Resumen de un trabajo sobre tunelaje de solitones.

1. TUNELAJE DE SOLITONES
Alejandro Claro Mosqueda
2006

2. ANTECEDENTE
Kälbermann interesado en los solitones topológicos como posibles
candidatos para la descripción de partículas y la perspectiva cuántica
de estas partículas.
En mecánica cuántica es posible que una
partícula cruce, con cierta probabilidad,
una barrera de energía potencial aun si su
energía cinética es inferior que la de dicha
barrera (tunelaje).
¿Cual es el comportamiento de un solitón
en circunstancias similares?
Kälbermann concluye que un solitón al colisionar con una impureza
repulsiva localizada el solitón se comporta clásicamente (no observó
tunelaje).

3. OBJETIVO
Demostrar, tomando como base el Modelo f4,
bajo que condiciones es posible que un
solitón topológico atraviese una barrera finita
de energía potencial aun si su energía
cinética es menor que la de dicha barrera

4. ONDAS SOLITARIAS
• La definiciones de onda solitaria y solitón no están
estandarizadas. Usualmente a ambas se les denomina solitón.
• Algunas ecuaciones diferenciales no lineales exhiben soluciones
de onda viajera que preservan su forma a medida que se propaga,
conocida con el nombre de ondas solitarias.
• Los Solitones son ondas solitarias que luego de interactuar entre si
resurgen recuperando su forma.
• Ecuaciones diferenciales parciales dispersivas, disipativas o no
lineales únicamente no exhiben ondas solitarias. Es solo, cuando el
balance entre el efecto de la no linealidad y el efecto dispersivo o
disapativo causa que aparezcan las ondas solitarias como solución.

5. ONDAS SOLITARIAS
• Las ondas solitarias con valores asintóticos diferentes
en
y
son usualmente llamadas KINK, las
cuales para efecto de esta presentación serán llamadas
solitones topológicos.



6. SOLUCION SOLITONICA
DEL MODELO f4
Ecuación de campo
ftt  fxx 


1
f f3  0
2
x  R, t  0
La cual puede ser derivada del siguiente Lagrangiano
1
1

L    ft2  fx2  U (f ) dx ,
2
2

donde
U (f ) 


2
1 2
f 1 .
8
Al aplicar la transformación galileana:
x´ x  vt
t´ t
Se obtiene:
d 2f
d

2
dx´
df
 U (f ) 
 1  v 2 


x´ R

7. SOLUCION SOLITONICA
DEL MODELO f4
Si
v  1,
este pseudo-potencial presenta tres puntos críticos
Dos máximos en f = ± 1
Un mínimo en f = 0

8. SOLUCION SOLITONICA
DEL MODELO f4
Al integrar:
d 2f
d  U (f ) 

2
 1  v 2  .
dx´
df 

Se obtiene:

Para
1 v2
2
f

E = V (± 1) = 0
1
E (1  v )  U (f´)
2
df´  x´ x0 .
Proporciona
 x  vt  x0
fk ( x, t )   tanh

2
 2 1 v

.


UNA SOLUCION TIPO KINK (ANTIKINK)

9. SOLUCION SOLITONICA
DEL MODELO f4

10. MODOS INTERNOS
DE OSCILACION
Al estudiar el problema de estabilidad:
f ( x, t )  fk ( x)  f ( x)e  t ,
se obtiene la ecuación que gobierna las pequeñas oscilaciones:
d2 f
 2  2(2  1)sech 2 ( z ) f  4(2  1) f
d z
z R
Ecuación de Schrödinger de una partícula bajo la acción de un potencial Pöschl-Teller
El solitón (fk) es estable si
( )  0

11. MODOS INTERNOS
DE OSCILACION
• El espectro continuo corresponde físicamente a ondas dispersivas (fonones).
• El primer “estado ligado”:
f 0 ( x) 
3
 x
sech 2   ,
8
2
f
k y recibe
con frecuencia cero (  0 es proporcional a la derivada espacial
)
x
el nombre de modo de translación.
• El segundo “estado ligado”:
f1 ( x) 
3
 x
 x
sech   tanh  ,
4
2
2
con frecuencia   i 3 / 2 corresponde físicamente con una oscilación
localizada en torno al solitón. Es el candidato natural para almacenar e
intercambiar energía de translación con el solitón.

12. MODELO f4 BAJO LA ACCION DE
UNA FUERZA HOMOGENEA
Ecuación de campo


1
ftt  ft  fxx  f  f 3  G
2
x  R, t  0
Esta ecuación presenta soluciones solitonicas si se cumple:
1
G 
,
27
2
y tienen una forma similar a las del modelo en su forma mas simple:

x  vt  x0
D
fk ( x, t )  C tanh
1 v2


 E.



13. MODELO f4 BAJO LA ACCION DE
UNA FUERZA HOMOGENEA
Si se cumple
donde
z3  z1
C
,
2
C
D ,
2
z1  z2  z3
son las raíces de
z3  z1
E
,
2
 v
z2

.
2
1 v2
z  z 3  2G .
En caso de escoger el signo positivo (+) la solución representa un
kink y la velocidad tiene signo contrario a G.
El solitón puede ser visto con el enfoque de partícula puntual bajo la
acción de un potencial efectivo V(x) = Gx.

14. SIMULACION NUMERICA

15. MODOS INTERNOS DEL KINK DEL
MODELO f4 BAJO LA ACCION DE
UNA FUERZA HOMOGENEA
Al estudiar la estabilidad de la solución:
f ( x, t )  fk ( x)  f ( x)e  t ,
se obtiene la ecuación que gobierna las pequeñas oscilaciones:


d2 f
 2  2 tanh( z )  2(2  1)sech 2 ( z ) f    f
d z
Ecuación de Schrödinger de una partícula bajo la acción de un potencial Rosen-Morse
hipergeometrico
donde
C
E
4 
1 3 2

2
z  x,   6 ,   2      E  C 2 
2
C
C 
2 2


16. MODOS INTERNOS DEL KINK DEL
MODELO f4 BAJO LA ACCION DE
UNA FUERZA HOMOGENEA
• El espectro continuo corresponde físicamente a ondas dispersivas (fonones).
• Únicamente dos “estados ligados”. El primer modo interno de oscilación:
f 0 ( x)  N 0 e
-
3E
x
2
sech 2 Dx ,
• Y el segundo modo:
f1 ( x)  N1e
-3Ex

Dx tanhDx  9 E sech Dx ,
sech

C


•El modelo f4 en su forma mas simple es un caso particular del presentado.
Al colocar G = 0 se obtiene que C = 1 y E = 0, permitiendo así verificar que estos
resultados concuerdan con los ya obtenidos.

17. MODELO f4 BAJO LA ACCION DE
UNA FUERZA INHOMOGENEA
Cuando la fuerza (G) no es constante la condición de existencia del
kink se escribe:
1
.
27
lim G ( x) 
x 
Consideremos:
G ( x) 




A 2
A
A  1 tanhBx  
4 B 2  A2 tanhBx sech 2 Bx  .
2
2
Cuando A2 = 1 esta fuerza representa una impureza localizada en x = 0.
Cuando A2 = 4B2 la fuerza representa una frontera entre dos fases en x = 0.

18. MODELO f4 BAJO LA ACCION DE
UNA FUERZA INHOMOGENEA
Tiene una solución
estática en x0 = 0:
solitónica
fk ( x)  A tanhBx  .
Y la condición de estabilidad del
punto de equilibrio del punto x0 = 0
es:
dG
dx
0
4B 2  1.
x0
Por otro lado, este potencial efectivo presenta sólo un punto crítico si
se cumple: 4 B 2  1
4B 2  1
O
A2  1
A2  1

19. ESTABILIDAD DEL KINK DEL
MODELO f4 BAJO LA ACCION DE
UNA FUERZA INHOMOGENEA
Al estudiar el problema de estabilidad:
f ( x, t )  fk ( x)  f ( x)e  t ,
se obtiene la ecuación que gobierna las pequeñas oscilaciones:
d2 f
 2  (  1)sech 2 ( z ) f    f
d z
z R
Ecuación de Schrödinger de una partícula bajo la acción de un potencial Pöschl-Teller
donde
3 A2
1 
1  3 A2
z  Bx , (  1)  2 ,   2     2 ,     2
2B
B 
2  2B

20. ESTABILIDAD DEL KINK DEL
MODELO f4 BAJO LA ACCION DE
UNA FUERZA INHOMOGENEA
En esta ocasión se encuentran [] modos internos de oscilación cuyos
autovalores están dados por:


1
n  
 B 2   2n  n 2 .
2
La solución solitónica es estable si   0, y
por lo tanto se debe cumplir:
2B 2  1 .
Entonces es posible identificar regiones
donde: (a) el kink es estable, (b) el potencial
presenta un solo punto crítico y (c) El punto
de equilibrio
x0 = 0 es estable.

21. ESTABILIDAD DEL KINK DEL
MODELO f4 BAJO LA ACCION DE
UNA FUERZA INHOMOGENEA
• Región I: un solo punto crítico (x0 = 0) estable y el kink es
estable.
• Región II: tres puntos críticos
donde x0 = 0 es el único estable y el
kink es estable.
• Region III: tres puntos críticos
donde x0 = 0 es el único estable y el
kink es inestable.

22. ESTABILIDAD DEL KINK DEL
MODELO f4 BAJO LA ACCION DE
UNA FUERZA INHOMOGENEA
• Región IV: un solo punto crítico (x0 = 0) inestable y el kink es inestable.
• Región V: tres puntos críticos,
donde x0 = 0 es el único inestable y
el kink es inestable.
Región VI: tres puntos críticos
donde x0 = 0 es el único inestable y
el kink es estable.

23. EL MODELO PARA EL ESTUDIO
DEL TUNELAJE DE SOLITONES
Para estudiar el tunelaje de solitones
vamos a considerar una perturbación
tal que el potencial efectivo sea una
barrera como la mostrada en la figura a
partir de la perturbación ya mostrada
anteriormente:
G1 ( x) si x  x *
G ( x)  
,
si x  x *
c
donde
G1 ( x) 
f0
2
 x f
1  f 0 tanh   m
2
S
 x
 x
1  f 0 tanh sech 2   ,
S
S
x* es el punto donde G1(x) tiene un mínimo y c = G1(x*).

24. EL MODELO PARA EL ESTUDIO
DEL TUNELAJE DE SOLITONES
Pero se debe cumplir:
fm
fm  f0  0 ,
S2  4 ,
para
que
G(x)
representa
la
perturbación correspondiente a una
barrera de potencial.
 f0
S
La función G1(x) tiene la misma forma a la presentada al estudiar el
modelo f4 bajo la acción de una fuerza inhomogenea si:
f 0  A2  1 ,
1
S  2 ,
B
2
fm  1  f0 
4
.
2
S

25. EL MODELO PARA EL ESTUDIO
DEL TUNELAJE DE SOLITONES
Lo que nos lleva a que la ecuación que gobierna las pequeñas
oscilaciones en el problema de estabilidad es la misma que
observamos anteriormente.
Y sus auto-valores en términos de f0 y S2 están dados por:
  n 
3
n 
f0  1 
2
S2
2
donde
  1 
3
 f 0  1S 2 ,
2
,

26. EL MODELO PARA EL ESTUDIO
DEL TUNELAJE DE SOLITONES
Para que el kink sea estable se
debe cumplir:
6 f 0  4  1 .
0
S2
Lo que define una región
donde el kink se comporta
clásicamente (no hay tunelaje).
En cambio, si:
6 f 0  4  1
S
2
,
entonces el solitón se traslada hacia x > 0 atravesando la barrera aún si el
centro de masa es ubicado en el punto de equilibrio con velocidad cero.

27. SIMULACION NUMERICA
DEL TUNELAJE DE SOLITONES
Luego de realizar simulaciones
numéricas, utilizando el método de
diferencia finita de tres niveles, se
observó tunelaje con valores que
cumplen de forma aproximada:
6 f 0  4  1
S
2
,
y que es posible escribir la
condición de tunelaje, de forma
aproximada, desvinculando fm y S2:
fmS 2
f0 
.
11

28. SIMULACION NUMERICA DEL TUNELAJE

29. EL PAPEL DE LOS MODOS
INTERNOS EN EL PROCESO DE
TUNELAJE DE SOLITONES
Cuando  = 0, la energía del sistema:

E


2
1 2 1 2 1 2

ft  f x  f  1  G ( x)f dx ,
2
2
8

 
se conserva. Entonces el sistema como un todo puede tener suficiente
energía para hacer que el solitón atraviese la barrera.
La auto-funciones del problema de estabilidad forman una base
completa que puede ser utilizada como base para las pequeñas
oscilaciones sobre el kink:
f ( x, t )  fk ( x  xcm )    n f n ( x  xcm ) 
n



k
f k ( x  xcm )dk

30. v(t)
EL PAPEL DE LOS MODOS
INTERNOS EN EL PROCESO DE
TUNELAJE DE SOLITONES
1(t)
Al observarse tunelaje, la energía
almacenada en el modo de forma se
transforma en energía cinética del
solitón.
t

31. v(t)
EL PAPEL DE LOS MODOS
INTERNOS EN EL PROCESO DE
TUNELAJE DE SOLITONES
1(t)
En cambio, al observarse que el
solitón queda atrapado cerca del
punto de equilibrio, el coeficiente del
modo de forma quedan oscilando
alrededor de su valor inicial y la
velocidad
del
solitón
queda
oscilando entorno a cero.
t

32. CONCLUSIONES
• Cuando el solitón es visto desde el enfoque de una partícula bajo la
acción un potencial efectivo los resultados indican que si se cumplen
las circunstancias necesarias existe el cruce de barrera con energía
cinética inferior a la energía de la barrera.
• La explicación del proceso de tunelaje requiere que el solitón sea
visto bajo el enfoque de un objeto extendido de naturaleza ondulatoria.
• El tunelaje es debido a la interacción de las colas del solitón con la
fuerza externa, lo cual “empuja” lo suficientemente fuerte cuando se
cumplen las condiciones de tunelaje.
• El sistema como un todo puede tener suficiente energía que al activar
los modos internos se produce el cruce de la barrera.

33. CONCLUSIONES
• El fenómeno de tunelaje aquí estudiado no se asemeja al fenómeno de
tunelaje observado en mecánica cuántica. El tunelaje de solitones
siempre tiene lugar con probabilidad p = 1.

35. FIN