adap penggunaan media sosial dalam kehidupan sehari-hari.pptx
Gelombang Elektromagnetik
1. 31/12/2015
1
Dosen Mata Kuliah
Andhy Setiawan, M.Si
Menu Utama
Pendahuluan
Persamaan Maxwell
Pandu Gelombang
Pemantulan dan Pembiasan Gelombang
Elektromagnetik
Gelombang Elektromagnetik dalam Medium
Persamaan Gelombang Elektromagnetik
Transversalitas Gelombang Elektromagnetik
Vektor Poynting dan Kekekalan Energi
Gelombang dalam Medium Konduktif
Elektron bebas dalam Konduktor dan Plasma
Hukum Snellius
Persamaan Fresnel
Pandu Gelombang dengan Penampang Segi Empat
Pandu Gelombang Jalur Transmisi Koaksial
Energi dan Momentum gelombang elektromagnetik dibawa
oleh medan listrik E dan medan magnet B yang menjalar
melalui vakum.
Sumber gelombangnya berupa muatan-muatan listrik yang
berosilasi dalam atom, molekul, atau mungkin juga dalam
suatu antene pemancar radio.
Untuk medan listrik E dan medan magnet B yang berubah
dengan waktu, keberadaan E selalu disertai B, dan
sebaliknya. Keterkaitan antara E dan B dituangkan dalam
persamaan Maxwell yang mendasari teori medan magnetik.
A. PENDAHULUAN
B. PERSAMAAN MAXWELL
Persamaan Maxwell dirumuskan dalam besaran medan
listrik E dan medan magnet B. Seluruh persamaan
Maxwell terdiri dari 4 persamaan medan, yang masing-
masing dapat dipandang sebagai hubungan antara medan
dan distribusi sumber, baik sumber muatan ataupun
sumber arus.
Persamaan-persamaan Maxwell
0. B
0. E
t
B
xE
t
E
xB o
0
VakumMedium
bD
.
0. B
t
B
xE
1.
2.
3.
4.
Click angka untuk mengetahui penurunan rumus masing-masing
persamaan di atas
Persamaan Maxwell pertama merupakan ungkapan dari
hukum Gauss, yang menyatakan bahwa:
“ Jumlah garis gaya medan listrik yang menembus suatu
permukaan tertutup, sebanding dengan jumlah muatan yang
dilingkupi permukaan tersebut.”
Secara matematis Hukum Gauss dituliskan dengan:
o
q
dAnE
.
.
dqdAnE
o
1
.
.
dVdAnE
o
1.
2. 31/12/2015
2
dVdAnE bf
o
1
.
.
dVPdAnE b
o
1.
dVdvPE bo
DEPEo
bD
Persamaan Maxwell (1) dalam Medium
dVPdVE b
o
1
Dari teorema divergensi
dVEdAnE
.
Untuk ruang vakum, karena tidak ada sumber maka
0 sehingga:
0
b
E
0
E
Persamaan Maxwell (1) untuk ruang vakum,
tanpa sumber muatan
Persamaan Maxwell kedua merupakan Hukum Gauss
magnetik, yang menyatakan “fluks medan magnetik yang
menembus suatu permukaan tertutup sama dengan nol,
tidak ada sumber medan berupa muatan magnetik.” Atau
dengan kata lain,” garis gaya medan magnet selalu
tertutup, tidak ada muatan magnet monopole.”
Melalui teorema Gauss, persamaan Maxwell kedua dapat
dituliskan dalam bentuk integral:
0. dAnBB
Dari teorema divergensi dVBdAnB
.. maka
0.BdV
0.
B Persamaan Maxwell (2) dalam medium dan vakum
Persamaan Maxwell ketiga merupakan ungkapan Hukum
Faraday-Lenz, yang menyatakan bahwa “pengaruh medan
magnet yang berubah dengan waktu.”
Secara matematis dituliskan:
t
dAnB
t
dlE
..
Dari teorema Stokes
dAnExdlE ..
dAnB
t
dAnEx ..
t
B
Ex
Persamaan Maxwell (3) dalam medium
Dan vakum.
dAnB.dengan
karena dlE.
maka
Persamaan Maxwell keempat merupakan Hukum Ampere:
IdlB .
IdlH.
dAnJJdlH fb ..
dAn
t
E
JdAnxH b ..
t
E
JxH b
t
D
JxH b
Persamaan Maxwell (4) dalam medium
H
B
dAnJI
.dengan
fb JJJ
;
dan
IdlB 0.
dAnBxldB
..
dAnJdAnBx
.. 0
JBx 0
t
E
Bx
00
Untuk persamaan Maxwell (4) dalam vakum, yaitu:
Dari teorema Stokes maka
Persamaan Maxwell (4) dalam Vakum,
Tanpa sumber muatan
3. 31/12/2015
3
t
B
E
B
t
E
EEE 2
.
B.1. PERSAMAAN GELOMBANG
ELEKTROMAGNETIK
MEDAN LISTRIK
Dari persamaan Maxwell (3):
Ruas kanan dan ruas kiri dideferensialkan dengan
operasi rotasi, maka:
Dari vektor identitas
02
2
00
2
t
E
E 2
2
00
2
t
E
E
B
t
EE 2
.
2
2
00
2
t
E
E
Maka:
Dengan 0.
E
t
E
B
00dan sehingga
dengan
00
1
c
0
1
2
2
2
2
t
E
c
E
0
1
2
2
22
2
2
2
2
2
xE
tczyx
0
1
2
2
22
2
2
2
2
2
yE
tczyx
0
1
2
2
22
2
2
2
2
2
zE
tczyx
Sehingga persamaan gelombang medan listrik
dalam bentuk diferensial:
Solusi paling sederhana:
tkzEtzE
cos, 0
MEDAN MAGNET
Dari persamaan Maxwell (4):
t
E
xB o
0
BBB 2
.
t
E
BB
)
. 00
2
0.
B
t
B
E
t
E
B
)(
00
Dengan operasi rotasi:
Karena vektor identitas
Dan persamaan Maxwell (2) serta (3):
dan
0
1
2
2
2
2
t
B
c
B
2
2
2
2 1
t
B
c
B
2
2
00
2
t
B
B
Maka persamaan gelombang medan magnet dalam
bentuk diferensial:
sehingga
0
1
2
2
22
2
2
2
2
2
xB
tczyx
0
1
2
2
22
2
2
2
2
2
yB
tczyx
0
1
2
2
22
2
2
2
2
2
zB
tczyx
Solusinya: tkzBtzB
cos, 0
Solusi persamaan gelombang elektromagnet untuk
medan Listrik dan medan magnet merupakan contoh
eksplisit dari gelombang datar (Plan Wave)
)( tkzf
k
v
Bentuk umum:
Kecepatan:
Bentuk muka gelombangnya
tegak lurus vektor satuan k,
maka:
tan. konszk
4. 31/12/2015
4
Sifat-sifat gelombang datar:
1. Mempunyai arah jalar tertentu (dalam persamaan,
arah z).
2. Tidak mempunyai komponen pada arah rambat.
3. Tidak ada komponen E dan B yang bergantung pada
koordinat transversal (pada contoh, koordinat
transversalnya x dan y).
Sehingga solusi persamaan gelombangnya menjadi:
),(),( tzEjtzEiE yx
),(),( tzBjtzBiB yx
),(),( txEktxEjE zy
),(),( txBktxBjB zy
B.2. TRANSVERSALITAS GELOMBANG
ELEKTROMAGNETIK
t
E
B
00
t
E
y
B
x
B zzy
00 0
),(
t
tzE z
MEDAN LISTRIK
Untuk membuktikan sifat dari gelomabng datar yaitu
transversalitas,dari persamaan Maxwell (1) dan (4):
Ez tidak bergantung pada z (sisi spatial)
Sisi temporal
0.
E
0
),(),(),(
z
tzE
y
tzE
x
tzE zyx
0
),(
z
tzEz
Yang berarti Ez tidak bergantung pada t
Jadi Ez (z,t) = konstan =0, yang berarti arah getar
dari gelombang medan listrik tegak lurus pada arah
rambatnya, karena medan listrik E hanya mempunyai
komponen-komponen pada arah yang tegak lurus
pada arah rambat.
0.
B
0
),(),(),(
z
tzB
y
tzB
x
tzB zyx
0
),(
z
tzBz
MEDAN MAGNET
Dari persamaan Maxwell (2):
Sisi spatial, yang berarti Bz tidak bergantung
pada z.
t
B
Ex
t
tzB
y
E
x
E zxy
),(
0
),(
t
tzBz
Dan dari persamaan Maxwell (3):
Sisi temporal, yang berarti Bz
tidak bergantung pada t.
Yang berarti arah getar gelombang medan magnet tegak
lurus terhadap arah rambatnya.
Dengan demikian maka gelombang
Elektromagnetik merupakan gelombang transversal.
yx EjEiE
)cos()cos( 00 tkzEjtkzEiE yx
yx BjBiB
)cos()cos( 00 tkzBjtkzBiB yx
t
B
Ex
yoxoxoy jBBitkzjEEitkzk 0)sin()sin(
yoxoxoy jBBijEEik 0
BEk
B
k
E
cBE
Hubungan E dan B, misal menjalar dalam arah z:
BE
Hubungan vektor propogasi k, medan listrik E,
dan medan magnet B ditunjukkan dengan gambar:
5. 31/12/2015
5
B.3. VEKTOR POYNTING DAN KEKEKALAN
ENERGI
Energi medan elektromagnetik merupakan jumlah dari
Energi Medan listrik dan energi medan magnet.
EB uuu
2
0
2
0 2
1
2
1
EBu
t
E
E
t
B
B
dt
du
0
0
1
t
B
Ex
Laju perubahan rapat energi atau perubahan rapat energi
terhadap waktu:
Dari persamaan Maxwell (3) dan (4), maka:
dan
t
E
B
00
BEEB
dt
du
00
11
BEEBBE
BEEB
dt
du
0
1
BE
dt
du
0
1
0
S
dt
du
Sehingga
Dari vektor identitas
maka
BES
0
1
dengan disebut vektor poynting
Hukum Kekekalan Energi
mengungkapkan besarnya energi persatuan
waktu per satuan luas yang dibawa oleh
medan elektromagnetik
C. GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK
DALAM MEDIUM
t
D
JH
t
B
E
B
D
b
b
0.
.
Persamaan-persamaan Maxwell
C. 1 GEM DALAM MEDIUM KONDUKTIF
Dalam medium konduktif yang bebas sumber, dan dari
hubungan B = μ H dan D = ε E, persamaan
Maxwell 4 dapat ditulis:
,)(
),()(
2
2
t
E
t
J
E
t
B
Edengan
t
E
J
t
B
t
t
E
JB
t
D
JH b
maka
0
0
)).((
2
2
2
2
2
2
2
2
2
t
E
t
E
E
t
E
t
E
E
t
E
t
E
EE
Dengan solusi : E(z, t) = E0 cos (κz - ωt)
Atau dalam bentuk kompleks :
E(z, t) = E0 e-i (κz - ωt )
EJdanEEE 2
).()(
Sehingga :
EeEi
t
E
EieEi
t
E
tzi
tzi
2)(
0
22
2
2
)(
0
E(z, t) = E0 e-i (κz - ωt ) 02
2
2
t
E
t
E
E
EeEieE
z
E tzitzi 2)(
0
22)(
02
2
2
-κ2E + μεω2E – μσiωE = 0
κ2E - μεω2E + μσiωE = 0
κ2= μεω2 – iμσω
6. 31/12/2015
6
Misal : κ = a + ib
κ2 = (a + ib)2 = a2 – b2 + 2abi
Dari pers κ2= μεω2 – iμσω, maka :
a2 – b2 = μεω2 dan 2ab = - μσω
222
222
)
2
(
)
2
(
a
a
a
a a
b
2
kalikan dengan 4a2
4(a2)2 – 4μεω2a2 – (μσω)2 = 0
Dengan menggunakan rumus akar kuadrat, diperoleh :
2222
2,1
22222
2,1
222
2
2
2,1
2222
2
2,1
)(1
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
)()(
2
1
2
)(
8
))(4(4)4(4
)(
a
a
a
a
4(a2)2 – 4μεω2a2 – (μσω)2 = 0
2
22
11)(
2
1
a
Karena a bilangan riil, maka a2 harus positif
sehingga dipilih:
2222
2,1 )(1
2
1
)(
2
1
)(
a
2
22
2,1 11)(
2
1
)(
a
22
2
2
22
2
22
2
2
22
11
2
1
2
1
2
1
11
2
1
2
1
11
2
1
b
b
b
b
a2 – b2 = μεω2
b2 = a2 - μεω2
2
22
11)(
2
1
a
222
22222
222
2
)(1
)(11
2
1
)(11
2
1
))((*
ba
ibaiba
κ merupakan fungsi dari ω. Dan karena k berkaitan
dengan cepat rambat, maka pada medium konduktif,
cepat rambat gelombang bergantung pada frekuensi.
Medium tersebut seperti medium dispersif.
Besarnya bilangan gelombang Untuk medium yang berkonduktivitas tinggi, σ >>
maka
2
2
1
1
2
1
11
2
1
22
2
22
2
22
a
a
a
a
7. 31/12/2015
7
Sehingga :
2
2
2
2
b
b
a
b
Jika maka
2
1
ba
Dengan besaran δ disebut tebal kulit (skin depth)
Jadi
)1( i
iba
merupakan bilangan gelombang untuk medium
dengan konduktivitas tinggi, pada frekuensi rendah
maka solusinya :
)(
0
)
1
(
0
)(
0
),(
),(
),(
t
z
i
z
tz
i
i
tzibai
eeEtzE
eEtzE
eEtzE
Untuk medium yang konduktivitasnya rendah
(konduktor buruk), jauh lebih kecil dari ωε. Maka
Skin depthnya :
2
2
2
)(11
2
a
Diuraikan dengan deret Maclaurin
!3
)2)(1(
!2
)1(1)1(
32
x
nnn
x
nnxx n
jika 2
)(
x maka :
..........)1
2
1
(
2
1
.
!2
1
2
1
1)1( 22
1
xxx
........)(
2
1
1)(1
......))(
2
1
(
4
1
)(
2
1
1)(1
2
2
1
2
42
2
1
2
Jadi,
2
4
4
.......)(
2
1
2
2
.......)(
2
1
11
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a
a
a
a
a
2
ba dengan
2
yang disebut skin depth
1
ba
Dari solusi persamaan gelombang pada medium
konduktif yaitu :
)(
0),(
t
z
i
z
eeEtzE
yang dapat ditafsirkan setelah menempuh jarak
sebesar δ, maka amplitudo gelombang berkurang
menjadi dari amplitudo semula.
e
1
Jika z = δ maka
)1(0
)1(1
0
),(
),(
ti
ti
e
e
E
tzE
eeEtzE
8. 31/12/2015
8
EB
Medan Magnet :
Jadi medan listrik (E) dan medan magnet (B)
tidak lagi mempunyai fase yang sama
tzibai
o eE
iba
tzB
)(
),(
i
reiba
Karena dengan
a
b
bar 122
tandan,
maka
tzibai
o eE
ba
tzB )(
22
),(
tzibai
eEtzE
)(
0),(
2
1
2
2
2
2
2
2
2
)(11
2
)(11
2
)(11
2
k
a
k
a
a
dengan kv = ω, dan karena a > k , maka kecepatan fase
pada medium konduktif < v di udara/non konduktif
Kecepatan fase:
Besarnya vektor poynting untuk medium
konduktif, yaitu :
)(
1
BES
dengan EB
)(
1
EES
21
ES
)(22
0)(
1 tzi
eEibaS
2
)(2
2
0
22
tzibai
eE
ba
S
Faktor
merupakan faktor redaman dalam perambatan energi.
tzibai
eE
iba
S
)(22
0
)(
Untuk medium konduktif
1
ba
2
222
0
22
t
z
iz
eeE
ba
S
maka
z
e
2
C. 2 ELEKTRON BEBAS DI DALAM KONDUKTOR
DAN PLASMA
Elektron bebas di dalam konduktor tidak terikat
pada atom dan molekul sehingga dapat digunakan
persamaan Maxwell 3, yaitu :
t
B
E
t
J
t
E
E
02
2
00
2
-
002
2
00
2
t
J
t
E
E (1)
Gerakan elektron :
Eq
dt
dv
m e dengan v = kecepatan elektron
Ruas kiri dan ruas kanan dikalikan dengan Nqe
EqN
t
Nvq
m e
e 2
)(
)(
)2........()( 2
EqN
t
J
m e
Substitusi persamaan (2) ke persamaan (1)
0
)(
2
02
2
00
2
E
m
Nq
t
E
E e
dan J = vqeN, maka :
9. 31/12/2015
9
Sehingga :
0
)( 2
02
2
00
2
E
m
qN
t
E
E e
dan )(
0),( tkzi
eEtzE
EkeEkiE tkzi 2)(
0
222
EieEi
t
E tkzi
)(
0
EeEi
t
E tkzi 2)(
0
22
2
2
maka,
0
)(
)(
2
0
2
00
2
E
m
qN
EEk e
-
-
m
qN
k e
2
)(
0
2
00
2
2
0
2
2
00
2
)(
1
m
qNk e
karena
00
2 1
c dan 22
2
1
v
k
2
0
2
2
2
00
)(
1
1
m
qNk e
dengan 2
2
)(
p
e
m
qN
2
2
2
2
1
p
v
c
maka
Berdasarkan definisi indeks bias :
v
c
n
2
2
2
1
p
n
2
2
1
p
n Indeks Bias Plasma
Bila ω<ωp maka nilai indeks bias n
berupa bilangan imajiner yang berarti
gelombang di dalam plasma tsb akan
teredam.
Bila ω ≥ ωp, maka nilai indeks bias n
berupa bilangan nyata (real) sehingga
gelombang akan diteruskan.
D.1 HUKUM SNELLIUS
Tinjau untuk kasus Transverse Electric (TE)
D. PEMANTULAN DAN PEMBIASAN
GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK
E1 k1
B1
E2
k2
B2
E3
k3
B3
Med1
Med2
μ2ε2
μ1ε1
1 2
3
x
x
x
Dari gambar tersebut diperoleh persamaan
untuk gelombang medan magnet
)(
011011
1
)cos(),( trki
eBtrkBtrB
)(
022022
2
)cos(),( trki
eBtrkBtrB
)(
033033
3
)cos(),( trki
eBtrkBtrB
dengan
k1 = k1 [ i sin (α1) – j cos (α1)]
k2 = k2 [ i sin (α2) + j cos (α2)]
k3 = k3 [ i sin (α3) – j cos (α3)]
Persamaan 1
Persamaan 2
10. 31/12/2015
10
])cos()sin([
011
111
),( tyxki
eBtrB
])cos()sin([
033
333
),( tyxki
eBtrB
])cos()sin([
022
222
),( tyxki
eBtrB
Persamaan 3
Syarat batas di y = 0 ; maka
B1x – B2x = B3x
B1 cos α1 – B2 cos α2 = B3 cos α3
Dan persamaan 3 menjadi :
)sin(
303
)sin(
202
)sin(
101
332211
.cos.cos.cos
xkixkixki
eBeBeB
Substitusi persamaan 1 ke persamaan 2: Persamaan
dapat dipandang sebagai Aeax + Bebx = Cecx
dengan menggunakan deret eksponensial:
.....
!2
1.....
!2
1.....
!2
1
222222
xc
cxC
xb
bxB
xa
axA
dengan mengabaikan suku ke tiga, diperoleh :
A + B =C
Aax + Bbx = Ccx
Aax + Bbx = (A + B) cx
)sin(
303
)sin(
202
)sin(
101
332211
.cos.cos.cos
xkixkixki
eBeBeB
cx
cx
BA
bx
ax
BA
diperoleh a = b = c
maka k1 sin α1 = k2 sin α2
Karena gelombang datang dan gelombang pantul
berada dalam medium yang sama yaitu medium 1
maka : k1 = k2
sehingga α1 = α2
k1 sin α1 = k3 sin α3Dari a = c maka
Dalam bentuk matriks :
n
c
v
v
c
n
v
k
nk
c
n
n
c
k
maka k1 dan k3 sebanding dengan n1 dan n3
sehingga n1 sin α1 = n2 sin α3
Persamaan Snellius
D.2. PERSAMAAN FRESNELL
Setelah memahami tentang hukum Snellius, selanjutnya
akan ditunjukkan perbandingan Amplitudo gelombang
pantul dan gelombang bias terhadap amplitudo gelombang
datang yang disebut dengan persamaan Fresnell
Kasus Transverse Magnetik (TM)
B1
k1
E1 k2B2
B3*
k3
E3
1
2
μ2ε2
μ1ε1
x
E2
Dengan memasukkan batas di y = 0 (berdasarkan gambar)
Untuk medan listrik :
E1x + E2x = E3x
coscos 321 EEE
Untuk medan magnet :
B1 – B2 = B3
3
2
21
1
11
E
v
EE
v
Dengan B=E/c di Vakum atau B= E/v di medium
sehingga dan n=c/v maka 1/v ~ n
maka n1 (E1-E2) = n2 E3
2
211
3
n
EEn
E
……… 1
……… 2.1
……… 2.2
11. 31/12/2015
11
Persamaan 2.2 disubstitusikan kedalam
persamaan 1,maka akan diperoleh :
coscoscoscos
coscos
2
1
1
2
1
2
21
2
1
21
n
n
E
n
n
E
EE
n
n
EE
Maka diperoleh koefisien refleksi yaitu
perbandingan antara medan pantul terhadap medan
datang (E2/E1).
dikali n2
maka
coscos
coscos
2
1
2
1
1
2
n
n
n
n
E
E
rTM
coscos
coscos
21
21
1
2
nn
nn
E
E
rTM
……… 3
Dari persamaan 2.1 kita peroleh persamaan
n1 (E1-E2) = n2 E3
1
3211
2
n
EnEn
E
…… 4
Persamaan 4 disubstitusikan ke persamaan 1, maka :
coscoscos2
coscos
33
1
2
1
3
1
3211
1
EE
n
n
E
E
n
EnEn
E
dikali n1
maka
coscoscos2
coscoscos2
21311
313211
nnEEn
EnEnEn
Dari persamaan diatas dapat dicari koefisien transmisi,
Yaitu perbandingan antara E3/E1
coscos
cos2
21
1
1
3
nn
n
E
E
tTM
Kasus Transver Elektrik (TE)
B1
k1
E1
k2
E
2
B3
k3
E3
1
2
μ2ε2
μ1ε1
x
B2
Berdasarkan gambar diatas apabila digunakan syarat
batas di y=0 Maka akan diperoleh hubungan :
Untuk meda magnet
B1x-B2x = B3x
coscos 321 BBB ……… 1
Untuk medan listrik
E1 + E2 = E3
Dari hubungan EB
BE
v
v
c
n
maka
v1 (B1 + B2) = v2 B3 v ~ 1/n
....... 2.1
21
1
2
3 BB
n
n
B ....... 2.2
3
2
21
1
11
B
n
BB
n
;
; ; ;
E1 + E2 = E3
coscos
coscos
1
2
1
2
1
2
n
n
n
n
B
B
rTE
coscos
coscos
21
21
nn
nn
rTE
coscoscoscos
coscos
1
2
1
1
2
2
21
1
2
21
n
n
B
n
n
B
BB
n
n
BB
coscos
coscos
1
2
1
2
1
2
n
n
n
n
B
B
RTE
Persamaan 2.2 disubstitusikan ke pesamaan 1
Sehingga diperoleh :
maka
Dari persamaan 2.1 kita peroleh
3
2
21
11
B
n
BB
n
13
2
1
2 BB
n
n
B ....... 3
Persamaan 3 disubstitusi ke persamaan 1
coscoscos2
coscos
33
2
1
1
313
2
1
1
BB
n
n
B
BBB
n
n
B
coscoscoscos2 21312 nnBBn
coscos
cos2
21
2
1
3
nn
n
B
B
tTE
12. 31/12/2015
12
Apabila sudut bias 0
90 maka,
Dari hukum Snellius diperoleh hubungan
1
2
1
211
3211
sin
90sinsin
sinsin
n
n
nn
nn
o
Sudut datang yang menghasilkan sudut bias 0
90
sudut kritis
Bila sudut datang lebih besar dari sudut kritis,
maka terjadi pemantulan total.
maka n1 > n2
Apabila o
90
dari hukum Snellius diperoleh hubungan:
1
2
tan
n
n
Sudut datang yang menghasilkan
o
90
Sudut Brewster
cossin
)90sin(sin
sinsin
1
2
21
21
n
n
nn
nn
o
E. PANDU GELOMBANG
Selubung konduktor kosong yangujung-ujungnya
dibatasi oleh permukaan disebut rongga (cavity).
Sedangkan bila ujung-ujungnya tidak dibatasi
oleh permukaan disebut dengan pandu gelombang
Diasumsikan bahwa pandu gelombang benar-benar
konduktor sempurna, Sehingga bahan material
tersebut berlaku E = 0 Dan B = 0
Misalkan gelombang elektromagnetik merambat dengan
Bentuk fungsi sebagai berikut :
tkxi
o
tkxi
o
ezyBtzyxB
ezyEtzyxE
,,,,
,,,,
Persamaan ini disubstitusikan ke dalam persamaan Maxwell 3
dan 4 ,Maka akan diperoleh :
x
yz
Bi
z
E
z
E
yz
x
BiikE
z
E
zy
x
BiikE
y
E
x
yz
E
c
i
z
B
y
B
2
……… 1
……… 2.2 ……… 2.4
……… 2.3……… 2.1
yz
x
E
c
i
ikB
z
B
2
zy
x
E
c
i
ikB
y
B
2
Dari persamaan 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, akan menghasilkan
Solusi Untuk Ey, Ez, By, dan Bz sebagai berikut
z
B
y
E
k
kc
i
E xx
y
22
/
y
B
z
E
k
kc
i
E xx
z
22
/
z
E
cy
B
k
kc
i
B xx
y 222
/
y
E
cz
B
k
kc
i
B xx
z 222
/
……… 2.5
……… 2.6
……… 3.1
……… 3.2
……… 3.3
……… 3.4
Dari persamaan 3 tampak bahwa bila komponen
Longitudinal Ex dan Bx diketahui, maka komponen
lainnya dapat diketahui.
Dengan mensubstitusikan persamaan 3 ke dalam
Persamaan Maxwell, kita akan peroleh persamaan
Differensial dari komponen longitudinal sebagai
Berikut :
02
2
2
2
2
2
xEk
czy
02
2
2
2
2
2
xBk
czy
0ˆ Bn 0ˆ Bn
……… 4.1
……… 4.2
……… 5
Dengan menggunakan syarat batas pada permukaan
konduktor sempurna, yaitu :
13. 31/12/2015
13
Dengan nˆ adalah vektor satuan normal pada
konduktor, maka akan kita peroleh
Ex = 0 Di permukaan
0
n
Bx Di permukaan
Bila Ex = 0, disebut gelombang TE (Transverse elektrik
Bila Bx = 0, disebut gelombangTM (Transverse MAgnetik),
Dan Ex = 0 dan Bx = 0, disebut gelombang TEM (Transverse
Electric Magnetik)
Pada pandu gelombang yang terselubung, kasus TEM tidak
pernah terjadi hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut :
Bila Ex = 0, maka menurut hukum gauss haruslah berlaku hukum
0
z
E
y
E zy
……… 6.1
……… 6.2
……… 7
Dan bila Bx = 0, maka menurut hukum Faraday
Berlaku hubungan
0
z
E
y
E yx
Karena E = 0 di permukaan logam, maka potensial listrik
V = konstan pada permukaan logam. Menurut hukum Gauss
Atau persamaan Laplace untuk V, berlaku pula V = konstan
Didalam rongga. Ini berarti E = 0 didalam rongga. Dari
Persamaan
E
t
B
Berarti B tidak bergantung waktu, dengan demikian tidak
ada gelombang didalam rongga
……… 8
E.1 PANDU GELOMBANG DENGAN
PENAMPANG SEGI EMPAT
Persamaan differensial dari komponen longitudinal
02
2
2
2
2
2
xBk
czy
……… 1
Dan syarat batas 0ˆ Bn 0ˆ Bndan
Maka dengan pemisalan : Bx (y,z) = Y (y) Z(z)
Substitusikan ke persamaan 1, maka :
0)()(2
2
2
2
2
2
zZyYk
czy
02
2
2
2
2
2
YZk
cz
Z
Y
y
Y
Z
0
11 2
2
2
2
2
2
k
kz
Z
Zy
Y
Y
Sehingga 02
2
2
k
c
ZkYk
dengan
z
y
k
z
Z
Z
k
y
Y
Y
2
2
2
2
2
2
1
1
Solusi dari persamaan 3 :
ykBykAY yy cossin
dibagi YZ
……… 2
………3
……… 4
Syarat batas 0
dy
dY
di y = 0 dan di y = a
0 = ky A, maka A = 0 ykyBkykAk
dy
dY
yyyy sincos
akBk yy sin0 maka, maky dengan m = 0, 1, 2,….
atau
a
m
ky
Untuk solusi zk
z
Z
Z
2
2
2
1
yaitu ZkBZkAZ zz cossin
Syarat batas 0
dz
dZ
di z = 0, z = b
ZkBkZkAk
dz
dZ
zzzz sincos maka untuk
Ak
ZkAk
dz
dZ
z
zz
0
cos
0cos Zkz
Untuk ZkBk
dz
dZ
zz sin 0Bkz dan kzz = 0
Sin kzz = 0
b
n
k
nbk
nzk
z
z
z
maka dengan n = 0, 1, 2, ….
z=b
maka untuk
a
ym
B
y
a
m
B
YkBYkAY yy
cos
cos0
cossin
b
zn
B
b
zn
B
ZkBZkAZ zz
cos
cos0
cossin
Sehingga
b
zn
B
a
ym
BzyBx
coscos,
Untuk mendapat bilangan gelombang k, maka dari
persamaan yang sudah didapat
02
2
2
k
c
ZkYk
dengan
a
m
ky
b
n
kz
dan
maka
222
222
2
2
222
0
b
n
a
m
c
k
b
n
a
m
c
k
k
cb
n
a
m
mm
c
k
221
22
b
n
a
m
cmm
14. 31/12/2015
14
Untuk mengetahui kecepaatan grup maka dapat
diperoleh dari persamaan
dk
d
vg
dkd
vg
/
1
Dari persamaan : mm
c
k
221
mm
mm
mm
mm
mm
cd
dk
cd
dk
cd
dk
d
d
cd
dk
cd
d
d
dk
22
2
1
22
2
1
22
2
1
22
22
2
2
11
1
1
2
2
2
2
2
22
1
mm
g
mm
g
mm
g
v
v
c
v
E.2 PANDU GELOMBANG JALUR
TRANSMISI KOAKSIAL
Dari persamaan Maxwell 3 dan 4 diperoleh :
yz
x
E
c
i
ikB
z
B
2
Gambar diatas memperlihatkan pandu gelombang berupa
jalur trandmisi koaksial (coaxial) transmition line),
terdiri dari kawat panjang yang diselimuti konduktor
silinder. Kawat panjang itu terletak pada sumbu silinder
zy
x
E
c
i
ikB
y
B
2
0
z
B
y
B zy
0
z
B
y
B yx
Maka cBz = Ey dan cBy = -Ez
Untuk medan listrik : Untuk medan magnet :
0
z
E
y
E zy
0
z
E
y
E yx
Solusi dengan menggunakan koordinat silinder
r
r
EE oo
ˆ
1
dan ˆ1
rc
E
B o
o
Diasumsikan dalam pandu gelombang benar-benar
konduktor sempurna, berlaku E = 0 dan B = 0
Sehingga fungsi gelombangnya
tkxi
o
tkxi
o
ezyBtzyxB
ezyEtzyxE
,,,,
,,,,
Untuk persamaan :
tkxi
o ezyEtzyxE
,,,,
tkxEitkxE oo cosˆcos
Substitusikan r
r
EE oo
ˆ
1
diperoleh rtkx
r
E
E o
ˆcos
Untuk persamaan
tkxi
o ezyBtzyxB
,,,,
tkxBitkxB oo cosˆcos
yang diambil bagian realnya maka,dengan mensubstitusi
ˆ1
rc
E
B o
o maka
ˆcos
r
tkx
c
E
B o
