propiedades de las potencias con exponentes enteros

1. POTENCIACIÓN EN LOS REALES
La Potencia es una forma abreviada de escribir un producto de factores iguales. Dependiendo de la cantidad de veces que se repite el factor se le da nombre a las potencias, así encontramos potencias cuadradas, cubos, cuartas; etc.
En las potencias se observa lo siguiente:
El factor que se repite (a) se llama BASE, el numero de veces que se repite (n) se llama EXPONENTE y el resultado se llama POTENCIA.
54 = 5 x 5 x 5 x 5 = 625 5 es la base, 4 es el exponente y 625 es la potencia.
23 = 2 x 2 x 2 = 8 2 es la base, 3 es el exponente y 8 es la potencia.
(– 3)5 = (– 3) x (– 3) x (– 3) x (– 3) x (– 3) = 243 – 3 es la base, 5 es el exponente y 243 es la potencia.
Propiedades de las potencias
1. El exponente se puede distribuir respecto a un producto o una división
(푎.푏)푛=푎푛푏푛 표 ( 푎 푏 ) 푛 = 푎푛 푏푛
(2푥푦푧)3=23푥3푦3푧3=8푥3푦3푧3
( 푥 3푦 ) 4= 푥434푦4
2. Todo número diferente de cero que posea como exponente al número cero, tiene potencia igual a uno (1 ), es decir, 푎0=1
3. Exponente negativo:
푎−푛= 1 푎푛 2−3= 123= 18
푥−5= 1 푥5 푥−1푦−3푧−2= 1 푥1푦3푧2
3−2푎−3푏−2= 132푎3푏2
a = a x a x a… x a
n veces
n

2. 4. Multiplicación de potencias de igual base: 푎푛∙푎푚=푎푛+푚 Se coloca la misma base y se suman los exponentes.
53∙54=53+4=57
(−2)6∙(−2)5=(−2)6+5=(−2)11
3xy. 2 x3y2 = 6x1+3y1+2 = 6x4y3
5. División de potencias de igual base: 푎푛 푎푚=푎푛−푚 se coloca la misma base y se restan los exponentes.
5453=54−3=51 (−2)14(−2)5=(−2)14−5=(−2)9
52푥8푦354푥5푦2=5−2푥3푦= 푥3푦 52= 푥3푦 25
6. Potencia de una potencia: (푎푚)푛=푎푚∗푛 se coloca la misma base y se multiplican los exponentes.
(55)3=55∗3=515
⌈(−2)2⌉4=(−2)2∗4=(−2)8
[52푥8푦3]−2=5−4푥−16푦−6= 154푥16푦6
Actividad
 (5b2c3)4
 (2b4c2d3)2
 (–a3b2c3)– 4
 3–2a–1
 3x–2y3
 32x3y5
 ab2 3
4y
 –2ab2 – 2
4a0b4
 (((6x3y4z–2)–1)–2)–3
 4푎푏343푎−1푏−2
 [ 2−3x3y−22−2y−5x−1] −1

3. Ejemplo
Usar las propiedades de las potencias para resolver el siguiente ejercicio.
(3푥3푦−4푧−3)−2∙(3−2푥4푦−2푧−1)−1
Se distribuye el exponente de afuera y se multiplica con cada uno de los exponentes de las potencias =3−2푥−6푦8푧6∙32푥−4푦2푧1
Se suman los exponentes de las potencias de igual base. =30푥−10푦10푧7 = 푦10푧7 푥10
Otro ejemplo. [ 2−5푎4푏−22−3푎−2푏3] 5∙[ 2−1푎−3푏222푎3푏−1] −4
= 2−25푎20푏−102−15푎−10푏15 ∙ 24푎12푏−82−8푎−12푏4
En la división se restan los exponentes, en las potencias del denominador se cambian de signo al exponente y se hace la operación con ellos.
=2−25+15푎20+10푏−10−15∙24+8푎12+12푏−8−4 =2−15푎30푏−25∙212푎24푏−12
Se suman los exponentes de potencias de igual base =2−15+12푎30+24푏−25−12 =2−3푎54푏−37 = 푎5423푏37
Otro ejemplo

4. ([ 2푎−1푏−13푎3푏3] −1) 2∙(2푎−4푏3) =[ 2푎−1푏−13푎3푏3] −2∙(2푎−4푏3) = 2−2푎2푏23−2푎−6푏−6∙ (2푎−4푏3) 1 = 2−2푎8푏83−2∙ 2푎−4푏31 = 2−13−2푎4푏11
= 322 푎4푏11= 92 푎4푏11

5. Actividad 2
Desarrollar
a.
25a-2b–4 – 2
5a–3b-2
b.
125a-2 b–4 – 2. 25a-2b4 – 2
5a–3b-2 53a–3b2
c.
32a-2 b–4 c –3. 8 a-2b4 – 2
2 a–3b-2 23a–3b2
d.
–27a-2 b–4 c –3
5 a–3b-2
– 9 2a-2b4 –2
53a3b -2
e.
2ab2 – 2 –1
4a0b4
f.
23a–2b2 2 3
8a5 b4
g.
3 a6b2 – 2 3 –1
9a6b4