Dokumen tersebut membahas konsep-konsep dasar ekonomi mikro seperti turunan parsial, elastisitas, fungsi marginal, optimisasi terkendali dan tak terkendali, serta konsep utilitas dalam pemilihan konsumen.

1. 5. Differential Partial
(Turunan Parsil)
5.1 Fungsi Beberapa Variabel
5.2 Fungsi Marginal dan Elastisitas
Parsil
5.3 Perbandingan Statik (Comparative
Static)
5.4 Optimisasi Tanpa Kendala
(Unconstrained Optimization)
5.5 Optimisasi Terkendala/Terbatas
5.6 Pengganda Lagrange

2. 5.1 Fungsi Beberapa Variabel
Suatu Model Ekonomi atau Bisnis, sering
membutuhkan beberapa variabel bebas akibat
banyak hal yang mempengaruhi variabel terikat
tersebut,
Z = f ( X 1 , X 2 , ..., X n )
Jika variabel terikat Z , berubah yang diakibatkan
oleh perubahan dari salah satu variabel bebas
(misalnya X 1 ) sedangkan variabel lainnya tidak
berubah atau konstan, maka disebut Turunan
Parsial dari Z terhadap X 1 , dan seterusnya.

3. 5.1 Fungsi Beberapa
Variabel
Notasinya adalah,
∂z
∂x1
atau
dapat juga ditulis sebagai z 1 , f 1 jika terhadap
turunan X 2 ditulis sebagai,
∂z = Z = f
∂x2 2 2

4. 5.1 Fungsi Beberapa
Variabel
2
∂ z =Z = f
2 xx xx
∂x
atau turunan kedua Z terhadap y, ditulis,
2
∂ z =Z = f
2 yy yy
∂y
Jika turunan f x terhadap y, ditulis,
2
∂ z =Z = f
∂yx yx yx
atau

5. 5.1 Fungsi Beberapa
Variabel
2
∂ z=Z = f
∂xy xy xy
Contoh :
Carilah turunan parsial kedua dari fungsi berikut
(lihat buku 1., hal. 349 & 350) :
(a). f(x,y)=5x4 – y2
(b). f(x,y)= x2y3 – 10x
Carilah turunan Parsil f1, f11, f12 dan f32 dari
(c). f(x1,x2,x3) = x1x2 + x13 –x22x3

6. 5.1 Fungsi Beberapa
Variabel
Hubungan antara turunan Parsial dengan turunan
total (dz), dapat dirumuskan sebagai,
Δz = ∂z Δx + ∂z Δy
∂x ∂y
atau
dz = ∂z dx + ∂z dy
∂x ∂y
Contoh (lihat buku 1, hal. 352) :
Jika z = xy – 5x + 2y
Periksalah ∂z dan ∂z di titik (2, 6)
∂x ∂y

7. 5.1 Fungsi Beberapa
Variabel
(a) Gunakan rumus taksiran perubahan
dalam z , dengan penurunan x dari 2 ke 1.9
dan y naik dari 6 ke 6.1.
(b) Periksa taksiran pada bagian (1) dengan
mengevaluasi pada (2, 6) dan (1.9, 6.1)
Jika sebuah fungsi dengan z = f(x, y) = konstan
maka dy f
=− x
dx f
y
Disebut turunan implisit.

8. 5.1 Fungsi Beberapa
Variabel
Contoh (lihat buku 1, hal. 353) :
Gunakan turunan implisit untuk mencari dy/dx
dari fungsi,
y3 + 2xy2 – x =5
Jawab
Diketahui f(x, y) = y3 + 2xy2 – x,
fx = 2y2 – 1 dan fy = 3y2 +4xy
Jadi dy 
f x  2y
 2 − 1  − 2y 2 + 1
= − = − =
dx f 
 3y
2 + 4xy  3y 2 + 4xy
y  

9. 5.2 Fungsi Marginal dan
Elastisitas Parsial
Elastisitas Permintaaan :
Andaikan kuantitas barang (Q ) dipengaruhi oleh
P , dan alternatif harga P A dan pendapatan
Konsumen Y ,
Q = f (P,P A ,Y)
Maka Elastisitas harga Permintaan didefinisikan
sebagai,
E p =− Perubahan persentase dalam Q
Perubahan persentase dalam P

10. 5.2 Fungsi Marginal dan
Elastisitas Parsial
E p =− P x ∂Q
Q ∂P
Sementara Elastisitas harga alternatif Permintaan
didefinisikan sebagai,
p A ∂Q
Ep = x
A
Q ∂p A
Jika (∂Q/∂PA) > 0, maka |EpA |> 0, dimana
permintaan Elastis terhadap harga.

11. 5.2 Fungsi Marginal dan
Elastisitas Parsial
Jika (∂Q/∂PA) < 0, maka |EpA |< 0, dimana
permintaan tidak Elastis terhadap harga.
Elastisitas Pendapatan terhadap permintaan,
dapat dirumuskan sebagai,
E =− Perubahan persentase dalam Q
Y Perubahan persentase dalam Y
Dengan,
EY = Y x ∂Q
Q ∂Y

12. 5.2 Fungsi Marginal dan
Elastisitas Parsial
Jika (∂Q/∂Y) > 0, maka |EY |> 0, dimana
pendapatan Elastis terhadap harga.
Jika (∂Q/∂Y) < 0, maka |EY |< 0, dimana
pendapatan tidak Elastis terhadap harga.
(lihat Contoh buku 1 hal. 358),
Contoh :
Diberikan fungsi permintaan
Q = 100 – 2P + P A + 0. 1Y
dimana P =10, P A = 12 dan Y = 1000
carilah

13. 5.2 Fungsi Marginal dan
Elastisitas Parsial
(a) Elastisitas Harga Permintaan
(b) Elastisitas Harga silang Permintaan
(c) Elastisitas Pendapatan terhadap Permintaan
Apakah subtitusi alternatif terbaik atau
komplementer?
Jawab :
Kita mulai menghitung nilai dari Q dimana,
P=10, PA= 12 dan Y = 1000, maka persamaannya
Q= 100 – 2(10)+12+0.1(1000) = 192.

14. 5.2 Fungsi Marginal dan
Elastisitas Parsial
(a) Elastisitas harga permintaan, turunan parsial
persamaan Q terhadap P,
dengan Q = 100 – 2P + PA + 0. 1Y , maka
∂Q = −2
∂P
dimana,
E p = − P x ∂Q = − 10 x( −2)=0.10
Q ∂P 192

15. 5.2 Fungsi Marginal dan
Elastisitas Parsial
(b) Elastisitas harga silang permintaan, yaitu
turunan parsial persamaan Q terhadap P A ,
dengan Q = 100 – 2P + PA + 0. 1Y , maka
∂Q =1
∂P A
dimana,
P ∂Q 12
Ep = x = A
x1 =0.06
Q ∂P 192
A
A

16. 5.2 Fungsi Marginal dan
Elastisitas Parsial
(c) Elastisitas Pendapatan terhadap permintaan,
yaitu turunan parsial persamaan Q terhadap
Y, dengan Q = 100 – 2P + PA + 0. 1Y , maka
∂Q =0.1
∂Y
dimana,
E = Y x ∂Q = 1000 x 0.1 =0.52
Y Q ∂Y 192
Lihat buku 1, hal. 359 coba kerjakan soalnya!

17. 5.2 Fungsi Marginal dan
Elastisitas Parsial
Utility (Kegunaan)
Untuk mengetahui perilaku konsumen terhadap
suatu barang, dapat dianalisis menggunakan
konsep Utility, seberapa perlu konsumen
terhadap suatu barang. Andaikan ada dua barang
G1 dan G2, konsumen memilih x1 pada G1 dan x2
pada G2, maka variabel U sebagai fungsi dari x1
dan x2 dapat ditulis sebagai
U = U ( x1, x2)
Contoh :

18. 5.2 Fungsi Marginal dan
Elastisitas Parsial
U ( 3, 7) = 20 dan U ( 4, 5) = 25,
Ada Empat pilihan yaitu memilih 3 di G1 dan 7 di
G2 atau dapat juga memilih 4 di G1 dan 5 di G2.
Turunan Parsial pertama dari fungsi utility, dapat
ditulis sebagai,
∂U dan ∂U
∂x 1
∂x 2
Laju perubahan U akibat xi disebut Utilitas
Maginal dari x i .

19. 5.2 Fungsi Marginal dan
Elastisitas Parsial
Jika xi berubah sekecil apapun, dan
mempengaruhi U, maka berlaku,
ΔU ≈ ∂U Δx
∂xi i
Jika x1 dan x2 keduanya berubah mengakibatkan,
Perubahan Utilitas menjadi
ΔU ≈ ∂U Δx + ∂U Δx
∂x 1
1
∂x 2
i

20. 5.2 Fungsi Marginal dan
Elastisitas Parsial
Contoh : (Lihat buku 1, contoh hal. 360 - 361)
Diberikan fungsi utility,
U = x11/4 x23/4,
Tentukan nilai utilitas marginal dari,
∂U dan ∂U
∂x1
∂x 2
Dimana x1 = 100, dan x2 = 200. Taksirlah
perubahan utilitas menurun xi dari 100 ke 99 dan
utilitas naik dari 200 ke 201.

21. 5.2 Fungsi Marginal dan
Elastisitas Parsial
Jawab :
Fungsi utility,
U = x11/4 x23/4,
∂U = 1 x - 3/4
x
3/4
dan ∂U = 4 x x
3
1/4 - 1/4
∂x 4
1
1 2
∂x2
1 2
Dengan x1 = 100, dan x2 = 200.
∂U = 1 (100 ) (200 ) =0.42
- 3/4 3/4
∂x 4 1

22. 5.2 Fungsi Marginal dan
Elastisitas Parsial
∂U = 3 (100 ) (200 )
1/4 - 1/4
=0.63
∂x 4
2
Dimana x1 berkurang sebesar 1 unit, ∆x 1 = – 1
Dan x2 bertambah sebesar 1 unit ∆x 2 = 1,
Sehingga,
ΔU ≈ ∂U Δx + ∂U Δx
∂x ∂x
1
1
2
i
Jadi, perubahan utilitasnya adalah :
ΔU ≈ 0.42  - 1 + 0.631 =0.21
     

23. 5.2 Fungsi Marginal dan
Elastisitas Parsial
Kurva Indefferens dapat ditentukan dari
persamaan implicit terhadap fungsi utilitas
berikut : U ( x1, x2) = U 0
Turunan Implisit dapat ditentukan dengan
Rumus : dy = − f x
dx f
y ∂U
Sehingga, MRCS = − dx = ∂x2 1
dx ∂U 1
∂x 2

24. 5.2 Fungsi Marginal dan
Elastisitas Parsial
Contoh (lihat buku 1, hal. 364) :
Diberikan fungsi
U = x11/2 x21/2 , Carilah MRCS dalam bentuk
variabel x1 dan x2, dititik (300, 500), dimana x1
turun 3 unit, dan x2 beriringan naik.
Jawab :
∂U = 1 xx dan ∂U = 2 x x
- 1/2
1
1/2 1/2 - 1/2
∂x 2
1
1
∂x 2
2
1 2
−1/ 2
1x x x
1/ 2
MRCS = − 2 =x x =
−1 1
1 2 2
−1/ 2 1 2
1x x
1/ 2
2
x 2 2
1

25. 5.2 Fungsi Marginal dan
Elastisitas Parsial
MRCS = 500 = 5
300 3
Sehingga, U ( 300, 500) = (300)1/2(500)1/2=387.3
Jika x1 turun 3 unit maka x2 naik 5 unit.
5 x 3 =5
3
Jadi, U ( 297, 505) = (297)1/2(505)1/2=387.28