1) El documento introduce el concepto de derivada y explica cómo se puede usar para encontrar la pendiente de una recta tangente. 2) Explica que las matemáticas no se deben memorizar sino razonar, y procede a definir las rectas secante y tangente geométrica y funcionalmente. 3) Deriva la fórmula para calcular la derivada como un límite, lo que permite encontrar la pendiente de la recta tangente.

1. LA DERIVADA Y EL
PROBLEMA DE LA RECTA
TANGENTE

2. Recordemos el camino trazado…
Funciones de una variable
Limites y continuidad
La derivada
Pero, antes de iniciar HAGAMONOS
una simple pregunta…
Ya analizamos
funciones…
También
limites de
funciones…
Y el tema que
iniciamos hoy
es….

3. ( un minuto de silencio…)
Introducción a la Derivada

4. “La pregunta del millón…”
Si tenemos una función definida por
2
xy 
La mayoría contestaría: “su derivada es: ”
MUY BIEN!! ….. Pero……..
“memorizar términos matemáticos y no tener la mínima
idea de lo que significan, es equivalente a no saberlos..”
“las matemáticas no se memorizan… se deben razonar!!”
xy 2

5. Algunos conceptos básicos. La recta secante
y la recta tangente
en términos
geométricos
Recta secante
Recta tangente
“es una recta que
intersecta un círculo
en dos puntos”
“es una recta que
tiene un punto en
común con un circulo”

6. Algunos conceptos básicos.
La recta secante
y la recta tangente
en una función
Función original

7. Algunos conceptos básicos.
La recta secante
y la recta tangente
en una función
Función original
Recta secante

8. Algunos conceptos básicos.
La recta secante
y la recta tangente
en una función
Función original
Recta tangente

9. Algunos conceptos básicos.
Sabemos que una de las características
principales de una recta es su pendiente (m)
En términos muy simples la pendiente de una recta es
un valor numérico que representa la inclinación de dicha recta
1 1( , )x y
2 2( , )x y
2 1x x
2 1y y
2 1
2 1
y y
m
x x



Muy sencillo de obtener si
tienes dos puntos sobre una recta!

10. Algunos conceptos básicos.
Función original
Recta secante
De acuerdo a lo anterior, la obtención de la pendiente de una recta
secante en la curva de una función es:
2 1
2 1
y y
m
x x



1 1( , )x y
2 2( , )x y

11. Algunos conceptos básicos.
Recta tangente
Pero……….. y como obtener análogamente la pendiente de una recta
tangente si solo se conoce un punto?
1 1( , )x y
2 1
2 1
?
y y
m
x x

 


12. Algo de historia.
Esta cuestión se originó con los matemáticos griegos hace dos mil años,
y fue finalmente abordada en el siglo XVII por varios matemáticos ilustres,
entre los que se encuentran :
Pierre de Fermat Rene Descartes Gottfried Wilhelm Leibniz
Leibniz, llamado por muchos el padre del Cálculo
Moderno, en 1684 propuso un método
general para encontrar las tangentes a una
curva a través de lo que el llamo símbolos.

13. La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE
Supongamos que deseamos
conocer la pendiente de la
recta tangente en X=1
Observe que si hacemos
diversas aproximaciones de rectas
secantes, podemos hacer una
muy buena estimación de la
Pendiente de la recta tangente
tanm

14. La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm

15. La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm

16. La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm

17. La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm

18. La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm

19. La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm

20. La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm

21. La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm

22. La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm

23. La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm

24. La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
Observa que el punto
Cada vez se acerca
más al punto
1 1( , )x y
2 2( , )x y
2 2( , )x y
tanm

25. La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
Ahora, como expresar el
comportamiento anterior
en términos matemáticos?

26. La derivada.
1 1( , )x y
2 2( , )x y
Aprox.
tanm  secm Procedemos
a sustituir:
12
12
sec
xx
yy
m



2 1
2 1
y y
x x


tanm

27. 12
12
sec
xx
yy
m



La derivada.
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm  2 1
2 1
y y
x x


Considerando:
( )y f xtanm  2 1
2 1
( ) ( )f x f x
x x


)( 1xf
)( 2xf
tanm
Procedemos
a sustituir:

28. La derivada.
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm  2 1
2 1
( ) ( )f x f x
x x

 2 1x x x  Ahora
Consideremos:
2 1( ) ( )f x f x
x


2 1x x x  
tanm

29. La derivada.
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm  2 1( ) ( )f x f x
x


Ahora recordemos el comportamiento
de las rectas secantes y podemos ver
que tiende a disminuirx
2 1x x x  
tanm

30. La derivada.
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm  2 1( ) ( )f x f x
x


Ahora recordemos el comportamiento
de las rectas secantes y podemos ver
que tiende a disminuirx
2 1x x x  
tanm

31. La derivada.
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm 
2 1x x x  
2 1( ) ( )f x f x
x


Podemos expresar lo anterior así:
lim 2 1( ) ( )f x f x
x


0x 
0x 
Analizando dicho comportamiento,
procedemos a aplicar un límite así:
Se puede observar
que el punto
cada vez se aproxima
más al punto
pero no llegará a tocarlo
2 2( , )x y
1 1( , )x y
tanm

32. La derivada.
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm  Finalmente considerando lo siguiente:
lim 2 1( ) ( )f x f x
x


0x 
2 1x x x  
La expresión nos queda así:
1 1( ) ( )f x x f x
x
  

2 1x x x  
tanm

33. 1 1( ) ( )f x x f x
x
  

La derivada.
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm  Finalmente considerando lo siguiente:
lim
0x 
2 1x x x  
La expresión nos queda así:
2 1x x x  
tanm

34. La derivada.
tanm  lim
0x 
1 1( ) ( )f x x f x
x
  

Este límite (el cual genera otra
función), representa la pendiente de
las diversas rectas tangentes a la
gráfica de una función…..
Y se le conoce comúnmente como:
Misma, que en honor a Leibniz puede ser representada así:
dx
dy Por su origen basado en
incrementos
=

35. La derivada.
lim
0x 
1 1( ) ( )f x x f x
x
  
dx
dy
=
Y precisamente por esta
fórmula es que lo siguiente,
ahora si, tiene sentido:
Si tenemos una función definida por
2
xy 
Entonces su derivada es: x
dx
dy
2
Y gracias a esta función que se “deriva” de la original, podemos obtener
las pendientes de las rectas tangentes que pertenecen a la función original

36. Aplicación del límite obtenido….
Procederemos a la aplicación
del límite deducido para
obtener la derivada de la función:
2
)( xxfy 
x
xfxxf
dx
dy
x 



)()(
lim
0
Recordemos que la
derivada esta definida
por el límite:
Al evaluar el término
)( xxf 
se puede observar que:
2
)()( xxxxfy 
Al sustituirlo obtenemos:

37. x
xxx
dx
dy
x 



22
0
)(
lim
)( xxf  )(xf
Al desarrollar el binomio
al cuadrado obtenemos:
x
xxxxx
dx
dy
x 



222
0
))()(2(
lim Reduciendo
términos:
x
xxx
dx
dy
x 



2
0
)()(2
lim
Aplicando los teoremas
sobre límites tenemos lo
siguiente:

38. Aplicación del límite obtenido….




 x
xxx
dx
dy
x
2
0
)()(2
lim xx
xx

 00
lim2lim
Al evaluar dichos límites llegamos a la conclusión que:
Si tenemos una función definida por
2
xy 
Entonces su derivada es: x
dx
dy
2

39.         









Representación
gráfica de:
2
xy 
La función que
representa su
derivada es:
x
dx
dy
2

40.         









Representación
gráfica de:
2
xy 
La función que
representa su
derivada es:
x
dx
dy
2
1x
Al sustituir
en la derivada
el valor de X:
2)1(2tan 
dx
dy
m
Observe que:
2tan m ?tan m

41.         









Representación
gráfica de:
2
xy 
La función que
representa su
derivada es:
x
dx
dy
2
2tan m

42.         









Representación
gráfica de:
2
xy 
La función que
representa su
derivada es:
x
dx
dy
2        









        









        









        









        










43. Referencia: “El Cálculo”
por Louis Leithold

44.  Ahora si ya podemos empezar con los
primeros ejemplos.
xxf 3)( 
3
dx
df
3
)(
3
x
xf 
2
x
dx
df

2
6)( xxf 
x
dx
df
2
5
12
)(


x
xf
5
2

dx
df