Fonctions logarithmes

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Fonctions logarithmes

  1. 1. CHAPITRE 5 FONCTIONS LOGARITHMES 1 Définition et représentation graphique de la fonction logarithme népérien 1. Définition 1La fonction inverse x -- est définie, continue sur ]0 ; + ∞ [ , elle admet - xdonc des primitives sur ]0 ; + ∞ [ . La fonction logarithme népérien x ln x est la primitive, définie sur 1 ]0 ; + ∞ [ , de la fonction x -- qui s’annule en 1. - x 2. Conséquences• La fonction logarithme népérien, dont la dérivée est strictement positivesur ]0 ; + ∞ [ , est strictement croissante.Elle est continue et bijective. 1• ln ′ ( x ) = -- ; - x 0 1 +∞ xln 1 = 0. 1 + + x -- -• lim ln x = – ∞ x x→0 0 +∞ lim ln x = + ∞ . ln 0x → +∞ –∞ ln 1 A 1 0 B e148
  2. 2. cours savoir-faire exercices corrigés• On appelle e le nombre réel tel que ln e = 1. 1Au point A ( e ; 1 ) , la tangente a pour équation y = -- x et au point - eB ( 1 ; 0 ) la tangente a pour coefficient directeur 1. exemple d’application Déterminer les asymptotes à la courbe représentative de la fonction : x+3 f: x ln  ------------ .  x – 1 corrigé commenté Indication : on commence par déterminer l’ensemble D de définition de la fonction f. x+3 f ( x ) existe si, et seulement si, ------------ 0 ; le signe de ce quotient est celui d’un tri- x–1 nôme du second degré de racines 1 et – 3. x+3 Par suite, ------------ 0 si, et seulement si, x ∈ ] – ∞ ; – 3 [ ] 1 ; + ∞ [ . x–1 Donc D = ] – ∞ ; – 3 [ ] 1 ; + ∞ [ . Indication : on étudie ensuite les limites de f aux bornes de D. 1 + -- 3 -  1 + 3 --  - x+3 x  x • ------------ = ------------ pour x ≠ 0 d’où - lim  ------------  = 1 et lim ln X = 0 donc par - x–1 1 x → ∞ 1 1 – -- - 1 – --  - X→1 x  x composition lim f ( x ) = 0. x →∞ Donc la droite d’équation y = 0 est asymptote à dans un voisinage de +∞ et de – ∞. x+3 • lim ------------ = 0 + et lim ln X = – ∞ , donc par composition lim f ( x ) = – ∞ . x → –3 x – 1 X→0 x → –3 –3 0 –3 Donc la droite d’équation x = – 3 est asymptote à . x+3 • lim ( x – 1 ) = 0 + et lim ( x + 3 ) = 4 donc lim  ------------ = + ∞ et x →1 x →1 x → 1 x – 1 1 1 lim ln X = + ∞ , donc par composition lim f ( x ) = + ∞ . X → +∞ x→1 1 Donc la droite d’équation x = 1 est asymptote à D. En définitive, il y a 3 asymptotes d’équations respectives : y = 0 ; x = – 3 et x = 1. 149
  3. 3. CHAPITRE 5 FONCTIONS LOGARITHMES 2 Propriétés et autres fonctions 1. Propriétés de la fonction logarithme népérien Conditions Propriétés a 0 ln ab = ln a + ln b (propriété caractéristique des b 0 fonctions logarithmes) a 1 ln -- = ln a – ln b ; ln -- = – ln b - - b b ln a α = α ln a avec α ∈ ln a = ln b ⇔ a = b (fonction « ln » bijective) ln a ln b ⇔ a b (fonction « ln » strictement croissante) ln a = 1 ⇔ a = e ; ln a = 0 ⇔ a = 1 0 x 1 ln x 0 x 1 ln x 0 2. Dérivées et primitives• Soit une fonction u, définie et dérivable sur un intervalle I, telle que pourtout x de I, u ( x ) soit strictement positif : u′ u′ ( ln ◦ u )′ = ---- - . Si u ( x ) ≠ 0 ( ln ◦ u )′ = ---- . - u u• Soit une fonction u telle que u ( x ) ≠ 0 sur un intervalle I dont la dérivéeu′ est dérivable sur I. u¢Les primitives sur I de ----- sont les fonctions ln u + C avec C ∈ . u 3. Fonction logarithme décimal ln xLa fonction logarithme décimal est définie sur ]0 ; + ∞[ par log x = ------------ . - ln 10Cette fonction a la même variation et les mêmes propriétés opératoires quela fonction logarithme népérien. 1log 1 = 0 ; log 10 = 1 ; log ′ ( x ) = ---------------- . - x ln 10Cette fonction est utilisée dans tous les calculs faisant intervenir des puis-sances de 10.150
  4. 4. cours savoir-faire exercices corrigés 4. Autres limites ln ( 1 + x ) ln xlim ----------------------- = 1 ; - lim --------- = 0 ;x→0 x x → +∞ xlim x ln x = 0 (à redémontrer à chaque fois).x→0ln ( 1 + h ) ≈ h au voisinage de zéro. 5. Résolution de l’équation ln x = aPour chaque réel a, l’équation ln x = a admet une solution unique dans]0 ; + ∞ [ .Cette solution est e a et se lit exponentielle de a ou e exposant a. x2 + 3 exemple d’application Soit la fonction f : x ln -------------- définie sur ]1 ; + ∞ [ . - x–1 Déterminer les variations de f. corrigé commenté x2 + 3 La fonction f est telle que f = ln ◦ u avec u ( x ) = -------------- . - x–1 u′ 2x ( x – 1 ) – ( x 2 + 3) x 2 – 2x – 3 D’où f ′ = ---- avec u′ ( x ) = -------------------------------------------------- = --------------------------- - - - u ( x – 1 )2 ( x – 1 )2 donc : x 2 – 2x – 3 --------------------------- - ( x – 1 )2 ( x 2 – 2x – 3 ) ( x – 1 ) f ′ ( x ) = --------------------------- = -------------------------------------------------- . - - x 2+3 ( x – 1 )2 ( x2 + 3 ) --------------- x–1 Or sur ]1 ; + ∞[ ; x – 1 0 ; ( x – 1 ) 2 0 et x 2 + 3 0 donc f ′ ( x ) a le même signe que le trinôme x 2 – 2x – 3 dont les racines sont –1 et 3. Par suite f ′ ( x ) 0 si, et seulement si, x ∈ ]3 ; + ∞[ et f ′ ( x ) 0 si, et seulement si, x ∈ ]1 ; 3 ] . Or f ′ ( 3 ) = 0 donc la fonction f est strictement croissante sur [ 3 ; + • [ et f est strictement décroissante sur ] – 1 ; 3 ] . Remarque : ne pas oublier que f n’est définie que sur un ensemble contenu dans Df . Dans ce cas, D f ′ = D f = ]1 ; + ∞ [ . 151

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