1) El documento describe conceptos matemáticos fundamentales de física como magnitudes escalares y vectoriales, sistemas de referencia, vectores unitarios, componentes y operaciones con vectores como suma, producto escalar y vectorial. 2) También explica conceptos como derivadas de funciones, cálculo de pendientes y derivadas de funciones compuestas y racionales. 3) Finalmente, presenta fórmulas para calcular derivadas de funciones trigonométricas y logarítmicas.

1. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA
Magnitudes escalares y vectoriales
Una magnitud escalar es aquella que queda completamente determinada por un número real y
una unidad de medida.
Una magnitud vectorial es aquella que queda determinada cuando se conoce un número
(llamado módulo), una dirección y un sentido.
Las magnitudes vectoriales se representan mediante vectores.
Un vector es un segmento rectilíneo orientado.
Los vectores se representan con letras en negrita o con una flecha encima. Por ejemplo, el vector
fuerza es: F o F
Los vectores fijos constan de:
- Punto de aplicación: es el origen del vector.
- Módulo: es la longitud del vector. El módulo del vector A se representa como A o como A
- Dirección: coincide con la de la recta sobre la que se apoya o cualquier otra paralela a esta.
- Sentido: es aquel que va desde el origen del vector hasta su extremo.
Sistema de referencia
Un sistema de referencia es un conjunto de puntos con relación a los cuales se puede
determinar la situación de otro punto cualquiera.
Sea una línea recta horizontal y otra vertical (perpendicular a la anterior):
El punto de intersección de ambas líneas es el origen del
y P sistema de referencia: O.
A la recta horizontal se la llama eje de abscisas o eje x.
A la recta vertical se la llama eje de ordenadas o eje y.
A cada punto del plano se le pueden asociar dos números:
O la abscisa o coordenada x, y la ordenada o coordenada y.
x Primero se pone la abscisa y luego la ordenada.
Sean tres líneas rectas mutuamente perpendiculares (ejes x, y, z):
A cada punto del espacio se le pueden asociar
tres números: las coordenadas x, y , z.

2. Vectores unitarios
Un vector unitario, u, es un vector cuyo módulo vale la unidad.
Sea A un vector paralelo al vector unitario y del mismo sentido:
entonces:
A = Au
Los versores son vectores unitarios cuya dirección y sentido coinciden con las de los ejes de
coordenadas x, y, z. Se representan como i, j, k.
Producto de un vector por un número real
El producto de un número real, r, por un vector A es otro vector rA:
- cuyo módulo es igual al valor absoluto de r por el módulo de A: r A
- cuya dirección es la misma que la de A
- cuyo sentido es el mismo que el de A si r es positivo, o el contrario a A si r es negativo.
Ejemplo:
Componentes de un vector
Las componentes de un vector A son cualquier conjunto de vectores que al sumarse den como
resultado el vector A.
Ejemplo:
En el primer caso A1 y A2 son componentes de
A.
En el segundo caso A1, A2, y A3 son
componentes de A.

3. Componentes rectangulares de un vector
Las componentes rectangulares de un vector A son dos vectores mutuamente perpendiculares Ax
y Ay que al sumarse dan como resultado A:
A = Ax + Ay
Ax recibe el nombre de proyección de A sobre el eje x
Ay recibe el nombre de proyección de A sobre el eje y
De acuerdo con la definición de vectores unitarios:
Ax = Ax i
Ay = Ay j
Entonces:
A = Ax + Ay = Ax i + Ay j
Pero:
Ax
cos Ax A cos
A
Ay
sen Ay Asen
A
Por tanto:
A = A cos i + A sen j = A (cos a i + sen j)
El modulo del vector A se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras:
A2 = Ax2 + Ay2
2 2
A Ax Ay
Componentes cartesianas de un vector
Las componentes cartesianas de un vector A son tres vectores mutuamente perpendiculares Ax,
Ay y Az que al sumarse dan como resultado A:
A = Ax + Ay + Az
Ax recibe el nombre de proyección de A sobre el eje x
Ay recibe el nombre de proyección de A sobre el eje y
Az recibe el nombre de proyección de A sobre el eje z
De acuerdo con la definición de vectores unitarios:
Ax = Ax i
Ay = Ay j
Az = Az k
Entonces:
A = Ax + Ay + Az = Ax i + Ay j + Az k

4. El vector A forma un ángulo con el eje x, un ángulo con el eje y y un ángulo con
el eje z, por tanto:
Ax
cos Ax A cos
A
Ay
cos Ay A cos
A
Az
cos Az A cos
A
(cos , cos y cos se llaman cosenos directores del vector A)
Entonces:
A = A cos i + A cos j + A cos k = A (cos i + cos j + cos k)
El módulo del vector A se puede deducir del siguiente modo:
En la figura de
arriba:
d2 = Ax2 + Ay2
En la figura de abajo
A2 = d2 + Az2
A2 = Ax2 + Ay2 +
Az2
A A2
x
2
Ay Az2
Suma de vectores
Sean los vectores A y B, su suma es:
A= Ax i + Ay j + Az k
B= Bx i + By j + Bz k
A + B = (Ax + Bx) i + (Ay + By) j + (Az + Bz) k

5. Producto escalar
El producto escalar de dos vectores A.B es una cantidad escalar obtenida mediante la
siguiente expresión:
A.B = A.B.cos
( es el ángulo formado por los vectores A y B)
Propiedades:
1. A.A = A.A.cos 0 = A2.1 = A2
2. Si dos vectores son perpendiculares (es decir forman un ángulo de 90º) entonces
su producto escalar es nulo:
A.B = A.B.cos 90 = 0
ya que cos 90 = 0
El producto escalar de dos vectores en función de sus componentes es:
A.B = (Ax i + Ay j + Az k). (Bx i + By j + Bz k) =
= AxBxii + AxBy ij + AxBzik+
+AyBxji + AyBy jj + AyBzjk+
+AzBxki + AzBy kj + AzBzkk
Pero:
ii = 1.1.cos 0 = 1 ji = 1.1.cos 90 = 0 ki = 1.1.cos 90 = 0
ij = 1.1.cos 90 = 0 jj = 1.1.cos 0 = 1 kj = 1.1.cos 90 = 0
ik = 1.1.cos 90 = 0 jk = 1.1.cos 90 = 0 kk = 1.1.cos 90 = 1
Por tanto:
A.B = AxBx + AyBy + AzBz
Las propiedades del producto escalar se pueden utilizar para derivar la expresión que
permite calcular el módulo del vector suma: sean los vectores A y B, su suma es:
S=A+B
Entonces:
S2 = (A + B)2 = A2 + B2 + 2A.B
Por las propiedades del producto escalar:
S2 = A2 + B2 + 2ABcos
S A2 B2 2 AB cos

6. Producto vectorial
El producto vectorial de dos vectores, AxB, es una cantidad vectorial que tiene las
siguientes características:
1. Su módulo viene dado por la siguiente expresión:
AxB = A.B.sen
(siendo el ángulo formado por los vectores A y B).
2. Su dirección es perpendicular al plano determinado por los vectores A y B:
3. Su sentido es el de avance de un sacacorchos que va desde A hasta B por el
camino más corto.
El producto vectorial de dos vectores también se puede calcular directamente
mediante la expresión:
i j k
A x B = Ax Ay Az = i (AyBz – AzBy) + j (AzBx – AxBz) + k (AxBy – AyBx)
Bx By Bz

7. Pendiente de una recta
Dados dos puntos del plano (x1, y1) y (x2, y2),
la pendiente de la recta que pasa por ellos se
calcula mediante la expresión:
y2 y1
m tan
x2 x1
Derivada de una función en un punto
Considérese la representación gráfica de la función y = f(x):
Considérese un punto de la misma: P.
Trácese por dicho punto una tangente
geométrica a la gráfica.
Sea el ángulo que forma dicha
tangente con el eje x.
La derivada de la función y = f (x) en el
punto P es igual al valor de la tangente
del ángulo .
La derivada de la función y se
dy
representa como:
dx
Derivadas de algunas funciones de interés
dy dc
1. Función constante: y = c (siendo c un número real cualquiera): 0
dx dx
dy dx
2. Función idéntica: y = x: 1
dx dx
n dy dx n
3. Función y = x : nx n 1
dx dx
Ejemplo: Halla las derivadas de las funciones a) y = x3 , b) y = x
dx 3
3x 3 1 3x 2
dx
1/ 2 1 1
d x dx 1 21 1 2 1
x x
dx dx 2 2 2 x
dg ( x)
dy d g ( x) dx
4. Función: y = g (x) :
dx dx 2 g ( x)
dy dsenx
5. Función y = sen x: cos x
dx dx
dy d cos x
6. Función y = cos x: senx
dx dx

8. Cálculo de derivadas
1. La derivada de una suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de
dichas funciones:
d df ( x) dg ( x)
f ( x) g ( x)
dx dx dx
Ejemplo:
d dx dx 2
x x2 1 2x
dx dx dx
2. La derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera
función por la segunda sin derivar, más la derivada de la segunda función por la
primera sin derivar:
d df ( x) dg( x)
f ( x) g ( x) g ( x) f ( x)
dx dx dx
Ejemplo:
d dx dsenx
xsenx senx x 1.senx cos x.x senx x cos x
dx dx dx
3. La derivada de un cociente de dos funciones es igual a la derivada del
numerador por el denominador sin derivar, menos el numerador sin derivar por
la derivada del denominador, y todo ello partido por el denominador al
cuadrado:
df ( x) dg ( x)
g ( x) f ( x)
d f ( x) dx dx
2
dx g ( x) g ( x)
Ejemplo:
dsenx d cos x
cos x senx
d senx dx dx cos x. cos x senx.( senx) cos2 x sen2 x 1
2
dx cos x cos x cos2 x cos2 x cos2 x
senx d tan x 1
Pero como tan x se acaba de demostrar que
cos x dx cos2 x