Thue morse sequence

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Thue morse sequence

  1. 1. Suite de Thue-Morse Programme Python pour la générer : >>> m, t = 1, [0]
  2. 2. >>> while m != 2**16 : ... n=0 ... while n != m : ... r=(int(t[n])-1)**2 ... t.append(r) ... n=n+1 ... m=m*2 Tracés avec Turtle Graphics : a = 0 while a < 2**16 : if t[a] == 0 : fd(10) else : rt(60) fd(10) a = a+1 On obtient un fragment du flocon de Koch __ a = 0 while a < 2**16 : if t[a] == 0 : # ou == 1 rt(60)
  3. 3. fd(10) a = a+1 donne un petit hexagone __ a = 0 while a < 2**16 : if t[a] == 0 : fd(10) else : rt(60) a = a+1 On retrouve le flocon de Koch tracé d'une autre manière __ a = 0 while a < 2**16 : if t[a] == 0 : fd(10) else : rt(30) fd(10) avec l'angle de 30, on obtient probablement le flocon mais plus grossier encore
  4. 4. __ a = 0 while a < 2**16 : if t[a] == 0 : fd(10) else : rt(90) on obtient le symbole suivant ! __ a = 0 while a < 2**16 : if t[a] == 0 : fd(10) else : rt(90) fd(10) de même : __ a = 0 while a != 2**16: if t[a] == 0 : fd(10) else : rt(45) fd(10) a=a+1
  5. 5. donne : __ a = 0 while a != 2**16: if t[a] == 0 : fd(10) else : rt(45) a=a+1 __ a = 0 while a != 2**16: if t[a] == 1 : # ou 0 d'ailleurs fd(10) else : rt(135) a=a+1 __ a = 0 while a != 2**16: if t[a] == 0 : fd(10) else : rt(135) fd(10) a=a+1
  6. 6. __ while a != 2**16: if t[a] == 0 : fd(10) else : rt(120) fd(10) a=a+1 __ while a != 2**16: if t[a] == 0 : fd(10) else : rt(150) fd(10) a=a+1
  7. 7. __ while a != 2**16: if t[a] == 0 : fd(10) else : rt(150) a=a+1 ET while a != 2**16: if t[a] == 0 : fd(10) else : rt(120)
  8. 8. a=a+1 donnent aussi d'autres versions du flocon de Koch __ notons le remplacement de ==0 par ==1 entraine seulement une rotation de la figure passons maintenant à la comparaison de deux termes de la suite a = 0 while a != 2**16: if t[a] == t[a+1] : fd(10) else : rt(60) fd(10) a=a+1 60 = 180-(360/3) __ while a != 2**16: ... if t[a] == t[a+1] : ... fd(10) ... else : ... rt(30) ... fd(10) ... a=a+1
  9. 9. pas de période observée orbite plutôt stable autour d'un centre se déplacement lentement ? __ while a != 2**16: if t[a] == t[a+1] : fd(10) else : rt(45) fd(10) a=a+1 bassin stable, aux allures pentagonales sans le centre, allure « nuage électronique » __ while a != 2**16: ... if t[a] == t[a+1] : ... fd(10) ... else : ... rt(108) ... fd(10) ... a=a+1 108 = angle d'un pentagone __
  10. 10. while a != 2**16: ... if t[a] == t[a+1] : ... fd(10) ... else : ... rt(72) ... fd(10) ... a=a+1 72 = 360/5 extra ! Il faudrait réessayer en laissant le tracé beaucoup plus longtemps avec un pas de 4 (dézoom) aspect « cathédrale » __ while a != 2**16: if t[a] == t[a+1] :
  11. 11. fd(10) else : rt(216) fd(10) a=a+1 Bassin à priori stable, en forme d'oursin (← pentagone vu de côté...?). __ while a != 2**16: if t[a] == t[a+1] : fd(10) else : rt(90) fd(10) a=a+1 quadrillage carré de forme triangulaire (… ? à grande échelle?) 90 = 180-360/4 = 360/4 ; influence du 4 Voici la même figure avec un pas de 1 pixel (dézoom)...en cours de construction :
  12. 12. Ressemble à une construction humaine...? Pas de motif final, étrange coin amoché, brisé, __ while a != 2**16: if t[a] == t[a+1] : fd(10) else : rt(120) fd(10) a=a+1 Espace quadrillé parcouru et reparcouru, élargi peu à peu __
  13. 13. while a != 2**16: if t[a] == t[a+1] : fd(10) else : rt(150) fd(10) a=a+1 bassin à priori stable, pentagonal (environ), à voir dans le temps __ while a != 2**16: if t[a] == t[a+1] : fd(10) else : rt(240) fd(10) a=a+1 240 même type que 120 __ while a != 2**16: ... if t[a] == t[a+1] : ... fd(10) ... else : ... rt(360/7) ... fd(10) ... a=a+1
  14. 14. influence du nombre 7 bassin à peu près stable, ou évolue très lentement, (humain vue de haut, tête) __ while a != 2**16: ... if t[a] == t[a+1] : ... fd(10) ... else : ... rt(180-(360/7)) ... fd(10) ... a=a+1 influence du 7, angle de l'heptagone Enorme ! Mandala, étoile à 14 branche (Tempérance) __ while a != 2**16: ... if t[a] == t[a+1] : ... fd(10) ... else : ... rt(135) ... fd(10) ... a=a+1 135 = 180-360/8 , angle de l'octogone
  15. 15. On retrouve le flocon de Koch qu'on avait laissé en changeant l'algorithme ! __ while a != 2**16: ... if t[a] == t[a+1] : ... fd(10) ... else : ... rt(140) ... fd(10) ... a=a+1 140 : angle de l'ennéagone, influence du 9 ! Croissance quasi végétale, très naturelle, supposée infinie d'une structure étoilée ! À laisser tourner une nuit ! Processus de construction très très impressionnant, renforcement des structures existantes avant de
  16. 16. poursuivre plus loin, … !!! Croissance régulière, mais entretient des asymétries, qui entretiennent le mouvement. Elargissement de la structure sous forme de boucles, cellules, plus stable. Stabilisation en un Mandala à 18 branches !
  17. 17. __ while a != 2**16: if t[a] == t[a+1] : fd(10) else : rt(40) fd(10) a=a+1 40 = 360/8 pas laissé assez longtemps __ J'oubliais bien entendu 180, la ligne : while a != 2**16: ... if t[a] == t[a+1] : ... fd(10) ... else : ... rt(180) ... fd(10) ... a=a+1 Le segment du haut indique le pas Le tracé est donc une segment de deux pas <=> il n'y a jamais plus de deux 0 de suite __
  18. 18. Tout petit décalage de l'angle droit : while a != 2**16: ... if t[a] == t[a+1] : ... fd(10) ... else : ... rt(91) ... fd(10) ... a=a+1 Mandala qui doit être très long à achever décalage encore plus petit : while a != 2**16: ... if t[a] == t[a+1] : ... fd(10) ... else :
  19. 19. ... rt(90.1) ... fd(10) ... a=a+1 __ nombre d'or while a != 2**16: if t[a] == t[a+1] : fd(10) else : rt(360/b) fd(10) a=a+1 avec b le nombre d'or b = 1.6180339887498948482045868343656381177203091798057628621354
  20. 20. Phi semble bien s'exprimer mais attention aux approximations, et donc au décalage. Autre : while a != 2**16: if t[a] == t[a+1] : fd(10) else : rt(180-360/b) fd(10) a=a+1 Pseudo mandala : Et pour Pi : while a != 2**16: if t[a] == t[a+1] :
  21. 21. fd(10) else : rt(180-360/b) fd(10) a=a+1 avec pi = b = 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534
  22. 22. (fd:4) Observation : émergence d'une structure connue = segments de 1 ou 2 avec possible rotation de 108 degrés <=> écart de 72 degré à la trajectoire → pour l'instant, émergence de la même figure que pour 72 degré !!! puis obtenu avec while a != 2**16: if t[a] == t[a+1] : fd(20) else : rt(72) fd(20) a=a+1 Le motif d'auto-similarité de cet algo était :
  23. 23. A vérifier pour 2**16 termes de la suite On observe un petit décalage dans la figure, peut-être dû à une approximation inévitable de pi. Difficile à vérifier. On peut assurer un peu plus la conjecture en poussant un peu plus loin pour observer l'éventuel changement attendu (par analogie à l'angle de 90°). Essayons à 2**20 (et attendons...) L'approximation de pi par python est à 2.4e-16 près (sous estimation), ce qui revient à un écart angulaire de max 10^-14 et cette erreur s'accumule à chaque rotation. Quelle est la probabilité de rotation ? Question intéressante, à développer plus tard. Disons ¾, alors l'approximation entrainerait, pour le tracé selon 2^16 termes, un décalage d'angle de 4.10^-10 degré environ, ce qui est encore insignifiant. L'écart ici semble 10^10 fois plus grand : mesure de l'angle entre la direction en début de tracé (segment du haut) et en fin de tracé d'environ 5 degré sur la dernière figure (ils devrait être alignés si le motif émergent est celui produit par l'algo 7). Autre perte de précision dans l'algo ? Mauvaise conjecture ? Le motif semble pourtant vraiment prendre l'allure conjecturée à ce petit décalage près. Conjecture : le motif émergent avec l'algo(180-360/pi) (algo(≈65.41)) pour 2**16 termes de la séquence est le même que celui produit par l'algo72 pour 2**4 termes. La conjecture ne se vérifie pas sur un plus long terme. Le caractère émergent est tout de même notable. Pour quelle plage de valeur d'angle ce phénomène est-il effectif ?
  24. 24. Ce motif ne semble pas être ancré dans une échelle, mais en constante émergence à une échelle supérieure. Test algo(65.41) while a != 2**20: if t[a] == t[a+1] : fd(1) else : rt(65.41) fd(1) a=a+1
  25. 25. Il y a bien une divergence avec le tracé précédent mais toujours ce comportement émergent. __ Autre : while a != 2**16: if t[a] == t[a+1] : fd(10) else : rt(360/b) fd(10) a=a+1 b = pi Mandala ! Soleil, particule... __ a = 0 while a != 2**20-1: if t[a] == t[a+1] : fd(20) else : rt(180-360/(b/2)) fd(20) a=a+1
  26. 26. à suivre __ while a != 2**20-1: if t[a] == t[a+1] : fd(2) else : rt(180-360/(2*b)) fd(2) a=a+1 b=pi
  27. 27. __ while a != 2**20-1: if t[a] == t[a+1] : fd(10) else : rt(180-360/(2**0.5)) fd(10) a=a+1 racine de 2
  28. 28. __ a = 0 while a != 2**20-1: if t[a] == t[a+1] : fd(10) else : rt(360/(2**0.5)) fd(10) a=a+1
  29. 29. __ Pi au carré : >>> while a != 2**20: ... if t[a] == t[a+1] : ... fd(5) ... else : ... rt(180-360/pi**2) ... fd(5) ... a=a+1
  30. 30. __ while a != 2**20-1: if t[a] == t[a+1] : fd(10) else : rt(360/e) fd(10) a=a+1 e = 2.71828182845904523536
  31. 31. while a != 2**20: if t[a] == t[a+1] : fd(5) else : rt(360/e) a=a+1
  32. 32. while a != 2**20: if t[a] != t[a+1] : fd(5) else : rt(360/e) a=a+1 while a != 2**20: if t[a] == t[a+1] : fd(20) else : rt(180-360/e) a=a+1
  33. 33. while a != 2**20: if t[a] != t[a+1] : fd(20) else : rt(180-360/e) a=a+1 __ while a != 2**20: if t[a] == t[a+1] : fd(5) else : rt(360/e) fd(5) a=a+1
  34. 34. while a != 2**20: if t[a] != t[a+1] : fd(5) else : rt(360/e) fd(5) a=a+1
  35. 35. __ while a != 2**20: if t[a] == t[a+1] : fd(20) else : rt(360/e**2) fd(20) a=a+1 while a != 2**20:
  36. 36. if t[a] == t[a+1] : fd(5) else : rt(180-360/e**2) fd(5) a=a+1 Autre : Cercle ! (ou plutôt polygone) while a!= 2**20 : fd(1) rt(t[a]) a=a+1 print(pos(), a)
  37. 37. Complété au bout de 720 termes (720 = 2*360) et d'un diamètre ce 229.8 while a != 2**20 : fd(10*t[a]) rt(1) a=a+1 print(pos(), a) Cercle complété après 360 termes, de diamètre 572.94 while a != 2**20 : fd(10*t[a]) rt(a) a=a+1 print(pos(), a)
  38. 38. Spirales de Pythagore ! while a != 2**20 : ... fd(a/10000) ... rt(t[a]) ... a=a+1 while a != 2**20 : fd(a/1000) rt(t[a]) a=a+1
  39. 39. Observation intéressante, si on ne commence pas à a=0, alors le tracé est « insignifiant », ou plutôt très simple, à vérifier/approfondir... Autre question intéressante : pour le figures stabilisées, y a-t-il une période, et à partir de quel terme de la suite le tracé est-il complet ?

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