CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES     1 Représentation géométrique       d’un nombre complexe         1. Ensemble des nombres c...
cours              savoir-faire              exercices                  corrigés• Les points M ( a, b ) et M′ ( – a, – b )...
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES     2 Formes trigonométriques          1. Formes trigonométriques• Soit un repère ( O ; u , v...
cours               savoir-faire                       exercices                         corrigés          3. Passage de l...
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES     3 Opérations dans          1. Addition des nombres complexes• L’addition des nombres comp...
cours                          savoir-faire                               exercices                         corrigésSi z ≠...
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES     4 Formes exponentielles            1. Formes exponentiellesG Soit    la fonction f : θ   ...
cours                       savoir-faire                          exercices           corrigésSoit z = re iθ et a = ρe iα ...
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES     5 Résolutions d’équations dans          1. Équations du premier degréToute équation du pr...
cours                         savoir-faire                                    exercices             corrigés³ Résoudre dan...
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES     6 Transformations ponctuelles        1. Transformation et application associéeSoit f une ...
cours                              savoir-faire                                          exercices                        ...
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES     7 Interprétations géométriquesOn se place dans un repère orthonormal ( O ; u , v ) .     ...
cours                           savoir-faire                                   exercices                  corrigés        ...
Prochain SlideShare
Chargement dans…5
×

Nombres complexes

2 402 vues

Publié le

0 commentaire
1 j’aime
Statistiques
Remarques
  • Soyez le premier à commenter

Aucun téléchargement
Vues
Nombre de vues
2 402
Sur SlideShare
0
Issues des intégrations
0
Intégrations
2
Actions
Partages
0
Téléchargements
55
Commentaires
0
J’aime
1
Intégrations 0
Aucune incorporation

Aucune remarque pour cette diapositive

Nombres complexes

  1. 1. CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d’un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexesSoit i le nombre tel que i 2 = – 1L’ensemble des nombres complexes est l’ensemble des nombres quis’écrivent a + ib où a et b sont des nombres réels. 2. Représentation géométrique d’un nombre complexeDans le plan muni d’un repère orthonormé ( O ; u , v ) , à tout point M decoordonnées ( a, b ), on associe le nombre complexe z tel que z = a + ib.On dit que M est l’image du nombre complexe z et que le nombre z estl’affixe du point M.De même, le vecteur OM est l’image de z et z est l’affixe de OM. L’écriture a + ib est l’écriture algébrique du nombre complexe zL’abscisse du point M est la partie réelle de z notée Re ( z ).L’ordonnée du point M est la partie imaginaire de z notée Im ( z ).Remarque : Les parties réelle et imaginaire d’un nombre complexe sont des nom-bres réels. 3. Conséquences M ( a, b ) et M′ ( a′, b′ ) confondus ⇔ a = a′ et b = b′ ⇔ ⇔ z = a + ib et z′ = a′ + ib′ égaux• M = O ⇔ a = 0 et b = 0 ⇔ z = 0.• M ∈ ( O, u ) ⇔ b = 0 ⇔ Im ( z ) = 0 ⇔ z ∈ .L’axe ( O, u ) est appelé l’axe réel.• M ∈ ( O, v ) ⇔ a = 0 ⇔ Re ( z ) = 0 ⇔ z ∈ i .Dans ce cas on dit que z est un imaginaire pur et que l’axe ( O, v ) est l’axedes imaginaires ou l’axe des imaginaires purs.10
  2. 2. cours savoir-faire exercices corrigés• Les points M ( a, b ) et M′ ( – a, – b ) sont symétriques par rapport à O, leursaffixes sont opposées.• Le point N ( a, – b ) est l’image du nombre complexe appelé conjugué dez et noté z .• Les points M ( a, b ) et N ( a, – b ) sont symétriques par rapport à l’axe réel. b M(z) axe réel v O a u axe imaginaire N(z ) M′ ( – z ) exemple d’application 1. Écrire les nombres complexes, affixes respectives des points : A(0 ; –2) ; B(–2 ; 0) ; C(3 ; –2) ; D(3 ; 2) et E(0 ; 2). 2. Reconnaître s’il y a lieu des nombres conjugués. corrigé commenté 1. L’affixe du point A est z A = – 2i ; l’affixe du point B est z B = – 2 ; celle de C est z C = 3 – 2i ; celle de D est z D = 3 + 2i et celle de E est z E = 2i. 2. z A = z E et z C = z D . 11
  3. 3. CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 2 Formes trigonométriques 1. Formes trigonométriques• Soit un repère ( O ; u , v ) orthonormé du plan.Un point M distinct de O est repéré de deux façons, soit par ses coordon-nées cartésiennes ( a, b ) soit par ses coordonnées polaires ( r, θ ).• Soit M l’image du nombre complexe z tel que z = a + ib. On poseOM = r avec r 0.Le nombre positif r est appelé module de z et noté z .Le nombre réel θ est une mesure de l’angle ( u , OM ). Cette mesure est défi-nie à 2kπ près avec k ∈ et est appelée argument de z et on écrit :arg z = θ ( 2π ).Remarque : La notion d’angle devecteurs nécessite une orientationdu plan (l’orientation trigonomé- b Mtrique est la plus souvent utilisée.) +• En projetant M sur chacundes axes, on obtient :a = r cos q et b = r sin q rd’où z = r ( cos θ + i sin θ ) etd’après le théorème de vPythagore z = a2 + b2 θ O a( r = OM = OM = z ). u Sachant que r 0, on appelle forme trigonométrique du nombre complexe z l’écriture r ( cos θ + i sin θ ). 2. Propriétés du module et d’un argument d’un nombre complexe• z = 0 ⇔ z = 0.• z = z = – z = – z , quel que soit z.• L’argument de zéro n’est pas déterminé.• Si z ≠ 0, arg ( – z ) = arg z + π ( 2π ).• Si z ≠ 0, arg ( z ) = – arg z.  r = r′• z = z′ ⇔ r ( cos θ + i sin θ ) = r′ ( cos θ′ + i sin θ′ ) ⇔   θ = θ′ ( 2π ).12
  4. 4. cours savoir-faire exercices corrigés 3. Passage de l’écriture algébrique à une forme trigonométrique b a 2 + b 2 , d’où z = z  --------------------- + i --------------------- . az = a + ib avec z = - -  a2 + b2 a 2 + b 2 Soit θ le nombre exprimé en radians tel que :  a  cos θ = --------------------- -  a2 + b2  alors z = z ( cos θ + i sin θ ). b  sin θ = --------------------- -  a2 + b2 Remarque : Il est nécessaire d’avoir en tête les sinus et cosinus des valeurs parti-culières des angles. exemple d’application Placer dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé ( O ; u , v ) les π points M, N et R définis par OM = 2 et ( u , OM ) = -- [2π] ; ON = 1 et - 4 π 2π ( u , ON ) = – -- [2π] et OR = 3 et ( u , OR ) = ------ [2π]. - - 2 3 corrigé commenté • Le point M appar- y R tient au cercle de cen- tre O et de rayon 2 et à la bissectrice du premier quadrant. M • Le point N appar- v tient au cercle trigo- π -- - nométrique et à la 4 demi-droite [Oy¢ ). O π u A – -- - • Sur le cercle de cen- 2 tre O et de rayon 3, on reporte deux fois N le rayon à partir de A(3 ; 0) dans le sens trigonométrique, on obtient ainsi le point R. y′ 13
  5. 5. CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 3 Opérations dans 1. Addition des nombres complexes• L’addition des nombres complexes possède les mêmes propriétés quel’addition dans .L’ensemble est contenu dans . Tout nombre réel est un nombre complexe dont la partie imaginaire est nulle.Soit les vecteurs OM et OM′ d’affixes respectives a + ib et a′ + ib′.Le vecteur ( OM + OM′ ) a pour coordonnées ( a + a′, b + b′ ) donc siz = a + ib et z′ = a′ + ib′, le nombre complexe z + z′ est tel queRe ( z + z′ ) = a + a′ et Im ( z + z′ ) = b + b′ d’où z + z′ = ( a + a′ ) + i ( b + b′ ). OS est l’image de b + b′ S z + z′. MM′ est l’image de M b z′ – z. b′ M′ v O a a′ a + a′ u• z + z′ = z + z′ ; z + z = 2Re ( z ) ; z – z = 2i Im ( z ). 2. Multiplication des nombres complexes• La multiplication des nombres complexes possède les mêmes propriétésque la multiplication dans .zz′ = ( a + ib ) ( a′ + ib′ ) = aa′ – bb′ + i ( ba′ + ab′ ).Remarque : ayez toujours à l’esprit que i 2 = – 1 et que i2 ne doit pas figurer dansun résultat ni aucune autre puissance de i.• z ⋅ z′ = z ⋅ z′ ; z ⋅ z = a2 + b2 = z 214
  6. 6. cours savoir-faire exercices corrigésSi z ≠ 0 et z′ ≠ 0 et z = r ( cos θ + i sin θ ) et z′ = r′ ( cos θ′ + i sin θ′ ),alors zz′ = rr′ ( cos ( θ + θ′ ) + i sin ( θ + θ′ ) ).Donc : zz′ = z × z′ et arg ( zz′ ) = arg z + arg z′ ( 2π ) 3. Division de deux nombres complexesLa division de deux nombres complexes a les mêmes propriétés que la divi-sion dans . 1• Tout nombre complexe non nul admet un inverse -- tel que : - z 1 1 a b . -- = -------------- = ----------------- – i ----------------- - - z a + ib a2 + b2 a2 + b2Remarque : cette écriture algébrique s’obtient en multipliant numérateur et déno-minateur par le conjugué du dénominateur. 1 a′b – ab′• Si z′ ≠ 0, --- = z × --- = ----------------------- + i  ----------------------  z aa′ + bb′ - - - - z′ z′ a′ 2 + b′ 2  a′ 2 + b′ 2  Si z′ ≠ 0, z z  z-  z- z --- = ------ et arg  ---  = arg z – arg z′ ( 2π ),  ---  = --- - z′ - z′ z′ - z′ z′ 1 donc, si z ≠ 0, 1 = ---- et arg  --  = – arg z ( 2π ). 1 -- - - - z z  z Exemple d’application 4 – 3i Soit Z le nombre complexe tel que Z = -------------- . - 2 – 2i Calculer Z et donner l’écriture algébrique de Z . corrigé commenté z z Indication : On applique la propriété --- = ------ . - - z′ z′ 4 – 3i 42 + 32 25 5 5 2 Z = ----------------- = ---------------------- = ---------- = ---------- - - - d’où : Z = ---------- . - 2 – 2i 22 + 22 8 2 2 4 z Indication : On applique la propriété  ---  = --- . z - -  z′ z′ 4 – 3i 4 + 3i 4 + 3i ( 4 + 3i ) ( 1 – i ) 7 1 Z = -------------- = -------------- = ------------------- = ------------------------------------ d’où : - - - - Z = -- – -- i. - - 2 – 2i 2 + 2i 2(1 + i) 2×2 4 4 Conseil : N’oubliez pas que zz = z 2 donc que ( 1 + i ) ( 1 – i ) s’écrit sans calcul 2. On pouvait aussi mettre Z sous forme algébrique et écrire ensuite Z . 15
  7. 7. CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 4 Formes exponentielles 1. Formes exponentiellesG Soit la fonction f : θ cos θ + i sin θ.f ( θ ) × f ( θ′ ) = ( cos θ + i sin θ ) ( cos θ′ + i sin θ′ )f ( θ ) × f ( θ′ ) = ( cos θ cos θ′ – sin θ sin θ′ ) + i ( sin θ sin θ′ + cos θ cos θ′ )f ( θ ) × f ( θ′ ) = cos ( θ + θ′ ) + i sin ( θ + θ′ ).Donc f ( θ ) × f ( θ′ ) = f ( θ + θ′ ).Cette relation fonctionnelle étant caractéristique des fonctions exponen-tielles on pose : e iθ = sin θ + i sin θTout nombre complexe non nul z de module r est tel que z = r ( sin θ + i sin θ ).G L’écriture re iθ est une forme exponentielle du nombre complexe z.Remarques :– Cette écriture est à privilégier dans des calculs de quotients ou de puissances denombres complexes.– Tous les nombres complexes e iθ ont pour module un et pour images des pointsdu cercle trigonométrique.G De part l’introduction de l’écriture exponentielle : e iθ e iθ × e iθ′ = e i ( θ + θ′ ) ; ------- = e i ( θ – θ′ ) ; - ( e iθ ) n = e inθ avec n ∈ . e iθ′G Formules d’Euler : e iθ + e – iθ e iθ – e – iθ cos θ = ---------------------- ; sin θ = --------------------- . - 2 2i  r = r′G re iθ = r′e iθ′ ⇔   θ = θ′ ( 2π ). 2. Résolution d’une équation de type z n = a ∗ ∗Si n 2 avec n ∈ , z∈ et a ∈ , on écrit z et a sous forme exponen-tielle.16
  8. 8. cours savoir-faire exercices corrigésSoit z = re iθ et a = ρe iα .  rn = ρz n = a ⇔ r n e inθ = ρe iα ⇔   nθ = α + k2π avec k ∈ r = n ρ soit  α 2π  θ = -- + k ------ avec k ∈ . - -  n nL’équation admet alors n solutions en donnant à k, n valeurs consécutives. exemple d’application Résoudre dans l’équation z 3 = 8i. Donner les solutions sous forme algébrique. corrigé commenté On pose z = re iθ avec r 0 et i = e 2 . π i -- - π  r3 = 8 i -- -  z3 = 8i ⇔ r 3 e i3 θ = 8e 2 ⇔  π  3 θ = -- + k 2 π avec k ∈ 2 -  r = 2  soit  π 2π  θ = -- + k ------ , k ∈ . 6 - 3 -  π π π = 2  cos -- + i sin --  = i -- - Pour k = 0, z = 2e 6 - - 3+i;  6 6 5π 5π 5π = 2  cos ------ + i sin ------ = – 3 + i ; i ------ - pour k = 1, z = 2e 6 - -  6 6 3π 3π 3π = 2  cos ------ + i sin ------ = – 2i. i ------ - pour k = 2, z = 2e 2 - -  2 2 S = { – 2i ; 3 + i ; – 3 + i}. 17
  9. 9. CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 5 Résolutions d’équations dans 1. Équations du premier degréToute équation du premier degré d’inconnue z se ramène à az + b = 0avec a ∈ ∗ et b ∈ . bCette équation a pour solution z = – -- . - aRemarque : Il est souvent inutile de poser z = x + iy et de déterminer ensuite xet y par identification des parties réelles et imaginaires.Donner la solution sous une des trois formes algébrique, trigonométrique ou expo-nentielle. 2. Équations du second degré à coefficients réelsToute équation du second degré d’inconnue z se ramène à az 2 + bz + c = 0avec a ∈ ∗ , b ∈ et c ∈ . Discriminant ∆ ∆ 0 ∆ = 0 ∆ 0 –b+ ∆ – b + i –∆ x′ = --------------------- x′ = -------------------------- - 2a 2a b Solutions x′ = x″ = – ------ - 2a –b– ∆ – b – i –∆ x″ = -------------------- - x″ = -------------------------- - 2a 2aRemarques :• Si ∆ 0, les solutions sont des nombres complexes conjugués non réels.• Veillez à ne pas introduire le nombre complexe i sous un radical.• – ∆ existe si ∆ 0, on peut aussi écrire ∆. 3. Équations dont le degré est strictement supérieur à 2Les méthodes de résolution sont souvent les mêmes que dans : il fautd’abord essayer de factoriser, voir s’il y a une identité remarquable, cher-cher une racine évidente.On désire donc se ramener à des produits de facteurs du premier degré oudu second degré.Remarque : il faut penser que 1 = – i 2 et donc que z2 + 1 est factorisable dans alors qu’il ne l’est pas dans .18
  10. 10. cours savoir-faire exercices corrigés³ Résoudre dans exemples d’application l’équation ( 1 – i )z + 3 = – z + i .corrigé commentéOn regroupe les termes faisant intervenir z :( 1 – i )z + z = – 3 + i soit ( 2 – i )z = – 3 + i –3+i (– 3 + i)(2 + i) 7 1d’où z = --------------- = ------------------------------------- = – -- – -- i. - - - - 2–i 5 5 5  7 1  S =  – -- – -- i . - -  5 5 · Résoudre dans l’équation z 2 – z + 1 = 0.corrigé commenté Indication : on calcule ∆ = b 2 – 4ac ∆ = 1 – 4 = – 3, ∆ 0;on peut écrire ∆ = 3i 2 . Indication : on sait alors que les solutions de l’équation sont deux nombres complexes conjugués. Conseil : ne pas oublier la valeur absolue. –b+i ∆ 1+i 3 z 1 = -------------------------- = ------------------- - 2a 2 1–i 3 z 2 = z 1 = ------------------ . - 2 1 + i 3 1 – i 3  S =  ------------------- ; ------------------ . -  2 2  19
  11. 11. CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 6 Transformations ponctuelles 1. Transformation et application associéeSoit f une application définie par : → z f ( z ).Le point M étant l’image de z et M′ l’image de z′ tel que z′ = f ( z ), ondéfinit dans le plan la transformation T associée à f, qui à M fait correspon-dre M′. 2. Transformations usuellesSoit un repère orthonormé ( O ; u , v ) direct. Transforma- Éléments Définitions de T Écritures tion T caractéristiques avec M′ = T ( M ) complexes de T avec M ( z ) et M′ ( z′ ) Translation Un vecteur u MM′ = u z′ = z + u non nul d’affixe u Homothétie Un point Ω ΩM′ = kΩM z′ – ω = k ( z – ω ) d’affixe ω ou bien et un réel k ≠ 0 z′ = kz + b avec b ∈ Rotation Un point Ω z′ – ω = e iθ ( z – ω )  ΩM′ = ΩM d’affixe ω  ou bien et un angle  ( ΩM, ΩM′ ) = θ z′ = e iθ z + b de mesure θ avec b ∈ . à 2π près Symétrie L’axe réel z′ = z OM = OM′ d’axe réel  ( u , OM ) = – ( u , OM′ )20
  12. 12. cours savoir-faire exercices corrigés exemple d’applicationParmi les écritures complexes suivantes, reconnaître les transformations et don-ner pour chacune d’elles les éléments caractéristiques.1. z′ = – 6z + 2 – 3i. 3 12. z′ =  ------ + -- i z – 4 + 2i. - -  2 2corrigé commenté1. Indication : comme le coefficient de z est – 6, alors la transformation associée est une homothétie de rapport – 6. Pour trouver son centre, qui est le seul point invariant de la transformation, on résout « l’équation aux points fixes » c’est-à-dire celle tra- duisant M′ = M donc z¢ = z.Par suite z = – 6z + 2 – 3i soit 7z = 2 – 3i, 2 3d’où z = -- – -- i. - - 7 7 2 3L’homothétie est celle de rapport –6 et de centre W d’affixe -- – -- i.- - 7 7 3 12. Indication : comme le coefficient de z est le nombre complexe ------ + -- i dont l’écri- - - 2 2 π i -- - ture exponentielle est e 6 , alors la transformation associée à l’écriture complexe est π une rotation d’angle -- . - 6 Pour trouver son centre, on résout « l’équation aux points fixes ». π 3 1 – 4 + 2i z  1 – ------ – -- i = – 4 + 2i i -- -z = e 6 z – 4 + 2i soit - - d’où z = ---------------------------- , -  2 2 3 1 1 – ------ – -- i - - 2 2 3 1 ( – 4 + 2i )  1 – ------ + -- i - -  2 2 –5+2 3 – 3soit z = ----------------------------------------------------------- = ------------------------- + i ---------------- , 2 - -  1 – ------ + -- 3 1 2– 3 2– 3 - -  2 4d’où z = – 4 – 3 – i ( 2 3 + 3 ). πLa rotation est celle de centre Ω d’affixe – 4 – 3 – i ( 2 3 + 3 ) et d’angle -- . - 6 21
  13. 13. CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 7 Interprétations géométriquesOn se place dans un repère orthonormal ( O ; u , v ) . 1. Interprétation géométrique d’une égalité de modulesSoit A, B et M trois points d’affixes respectives a, b et m.• Si m – a = m – b , alors AM = MB ce qui signifie que le point Mappartient à la médiatrice du segment [ AB ]. ∗• Si m – a = r, avec r ∈ + , AM = r donc le point M appartient au cer-cle de centre A et de rayon r. 2. Interprétation géométrique du quotient de deux nombres complexesLes points M et M′ ont pour affixes respectives z et z′. z• Soit Z = --- avec z ≠ 0 et z′ ≠ 0. - z′arg Z = arg z – arg z′ = ( u , OM ) – ( u , OM′ ) (2π) arg Z = ( u , OM ) + ( OM′, u ) = ( OM′, OM ) (2π).Remarque : un argument d’un quotient de deux nombres complexes non nuls estun angle de vecteurs. • Soit les points A ( z A ), B ( z B ), C ( z C ) et D ( z D ) avec z A ≠ z B et z C ≠ z D . Alors : zA – zB arg  ----------------- = ( DC, BA ) ( 2 π ) -  z C – z D 3. Figures particulières π zA – zB i -- -• (ABC est un triangle rectangle et isocèle direct en B) ⇔ ---------------- = e 2 = i. - zC – zB• (ABC est un triangle équilatéral) ⇔ z B – z A = z C – z B = z C – z A . π zC – zA i -- -• (ABC est un triangle équilatéral direct) ⇔ ---------------- = e 3 . - zB – zA zC – zA π zA – zB π• (ABC est un triangle équilatéral direct) ⇔ arg ---------------- = -- et arg ---------------- = --. - - - - zB – zA 3 zC – zB 3• (ABCD est un parallélogramme) ⇔ AB = DC ⇔ z B – z A = z C – z D .22
  14. 14. cours savoir-faire exercices corrigés exemples d’application³ Quelle est la nature du triangle ABO sachant que les points A et B ont pouraffixes respectives 3 + i et 2i ?corrigé commenté z0 – zA Indication : on explicite le complexe Z tel que Z = ---------------- , puis on en détermine - zB – zA son module et un argument. – 3–i – 3–i Z = -------------------------- = ------------------- . - - 2i – 3 – i – 3+i Indication : les nombres complexes – 3 – i et – 3 + i sont conjugués donc leurs modules sont égaux et leurs arguments opposés, donc Z = 1 soit : z 0 – z A = z B – z A ⇔ OA = OB. 3 1 5πarg ( – 3 – i ) = arg 2  – ------ – -- i - - = – ------ (2π), -  2 2 6or arg Z = arg ( – 3 – i ) – arg ( – 3 + i ) = 2 arg ( – 3 – i ), 5π πsoit arg Z = – 2 × ------ (2π) d’où arg Z = -- (2π). - - 6 3  z AODe plus arg Z = arg  --------  = arg ( z ) – arg ( z ) -  z AB  AO ABsoit arg Z = ( u , AO ) – ( u , AB ) = ( AB, AO ) πd’où ( AB, AO ) = -- (2π). - 3Par suite le triangle AOB est équilatéral.· Soit A, B et C les points d’affixes respectives 1 + 2i, –2 + i et –1 – 2i.Quelle est la nature du triangle ABC ?corrigé commenté Il est souhaitable de placer les points dans un repère pour bien poser le problème. z BAOn calcule le nombre complexe Z tel que Z = ------- . - z BC 1 + 2i – ( – 2 + i ) 3+i ( 3 + i ) ( 1 + 3i )Z = ---------------------------------------------- = -------------- = ------------------------------------ , - - – 1 – 2i – ( – 2 + i ) 1 – 3i 10 10i πd’où z = -------- = i ; on en déduit que ( BC, BA ) = -- (2π). - - 10 2De plus i = 1 ⇔ BA = BC ⇔ BA = BC.Le triangle ABC est donc rectangle et isocèle en B. 23

×