1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular Para la Educación Superior
Universidad Fermín Toro
Acarigua - Portuguesa
RESUMEN
Análisis Numérico
Integrantes
Alejandro Riera

2. Análisis Numérico
Es una rama de las matemáticas cuyos límites no son del todo precisos. Se puede definir como
la disciplina ocupada de describir, analizar y crear algoritmos numéricos que permitan resolver
problemas matemáticos, en los que estén involucradas cantidades numéricas, con una
precisión determinada.
El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores, los cuales
son útiles para cálculos matemáticos extremadamente complejos, pero en última instancia
operan con números binarios y operaciones matemáticas simples. Desde esta perspectiva, el
análisis numérico proporcionará todo la estructura necesaria para llevar a cabo todos los
procedimientos matemáticos existentes en base a algoritmos que permitan su simulación o
cálculo en procesos más sencillos empleando números.
Métodos Numéricos. Importancia
Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas
matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas.
El objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones “aproximadas” a problemas
complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. Se requiere de una
secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema
matemático.
Los métodos numéricos son utilizados en áreas como ingeniería industrial, ingeniería química,
ingeniería civil, ingeniería mecánica, ingeniería eléctrica, entre otras; se pueden aplicar para
resolver procedimientos matemáticos en cálculo de derivadas, integrales, ecuaciones
diferenciales, operaciones con matrices, interpolaciones, ajuste de curvas, polinomios y otros.
Números de Máquina Decimales
Los Números de Máquina son un sistema numérico que consta de dos dígitos: Ceros (0) y unos
(1) de base 2". El término "representación máquina" o "representación binaria" significa que es
de base 2, la más pequeña posible; este tipo de representación requiere de menos dígitos, pero
en lugar de un número decimal exige de más lugares. Esto se relaciona con el hecho de que la
unidad lógica primaria de las computadoras digitales usa componentes de apagado/encendido,
o para una conexión eléctrica abierta/cerrada.
Los Números de Máquinas Decimales son aquellos cuya representación viene dada de la
siguiente forma: ± 0,d1 d2 d3 ... dk x 10 n, 1£ d1 £ 9, 1£ dk £ 9 para cada i=2, 3, 4, ..., k";
Ante esto, se indica que las maxicomputadoras IBM (mainframes) tienen aproximadamente k= 6
y –78 £ n £ 76.
CÁLCULO DE ERRORES. ERROR ABSOLUTO Y RELATIVO
Cualquier medida debe de ir acompañada del valor estimado del error de la medida, y a
continuación, las unidades empleadas.
Por ejemplo, al medir un cierto volumen hemos obtenido 297±2 ml.
Los errores se deben dar solamente con una única cifra significativa. Únicamente, en casos
excepcionales, se pueden dar una cifra y media (la segunda cifra 5 ó 0).
Así, es incorrecto expresar 24567±2928 ml.

3. La última cifra significativa en el valor de una magnitud física y en su error, expresados en las
mismas unidades, deben de corresponder al mismo orden de magnitud (centenas, decenas,
unidades, décimas, centésimas).
Así, es incorrecto expresar 43±0.06 ml
Bien sea una medida directa (la que da el aparato) o indirecta (utilizando una fórmula) existe un
tratamiento de los errores de medida. Podemos distinguir dos tipos de errores que se utilizan en
los cálculos:
Error absoluto. Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto.
Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta
sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.
Error relativo. Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se
multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto
puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o
por defecto. no tiene unidades.
Las reglas que vamos a adoptar en el cálculo con datos experimentales son las siguientes:
Una medida se debería repetir tres ó cuatro veces para intentar neutralizar el error
accidental.
Se tomará como valor real (que se acerca al valor exacto) la media aritmética simple de los
resultados.
El error absoluto de cada medida será la diferencia entre cada una de las medidas y ese
valor tomado como exacto (la media aritmética).
El error relativo de cada medida será el error absoluto de la misma dividido por el valor
tomado como exacto (la media aritmética).
Ejemplo 1.
Medidas de tiempo de un recorrido efectuadas por diferentes alumnos: 3,01 s; 3,11 s; 3,20 s;
3,15 s
Valor que se considera exacto:
Errores absoluto y relativo de cada medida:
Medidas Errores absolutos Errores relativos
3,01 s 3,01 - 3,12 = - 0,11 s -0,11 / 3,12 = - 0,036 (- 3,6%)
3,11 s 3,11 -3,12 = - 0,01 s -0,01 / 3,12 = - 0,003 (- 0,3%)
3,20 s 3,20 -3,12 = + 0,08 s +0,08 / 3,12 = + 0,026 (+ 2,6%)
3,15 s 3,15 - 3,12 = + 0,03 s +0,03 / 3,12 = + 0,010 (+ 1,0%)
Ejemplo 2.
Obtenemos el error absoluto y relativo al considerar:
a) 3,5 m como longitud de un terreno que mide realmente 3,59 m.
b) 60 m como la distancia entre dos postes que están situados a 59,91 m.
a) Ea = |3,59 - 3,5| = 0,09 m
Er = | 3 , 59 - 3 , 5 | 3 , 59 = 0 , 025 = 2 , 5 %

4. b) Ea = |59,91 - 60| = 0,09 m
Er = | 59 , 91 - 60 | 59 , 91 = 0 , 0015 = 0 , 15 %
Observamos que el error absoluto es el mismo en ambos casos, pero el error relativo es
considerablemente mayor en el primer caso y, por tanto, la aproximación es menos precisa.
Por ejemplo, si redondeamos el número 2,387 a las centésimas:
Error absoluto: Ea = |2,387 - 2,39| = 0,003.
Error relativo: Er = 0,003 / 2,387 = 0,0013. Es decir, el 0,13%.
Cota de Errores Absolutos y Relativos
Cotas de error:
1. Cota de error absoluto <½ unidad del orden de la última cifra significativa
2. Una cota para el error relativo es:
Cota de error relativo= cota del error absoluto/valor real
Ejemplo nº 1.-
Da una cota para el error absoluto y otra para el error relativo cometidos al hacer las siguientes
aproximaciones:
a) Precio de una casa: 275 miles de €.
b) 45 miles de asistentes a una manifestación.
c) 4 cientos de coches vendidos.
Solución:
a) |Error absoluto| 500 €
error relativo<500/275000=0,0018
b) |Error absoluto| 500 personas
error relativo=500/45000=0,011
c) |Error absoluto| 50 coches
error relativo<50/400=0,125
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Ejemplo nº 2.-
a) Expresa con un número razonable de cifras significativas cada una de las siguientes
cantidades:
1) Asistentes a un concierto: 25 342 personas.
2) Premio que dan en un concurso: 328 053 €.
3) Número de libros de cierta biblioteca: 52 243.
b) Calcula el error absoluto y el error relativo que se cometen con esas aproximaciones.
Solución:
1) 25 342 personas  25 miles de personas
error absoluto valor real - valor aproximado 25 342 - 25 000  342 personas
error relativo=342/25342=0,013
2) 328.053 €  328 miles de €

5. error absoluto 328 053 - 328 000  53 €
error relativo=53/328053=0,00016
3) 52 243 libros  52 miles de libros
error absoluto 52 243  52 000 243 libros
error relativo=243/52243=0,0047
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Ejemplo nº 3.-
Expresa con un número adecuado de cifras significativas:
a) Audiencia de un programa de televisión: 3 017 849 espectadores.
b) Tamaño de un virus: 0,008375 mm.
c) Resultado de 157.
d) Fuerza de atracción entre dos cuerpos: 18 753 N.
e) Presupuesto de un ayuntamiento: 987 245 €.
f) Porcentaje de votos de un candidato a delegado: 37,285%.
g) Capacidad de un pantano: 3 733 827 000 l.
Solución:
a) 3 000 000 espectadores
b) 0,008 mm
c) 157 = 170 859 375 ?170 000 000
d) 19 000 N
e) 1 000 000 €
f) 37%
g) 3 750 000 000 l
Fuentes Básicas de Errores
Existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos: error de truncamiento y
error de redondeo.
El Error de Redondeo se asocia con el número limitado de dígitos con que se representan
los números en una PC (para comprender la naturaleza de estos errores es necesario
conocer las formas en que se almacenan los números y como se llevan a cabo las sumas y
restas dentro de una PC).
El Error de Truncamiento, se debe a las aproximaciones utilizadas en la fórmula matemática
del modelo (la serie de Taylor es el medio más importante que se emplea para obtener
modelos numéricos y analizar los errores de truncamiento). Otro caso donde aparecen
errores de truncamiento es al aproximar un proceso infinito por uno finito (por ejemplo,
truncando los términos de una serie).
Redondeo y Truncamiento
Los errores numéricos se generan al realizar aproximaciones de los resultados de los cálculos
matemáticos y se pueden dividir en dos clases fundamentalmente: errores de truncamiento, que
resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y
los errores de redondeo, que resultan de representar aproximadamente números exactos.

6. En cualquier caso, la relación entre el resultado exacto y el aproximado está dada por: valor
verdadero = valor aproximado + error, de donde se observa que el error numérico está dado
por: Ev = valor verdadero - valor aproximado, donde Evsignifica el valor exacto del error.
La deficiencia del truncamiento o cortado, es atribuida al hecho de que los altos términos en la
representación decimal completa no tienen relevancia en la versión de cortar o truncar; por lo
tanto el redondeo produce un error bajo en comparación con el truncamiento o cortado.
Error de Redondeo
Se debe a la naturaleza discreta del sistema numérico de máquina de punto flotante, el cual a
su vez se debe a su longitud de palabra finita. Cada número (real) se reemplaza por el
número de máquina más cercano. Esto significa que todos los números en un intervalo local
están representados por un solo número en el sistema numérico de punto flotante.
Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a:
y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n.
El procedimiento se basa en agregar 5 x 10 n - (k+1) a y, y después truncar para que resulte un
número de la forma
fl(y)= 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.
El último método comúnmente se designa por redondeo. En este método, si dk+1 ³ 5, se agrega
uno (1) a dk para obtener a fl(y); esto es, se redondea hacia arriba. Si dk+1 < 5, simplemente se
trunca después de los primeros k dígitos; se redondea así hacia abajo.
Error de Truncamiento
Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a:
y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n.
Si y está dentro del rango numérico de la máquina, la forma de punto flotante de y, que se
representará por fl(y), se obtiene terminando la mantisa de y en kcifras decimales. Existen dos
formas de llevar a cabo la terminación. Un método es simplemente truncar los dígitos dk+1, dk+2, . .
. para obtener
fl(y)= 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.
Este método es bastante preciso y se llama truncar el número. Este tipo de error ocurre cuando
un proceso que requiere un número infinito de pasos se detiene en un número finito de pasos.
Generalmente se refiere al error involucrado al usar sumas finitas o truncadas para aproximar la
suma de una serie infinita. El error de truncamiento, a diferencia del error de redondeo
no depende directamente del sistema numérico que se emplee.
Errores de Suma y Resta
En esta sección estudiamos el problema de sumar y restar muchos números en la
computadora. Como cada suma introduce un error, proporcional al epsilon de la máquina, se
quiere ver cómo estos errores se acumulan durante el proceso. El análisis que se presenta
generaliza al problema del cálculo de productos interiores.

7. En la práctica muchas computadoras realizarán operaciones aritméticas en registros especiales
de más bits que los números de máquinas usuales. Estos bits extras se llaman
bits de protección y permiten que los números existan temporalmente con una precisión
adicional.
Se deben evitar situaciones en las que la exactitud se puede ver comprometida al restar
cantidades casi iguales o la división de un número muy grande entre un número muy pequeño,
lo cual trae como consecuencias valores de errores relativos y absolutos poco relevantes.
Condicionamiento
Las palabras condición y condicionamiento se usan de manera informal para indicar cuan
sensible es la solución de un problema respecto de pequeños cambios relativos en los datos de
entrada. Un problema está mal condicionado si pequeños cambios en los datos pueden dar
lugar a grandes cambios en las respuestas. Para ciertos tipos de problemas se puede definir un
número de condición: "Un número condicionado puede definirse como la razón de los errores
relativos".
Si el número de condición es grande significa que se tiene un problema mal condicionado; se
debe tomar en cuenta que para cada caso se establece un número de condición, es decir para
la evaluación de una función se asocia un número condicionado, para la solución de sistemas
de ecuaciones lineales se establece otro tipo de número de condición; el número condicionado
proporciona una medida de hasta qué punto la incertidumbre aumenta por el método numérico.
Estabilidad e Inestabilidad
La condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad los cambios en los datos
de entrada. Puede decirse que un cálculo es numéricamente inestable si la incertidumbre de los
valores de entrada aumenta considerablemente por el método numérico. Un proceso numérico
es inestable cuando los pequeños errores que se producen en alguna de sus etapas, se
agrandan en etapas posteriores y degradan seriamente la exactitud del cálculo en su conjunto.
El que un proceso sea numéricamente estable o inestable debería decidirse con base en los
errores relativos, es decir, investigar la inestabilidad o mal condicionamiento, lo cual significa
que un cambio relativamente pequeño en la entrada, digamos del 0,01%, produce un cambio
relativamente grande en la salida, digamos del 1% o más. Una fórmula puede ser inestable sin
importar con qué precisión se realicen los cálculos.