Généralités sur les fonctions

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Généralités sur les fonctions

  1. 1. CHAPITRE 1 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS 1 Ensemble de définition et réductions éventuelles 1. Ensemble de définition• Dans , les intervalles sont les ensembles suivants où a b :– intervalles ouverts : ]– ∞ ; a[ ; ]a ; b[ ; ]b ; +∞[ ;– intervalles fermés : ]– ∞ ; a] ; [a ; b] ; [b ; +∞[ ;– intervalles semi-ouverts ou semi-fermés : [a ; b[ ; ]a ; b] ;– intervalles particuliers : = ]– ∞ ; + ∞ [ et ∅ = ]a ; a ] = [ a ; a [ = ] a ; a [ .• L’ensemble de définition Df d’une fonction f est l’ensemble des élé-ments ayant une image par f. D f = { x ∈ /f (x) existe }.Remarque : Df est un intervalle ou une réunion d’intervalles. 2. Parité d’une fonctionSoit une fonction f définie sur un ensemble D symétrique par rapport àzéro, c’est-à-dire que pour tout x de D, –x appartient à D. Parité de f Définition Élément de symétrie de la courbe f Paire f (– x) = f (x) axe des ordonnées Impaire f (– x) = – f (x) origine du repèreConséquence : si f est paire ou impaire, alors on peut réduire l’étude de f à + D. 3. Périodicité d’une fonctionSoit un réel T strictement positif et une fonction f d’ensemble de défini-tion D.Le nombre T est une période de f si, et seulement si pour tout réel x de D,( x + T ) ∈ D et f (x + T) = f (x).Conséquence : on peut réduire D à un intervalle d’étude d’amplitude T contenudans D.On peut représenter f sur cet intervalle, puis on obtient toute la courbe en utilisantdes translations de vecteur kT i avec k ∈ .10
  2. 2. cours savoir-faire exercices corrigés exemples d’application³ Réduire l’ensemble de définition de la fonction f définie par : f (x) = sin xcos 2 x.corrigé commenté Indication : on commence par chercher une période pour la fonction f : pour cela on sait que les fonctions sinus et cosinus sont de période 2π.∀x ∈ , f (x + 2π) = sin ( x + 2π )cos 2 ( x + 2π ) f (x + 2π) = sin xcos 2 x = f (x).Donc 2π est une période de f, ce qui permet de choisir un intervalle d’amplitude2π pour étudier f. Conseil : en cas de parité de la fonction f, il est préférable de choisir un intervalle centré en zéro donc, ici, l’intervalle [–p ; p].∀x ∈ [ – π ; π ] , – x ∈ [ – π ; π ] et f (– x) = sin ( – x )cos 2 ( – x )soit f (– x) = – sin xcos 2 x = – f (x).La fonction f est donc impaire.On peut en définitive réduire l’intervalle d’étude de f à [0 ; p].Conséquences : si on appelle Γ1 la représentation de f pour x ∈ [ 0 ; π ] , par symé-trie de Γ1 par rapport à l’origine O du repère on obtient Γ2 . La courbe Γ 1 Γ 2 estdonc la représentation de f pour x ∈ [ – π ; π ] .La représentation de f, sur s’obtient par des translations de vecteurs ( k2π ) i deΓ 1 Γ 2 , avec k ∈ . x2 + 1· Soit la fonction définie par f ( x ) = -------------- . - x3 – xÉtudier la parité de f et réduire si possible son ensemble d’étude.corrigé commenté Indication : il faut commencer par déterminer l’ensemble de définition de f.f ( x ) existe si et seulement si x 3 – x ≠ 0 soit ( x ≠ 1 et x ≠ – 1 et x ≠ 0 ) donc : Df = ] – ∞ ; –1 [ ]– 1 ; 0[ ] 0 ; 1[ ] 1 ; + ∞[ .On remarque que D f est symétrique par rapport à 0, donc on peut étudier laparité de f. ( –x )2 + 1 x2 + 1( ∀x ∈ D f ) ( – x ∈ D f ) et f ( – x ) = ------------------------------ = ----------------------- = – f ( x ) ; donc la fonc- - - ( –x )3 – ( –x ) – ( x3 – x )tion f est impaire.On peut réduire l’ensemble d’étude à ] 0 ; 1[ ]1 ; + • [. 11
  3. 3. CHAPITRE 1 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS 2 Variations et opérations sur les fonctions 1. Variations d’une fonction sur un intervalleSoit une fonction f définie sur un intervalle I de son ensemble de définition. Variations de f Définitions ( ∀x ∈ I ) ( ∀x′ ∈ I ) f croissante sur I x x′ ⇒ f (x) f (x′) f décroissante sur I x x′ ⇒ f (x) f (x′) 2. Extrema d’une fonctionSoit une fonction f définie sur un intervalle I de son ensemble de définition D. Extrema de f sur I Définitions ( ∀x ∈ I ) M est le maximum de f sur I f (x) M m est le minimum de f sur I f (x) mRemarques : si I = D, alors l’extremum est absolu, sinon il est relatif ou local.Si M ou m existe, alors il existe un réel x0 de I tel que f (x 0) = M ou f (x 0) = m. 3. Opérations sur les fonctions Opérations Les fonctions f et g Définitions sont définies sur I ( ∀x ∈ I ) Addition f+g ( f + g ) ( x ) = f (x) + g ( x ) Multiplication par kf ( k f ) ( x ) = k f (x) un réel non nul Multiplication f×g ( f × g ) ( x ) = f (x) × g ( x ) f (x) ∈ J Composition h◦f ( h ◦ f ) ( x ) = h [ f (x) ]12
  4. 4. cours savoir-faire exercices corrigés 4. Variations et opérations sur les fonctions• Si les fonctions f et g ont même variation, alors leur composée est crois-sante, sinon elle est décroissante.• Si les fonctions f et g ont même variation sur un intervalle I, alors leursomme a même variation que chacune d’elles.• Si les fonctions f et g ont même variation et sont strictement positives surun intervalle I, alors leur produit a même variation que chacune d’elles. k∈ f et k 0 f et k 0 f et k 0 f et k 0 kf exemple d’application π π Soit la fonction f définie sur – -- ; -- par f (x) = sin 2 x. - - 2 2 Décomposer f en fonctions usuelles pour étudier ses variations. corrigé commenté  π π  f 1 ( x ) = sin x ; x ∈ – -- ; -- - - 2 2 . On peut écrire f = f 2 ◦ f 1 avec   f ( x ) = x 2 ; x ∈ [ –1 ; 1 ]  2 π π π π f1 est croissante sur – -- ; -- et f1 : – -- ; -- → [ – 1 ; 1 ] ; f2 est définie sur [ – 1 ; 1 ] . - - - - 2 2 2 2 π π x – -- - 0 -- - 2 2 1 f1 0 –1 π Or sur [–1 ; 0], f2 est décroissante donc f 2 ◦ f 1 est décroissante sur – -- ; 0 ; et f2 - 2 π croissante sur [0 ; 1] donc f 2 ◦ f 1 est croissante sur 0 ; -- . - 2 x –1 0 1 1 1 f2 0 13
  5. 5. CHAPITRE 1 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS 3 Comparaisons et positions relatives de deux courbes 1. Majoration et minoration de fonctionsSoit une fonction f définie sur un intervalle I de son ensemble de définition. Définitions ( ∀x ∈ I ) M est un majorant de f f (x) M m est un minorant de f f (x) mRemarque : tout extremum est majorant ou minorant d’une fonction sur un inter-valle, mais la réciproque est fausse.Autrement dit, un majorant ou un minorant n’est pas nécessairement atteint.Une fonction f est bornée sur un intervalle I, si elle est à la fois majorée etminorée. 2. Positions relatives de deux courbesOn appelle représentation graphique de la fonction f, l’ensemble des pointsde coordonnées ( x ; f (x) ) dans un repère ( O ; i , j ) quand x décrit D.Étudier la position relative de deux courbes représentant deux fonctions fet g revient à étudier le signe de la différence f (x) – g ( x ).Si f (x) – g ( x ) 0, alors f (x) g ( x ) ce qui signifie que f est strictementau-dessus de g.Si f (x) – g ( x ) 0, alors f (x) g ( x ) ce qui signifie que f est strictementau-dessous de g .Si f (x) = g ( x ) pour certaines valeurs de x, alors f est g ont des pointscommuns pour chacune de ces valeurs. 3. Construction d’une courbe à partir de celle d’une fonction de référenceSoit f une fonction de référence définie sur un ensemble D et représentéedans un repère ( O ; i , j ) orthonormé.14
  6. 6. cours savoir-faire exercices corrigés Fonctions Conditions Transformations permettant définies par d’existence de passer de f à g g ( x ) = f (x) + b x∈D Translation de vecteur b j . g ( x ) = f (x – a) (x – a) ∈ D Translation de vecteur a i . g ( x ) = – f (x) x∈D Symétrie d’axe ( O ; i ) . Sur D , g= f; g ( x ) = f (x) x∈D + sur D – , symétrie d’axe ( O ; i ) . g est paire, donc : sur D +, g = f =Γ; g(x) = f ( x ) x ∈D sur D , symétrique de Γ par rap- – port à l’axe ( O ; j ) . exemple d’applicationSoit la fonction f définie sur par : x–1 f (x) = – 2x + 5 + -------------- . - x2 + 1Étudier les positions relatives de la droite ∆ d’équation y = – 2x + 5 et de lacourbe représentant f.corrigé commenté Indication : étudier les positions relatives de la droite D et de la courbe revient à x–1 étudier le signe de f (x) – ( – 2x + 5 ) = -------------- . - x2 + 1 Le signe de cette différence est celui de x – 1 car x 2 + 1 0.• Si x – 1 0 c’est-à-dire si x ∈ ]1 ; + ∞ [ , alors f (x) – ( – 2x + 5 ) 0,donc est strictement au-dessus de ∆ pour x ∈ ]1 ; + ∞ [ .• Si x – 1 0 c’est-à-dire si x ∈ ]– ∞ ; 1 [ , alors f (x) – ( – 2x + 5 ) 0,donc est strictement en dessous de ∆ pour x ∈ ]– ∞ ; 1 [ .• Si x = 1, alors et ∆ ont le point A (1 ; 3) en commun. 15
  7. 7. CHAPITRE 1 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS 4 Symétries de la courbe représentative d’une fonction 1. Centre de symétrie d’une courbeSoit Ω ( a ; b ) un point situé dans un repère orthonormé ( O ; i , j ) . Onveut prouver que Ω est centre de symétrie de la courbe représentative d’unefonction f dont l’ensemble de définition est Df .G Première méthode • D f est symétrique par rapport à a   • h ∈ , ( a + h ) ∈ Df , ( a – h ) ∈ Df   f (a + h) + f (a – h) • --------------------------------------------- = b 2  Alors Ω est le centre de symétrie de .G Deuxième méthode • M ( x, y ) dans ( O ; i , j ) et M ( X ; Y ) dans ( Ω ; i , j )   x = a + X  •   y = a+Y   • a pour équation y = f (x) dans ( O ; i , j )   et a pour équation Y = g (X) dans ( Ω ; i , j ) Si g est impaire, alors Ω est le centre de symétrie de . 2. Axe de symétrie d’une courbeSoit la droite ∆ d’équation x = a dans un repère orthonormé ( O ; i , j ) .On veut prouver que ∆ est l’axe de symétrie de la courbe représentatived’une fonction f dont l’ensemble de définition est Df .G Première méthode • D f est symétrique par rapport à a   • h ∈ , ( a + h ) ∈ Df , ( a – h ) ∈ Df   • f (a + h) = f (a – h) Alors ∆ est axe de symétrie de .16
  8. 8. cours savoir-faire exercices corrigésG Deuxième méthode • M ( x, y ) dans ( O ; i , j ) et M ( X ; Y ) dans ( Ω ; i , j )   avec par exemple Ω ( a ; 0 )  • x = a + X  y = Y    • a pour équation y = f (x) dans ( O ; i , j )    et a pour équation Y = g (X) dans ( Ω ; i , j ) Si g est paire, alors ∆ est axe de symétrie de . exemple d’application Montrer que la droite d’équation x = – 2 est axe de symétrie de la courbe repré- x 2 + 4x + 3 sentant la fonction f, définie sur par f (x) = ---------------------------- . - x 2 + 4x + 6 corrigé commenté Indication : soit Ω ( – 2 ; 0 ) l’origine du repère ( Ω ; i , j ) . On considère le point M(x ; y) dans ( O ; i , j ) et M(X ; Y) dans ( Ω ; i , j ) . Les formules de changement de repère sont : x = – 2 + X   y = Y. x 2 + 4x + 3 La courbe a pour équation f (x) = ---------------------------- = y dans ( O ; i , j ) , elle a pour - x 2 + 4x + 6 ( – 2 + X )2 + 4 ( – 2 + X ) + 3 équation dans ( Ω ; i , j ) : Y = --------------------------------------------------------------------- , - ( – 2 + X )2 + 4 ( – 2 + X ) + 6 X2 – 1 soit Y = ---------------- . - X2 + 2 X2 – 1 Y = g ( X ) = ---------------- , g est définie sur car X 2 + 2 0. - X2 + 2 ( –X )2 – 1 Pour tout réel X, – X ∈ et g ( – X ) = ------------------------ ; - ( –X )2 + 2 X2 – 1 soit g ( – X ) = ---------------- = g ( X ). - X2 + 2 La fonction g est paire, donc la courbe est symétrique par rapport à l’axe ( Ω ; j ) ; c’est-à-dire que la droite D d’équation x = – 2 est axe de symétrie de , dans le repère ( O ; i , j ) . 17
  9. 9. CHAPITRE 1 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS 5 Fonctions usuelles Fonctions Noms et variations Courbes représentatives fonction affine a 0 x ax + b b b 0 sur a∈ et b ∈ a 0 x∈ O a 0 fonction carrée x ax 2 a 0 sur sur – x∈ + O a∈ ∗ a 0 O a 0 a 0 fonction cube x ax 3 a 0 sur O ∗ a∈ a 0 O x∈ a 0 a 0 fonction racine carrée x x strictement croissante x∈ + sur + O fonction inverse ∗ ∗ a 0 a 0 a sur – sur + x -- - x a 0 O O a 0 fonction valeur absolue x x sur – sur + x∈ O x ln x ∗ voir page 148 voir page 148 x∈ + x exp x voir page 184 voir page 184 x∈18
  10. 10. cours savoir-faire exercices corrigés Fonctions Noms et variations Courbes représentatives fonction cosinus de x cos x période 2π, x∈ paire sur [–π ; π], –π 0 –1 π décroissante sur [0 ; π] fonction sinus de période 2π, π – -- - x sin x impaire sur [–π ; π], –π 2 0 π x∈ croissante sur 0 ; -- , - π π 2 -- - 2 π décroissante sur -- ; π - 2 exemple d’applicationDonner, pour chaque proposition une justification, qui soit relative à la variationd’une fonction usuelle.1. Si a b 0, alors a2 b2 0.2. Si a b, alors a3 b3 . 1 13. Si a b 0, alors -- - -- - 0. b a4. Si 0 a b, alors 0 a b.5. Si 0 a b, alors ln a ln b.6. Si a b, alors ea eb .7. Si a b, alors – 2a + 3 – 2b + 3.corrigé commenté1. La fonction carrée est strictement décroissante sur . –2. La fonction cube est strictement croissante sur . ∗3. La fonction inverse est strictement décroissante sur – .4. La fonction racine carrée est strictement croissante sur + . ∗5. La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur + .6. La fonction exponentielle est strictement croissante sur .7. La fonction affine x – 2x + 3 est strictement décroissante sur . 19

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