1. MEDIDAS DE DISPERSIÓN O
VARIABILIDAD
ESTADÍSTICA
Prof. Alejandra Camors

2. Algunas consideraciones
1. Variación, se refiere a la cantidad en que los datos u
observaciones varían entre si, esta variación puede medirse.
2. Los datos que están relativamente cercanos entre si, tienen
bajas medidas de variabilidad, mientras que los que están mas
alejados entre si tienen medidas de variación mas grandes.

3. MEDIDAS DE DISPERSION
Definición 1
Una medida de dispersión de un conjunto de
datos, mide cuan esparcidos se encuentran
estos o que tan heterogéneos son.

4. Clasificación de las Medidas de Dispersión:
MEDIDAS DE DISPERSIÓN ABSOLUTA
No hacen referencia a ningún promedio: Recorridos.
Hacen referencia a algún promedio:
Desviación Absoluta Media respecto a un promedio.
Desviación Cuadrática Media respecto a un promedio: Varianza,
Desviación Típica.
MEDIDAS DE DISPERSION RELATIVA
No hacen referencia a ningún promedio: Coeficiente de Apertura,
Recorrido relativo, Recorrido Semi-intercuartílico
Hacen referencia a algún promedio: Coeficiente de Variación,
1.- Introducción

5.  Recorrido o rango: Re = x(k) - x(1)
(En el ejemplo anterior 60 – 10 = 50 y 33 – 28 = 5 respectivamente, la 1ª más dispersa)
 Recorrido Intercuartílico: RI = C3 - C1
Longitud del intervalo que recoge el 50% de las observaciones centrales
 Recorrido Décil: RD = D9 - D1
 Recorrido Percentil: RP = P99 - P1
150 160 170 180 190
0.000.010.020.030.040.05
150 160 170 180 190
25% 25% 25% 25%
Mín. P25 P50 P75 Máx.
Rango intercuartílico
Rango
2.2.1- Medidas de Dispersión Absolutas. Recorridos

6. RANGO
Ante la pregunta sobre número de hijos por familia, una muestra
de 12 hogares, marcó las siguientes respuestas:
2 1 2 4 1 3
2 3 2 0 5 1
Calcule el rango de la variable
Solución
El Rango es R = 5 – 0 = 5
R = X máx – X min

7. La varianza
N
x
N
i
xi∑=
−
= 1
2
2
)( µ
σ
2
2 1
( )
1
n
i
i
x x
s
n
=
−
=
−
∑
Muestral
Poblacional

8. VARIANZAVARIANZA
 La varianza es otra medida de dispersión que
se basa en la diferencia entre el valor de cada
dato (Xi) y la media ( ). La diferencia entre
cada dato (Xi) y su media ( ) para una muestra
se llama desviación con respecto a la media o
promedio y se expresa con la siguiente
fórmula:
 Para calcular la varianza, las desviaciones
respecto a la media se elevan al cuadrado y se
dividen entre (N – 1).
x
(Xi – X)(Xi – X)
x

9. CONTINUACIÓNCONTINUACIÓN
 Fórmula para calcular la varianza:
S =
Veamos como calculamos la varianza en el
siguiente ejemplo:
Se tienen los siguientes datos; 15, 12, 18, 20
y 25.
Primero, calculamos la media:
= = 18
∑ −
−
2
1
)(
N
xxi
2
N
x
x
∑=
5
2520181512 ++++

10. CONTINUACIÓNCONTINUACIÓN
 Segundo, buscamos la desviación estándar
respecto a la media ( ), que es la
diferencia entre cada valor de (Xi) y el
promedio ( ) luego, calculamos la sumatoria
∑( )2
, como se presenta a continuación:
Xi X ( ) ∑( )2
12 18 -6 36
15 18 -3 9
18 18 0 0
20 18 2 4
25 18 7 49
total 98
2
x
xxi −
xxi −
xxi −
xxi −

11. CONTINUACIÓNCONTINUACIÓN
 Ahora, sustituimos las variables de la fórmula
por los valores obtenidos como se presenta a
continuación:
S = = = = 24.5∑ −
−
2
1
)(
N
xxi2
15
98
− 4
98

12. Desviación estándarDesviación estándar
N
x
N
i
xi∑=
−
= 1
2
)( µ
σ
2
1
( )
1
n
i
i
x x
s
n
=
−
=
−
∑
Muestral
Poblacional

13. DESVIACIÓN ESTÁNDARDESVIACIÓN ESTÁNDAR
Es una medida de la variabilidad de
un conjunto de datos. Se calcula
sacando la raíz cuadrada de la
varianza. Nos indica cuánto tienden a
alejarse los datos del promedio. Si los
datos son de una muestra, la
desviación estándar se representa
como:
S = 2
s

14. CONTINUACIÓNCONTINUACIÓN
 En el ejemplo anterior la desviación estándar es:
S =
S =
S = 4.95
2
s
5.24

15. Coeficiente de variación
Compara la variabilidad de series de datos que tengan
unidades diferentes.
No tiene unidades de medida.
Se calcula para variables medidas en escala de razón
100%
S
CV
x
= ×
Muestral
Poblacional
100%CV
σ
µ
= ×

16. Ejemplo 4
Calcule el coeficiente de variabilidad para los datos del
ejemplo 1
Solución:
%7759,64100
1667,2
4035,1
=





= xcv

17. Medidas de dispersión en tablas de
frecuencias (caso discreto)
Medidas de dispersión en tablas de
frecuencias (caso discreto)
11
)(
1
2
12
1
2
2
−






−
=
−
−
=
∑
∑
∑ =
=
=
n
n
fx
xf
n
xxf
s
k
i
k
i
ii
ii
k
i
ii
21
2
1
2
2
)(
µ
µ
σ −=
−
=
∑∑
==
N
xf
N
xf
k
i
ii
k
i
ii
Muestral
Poblacional

18. 18
Ejemplo_1
Calificaciones de 100 alumnos de una clase en Matemáticas
Variable discreta. Tabla ampliada.
xi fi xi fi |xi-x| |xi-x|.fi fi xi 2
3 40 120 1,80 72 360
5 30 150 0,20 6 750
7 30 210 3,20 96 1470
100 480 174 2580
VARIANZA
∑ fi .xi 2
V = ------------- - x 2
= 25,80 – 4,82
∑ fi
V = 2,76
DESVIACIÓN TÍPICA
S = √V =√2,76 = 1,66
DESVIACIÓN MEDIA
Dm = ∑ |xi-x| / ∑ fi = 174/100 =1,74
COEFICIENTE DE VARIACIÓN
CV = s / x = 1,66 / 4,8 = 0,346

19. 19
clases xi = m.c. fi xi fi |xi-x| |xi-x|.fi fi xi 2
[0,5 , 3,5] 2 40 80 2,70 108 160
(3,5 , 6,5] 5 30 150 0,30 9 750
(6,5 , 9,5] 8 30 240 3,30 99 1920
100 470 216 2830
Ejemplo_2
Calificaciones de 100 alumnos de una clase en Matemáticas
Variable continua. Tabla ampliada.
VARIANZA
∑ fi .xi 2
V = ------------- - x 2
= 28,30 – 4,72
∑ fi V = 6,21
DESVIACIÓN TÍPICA
S = √V =√6,21 = 2,49
DESVIACIÓN MEDIA
Dm = ∑ |xi-x| / ∑ fi = 216/100 =
= 2,16
COEFICIENTE DE VARIACIÓN
CV = s / x = 2,49 / 4,7 = 0,53

20. Calcular y comparar (hombres/mujeres):
 Coeficiente de Apertura, Recorrido Relativo y Recorrido Semi-Intercuartílico
 Coeficiente de Variación
¿Qué salario es más homogéneo, el de hombres o el de mujeres?

21. Solución
0,373
73,655
5,244
215,0
)51,502777(
49,274
88,0
875.1
650.1
33,8
225
875.1
==
=
+
=
==
==
V
R
R
p
A
s
r
Hombres
0,432
51,556
55,240
V
0,293
)13,38138,696(
25,315
88,0
875.1
650.1
33,8
225
875.1
==
=
+
=
==
==
s
r
R
R
p
A
Mujeres
=
MÁS HOMOGÉNEO