Este documento proporciona estrategias para resolver problemas geométricos. Explica que no hay una fórmula única para resolver todos los problemas, pero sí pasos como comprender el enunciado, hacer un diagrama, pensar un plan y redactar la solución. También da ejemplos de cómo aplicar métodos como reconocer conceptos familiares, dividir el problema en partes más simples, o buscar analogías con problemas resueltos.
2. ¿Cómo se resuelve un problema de Geometría a
todos los niveles? ¿Hay algún patrón a seguir o
alguna “formula” que ,a la aplicarla de siempre
resultado?
La respuesta a estas preguntas es un rotundo y
seguro que no gratificador no. Pero si que hay una
serie de pasos y estrategias que nos permitirán
resolverlos con cierta facilidad. Aquí expondremos
algunos inspirados por el profesor y matemático
George Polya y en especial por su obra How to
solve it.
3. Primer paso- Comprensión del
enunciado
Cuando leamos el enunciado de un problema de
geometría, primero hemos de entenderlo. Si no,
lo volvemos a leer y subrayamos las
preguntas (o intenciones) del enunciado y los
datos. Después, hemos de hacernos las
siguientes preguntas:
● ¿Cuál es la incógnita?
● ¿Cuáles son las cantidades dadas?
● ¿Cuáles son las condiciones dadas?
4. Segundo paso- Hacer un diagrama
Es el paso más importante, ya que este resume nuestras
conclusiones sobre el enunciado y nos prepara para
obtener la solución. En este diagrama se han de incluir
los datos y la incógnita según nos los diga el enunciado.
Recordar que un diagrama ha de ser :
● Sencillo (nos evalúan nuestros conocimientos de
matemáticas y no de arte)
● Claro y organizado (evitar borrones, lineas dobles,
zonas muy cargadas de datos, etc)
● Conciso (No debe de aparecer ningún elemento que
no esté en el problema o que se derive de él)
5. Segundo paso- Hacer un diagrama
Es el paso más importante, ya que este resume nuestras
conclusiones sobre el enunciado y nos prepara para
obtener la solución. En este diagrama se han de incluir
los datos y la incógnita según nos los diga el enunciado.
Recordar que un diagrama ha de ser :
● Sencillo (nos evalúan nuestros conocimientos de
matemáticas y no de arte)
● Claro y organizado (evitar borrones, lineas dobles,
zonas muy cargadas de datos, etc)
● Conciso (No debe de aparecer ningún elemento que
no esté en el problema o que se derive de él)
6. Ejemplos de diagrama geométrico- Suma de
vectores independientes, expresión geométrica
7. Ejemplo de diagrama- Resolución de un problema cuyo
objetivo es hallar el área de un cubo cuyo único dato es
el valor de una diagonal de una de sus caras ( en azul).
8. Tercer paso- Pensemos un plan
Una vez comprendido el enunciado ( esto es,
sabiendo qué nos pide el problema y que datos
o condiciones nos ofrece para ello), y con el
diagrama delante de nosotros, tenemos que
empezar a resolver el problema. A veces es lo
más difícil de lo que nos podemos encontrar, ya
que la cantidad de formulas, casos, ejemplos,
etc, abruman.
Para solventar esto, podemos seguir algunos
de los siguientes métodos:
9. ● Intentar reconocer algo familiar. Según la
teoría que hallamos visto en clase y los
ejemplos hechos, hemos de buscar si los
datos o las condiciones dadas por el
enunciado del problema se ajustan a algún
teorema, alguna fórmula o desarrollo teórico
que hallamos aprendido. Es el método de
aprendizaje más usual y también eficiente.
Por ejemplo, si nos dan un triangulo
rectángulo y los valores de la hipotenusa y
un cateto y quieren que hallemos el valor del
otro cateto, aplicaremos el Teorema de
Pitágoras.
10. ● En caso de muchas incógnitas, hemos de
dividir el problema en pequeños casos, tales
que, en cada uno, reconozcamos algo
familiar. Posteriormente, los datos hallados
nos permitirán resolver las restantes incógnitas
del problema y obtener la solución pedida.
Por ejemplo, en los problemas de áreas y
volúmenes, en los que su determinación pasa
por la obtención de un dato según las
características del cuerpo que tenemos, hemos
de seguir este método de solución. La
experiencia indica que produce muy buenos
resultados.
11. ● Mirar retrospectivamente. Muy útil si el
problema es de verdadero o falso o se refriere
a que demostremos una cuestión teórica.
Básicamente consiste en saber como se ha
podido llegar a la situación planteada.
Por ejemplo, si nos preguntan cual es el motivo
de que dos triángulos sean semejantes y estos
son rectángulos, nosotros hemos de pensar
que, si son semejantes, han de compartir un
ángulo común, y los lados que forman los
ángulos cumplen la razón de semejanza ( 3º
criterio de Thales), luego se ha de cumplir la
condición de semejanza señalada.
12. ● Buscar una analogía con un problema resuelto o
un patrón. En caso de que nos enfrentemos a temas
muy nuevos, los que no hemos practicado mucho o
de los que no conocemos en profundidad su
fundamento teórico, hemos de resolver el problema
según hicimos en clase o nos dice el libro de
texto. Este método es distinto al primero que hemos
visto, ya que no es buscar solo el teorema o algoritmo
que nos de la solución, sino reproducir una forma
concreta de resolverlo.
Por experiencia, no es un método fiable y menos
sencillo que el tener una buena base teórica. Exige
memorizar enunciados y más fórmulas de las
necesarias, y se ha de esperar que en el examen,
trabajo o problema. Contribuye al pensamiento
esquemático y perjudica al razonamiento lógico-
deductivo.
13. Algunos problemas en los que podemos usar este
este método, e incluso recomendable, son los
siguientes:
● Problemas de geometría analítica complejos, del tipo
Hallar una recta perpendicular a dos rectas no
paralelas que sea secante a ellas, cuyos fundamentos
teóricos son endebles. (2º Bachillerato)
● Representación y deducción de raíces complejas de
orden mayor a 2. (1º Bachillerato)
● Primeros problemas de aplicación de la Trigonometría.
(4º ESO)
● Resolución de ecuaciones de grado 4 o 5 por Ruffini.
(3º ESO, 4ºESO y 1º y 2º Bachillerato)
● Resolver algunas integrales como la de arco tangente.
(2º Bachillerato)
14. Cuarto Paso- Redacción del
ejercicio
La Geometría tiene la propiedad de ser una de
las disciplinas más intuitivas y claras de las
matemáticas, pero, contrariamente a la
esperado, suele ser los temas en los que más
errores de redacción se cometen, y en donde
los trabajos, exámenes y ejercicios, más nota
se pierde. En esta sección recogeremos
algunas sugerencias
15. ● Utiliza la notación del libro de texto. Así podemos exponer
con claridad nuestros resultados.
● Si estas trabajando en un problema con unidades, que no se te
olvide incluirlas en tus resultados.
● Acompaña la solución del problema con una versión limpia y
detallista del esquema hecho para trabajar, con toda la
información del enunciado y la que tú has obtenido.
● Señala a que teoremas o principios te has referido para tus
conclusiones y subrayarlos. No seas tacaño con la redacción
de tus soluciones. Las Matemáticas y las letras nunca han sido
disciplinas antagónicas (Por ejemplo, utiliza expresiones como
las soluciones a este caso son..., La longitud del otro cateto es
de..., La superficie pedida es un rectángulo de área... para
finalizar tus respuestas)
● Revisa todos los cálculos antes de pasarlos a limpio
● Señala bien las soluciones ( recuadrarlas, subrayarlas )
16. Indice de imágenes
Imagen de la portada: Estudio de curvas de nivel
de una función bivariable, imagen hecha por el
autor con el programa MAXIMA.
El resto de las imágenes han sido realizadas por
el autor con Geogebra, versión 4.0.38, como
apoyo visual para explicaciones teóricas en
clases particulares.
