Relajacion lagrangiana o relajacion dual con ejemplo didactico

1. Relajación Lagrangiana

2. • LaGrange lo inventó en el año 1797.
• Desde su creación este método ha sido la técnica de
acotación preferida, hasta los años 1990 donde apareció la
técnica de Branch and Price.
Historia

3. Descripción del Método
• Consiste en relajar un problema de optimización.
• Busca remover la restricción mala y colocarla en la función
objetivo para resolver más fácil el problema.
• Se coloca una restricción en la función objetivo como
penalización. Se le asigna un peso a esa penalización con el
multiplicador de Lagrange.
• Se usa principalmente en problemas de optimización discreta
y en particular en problemas de redes

4. Descripción del Método

5. Gráficamente
Z*(x*)
L(λ) | x=x₁ L(λ) | x=x₂
L(λ) | x=x₃
L(λ) | x=x₄
λ
L(λ)
λ*
Min L(λ)•L(λ) esta restringido por los
valores que pueden tomar las
variables xⁿ.
•Para un x fijo se trazan las
recta con λ variable que
limitan la función L(λ).
•Se busca el mínimo de la
función.
¿Cómo encontramos el
lambda que nos ubica en el
mínimo?

6. Método del Subgradiente
Z*(x*)
λ
L(λ)
λ*
Min L(λ)
λⁿ⁺¹=[λⁿ+Ѳⁿ (b-Axⁿ)]⁺
⁺ :representa la parte positiva,
será 0 si es que es negativo.
UB: Es un valor factible de Z(x)
b-Axⁿ: Restricción relajada.
µ=Tamaño de salto de la
iteración.
µ Grandeµ Chico

7. Ventajas
• Se aplica a cada descomposición de un modelo y llega a una
muy aproximada solución por resolver problemas mas bien
generales que de solución única.
• Resuelve núcleos de sub-problemas como modelos
independientes.
• La solución Lagrangiana aproximada puede tomar las ventajas
de varios algoritmos conocidos.
• Permite desarrollar límites sobre el valor de la función
objetivo óptima de manera rápida.
• Idear métodos en base a una heurística efectiva para resolver
problemas de optimización combinatorial compleja y
programación entera.

8. Restricciones del Método
• El problema relajado sea más sencillo de resolver que el
problema original puesto que podría ser necesario resolverlo
muchas veces.
• El otro factor consiste en que la relajación debe ser buena en
el sentido de que el valor de la solución del problema relajado
debe ser suficientemente cercano al del problema original.
• Un problema min{g(y) : y Ŷ R} es una relajación del∈ ⊆
problema min{f(y) : y Y R} si y sólo si Y Ŷ y f(y) ≤ g(y) para∈ ⊆ ⊆
todo y Y∈

9. Aplicaciones Clásicas
Tópico Integración de Estructura de Red
Redes con lados limitantes • Flujo de costo mínimo
• Camino más corto
Problema del Vendedor Viajero • Asignación de problema
• Flujo de costo mínimo
Ruta Vehicular • Asignación del problema
• Una variante mínima de árbol de
expansión
Diseño de Redes • Camino más corto
Two-duty operator scheduling • Camino más corto
• Flujo de costo mínimo
Árbol de expansión de grado limitado • Árbol de expansión mínimo
Plan de Producción multi-item • Camino más corto
• Flujo de costo mínimo
• Programas dinámicos

10. Discución calidad del método
• Es muy barato y tiene un corto tiempo de resolución, ya que
no pretende conseguir la optimalidad, sino que busca cotas o
soluciones infactibles que se acerquen al óptimo.
• A pesar de esto en gran número de casos se encuentra el
óptimo a un bajo costo.
• Permite usar la cotas encontradas para comparar los GAP de
distintas heurísticas de manera más exacta que la relajación
lineal.

11. Aplicación en instancia de prueba
• Se tiene el siguiente grafo con las distancias en los arcos y la
demanda en el nodo.
• El objetivo es maximizar la demanda cubierta localizando
solamente 2 centros de distribución, tomando como
consideración que cada centro tiene un radio de cobertura de
20 km.
• Como se muestra a continuación…

12. Aplicación en instancia de prueba

13. Aplicación en instancia de prueba
Parámetro Variables
Ai,j= 1 si es que el nodo i cubre al
j, 0 en otro caso.
Dj=Demanda centro j.
N=número de centros a localizar.
Xj=1 si es que se localiza en j, 0 en
otro caso.
Yj=1 si el nodo j es atendido, 0 en
otro caso.
Suma la demanda de los
nodos atendidos
Un centro es atendido solo si
ese centro o alguno a menos
de 20 km es atendido
No puede localizarse más
de N centros.
Restricción a relajar !

14. Aplicación en instancia de prueba
Lagrangeano:

15. a b c d e f g h i
a 1 1 0 0 0 0 0 1 0
b 1 1 0 0 0 0 0 0 1
c 0 0 1 1 0 0 0 0 0
d 0 0 1 1 1 0 0 0 1
e 0 0 0 1 1 0 0 0 0
f 0 0 0 0 0 1 1 0 1
g 0 0 0 0 0 1 1 1 0
h 1 0 0 0 0 0 1 1 1
i 0 1 0 1 0 1 0 1 1
Aplicación en instancia de prueba
Ahora para el caso puntual de nuestro problema, se hace la matriz con los
valores de Ai,j para un radio de cobertura de 20 km. Luego para la resolución
se utiliza solver de Excel para los distintos valores de µ.
Ai,j:
11
17
21
31
15
14
21
12
11 26
182516
19
34 19
C
D
EFG
H I
1215 23
40
28
18 32
17
20
A B
Nodo i es el que más
atiende, por tanto es un
claro candidato y es
bueno incluirlo en la
solución inicial.
(Heurística Greedy para
sol. inicial)

16. Aplicación en instancia de prueba
Restricción Relajada:
Para nuestro caso:
µ
d,e,h,i d,h,i
d,i
30 50
i
Penaliza a la funciónCalza el min. de L(µ) con
max. Z(x) ya que la
penalización desaparece.
Z*(x*)
205 -
L(µ)
Multiplicador tan
grande que
conviene que la
resta sea positiva
localizando menos
centros

17. Aplicación en instancia de prueba
Resumen de resultados:
Lamda Min L Localizaciones Cobertura
0 205 d,e,h,i todos
10 190 d,e,h,i todos
15 190 d,h,i todos
30 175 d,h,i todos
32 173 d,h,i todos
34 172 d,i
b,c,d,e,f,h,
i
40 172 d,i
b,c,d,e,f,h,
i
50 172 d,i
b,c,d,e,f,h,
i
70 190 i b,d,f,h,i

18. Aplicación en instancia de prueba
Para los valores de lamda entre 32 y 50 se logra el
mínimo. La solución de el min L(µ) es la misma que la del
máx Z(X), ya que consideran los mismos valores optímales
de x, valores donde la penalización es 0, puesto que (N-
Xj)=0. La penalización se mantiene así desde el 32 hasta el
50, manteniendo el mínimo.

19. Conclusiones
• El método de Relajación Lagrangiana, es de gran utilidad para
resolver problemas de forma rápida con bajos recursos.
• Consigue óptimos en algunos casos, o cotas mejores que la de
la relajación lineal, permitiendo la comparación de
heurísticas.
• Se adapta al problema del usuario, pues nosotros elegimos
que restricción relajar.

20. FIN
Sus aplicaciones son infinitas ! Solo basta relajar
¿Preguntas?