosong dengan dua operasi biner, penjumlahan
(a+b) dan perkalian (ab), sehingga untuk semua a,b,c ∈ R..
1. a + b = b + a
2. (a + b) + c = a + (b + c)
3. There is an additive identity 0. That is, there is an element 0 in R such that a + 0 = a
for all a in R.
4. There is an element - a in R such that a + (- a) = 0.
5. a (bc) = (ab) c
6. a (b + c) = ab + ac and (b + c) a = ba + ca.
Atau dengan kata lain,
Ring adalah suatu himpunan tak kosong dengan dua operasi biner, penjumlahan
(a+b) dan perkalian (ab), sehingga untuk semua a,b,c ∈ R jika dan hanya jika:
1. Grup komutatif terhadap penjumlahan
2. Assosiatif terhadap perkalian
3. Distribrutif
1
2. Suatu ring dikatakan Ring Komutatif adalah jika suatu ring berlaku sifat komutatif
terhadap perkalian.
Contoh 1 :
Tunjukkan bahwa Z3 merupakan ring.
Jawab :
Tabel cayley
+ 0 1 2 ∙ 0 1 2
0 0 1 2 0 0 0 0
1 1 2 0 1 0 1 2
2 2 0 1 2 0 2 1
Dari tabel cayley diatas Z3 = {0, 1, 2} merupakan ring jika memenuhi:
1) Tertutup
2) a + b = b + a
kita ambil 0,1,2 𝜖 Z3
0+1=1+0=1
1+2=2+1=0
2+0=0+2=2
Maka Z3 bersifat komutatif terhadap penjumlahan
3) (a + b) + c = a + (b + c)
kita ambil 0,1,2 𝜖 Z3
(0 + 1) + 2 = 0 + (1 + 2) = 0
(1 + 1) + 2 = 1 + ( 1 + 2) = 1
(2 + 1) + 0 = 2 + ( 1 + 0) = 2
Maka Z3 bersifat asosiatif terhadap penjumlahan
4) There is an additive identity 0. That is, there is an element 0 in R such that a + 0 = a
for all a in R.
Mempunyai elemen identitas yaitu 0 pada operasi penjumlahan
(e = 0, a + e = e + a = a)
kita ambil 0,1,2 𝜖 Z3
0+0=0+0=0
2
3. 1+0=0+1=1
2+0=0+2=2
5) There is an element - a in R such that a + (- a) = 0.
Adanya unsur balikan atau invers, a + (-a) = 0
kita ambil 0,1,2 𝜖 Z3
0 + 0 = 0 = e, maka invers dari 0 adalah 0
1 + 2 = 0 = e, maka invers dari 1 adalah 2
2 + 1 = 0 = e, maka invers dari 2 adalah 1
6) a (bc) = (ab) c
kita ambil 0,1,2 𝜖 Z3
0 ∙ (1 ∙ 2) = (0 ∙ 1) ∙ 2 = 0
2 ∙ (2 ∙ 1) = (2 ∙ 2) ∙ 1 = 1
1 ∙ (1 ∙ 2) = (1 ∙ 1) ∙ 2 = 2
Maka Z3 bersifat asosiatif terhadap perkalian
7) a (b + c) = ab + ac and (b + c) a = ba + ca
kita ambil 0,1,2 𝜖 Z3
0 ∙ (1 + 2) = (1 + 2) ∙ 0 = 0
1 ∙ (0 + 1) = (0 + 1) ∙ 1 = 1
1 ∙ (2 + 0) = (2 + 0) ∙ 1 = 2
Maka Z3 bersifat distributif
Karena memnuhi syarat ring maka dapat disimpulkan bahwa Z3 merupakan Ring.
Contoh 2 :
Dari contoh diatas, Z3 merupakan ring. Tunjukkan bahwa Z3 adalah ring komutatif .
Jawab :
a ∙ b = b.a
kita ambil 0,1,2 𝜖 Z3
0∙1=1∙0=0
1∙2=2∙1=2
2∙0=0∙2=0
Maka Z3 komutatif terhadap perkalian
3
4. Berdasarkan definisi ring komutatif dapat disimpulkan bahwa Z3 merupakan Ring
Komutatif.
C. Sifat – Sifat Ring
Our first theorem shows how the operations of addition and multiplication
intertwine. We use b - c to denote b + (-c).
Teorema 1 :
Jika a,b,c suatu ring (R) maka : (Galian : 239)
a. a ∙ 0 = 0 ∙ a = 0, ∀ 𝑎 ∈ 𝑅
b. a(-b) = (-a)b = -ab, ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅
c. (-a)(-b) = ab, ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅
d. a(b – c) = ab – ac, ∀ 𝑎, 𝑏 , 𝑐 ∈ 𝑅
Selanjutnya, jika R mempunyai suatu elemen 1, maka :
e. (-1)a = - a
f. (-1)(-1) = 1
Bukti :
Diketahui R adalah ring, maka :
a) a ∙ 0 ∈ R dan 0 + 0 = 0 sehingga a ∙ 0 + 0 = a ∙ 0
a ∙0+a ∙0= a ∙0 → Distributif
a ∙ 0 + a ∙ 0 = a ∙ 0 + 0 → 0 elemen netral
a ∙0=0 → Kanselasi kiri
0 ∙ a ∈ R dan 0 + 0 = 0 sehingga 0 + 0 ∙ a = 0 ∙ a
0∙a+0∙a=0 ∙a → Distributif
0 ∙ a + 0 ∙ a = 0 ∙ a + 0 → 0 elemen netral
0 ∙a=0 → Kanselasi kiri
b) ∀ a, b ∈ R. ∋ −a, −b ∈ R sehingga − a + a = 0 dan − b + b = 0
−(ab) + ab = 0
a – b + ab = a – b + b → distributif
4
5. = a0 → 0 elemen netral
=0 → 0 teorema 1. a
– a b + ab = −a + a b → distributif
= 0b → 0 elemen netral
=0 → 0 teorema 1. a
maka a (-b) dan (-a)b masing-masing merupakan invers dari ab, dan elemen invers
tunggal sehingga (-a)b = a(-b) = -ab
c) ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅. −𝑎 −𝑏 = − 𝑎 −𝑏 → 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 1. 𝑏
= − − 𝑎𝑏 → 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 1. 𝑏
= 𝑎𝑏
d) ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅. 𝑎 𝑏 − 𝑐 = 𝑎 𝑏 + −𝑐 → 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑠𝑖 𝑏 − 𝑐 = 𝑏 + (−𝑐)
= 𝑎𝑏 + 𝑎 −𝑐 → 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑓
= ab + (- ac) → teorema 1.b
= 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐 → 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑠𝑖 𝑏 − 𝑐 = 𝑏 + (−𝑐)
∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅. 𝑏 − 𝑐 𝑎 = 𝑏 + −𝑐 𝑎 → 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑠𝑖 𝑏 − 𝑐 = 𝑏 + (−𝑐)
= 𝑏𝑎 + −𝑐 𝑎 → 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑓
= ba + (-ca) → teorema 1.b
= 𝑏𝑎 − 𝑐𝑎 → 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑠𝑖 𝑏 − 𝑐 = 𝑏 + (−𝑐)
Jika R mempunyai suatu elemen 1, maka :
e) (-1) a = - a
(-1) a = -1 (1∙ 𝑎)
= (-1∙ 1) ∙ a → 𝑎𝑠𝑠𝑜𝑠𝑖𝑎𝑡𝑖𝑓
= - (1 ∙ 1) ∙ a → 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 1. 𝑏
= - a (1 ∙ 1)
=-a
f) (-1)(-1) = 1
(-1)(-1) = - (- (1∙1) ) → 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 1. 𝑐
=1
5
6. Teorema 2 :
If a ring has a unity, it is unique. If a ring element has a multiplicative inverse, it is
unique.
Bukti :
Kita tahu bahwa sebuah ring,
Ring tidak butuh mempunyai identitas, tapi jika ada maka disebut unique
Misal e1 dan e2 keduanya adalah unity untuk ∀a ∈ R, maka akan dibuktikan e1=e2
e1.a=a dan e2.a=a
⇒ e1.a=a= e2.a
⇒ e1.a=e2.a
⇒ e1=e2
Element ring tidak butuh mempunyai invers, tapi jika ada maka disebut unique
Misal b and b’ keduanya adalah invers dari a, maka akan dibuktikan b=b’
ab = 1 = ba,
ab′ = 1 =b′a
⇒ b′ = 1.
⇒ b′ = (ba)b′
⇒ b’= b(ab′)
⇒ b’= b1
⇒ b’ = b
D. SUBRING
Sebuah himpunan tak kosong S dalam ring R dinamakan subring dari R jika S itu
sendiri mempunyai operasi yang sama terhadap R.
Teorema 3 :
A nonempty subset S of a ring R is a subring if S is closed under subtraction and
multiplication—that is, if a - b and ab are in S whenever a and b are in S.
Bukti :
1) a – b ∈ S 2) a . b ∈ S
Ambil a,b ∈ S Ambil a,b ∈ S
Maka, a – b ∈ S Maka, a . b ∈ S
6
7. Contoh 3 :
Misalkan Z6 merupakan ring, tunjukkan bahwa {0,2,4} adalah sebuah subring dari
Z6 dan 4 merupakan unity dari {0, 2, 4}.
Jawab :
Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
1) {0, 2, 4} merupakan himpunan tak kosong dari S
2) a – b ∈ S
0–0=0 2–0=2 4–0=4
0–2=4 2–2=0 4–2=2
0–4=2 2–4=4 4–4=0
Sehingga terbukti bahwa a – b ∈ S
3) ab ∈ S
0∙0=0 2∙0=0 4∙0=0
0∙2=0 2∙2=4 4∙2=2
0∙4=0 2∙4=2 4∙4=4
Sehingga terbukti bahwa ab ∈ S
Dari penjelasan diatas dapat disimpulkan bahwa {0, 2, 4} merupakan subring dari S
karena memenuhi syarat subring.
Tabel cayley
∙ 0 2 4
Dari table cayley disamping, maka dapat
0 0 0 0
disimpulkan bahwa 4 merupakan unity
2 0 4 2
(identitas) pada operasi perkalian Z6
4 0 2 4
7
8. INTEGRAL DOMAIN
Definisi Zero-Devisor (Pembagi Nol)
A zero-devisor adalah elemen bukan nol a dari ring komutatif R, sehingga ada unsur
b ∈ R dengan ab = 0.
Definisi Integral Domain
Integral domain adalah ring komutatif dengan unity dan bukan pembagi nol.
Contoh 4 :
Misalkan Z3 merupakan Ring maka tunjukkan bahwa Z3 merupakan integral domain.
Penyelesaian :
1) Z3 = {0, 1, 2} merupakan integral domain, dapat dibuktikan dengan tabel cayley.
Tabel cayley
∙ 0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 1
Terlebih dahulu kita membuktikan Z3 adalah ring komutatif terhadap perkalian.
Kita ambil 1,2 ∈ Z3 , maka
1. 2 = 2 . 1
2=2
Dari table cayley diatas dapat disimpulkan bahwa Z3 merupakan integral domain karena
tidak mempunyai pembagi nol dan mempunyai unity yaitu 1
Contoh 5 :
Tunjukkan bahwa Z4 bukan merupakan integral domain.
Penyelesaian :
Z4 = {0, 1, 2, 3} bukan merupakan integral domain, dapat dibuktikan dengan table
cayley.
8
9. Tabel cayley
∙ 0 1 2 3
Dari table cayley disamping, maka dapat
0 0 0 0 0 disimpulkan bahwa Z4 bukan merupakan
1 0 1 2 3 suatu integral domain karena memiliki
2 0 2 0 2 pembagi nol yaitu 2 dimana diperoleh
3 0 3 2 1 2∙ 2 = 0
Teorema 4 :
Let a, b, and c belong to an integral domain. If a ≠ 0 and ab = ac,
then b = c.
Bukti :
ab = ac, maka:
ab – ac = 0
a(b – c) = 0
Karena R adalah Integral Domain yang tidak mempunyai pembagi nol dan a ≠ 0, maka
b–c=0
jadi, b = c
FIELD
DEFINISI :
Field adalah ring komutatif dengan unity dimana setiap element bukan nol
adalah unit.
Syarat field,yaitu:
1. Ring komutatif
2. Mempunyai unity
3. Mempunyai unit
4. Integral domain
TEOREMA 5 :
Integral domain terbatas adalah field
Bukti :
Misalkan R integral domain berhingga dengan n element adalah 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎 𝑛
9
10. jika ai ≠ 0, anggap himpunan aiR = 𝑎 𝑖 𝑎1 , 𝑎 𝑖 𝑎2 , … , 𝑎 𝑖 𝑎 𝑛
= 𝑎 𝑖 𝑟𝐼𝑟 ∈ 𝑅
Semua n elemen dari himpunan ini adalah elemen yang berbeda dari R karena jika
𝑎 𝑖 𝑏 = 𝑎 𝑖 𝑐 maka b = c. Jadi 𝑎 𝑖 𝑅 = 𝑅 khususnya 1∈ 𝑎 𝑖 𝑅 , jadi untuk 𝑟 ∈ 𝑅 maka 𝑎 𝑖 𝑟 =
𝑟𝑎 𝑖 =1. Demikian tiap 𝑎 𝑖 mempunyai invers terhadap perkalian, dan R adalah field.
AKIBAT :
Untuk setiap p prima, Zp merupakan ring bilangan bulat modulo p adalah field.
Contoh 6 :
Misalkan R = 0,2,4,6,8 dibawah operasi penjumlahan dan perkalian modulo 10.
Tunjukkan bahwa R adalah field.
Penyelesaian:
Tabel cayley
+ 0 2 4 6 8 ∙ 0 2 4 6 8
0 0 2 4 6 8 0 0 0 0 0 0
2 2 4 6 8 0 2 0 4 8 2 6
4 4 6 8 0 2 4 0 8 6 4 2
6 6 8 0 2 4 6 0 2 4 6 8`
8 8 0 2 4 6 8 0 6 2 8 4
Dari tabel cayley diatas, dapat disimpulkan bahwa R = 0,2,4,6,8 merupakan integral
domain karena
Tidak ada pembagi nol
Mempunyai unity terhadap perkalian yaitu 6
Mempunyai invers perkalian
6 . 6 = 6, 2 . 8 = 6, 4 . 4 = 6, 8. 8 = 6
Maka terbukti bahwa R adalah Field.
Contoh 7:
Misalkan Z5 adalah ring komutatif, tunjukan bahwa Z5 adalah field
Penyelesaian:
Z5 = 0,1,2,3,4
10
11. Karena Z5 merupakan Ring Komutatif, selanjutnya kita memeriksa unity dan invers
sehingga Berdasarkan Tabel Cayley
Z5 mempunyai unity terhadap perkalian yaitu 1
Z5 mempunyai invers terhadap perkalian
1 . 1 = 1, 2 . 3 = 1, 3 . 2 = 1, 4 . 4 = 1 Maka Z5 adalah Field
Tabel cayley
+ 0 1 2 3 4 ∙ 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0
1 1 2 3 4 0 1 0 1 2 3 4
2 2 3 4 0 1 2 0 2 4 1 3
3 3 4 0 1 2 3 0 3 1 4 2
4 4 0 1 2 3 4 0 4 3 2 1
KARAKTERISTIK RING
Perhatikan bahwa untuk setiap elemen x di Z3 [i], diketahui bahwa 3x = x + x + x =
0, dengan menggunakan perkalian modulo 3. Demikian juga dalam subring {0, 3, 6, 9 }
dari Z12, diketahui bahwa 4x = x + x + x + x = 0 untuk semua x. Bentuk seperti ini
menyebabkan adanya definisi sebagai berikut:
Definisi karakteristik Ring ( R )
“Karakteristik dari ring R adalah bilangan bulat positif n sedemikian hingga nx = 0
untuk semua x di R. Jika tidak ada bilangan bulat yang berlaku seperti itu, maka
dikatakan bahwa R memiliki karakteristik 0. Karakteristik ring dinotasikan dengan R.”
Dengan demikian ring dengan bilangan bulat memiliki karakteristik 0, dan Zn
memiliki karakteristik n. semua infinite ring (ring tidak terbatas) bisa memiliki
karakeristik ring yang tidak nol.
Terorema 6. Karakteristik Ring dengan Unity
11
12. “ Misakan R sebuah ring dengan unity 1. Jika 1 memiliki order yang tak terbatas
dibawah penjumlahan, maka karakteristik dari R adalah 0. Jika 1 memiliki n order di
bawah penjumlahan maka karakteristik R adalah n”
Bukti :
R mempunyai karakteristik n
Akan dibuktikan n bilangan bulat positif terkecil sehingga n.1 = 0. R mempunyai
karakteristik n berarti n adalah bilangan bulat positif terkecil sehingga n.a = 0 untuk
a R, dan 1 R
maka n.1 = 0
Jika 1 memiliki order tak terbatas, maka tidak ada bilangan bulat positif n yang
memenuhi n . 1 = 0, sehingga R memiliki karakteristik 0.
Jika 1 memiliki n order terbatas di bawah penjumlahan. Maka n . 1 = 0 dan n adalah
bilangan bulat positif terkecil. Jadi, untuk setiap x di R maka:
n . x = x + x + … + x sebanyak n (definisi nx)
= 1x + 1x + … + 1x ( sifat identitas 1.x = x.1 = x)
= (1 + 1 + … + 1 ) x ( sifat distributif )
= ( n . 1 )x ( definisi n.1)
= 0x (diketahui n.1 = 0)
n.x=0
Dengan demikian, R memiliki n karakteristik.
Teorema 7. Karakteristik Integral Domain
“ Karakteristik Integral Domain adalah 0 atau prima”
Bukti :
Dari teorema 13.3 jika order penjumlahan dari 1 (unity) terbatas, maka R memilki
karakteristik. Misalkan bahwa 1 memiliki order n dan n = st,di mana 1 ≤ s, t ≤ n.
dengan demikian;
n.1=0
st . 1 = 0
(s . 1 ) (t . 1 ) = 0
s . 1 = 0 atau t . 1 = 0 (diketahui n.1 = 0)
maka, s . 1 = n . 1 maka s = n
12
14. SOAL LATIHAN
1. Bila didefinisikan Q(√2 ) = { a + b √2 │a, b dalam Q } maka akan dibuktikan bahwa
Q(√2 ) merupakan Subring dari R.
Penyelesaian:
Karena Q himpunan yang tidak kosong maka jelas bahwa Q(√2 ) juga himpunan
yang tidak kosong.
Misal a + b √2, c + d √2 ∈ Q(√2 )
( a + b √2 ) ( c + d √2 ) = ( ac + 2bd ) + ( ad + bc ) √2
Maka ( ac + 2bd ) + ( ad + bc ) √2 ∈ Q(√2)
Misal a + b √2, c + d √2 ∈ Q(√2 )
( a + b ) √2 – ( c + d ) √2 = ( a – c ) + ( b – d ) √2
Maka ( a – c ) + ( b – d ) √2 ∈ Q(√2
Oleh karena itu Q (√2 ) merupakan Subring dari R.
2. Misalkan d adalah bilangan bulat positf. Tunjukkan bahwa 𝑄 𝑑 = 𝑎+
𝑏 𝑑 𝐼𝑎, 𝑏 ∈ 𝑄 adalah field.
Penyelesaian:
Kita ambil 𝑎1 + 𝑏1 𝑑 , 𝑎2 + 𝑏2 𝑑∈ 𝑄
Terlebih dahulu kita akan membuktikan bahwa 𝑄 adalah ring komutatif
a.b = b.a
a.b = 𝑎1 + 𝑏1 𝑑 . ( 𝑎2 + 𝑏2 𝑑)
= (𝑎1 𝑎2 + 𝑎2 𝑏1 𝑑 + 𝑎1 𝑏2 𝑑 + 𝑏1 𝑏2 𝑑 )
= 𝑎1 𝑎2 + 𝑏1 𝑏2 𝑑 + (𝑎2 𝑏1 + 𝑎1 𝑏2 ) 𝑑
ba = ( 𝑎2 + 𝑏2 𝑑 ) . 𝑎1 + 𝑏1 𝑑
= (𝑎1 𝑎2 + 𝑎2 𝑏1 𝑑 + 𝑎1 𝑏2 𝑑 + 𝑏1 𝑏2 𝑑 )
= 𝑎1 𝑎2 + 𝑏1 𝑏2 𝑑 + (𝑎2 𝑏1 + 𝑎1 𝑏2 ) 𝑑
𝑄 𝑑 merupakan 𝐑𝐢𝐧𝐠 𝐊𝐨𝐦𝐮𝐭𝐚𝐭𝐢𝐟 dengan Unity yaitu (1+0 𝑑)
𝑎1 + 𝑏1 𝑑 . (1+0 𝑑 ) = 𝑎1 + 𝑏1 𝑑
Selanjutnya kita akan memeriksa elemen bukan nol mempunyai invers terhadap
perkalian.
14
15. 𝟏
𝑎1 + 𝑏1 𝑑 . 𝒂 𝟐 −𝒃 𝟐 𝒅 𝑎1 − 𝑏1 𝑑 =1
𝑎 1 −𝑏1 𝑑
maka inversperkalian dari 𝑎1 𝑎 + 𝑏1 𝑑 adalah 𝒂 𝟐 −𝒃 𝟐 𝒅
Karena 𝑄 𝑑 𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑹𝒊𝒏𝒈 𝑲𝒐𝒎𝒖𝒕𝒂𝒕𝒊𝒇 dengan Unity dan memiliki invers
maka 𝑄 𝑑 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑒𝑙𝑑
3. The ring {0, 2, 4, 6, 8} under addition and multiplication modulo 10 has a unity. Find
it.
Penyelesaian :
Tabel cayley
+ 0 2 4 6 8 ∙ 0 2 4 6 8
0 0 2 4 6 8 0 0 0 0 0 0
2 2 4 6 8 0 2 0 4 8 2 6
4 4 6 8 0 2 4 0 8 6 4 2
6 6 8 0 2 4 6 0 2 4 6 8`
8 8 0 2 4 6 8 0 6 2 8 4
{0, 2, 4, 6, 8} mempunyai unity (identitas terhadap perkalian) yaitu 6,
karena a.e = e.a =a
6.6=6,2.8=6,4.4=6,8.2=6
{0, 2, 4, 6, 8} mempunyai identitas yaitu 0, karena a + e = e + a = a
0 + 0 = 0; 2 + 8 = 0; 4 + 6 = 0; 6 + 4 = 0; 8 + 2 = 0
4. `Give n example of a finite noncommutative ring. Give an example of an infinite
noncommutative ring that does not have a unity.
Penyelesaian:
M2(Z) OF 2 x 2
𝑎 𝑏 𝑒 𝑓
Ambil ,
𝑐 𝑑 𝑔
ab = ba
𝑎 𝑏 𝑒 𝑓 𝑒 𝑓 𝑎 𝑏
=
𝑐 𝑑 𝑔 𝑔 𝑐 𝑑
𝑎𝑒 + 𝑏𝑔 𝑎𝑓 + 𝑏 𝑎𝑒 + 𝑐𝑓 𝑏𝑒 + 𝑑𝑓
≠
𝑐𝑑 + 𝑑𝑔 𝑐𝑓 + 𝑑 𝑎𝑔 + 𝑐 𝑏𝑔 + 𝑑
M2(Z) terbukti finite no commutative ring karena ab ≠ 𝑏𝑎
15
16. M2(2Z) of 2 x 2
2𝑎 2𝑏 2𝑒 2𝑓
Ambil ,
2𝑐 2𝑑 2𝑔 2
ab =ba
2𝑎 2𝑏 2𝑒 2𝑓 2𝑒 2𝑓 2𝑎 2𝑏
=
2𝑐 2𝑑 2𝑔 2 2𝑔 2 2𝑐 2𝑑
4𝑎𝑒 + 4𝑏𝑔 4𝑎𝑓 + 4𝑏 4𝑎𝑒 + 4𝑐𝑓 4𝑏𝑒 + 4𝑑𝑓
≠
4𝑐𝑒 + 4𝑑𝑔 4𝑐𝑓 + 4𝑑 4𝑎𝑔 + 4𝑐 4𝑏𝑔 + 4𝑑
M(2Z) of 2 x 2 terbukti infinite non commutative ring karena ab ≠ 𝑏𝑎 dan tidak
mempunyai unity karena setiap himpunan tak berhingga tidak mempunyai unity.
5. Give an example of a subset of a ring that is subgrup under addition but not is
subring
Penyelesaian:
𝑆 = 𝑛 2 𝐼 𝑛 ∈ 𝑍4
𝑆 = 0, 2, 2 2, 3 2
+ 0 2 2 2 3 2 . 0 2 2 2 3 2
0 0 2 2 2 3 2 0 0 0 0 0
2 2 2 2 3 2 0 2 0 2 4 2
2 2 2 2 3 2 0 2 2 2 0 4 0 4
3 2 3 2 0 2 2 2 3 2 0 0 4 2
Syarat subgrup:
1. Tertutup
2. G∈ 𝑅 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑔−1 ∈ 𝑅
Bukti
Ambil, 0, 2, 2 2, 3 2 ∈ 𝑅
1. Terlihat pada tabel cayley diatas R tertutup terhadap operasi penjumlahan
2. R mempunyai invers
2 Invernya adalah 3 2
2 2 Invernya adalah2 2
3 2 Invernya adalah 2
16
17. Maka terbukti bahwa S merupakan subgrup dari R
Sekarang bukti bahwa S bukan subring
Syarat Subring
S subring dari R ↔ 1) 0 ∈ 𝑆
2) ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆
a-b ∈ 𝑆
a.b ∈ 𝑆
Bukti
1) 0 ∈ 𝑆
2) 0, 2, 2 2, 3 2 ∈ 𝑆
a-b ∈ 𝑆
0– 0 =0 ∈ 𝑆 2-0 = 2 ∈ 𝑆 2 2 − 0 = 2 2∈ 𝑆
0- 2 = 3 2 ∈ 𝑆 2- 2 =0 ∈ 𝑆 2 2− 2 = 2 ∈ 𝑆
0-2 2 = 2 2 ∈ 𝑆 2 -2 2=3 2∈ 𝑆 2 2−2 2=0 ∈ 𝑆
0- 3 2 = 2 ∈ 𝑆 2-3 2 =2 2 ∈ 𝑆 2 2−3 2= 3 2∈ 𝑆
3 2 −0 =3 2∈ 𝑆
3 2− 2=2 2∈ 𝑆
3 2 −2 2 = 2 ∈ 𝑆
3 2 −3 2 = 0 ∈ 𝑆
a.b ∈ 𝑆
Ambil 0, 2, 2 2, 3 2 ∈ 𝑆
0.0 = 0∈ 𝑆 2.0 = 0∈ 𝑆 2 2 .0 = 0 ∈ 𝑆 3 2.0 = 0∈ 𝑆
0 . 2 = 0∈ 𝑆 2. 2 =2∉ 𝑆 2 2 . 2 = 4∉ 𝑆 3 2 . 2 = 2∉ 𝑆
0 . 2 2 = 0∈ 𝑆 2 . 2 2 = 4∉ 𝑆 2 2 . 2 2 = 0∈ 𝑆 3 2 . 2 2 = 0∈ 𝑆
0 . 3 2 = 0∈ 𝑆 2 . 3 2 = 2∉ 𝑆 2 2 . 3 2 = 0∈ 𝑆 3 2 . 3 2 = 2∉ 𝑆
Maka terbukti S bukan subring dari R
6. Find an integer n that shows that the ring Zn need not have the following properties
that the ring of integers has.
a. a2 = a implies a =0 or b = 0
17
18. b. ab = a implies a = 0 or b = 0
c. ab = ac implies a ≠ 0 imply b = c
is the n you found prime?
Penyelesaian :
Misalkan ambil Z6
a. a2 = a b. a.b = 0 c. In Z12
32= 3 misalkan 2,3 ∈ Z6 ab = bc a ≠ 0 imply b = c
42=4 2.3 = 0 2.3 = 2.4
3.6 = 0 3≠4
6.3 = 0
3.2 = 0
7. Let a belong to a ring R. Let S = 𝑥 ∈ 𝑅 𝐼 𝑎𝑥 = 0 . Show that S is a subring of R
Penyelesaian:
Ambil p,q ∈ 𝑆 maka
ap = 0
aq = 0
Akan dibuktikan p-q ∈ 𝑆
a(p-q) = ap –aq = 0 - 0 = 0
maka p-q ∈ 𝑆
akan dibuktikan p.q ∈ 𝑆
a(pq) = (ap)q = 0.q = 0
maka p.q ∈ 𝑆
terbukti S merupakan subring dari R
8. Is Z6 subring of Z12?
Penyelesaian:
Z6 = 0,1,2,3,4,5
Z12= 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
18
20. 8. Let M2(Z) be the ring of all 2 x 2 matrices over the integers and let
𝑎 𝑎+ 𝑏
R= 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑍
𝑎+ 𝑏 𝑏
Prove od disprove that R is a subring of M2(Z)
Penyelesaian:
1 1
∈R
1 0
Akan dibuktikan a-b ∈ R
𝑎 𝑎+ 𝑏 𝑐 𝑐+ 𝑑
Ambil , ∈R
𝑎+ 𝑏 𝑏 𝑐+ 𝑑 𝑑
𝑎 𝑎+ 𝑏 𝑐 𝑐+ 𝑑
−
𝑎+ 𝑏 𝑏 𝑐+ 𝑑 𝑑
𝑎− 𝑐 𝑎+ 𝑏− 𝑐+ 𝑑
= ∈R
𝑎+ 𝑏− 𝑐+ 𝑑 𝑏− 𝑑
Maka a-b ∈ R
Akan dibuktikan a.b ∈ R
𝑎 𝑎+ 𝑏 𝑐 𝑐+ 𝑑
𝑎+ 𝑏 𝑏 𝑐+ 𝑑 𝑑
𝑎𝑐 + 𝑎 + 𝑏 (𝑐 + 𝑑) 𝑎 𝑐 + 𝑑 + 𝑑(𝑎 + 𝑏)
= ∈R
𝑎+ 𝑏− 𝑐+ 𝑑 𝑎 + 𝑏 𝑐 + 𝑑 + 𝑏𝑑
Maka a.b ∈ R
Sehingga terbukti R subring dari M2(Z)
9. Let M2(Z) be ring of all 2 x 2 matrices over the integers and let
𝑎 𝑎− 𝑏
R= 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑍
𝑎− 𝑏 𝑏
Prove od disprove that R is a subring of M2(Z)
Peyelesaian:
1 1
∈R
1 0
Akan dibuktikan a-b ∈ R
𝑎 𝑎− 𝑏 𝑐 𝑐− 𝑑
Ambil , ∈R
𝑎− 𝑏 𝑏 𝑐− 𝑑 𝑑
𝑎 𝑎− 𝑏 𝑐 𝑐− 𝑑
−
𝑎− 𝑏 𝑏 𝑐− 𝑑 𝑑
20
21. 𝑎− 𝑐 𝑎 − 𝑏 − (𝑐 − 𝑑)
= ∈R
𝑎 − 𝑏 − (𝑐 − 𝑑) 𝑏− 𝑑
Maka a-b ∈ R
Akan dibuktikan a.b ∈ R
𝑎 𝑎− 𝑏 𝑐 𝑐− 𝑑
𝑎− 𝑏 𝑏 𝑐− 𝑑 𝑑
𝑎𝑐 + 𝑎 − 𝑏 (𝑐 − 𝑑) 𝑎 𝑐 − 𝑑 + 𝑑(𝑎 − 𝑏)
= ∈R
𝑐 𝑎 − 𝑏 + 𝑏(𝑐 − 𝑑) 𝑎 − 𝑏 𝑐 − 𝑑 + 𝑏𝑑
Maka a.b ∈ R
Sehingga terbukti R subring dari M2(Z)
𝑎 𝑎
10. Let R = 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑍
𝑏 𝑏
Prove od disprove that R is a subring of M2(Z)
Peyelesaian:
1 1
∈R
0 0
Akan dibuktikan a-b ∈ R
𝑎 𝑎 𝑐 𝑐
Ambil , ∈R
𝑏 𝑏 𝑑 𝑑
𝑎 𝑎 𝑐 𝑐
−
𝑏 𝑏 𝑑 𝑑
𝑎− 𝑐 𝑎− 𝑐
= ∈R
𝑏− 𝑑 𝑏− 𝑑
Maka a-b ∈ R
Akan dibuktikan a.b ∈ R
𝑎 𝑎 𝑐 𝑐
𝑏 𝑏 𝑑 𝑑
𝑎𝑐 + 𝑎𝑑 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑
= ∈R
𝑏𝑐 + 𝑏𝑑 𝑏𝑐 + 𝑏𝑑
Maka a.b ∈ R
Sehingga terbukti R subring dari M2(Z)
11. Show that a comutative ring with the cancellation property (under multiplication)
has no zero devisors
21
22. Penyelesaian:
ab = 0 dan a ≠ 0
maka,
ab =0
ab = a.0
a.b a-1 = a.0. a-1
(a. a-1)b = (a. a-1). 0
e.b =e.0
b =0
Terbukti ring komutatif (under multiplication) has no zero devisor.
12. Show that every non zero element of Zn is a unit or zero devisor.
Penyelesaian:
Misal ambil Z4 = 0,1,2,3,
Tabel cayley
. 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 0 2
3 0 3 2 1
Z4 merupakan zero devisor yaitu 2 .2 = 0
13. Let a belong to a ring R with unity and suppose that an = 0 for some possitive
integers n. (such an element is called nilpotent). Prove that 1-a has a multiplication
invers in R.
Penyelesaian:
a.a-1 = 1
a = 1-a
(1 - a)(1 + a + a2 +....+an-1) = 1
(1 + a + a2 +....+an-1) - ( a + a2 +....+an) = 1
1 + a + a2 +....+an-1 - a + a2 +....+an =1
22
23. 1 - an =1
1–0 =1
1=1
Maka a-1=(1 + a + a2 +....+an-1)
14. Let a and b be idempotent is a commutative ring
Show that each of the following is also an idempotent : ab, 𝑎 − 𝑎𝑏 , a+b-ab ,
a+b– 2ab
Penyelesaian:
Idempotent : 𝑎2 = 𝑎
(ab)2 = 𝑎2 𝑏 2 = 𝑎𝑏 (Terbukti)
𝑎 − 𝑎𝑏 2 = 𝑎2 − 2𝑎2 𝑏 + 𝑎2 𝑏 2 = 𝑎 − 2𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 = 𝑎 − 𝑎𝑏 (Terbukti)
𝑎 + 𝑏 − 𝑎𝑏 2
= 𝑎2 + 𝑎𝑏 − 𝑎2 𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 − 𝑎𝑏 2 − 𝑎2 𝑏 − 𝑎𝑏 2 + 𝑎2 𝑏 2
= 𝑎 + 𝑎𝑏 − 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑏 − 𝑎𝑏 − 𝑎𝑏𝑎𝑏 + 𝑎𝑏𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏
= 𝑎 + 𝑏 − 𝑎𝑏 (Terbukti)
2
𝑎 + 𝑏 – 2𝑎𝑏 = 𝑎2 + 𝑎𝑏 − 2𝑎2 𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 2 − 2𝑎2 𝑏 − 2𝑎𝑏 2 +
4𝑎2 𝑏 2
= 𝑎 + 𝑎𝑏 − 2𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑏 − 2𝑎𝑏 − 2𝑎𝑏 − 2𝑎𝑏 + 4𝑎𝑏
= 𝑎 + 𝑏 − 2𝑎𝑏 (Terbukti)
15. Andaikan bahwa R adalah ring komutatif tanpa pembagi nol. Tunjukkan bahwa
karakteristik dari r adalah R adalah 0 atau prima.
Penyelesaian:
Karena R adalah ring komutatif tanpa pembagi nol, maka R adalah Integral
domain.
Menurut teorema 13.4 ; sebuah integral domain karakteristiknya 0 atau prima.
Jadi, R juga memiliki karakteristik 0 atau prima.
16. Jika x dan y adalah anggota dari R komutatif dengan karakteristik prima P. Akan
ditunjukkan:
a. ( x + y )p = xp + yp
23
25. Ambil x = 1 dan y = 3, maka :
(1 + 3)4 = 44 = 0
14 + 34 = 1 + 1 = 2, di dapatkan: (1+3)4 ≠ 14 + 34 .
17. Jika R adalah ring komutatif dengan unity 1 dan berkarakteristik prima. Jika a ϵ R is
nilpoten (nilpotent; ak = 0), tunjukkan bahwa ada bilangan bulat positif k
sedemikian sehinggah (1 + k )k = 1
Penyelesaian:
Karena R ring komutatif dan berkarakteristik prima maka berlaku ∀ x,y ∈ R.
( x + y )k = xk + yk (dari bentuk soal no 45a)
( 1 + a )k = 1k + ak ( k ∈ Z+ )
( 1 + a )k = 1k + 0 (karena a nilpotent, maka ak = 0)
( 1 + a )k = 1k
( 1 + a )k = 1 (terbukti)
18. Tunjukkan bahwa ada field terbatas berorder pn, dimana p adalah prima.
Penyelesaian:
Berdasarkan definisi maka :
Setiap integral domain terbatas adalah field (Teorema 13.2)
Setiap integral domain yang terbatas berkarakteristik prima (Corrolary Zp is a
field hal 251)
Jadi, field terbatas berorder pn berkarakteristik prima.
19. Berikan contoh dari integral domain yang tak terbatas memiliki karakteristik 3.
Penyelesaian:
Berdasarkan definisi jika ada n.x=0 dan x ∈ R. Maka karakteristik R adalah n.
Berdasarkan teorema 13.4 : karakteristik integral domain adalah 0 atau prima.
Dan infinite integral domain adalah 0.
Karena kontradiksi dengan definisi dan teorema maka tidak ada contoh infinite
integral domain berkarakteristik 3.
25
26. 20. Jika R adalah ring dan jika M2 (R) adalah ring dari matrik 2 x 2 di ambil dari R.
jelaskan mengapa kedua ring ini memiliki karakteristik sama.
Penyelesaian:
Karena untuk setiap a1, a2, … , an ∈ R dan a1, a2, … , an ∈ M2.
a1, a2, … , an ∈ R berlaku:
nx=0 , ∀ x ∈ R
x + x +,…,+ x = 0 (x sebanyak n)
maka karakteristik R adalah n.
a1, a2, … , an ∈ M2 maka:
a1 a2
M2 (R) = , berkarakteristik n maka berlaku:
a3 a4
n x an = 0 , ∀ x ∈ R
a1 a2 a1 a2 a1 a2 a1 a2
+ +,…, + = 𝑛 =0
a3 a4 a3 a4 a3 a4 a3 a4
Maka karakteristiknya adalah n.
21. Jika R adalah ring dengan m element. Tunjukkan bahwa karakteristik R membagi m.
Penyelesaian:
Akan karakteristik R adalah k, akan dibuktikan k | m.
Jika k berkarakteristik R maka ∀ x ∈ R, berlaku kx = 0. K element bilangan
bulat terkecil maka k ≤ m.
Kemungkinan pertama k = m, maka k | m = 1.
Contoh :
Z3 = { 0,1,2 }, banyak element 3, karakteristik 3, maka k | m = 3:3 = 1
Kemungkinan ke dua k < m.
Contoh :
Z3 [i] = { 0,1,2,i, 1+i, 2+i, 2i, 1+2i, 2+2i },banyak element 9, karakteristik
3.maka k | m = 9:3 = 3
26
27. 22. Jelaskan kenapa sebuah ring terbatas harus memiliki karakteristik yang tidak nol!.
Penyelesaian :
Karena syarat ring harus terbatas. Pada finite ring, agar tertutup maka pada
operasi penjumlahan dan perkalian harus kembali ke lagi ke anggotanaya
(operasi modulo n).
Karena operasi tertutup dan ring terbatas akan ada nx=0 , ∀ x ∈ R.
23. Temukan semua solusi dari x2 – x + 2 = 0, pada Z3 [i].
Penyelesaian:
x2 – x + 2 = 0, solusi yang terdapat pada Z3 [i].
a = 1, b = -1, c = 2
−𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 − −1 ± (−1)2 −4.1.2 1 ± 1 −8 1 ± −7 1 1
= = = = =2 ± 7i
2𝑎 2.1 2 2 2
Di mana anggota dari :
Z3 [i] = { 0,1,2,i, 1+i, 2+i, 2i, 1+2i, 2+2i }, maka tidak ada solusi x2 – x + 2 = 0
yang terdapat pada Z3 [i].
24. Selesaikan pe rsamaan x2 – 5x + 6 = 0.
a. Berapa banyak solusi persamaan tersebut pada Z7 ?.
b. Temukan semua solusi dari persamaaan tersebut pada Z8?.
c. Temukan semua solusi dari persamaaan tersebut pada Z12?
d. Temukan semua solusi dari persamaaan tersebut pada Z14?
Penyelesaian:
x2 – 5x + 6 = 0
(x – 2) (x-3)
x = 2 atau x = 3
maka solusi-solusi yang terdapat:
a. pada Z7 ada 2
b. Pada Z8 ada 2
c. Pada Z12 ada 2
d. Pada Z14 ada 2
27
28. 25. Temukan karakteristik dari Z4 ⊕ 4Z.
Penyelesaian:
Z4 ⊕ 4Z, dimana:
Z adalah infinite ring ( ring tak terbatas)
Z4 adalah finite ring ( ring terbatas)
Maka :
Z4 ⊕ 4Z jika di operasikan menghasilkan hasil yang takterbatas.
Jadi, ring ini berkarakteristik 0.
26. Andaikan bahwa R adalah integral domain di mana 20 . 1 = 0 dan 12 . 1 = 0 ( ingat
bahwa n .1 artinya penjumlahan 1 + 1 + … + 1 sebanyak n ). Berapa karakteristik
dari R?.
Penyelesaian:
R adalah sebuah ring dengan Zn yang memenuhi n .1 = 0, dengan n karakteristik
dari R. maka Zn dengan n terkecil yang memenuhi adalah Z2 = { 0,1 }. Di mana 20
.1 = 0, 12 . 1 = 0 dan 2 .1 = 0.
Jadi, karakteristiknya adalah 2
27. Dalam sebuah ring komutatif yang berkarakteristik 2, tunjukkan bentuk idempotent
dari sub ring.
Penyelesaian:
Idempotent a2 = a, ∃ a ∈ R (lihat lat.hal 255, no 16)
Misalkan ring yang berkarakteristik 2 adalah Z2 = { 0,1 }.
Dan element idempotent ialah ∀ a ∈ Z2, sedemikian sehinggah a2 = 0.
Ambil a = 0, maka 02 = 0
a = 1, maka 12 = 1
Jadi, himpunan idempotent = { 0,1 }.
Karena Z2 ring dan himpunan idempotent = { 0,1 } = Z2.
Maka terbukti bahwa himpunan idempotent adalah subring.
28
29. GLOSARIUM
Field : Ring Komutatif dengan unity dan setiap elemen tak nol
merupakan unit
Integral domain : Ring komutatif dengan unity dan bukan pembagi nol
Ring : Suatu himpunan tak kosong dengan dua operasi biner
Subring : Himpunan bagian dari ring
Unity : Identitas terhadap perkalian
Zero-divisor : Elemen bukan nol a dari ring komutatif R, sehingga ada unsur
b ∈ R dengan ab = 0.
29
