Presentación de Redes de alcantarillado y agua potable
4. zapatas aisladas con trabes de liga
1. Página 1 de 11
4 ZAPATAS AISLADAS CON TRABES DE LIGA
4.1 Introducción
En este capítulo se efectúa la interacción suelo estructura de una cimentación a base de
zapatas aisladas con trabes de liga, considerando la rigidez de la estructura de cimentación.
4.2 Interacción suelo estructura de cimentación
4.2.1 Ecuación matricial de flexibilidades
La figura 4.1 muestra una cimentación a base de zapatas aisladas con trabes de liga. Por
conveniencia, se denotará a las zapatas de los extremos con las letras a y b; y a las zapatas
intermedias con los números 1, 2, 3,…, n (Fig. 4.1 a).
Fig. 4.1 Cimentación a base de zapatas aisladas con trabes de liga; a) cimentación real,
b) condición R = 0 y c) condición Ri = 1.
(c)
(b)
(a)
=1R'i biRaiR
1i ni
ii2i
Ra0 Rb0
L
ii
n
i2
1
ba 1 ni2
2P iP nP bPPa 1P
PbPnPiP2P1a
R R R R R
Wa
bni21a
P
d
dd
d
y x
2. Página 2 de 11
La estructura de cimentación es hiperestática, por lo que para resolverla se utilizará el método de las
fuerzas, también llamado de flexibilidades o método de las deflexiones compatibles.
Para la utilización del método de las fuerzas, se suprimirán las zapatas intermedias, con lo que se
obtiene una estructura estáticamente determinada a la que se llama estructura primaria.
A la estructura primaria se aplican las cargas que actúan sobre la estructura de cimentación real, y se
calculan los desplazamientos ∆i, en cada uno de los puntos en donde se retiraron las zapatas
intermedias (fig. 4.1 b).
Después a la estructura primaria se le aplica una fuerza unitaria R1=1 en el punto 1 y se calculan las
deflexiones producidas por la carga unitaria en los puntos 1, 2,..., n, a esta condición se le llama
R1=1. En seguida se aplica a la estructura primaria una carga unitaria R2=1 en el punto 2 y se
calculan las deflexiones producidas por la carga unitaria en los puntos 1, 2,…, n, y se le llama
condición R2=1. Se continua con este procedimiento hasta aplicar una carga unitaria Rn=1 en el
punto n.
Por compatibilidad de deformaciones para la condición R = 0 y las condiciones R1=1, R2=1,… y
Rn=1, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
F
nnnnnnn
F
nn
F
nn
RdRdRd
RdRdRd
RdRdRd
δ
δ
δ
−∆=+++
−∆=+++
−∆=+++
...
...
...
2211
222222121
111212111
(4 .1)
donde:
.
.ReR
.0
1.
F
i
i
i
byazapataslasarespectoconizapataladerelativoentoDesplazami
izapatalaenacción
RcondiciónlaparaipuntoelenentoDesplazami
RcondiciónlaparajpuntoelenentoDesplazamid iji
=
=
==∆
==
δ
ba
n
F
A
n
n
i
F
A
i
i
2
F
A
2
2
1
1
A
F
1
Fig. 4.2 Descomposición del desplazamiento vertical de una cimentación
3. Página 3 de 11
El desplazamiento vertical de la cimentación puede descomponerse, (fig. 4.2) como:
F
i
A
ii δδδ += (4.2)
donde:
.
.
,
.
ncimentaciódeestructuraladedeflexiónporipuntodelentoDesplazami
rígidancimentacio
deestructuradoconsideranbyazapataslasdetoasentamienporipuntodelentoDesplazami
izapataladeverticalentoDesplazami
F
i
A
i
i
=
=
=
δ
δ
δ
Introduciendo la ecuación 4.2 en las ecuaciones 4.1 se tiene:
n
A
nnnnnnn
A
nn
A
nn
RdRdRd
RdRdRd
RdRdRd
δδ
δδ
δδ
−+∆=+++
−+∆=+++
−+∆=+++
...
...
...
2211
2222222121
1111212111
(4 .3)
El sistema de ecuaciones anterior puede escribirse en forma matricial, como se muestra a
continuación:
n
A
n
A
A
nnnnnn
n
n
R
R
R
ddd
ddd
ddd
δ
δ
δ
δ
δ
δ
2
1
2
1
2
1
2
1
21
22221
11211
...
...
...
−+
∆
∆
∆
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
(4.4)
La ecuación matricial 4.4 relaciona las reacciones R1, R2,…, Rn con los desplazamientos δ1, δ2,…, δn
de la estructura de cimentación, considerando la rigidez de la cimentación.
A la ecuación 4.4 se le llama Ecuación Matricial de Flexibilidades (EMFLE) y se escribe en forma
abreviada de la siguiente forma:
[ ] i
A
iiiji Rd δδ −+∆= (4.5)
donde:
4. Página 4 de 11
.
.doconsideran
,
.0
.
.
verticalesentosdesplazamideVector
rígidancimentaciodeestructura
byaapoyoslosdetoasentamienporentodesplazamiVector
RcondiciónlaparantodeplazamiedeVector
ncimentaciósuelocontactodereaccionesdeVectorR
adesflexibiliddeMatrizd
i
A
i
i
i
ji
=
=
==∆
=
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
δ
δ
4.2.2 Ecuación matricial de asentamientos
A partir de la ecuación 2.9 se obtiene la ecuación matricial de asentamientos (EMA), para la
cimentación a base de zapatas aisladas unidas con trabe de liga, como se ilustra en la figura 4.1 a); a
continuación se muestra la EMA:
b
n
a
b
n
a
bbbnbbba
nbnnnnna
bna
bna
abanaaaa
R
R
R
R
R
δ
δ
δ
δ
δ
δδδδδ
δδδδδ
δδδδδ
δδδδδ
δδδδδ
2
1
2
1
21
21
2222212
1112111
21
...
...
...
...
...
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
(4.6)
4.2.3 Ecuación matricial de interacción suelo estructura
Nótese que con las ecuaciones matriciales EMA y EMFLE se tienen 2n + 2 ecuaciones con 2n + 4
incógnitas, por lo que las 2 ecuaciones restantes se obtienen con la sumatoria de momentos igual a
cero en las zapatas a y b, con lo que el sistema de ecuaciones puede resolverse y obtenerse Ra, R1,
R2,…, Rn, Rb y δa, δ1, δ2,…, δn, δb. A continuación se presenta un algoritmo para la solución de estos
sistemas de ecuaciones.
5. Página 5 de 11
La ecuación EMA tiene n + 2 ecuaciones; mientras que la EMFLE posee n ecuaciones, por lo que
para poder trabajar con estas ecuaciones simultáneamente, se debe reducir la ecuación EMA a un
sistema de n ecuaciones:
Del primer y último renglón de EMA se obtiene:
babnanaaaaaa RRRRR δδδδδδ +++++= ...2211 (4 .7)
bbbnbnbbabab RRRRR δδδδδδ +++++= ...2211 (4 .8)
De los renglones 1 a n de EMA se tiene:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
+
−=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
bnbana
bbaa
bbaa
nnnnnn
n
n
RR
RR
RR
R
R
R
δδ
δδ
δδ
δ
δ
δ
δδδ
δδδ
δδδ
22
11
2
1
2
1
21
22221
11211
...
...
...
(4.9)
Despejando | δ i| de la ecuación anterior:
b
a
nbna
ba
ba
nnnnn
n
n
n
R
R
R
R
R
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
δδ
δδ
δδ
δδδ
δδδ
δδδ
δ
δ
δ
22
11
2
1
21
22221
11211
2
1
...
...
...
(4.10)
Despejando el vector | δ i| de la ecuación (4.4):
nnnnn
n
n
A
n
A
A
nn R
R
R
ddd
ddd
ddd
2
1
21
22221
11211
2
1
2
1
2
1
...
...
...
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−+
∆
∆
∆
=
δ
δ
δ
δ
δ
δ
(4.11)
6. Página 6 de 11
Igualando las ecuaciones 4.10 y 4.11 tenemos:
nnnnn
n
n
A
n
A
A
n
b
a
nbna
ba
ba
nnnnn
n
n
R
R
R
ddd
ddd
ddd
R
R
R
R
R
2
1
21
22221
11211
2
1
2
1
22
11
2
1
21
22221
11211
...
...
...
...
...
...
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−+
∆
∆
∆
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
δ
δ
δ
δδ
δδ
δδ
δδδ
δδδ
δδδ
(4.12)
A
n
A
A
n
b
a
nbna
ba
ba
nnnnn
n
n
nnnn
n
n
R
R
R
R
R
ddd
ddd
ddd
δ
δ
δ
δδ
δδ
δδ
δδδ
δδδ
δδδ
2
1
2
1
22
11
2
1
21
22221
11211
21
22221
11211
...
...
...
...
...
...
+
∆
∆
∆
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
(4.13)
A continuación se desarrollara cada uno de los siguientes términos:
b
a
nbna
ba
ba
R
R
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
δδ
δδ
δδ
22
11
y
A
n
A
A
δ
δ
δ
2
1
Termino:
b
a
nbna
ba
ba
R
R
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
δδ
δδ
δδ
22
11
(4.14)
7. Página 7 de 11
bni21a
RRRRR
R b0R a0
ba 1 ni2R
Fig. 4.3 Sistema equivalente para la obtención de las reacciones Ra y Rb.
De la figura 4.3 se obtiene:
)...( 22110 nnaa RRRRR ψψψ +++−= (4.15)
)...( 22110 nnbb RRRRR ξξξ +++−= (4.16)
donde:
L
i
i
x
=ψ (4.17)
L
i
i
y
=ξ (4.18)
Sustituyendo las ecuaciones 4.15 y 4.16 en la ecuación 4.14 tenemos:
n
n
n
nbna
ba
ba
b
a
nbna
ba
ba
b
a
nbna
ba
ba
R
R
R
R
R
R
R
2
1
21
21
22
11
0
0
22
11
22
11
...
...
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
ξξξ
ψψψ
δδ
δδ
δδ
δδ
δδ
δδ
δδ
δδ
δδ
(4.19)
Termino:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
A
n
A
A
δ
δ
δ
2
1
(4.20)
8. Página 8 de 11
Sustituyendo la ecuación 4.2 en la ecuación 4.20 obtenemos:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
+
=
bnan
ba
ba
A
n
A
A
δξδψ
δξδψ
δξδψ
δ
δ
δ
22
11
2
1
(4.21)
b
a
nn
A
n
A
A
δ
δ
ξψ
ξψ
ξψ
δ
δ
δ
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
22
11
2
1
(4.22)
Sustituyendo las ecuaciones 4.7 y 4.8 en la ecuación 4.22:
b
n
a
bbbnbbba
abanaaaa
nn
A
n
A
A
R
R
R
R
R
2
1
21
21
22
11
2
1
...
...
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
δδδδδ
δδδδδ
ξψ
ξψ
ξψ
δ
δ
δ
(4.23)
9. Página 9 de 11
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
n
bnbb
anaa
b
a
bbba
abaa
nn
A
n
A
A
R
R
R
R
R
2
1
21
21
22
11
2
1
...
...
δδδ
δδδ
δδ
δδ
ξψ
ξψ
ξψ
δ
δ
δ
(4.24)
Sustituyendo las ecuaciones 4.15 y 4.16 en la ecuación 4.24 resulta:
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
n
n
n
bbba
abaa
b
a
bbba
abaa
nn
A
n
A
A
R
R
R
R
R
2
1
21
21
0
0
22
11
2
1
...
...
ξξξ
ψψψ
δδ
δδ
δδ
δδ
ξψ
ξψ
ξψ
δ
δ
δ
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
n
bnbb
anaa
R
R
R
2
1
21
21
...
...
δδδ
δδδ
(4.25)
Sustituyendo las ecuaciones 4.19 y 4.25 en la ecuación 4.13 y reordenando términos resulta lo
siguiente:
nnnnnnn
n
n
nnnn
n
n
nnnn
n
n
b
b
b
R
R
R
aaa
aaa
aaa
ddd
ddd
ddd
∆
∆
∆
+=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
2
1
2
1
2
1
21
22221
11211
21
22221
11211
21
22221
11211
...
...
...
...
...
...
......
......
......
δδδ
δδδ
δδδ
(4.26)
donde:
11. Página 11 de 11
donde:
[ ] [ ] [ ]jijijiji adM ++=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
δ (4.31)
iii bV ∆+= (4.32)
Entonces:
[ ] ijii VMR
1−
= (4.33)
donde:
[ ] [ ]jiji MdeinversaMatrizM
1
=
−
Con la ecuación matricial 4.33 se obtienen las reacciones R1, R2, …, Rn. Por sumatoria de momentos
en las zapatas b y a se obtienen Ra y Rb, respectivamente; y de la ecuación matricial de
asentamientos EMA se obtienen los desplazamientos δa, δ1, δ2, …, δn y δb.
