Intégration

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Intégration

  1. 1. CHAPITRE 7 INTÉGRATION 1 Définition et approche géométrique 1. DéfinitionSoit f une fonction continue et positive sur un intervalle [ a, b ].On considère le domaine délimité par la courbe représentant f, l’axe desabscisses et les droites d’équations x = a et x = b. bL’aire de ce domaine, en unités d’aire, est le nombre réel notéappelé intégrale de a à b de la fonction f. ∫ a f ( x ) dx et 2. Approche géométriqueLa fonction f peut être encadrée par deux fonctions en escalier, l’une majo-rant f et l’autre la minorant.L’aire du domaine sous la courbe est donc encadrée par deux suites adja-centes d’aires de rectangles associés à une subdivision de [ a, b ]. Si on sub-divise de plus en plus finement, ces deux suites convergent vers un mêmenombre, ce nombre est l’aire sous la courbe f . y f O a b x 3. GénéralisationSi f est continue et négative sur un intervalle [ a, b ], l’opposée de cettefonction est positive et on peut revenir à la définition précédente. b bSi f 0, alors ∫ a f ( x ) dx 0 et ∫ a f ( x ) dx représente une aire. b bSi f 0, alors ∫ a f ( x ) dx 0 et ∫ a f ( x ) dx représente l’opposé d’une aire.218
  2. 2. cours savoir-faire exercices corrigés exemple d’applicationOn considère la fonction f : x x 2 sur [ 0 ; 1 ] . 1 1On subdivise l’intervalle [ 0 ; 1 ] en segments d’amplitude -- . Calculer n - ∫ 0 f ( x ) dxen utilisant la définition.corrigé commenté 1Sur 0 ; -- , l’aire sous la courbe - n 1est encadrée par celle d’un rectan-gle d’aire nulle associée à x 0 etpar celle d’un rectangle d’aire égale 1 1 2 1 2à -- ×  --  associé à x  --  . - - - n  n  nEt ainsi de suite jusqu’au dernier n–1intervalle ------------ ; 1 , où l’aire nsous la courbe est encadrée par 1l’aire du rectangle de largeur -- et - n 1 2 n–1 2 0 -- - -- - ------------ 1 n–1de longueur  ------------ associée à n n n  n  n–1 2 1x  ------------ et l’aire du rectangle de largeur -- et de longueur 1 associée à x - 1.  n  nDonc l’aire sous la courbe représentant f sur [ 0 ; 1 ] est telle que : 1 1 n–1 2 1 1 1 1 2 2 1 10 + ----- × -- + … +  ------------ × -- ----- × -- +  --  × -- + … + -- × 1 n - - 2 n  n  n - ∫ 0 f ( x ) dx n - - 2 n  n - n - n - 1 1 1soit ----- [ 1 + 2 2 + … + ( n – 1 ) 2 ] n3 - ∫ 0 f ( x ) dx ----- ( 1 + 2 2 + … + n 2 ). n3 - Indication : On rappelle que la somme des carrés des n premiers nombres entiers n ( n + 1 ) ( 2n + 1 ) naturels est ------------------------------------------- . - 6 1 1 1Donc --------- ( n – 1 ) ( n ) ( 2n – 1 ) 6n 3 - ∫ 0 f ( x ) dx --------- n ( n + 1 ) ( 2n + 1 ), 6n 3 - 1 1 1 1 1 1 1soit -- – ------ + --------- - 3 2n 6n 2 - - ∫ 0 f ( x ) dx -- + ------ + --------- ; - 3 2n 6n 2 - - lim  -- – ------ + --------- = lim  -- + ------ + --------- = -- , 1 1 1 1 1 1 1or - - - - - - - n → + ∞ 3 2n 6n 2 n → + ∞ 3 2 n 6 n 2 3 1 1d’où ∫ 0 f ( x ) dx = -- . 3 - 219
  3. 3. CHAPITRE 7 INTÉGRATION 2 Propriétés des intégrales 1. PropriétésSoit f et g deux fonctions définies et continues sur [ a, b ]. a b a• ∫ a f ( x ) dx = 0 ; ∫ a f ( x ) dx = – ∫ b f ( x ) dx. b c b• Relation de Chasles : ∫ a f ( x ) dx = ∫ a f ( x ) dx + ∫ c f ( x ) dx.• Linéarité de l’intégrale : ( ∀α ∈ ) ( ∀β ∈ ) b b b ∫ a ( αf + βg ) ( x ) dx = α ∫ a f ( x ) dx + β ∫ a g ( x ) dx . a a• Si f est paire, alors ∫ –a f ( x ) dx = 2 ∫0 f ( x ) dx. a• Si f est impaire, alors ∫–a f ( x ) dx = 0. a+T T• Si f est périodique de période T, alors ∫ a f ( x ) dx = ∫ 0 f ( x ) dx. 2. Intégrales et inégalitésSoit f et g deux fonctions définies et continues sur [ a, b ]. b• Si pour tout réel x ∈ [ a, b ] , on a f ( x ) 0, alors ∫ a f ( x ) dx 0.Conséquence : Si pour tout x de [ a, b ] on a f ( x ) g ( x ), b balors ∫a f ( x ) dx ∫a g ( x ) dx.• Inégalité de la moyenneLa fonction f étant continue sur [ a, b ] il existe deux réels m et M tels que,pour tout réel x ∈ [ a, b ], on ait m f ( x ) M et alors : b m(b – a) ∫ a f ( x ) dx M(b – a) 3. Théorème de la moyennePour toute fonction f définie et continue sur l’intervalle [ a, b ], il existe au b 1moins un réel c de [ a, b ] tel que f ( c ) = ----------- f ( x ) dx. b–a a - ∫Le réel f ( c ) est appelé valeur moyenne de f sur [ a, b ].220
  4. 4. cours savoir-faire exercices corrigés 4.Interprétations géométriquesSoit f une fonction continue et positivereprésentée dans un repère orthogonal.• L’encadrement b ∫m(b – a) f ( x ) dx M(b – a) F E M asignifie que l’aire du domaine coloré est H Gminorée par l’aire du rectangle ABCD, f(c)et majorée par celle du rectangle ABEF. m D C 1 b b–a a ∫• L’égalité f ( c ) = ----------- f ( x ) dx - A Bsignifie que l’aire du domaine coloré O a c best égale à celle du rectangle ABGH. exemple d’application 2 Soit la fonction f définie sur 0 ; -- par f ( x ) = 3x 2 – 2x + 1. - 3 2 Montrer que f est bornée sur 0 ; -- , en déduire un encadrement de : - 3 2 -- - ∫ 3 ( 3x 2 – 2x + 1 ) dx. 0 corrigé commenté La fonction f est dérivable sur , donc f ′ ( x ) = 6x – 2. 1 Pour 0 x -- , 6x – 2 0 donc f est décroissante et par suite : - 3 1 2 f  --  f ( x ) f ( 0 ) soit -- f ( x ) 1. - -  3 3 1 2 Pour -- x- -- , 6x – 2 - 0 donc f est croissante et par suite : 3 3 1 2 2 2 2 f  --  f ( x ) - f  --  soit - -- - f(x) 1. Donc ∀x ∈ 0 ; -- , -- - - f(x) 1.  3  3 3 3 3 D’après le théorème de l’inégalité de la moyenne on a alors : 2 -- - 22 -- -- – 0 1  -- – 0 d’où : 2 ∫ 3 - - f ( x ) dx - 33  0 3  2 -- - 4 2 ∫ 3 -- - f ( x ) dx -- - 9 0 3 221
  5. 5. CHAPITRE 7 INTÉGRATION 3 Intégration et dérivation 1. Notion de primitiveSoit une fonction f définie et continue sur un intervalle I et a un réel de I, xla fonction F telle que F ( x ) = ∫a f ( t ) dt est l’unique primitive de f sur I quis’annule en a. 2. Définition d’une intégrale à l’aide de primitivesSoit f une fonction définie et continue sur un intervalle [ a, b ], F une pri-mitive quelconque de f.Le nombre réel F ( b ) – F ( a ) est indépendant de la primitive F choisie, onl’appelle intégrale de f sur [ a, b ]. b bOn note ∫ a f ( x ) dx = F ( b ) – F ( a ) = F ( x ) a .Remarque : La lettre choisie pour la variable est une variable muette ce qui signi- b b bfie que : ∫ a f ( x ) dx = ∫ a f ( t ) dt = ∫ a f ( u ) du = F ( b ) – F ( a ). 3. Intégration par partiesSi u et v sont deux fonctions définies et deux fois dérivables sur [ a, b ] : b b b ∫ a u ( x )v′ ( x ) dx = u ( x )v ( x ) a – ∫ a u′ ( x )v ( x ) dx. 4 exemples d’application ³ Calculer ∫ ln x dx. 1 corrigé commenté On ne connaît pas de primitive de la fonction logarithme, on utilise une intégra-  1  f ( x ) = ln x  f ′ ( x ) = -- - tion par parties en posant  d’où  x  g′ ( x ) = 1  g ( x ) = x. 222
  6. 6. cours savoir-faire exercices corrigésLes fonctions f, g sont dérivables et f ′ et g′ sont continues sur [ 1 ; 4 ] donc : 4 4 4 1 ∫ 1 ln x dx = x ln x 1 – ∫ 1 -- × x dx x - 4 4 4 4 ∫ 1 ln x dx = x ln x 1 – ∫ 1 dx = x ln x – x 1 . 4 4 Remarque : ∫ 1 ln x dx = x ln x – x 1 traduit le fait que x x ln x – x est une primitive de x ln x. 4 4∫ 1 ln x dx = 4 ln 4 – 4 – ln 1 + 1 d’où ∫ 1 ln x dx = 4 ln 4 – 3. 3· Calculer le réel I tel que I = ∫ x – 2 dx. 0corrigé commenté On commence par écrire x – 2 sans barre de valeur absolue sur [ 0 ; 3 ] .Sur [ 0 ; 2 ] , x–2 = –x+2;Sur [ 2 ; 3 ] , x – 2 = x – 2. 2 3Donc I = ∫ 0 ( 2 – x ) dx + ∫ 2 ( x – 2 ) dxsoit : 2 3 x2 x2 9 5I = 2x – ----- + ----- – 2x = 4 – 2 + -- – 6 – 2 + 4 d’où - I = -- . - 2 0 2 2 2 2» Écrire à l’aide d’une intégrale, ln x pour x réel strictement positif.Retrouver grâce à cette écriture qui est aussi la définition de la fonction ln, lesvariations de f sur ]0 ; +∞[.corrigé commentéLa fonction ln est la primitive sur ]0 ; +∞[ de la fonction inverse qui s’annule en1, donc : x dt ln x = ----- . 1 t - ∫ 1Par définition d’une primitive d’une fonction, ln′ ( x ) = -- . - x 1Or sur ]0 ; +∞[, -- 0 donc la fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +•[. - x 223
  7. 7. CHAPITRE 7 INTÉGRATION 4 Calculs d’aires et de volumes 1. Calcul d’aireSoit f et g deux fonctions continues surle segment [ a, b ], telles que pour tout gx de [ a, b ], on ait f ( x ) g ( x ). L’airedu domaine D coloré, délimité par lescourbes f , g et les droites d’équa- Dtions x = a et x = b, est égale au réel b ∫ tel que = [ g ( x ) – f ( x ) ] dx. Ce j f a 0 a bréel est exprimé en unités d’aire noté iu.a. 2. Calcul de volumeL’espace est rapporté à un repère orthogonal ( O ; i , j , k ) .Soit V le volume d’un solide délimité par une surface latérale Σ et deuxplans P1 et P2 parallèles à ( O ; i , j ) et de cotes respectives a et b.Soit le plan P parallèle à P1 et P2 de cote z.Le plan P coupe le solide selon une surface S dont l’aire ( z ) est telle que bz ( z ) soit continue sur [ a, b ] et alors V = ∫ a ( z ) dz.Le volume V est exprimé en unités de volume noté u.v. z b P2 P a P1 k i j y x224
  8. 8. cours savoir-faire exercices corrigés exemples d’application³ Calculer le volume V de la boule de centre O et de rayon R, en cm3, dans unrepère orthonormé ( O ; i , j , k ) d’unités graphiques 1 cm. z O′ A z k O j y i xLa section de la boule par le plan P de cote z ( – R z R ) est un disque de rayon O′A.Le triangle OO′A est rectangle en O′ donc O′A 2 = OA 2 – O′O 2 = R 2 – z 2 .Soit ( z ) l’aire de ce disque. ( z ) = ( R 2 – z 2 )π donc, en centimètres cubes : R R R V = π ∫ –R ( R 2 – z 2 ) dz = πR 2 ∫ –R dz – π ∫ –R z 2 dz R R z3 2R 3 V = πR 2 z – π ---- - = πR 2 ( 2R ) – π  ---------  - –R 3 –R  3  4 V = -- πR 3 cm 3 . - 3· Soit la représentation graphique de x e x dans un repère ( O ; i , j ) .Sur [ 0 ; + ∞ [, la courbe subit une révolution d’axe (Ox).Quel est le volume du solide déterminé par les plans d’équations x = 0, x = 1et engendré par la courbe ?corrigé commentéLa section du solide par un plan perpendiculaire à (Ox) est un disque dont l’aireS(x) est telle que S ( x ) = π ( e x ) 2 soit S ( x ) = πe 2x .La fonction S est continue sur [0 ; 1], donc le volume V en u.v du solide est tel que : 1 1 1 1 π V = ∫ 0 S ( x ) dx = π ∫ 0 e 2x dx = π -- e 2x 2 - 0 = -- ( e 2 – 1 ), 2 - πd’où V = -- ( e 2 – 1 ) - 2 225

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