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                                                                               A L          A

                                                                               42
                                                                                42
          O quadrado e outros
                quadriláteros

                                                                               Para pensar




    No mosaico acima, podemos identificar duas figuras bastante conhecidas:
o quadrado de dois tamanhos diferentes, e o retângulo
  quadrado,                                 retângulo.




    As duas figuras possuem quatro ângulos internos iguais e retos, portanto   Nossa aula
medem 90º cada um.
    Além disso, o quadrado tem os quatro lados iguais e o retângulo tem dois
pares de lados iguais chamados lados opostos
                                     opostos.
    Vejamos como se representam as observações acima:
           B            C
                                             F                      G



                                             E                      H
           A            D


   No quadrado ABCD:        AB = BC = CD = AD _ lados iguais
                            Â=B=C=D           _ ângulos iguais

   No retângulo EFGH:        EF = GH               _ lados opostos iguais
                             FG = EH               _ lados opostos iguais
                             Ê=F=G=H               _ ângulos iguais
A U L A      Veja, agora, um outro mosaico formado por uma figura de quatro lados
          também conhecida:

42

             Essa figura, chamada losango possui os quatro lados iguais e dois pares de
                                   losango,
          ângulos iguais, os ângulos opostos.
                                                                                         S
              No losango RSTU:
                                                                                   R             T
              RS = ST = TU = UR      _ lados iguais
              R=T                    _ ângulos opostos iguais
              S=U                    _ ângulos opostos iguais
                                                                                         U
             Outra figura de quatro lados que possui também dois pares de ângulos
          iguais é o paralelogramo Note que seus lados opostos são iguais dois a dois,
                     paralelogramo.
          como no retângulo.

              No paralelogramo MNOP:
                                                                 N                               O
              MN = OP
              NO = MP     }   dois pares de lados
                              opostos iguais

              M
              N
                   = O
                   = P    } dois pares de ângulos
                            opostos iguais
                                                          M                                  P



              Todas as figuras apresentadas nesta aula são chamadas de quadriláteros
          (quadri = quatro e láteros = lados).
              Veja um resumo das características (propriedades) dessas figuras:

                          4 LADOS     APENAS LADOS       2 PARES DE    4 ÂNGULOS       APENAS
                          IGUAIS     O POSTOS IGUAIS   LADOS OPOSTOS    IGUAIS         ÂNGULOS
                                                        PARALELOS                  OPOSTOS IGUAIS


                              ´                            ´              ´

                                           ´               ´              ´

                              ´                            ´                              ´

                                           ´               ´                              ´


               Observe que na 3ª coluna aparece uma propriedade comum a todas as
          figuras, ou seja, as quatro possuem dois pares de lados opostos paralelos. Por
          isso, são chamadas de paralelogramos Portanto:
                                 paralelogramos.

              Os paralelogramos são quadriláteros que possuem dois pares
                              de lados opostos paralelos.
O trapézio não é um paralelogramo, pois é quadrilátero que tem apenas um              A U L A
par de lados opostos paralelos que chamamos de bases Veja alguns tipos de
                      paralelos,                  bases.
trapézio:
       C               D            G           H                  L           M          42
   A                         B      E                  F       I                    J
             (1)                               (2)                       (3)
    O trapézio 1 tem os lados AB e CD paralelos, sendo AB a base maior e CD
a base menor Os outros dois lados não são paralelos mas são iguais, isto é,
        menor.
AC = BD. Esse é o trapézio isósceles
                              isósceles.
    O trapézio 2 tem o lado EG perpendicular às bases formando, portanto,
ângulos retos Ê e G. Esse é o trapézio retângulo
                                         retângulo.
    O trapézio 3 tem os dois lados não paralelos desiguais, isto é, IL ¹ JM. Esse
é o trapézio escaleno
               escaleno.
    Essa classificação dos trapézios tem uma analogia (semelhança) com a
classificação dos triângulos vista na aula anterior, lembra-se? Assim fica fácil
lembrar de nomes novos.
    Vamos conhecer agora um elemento dos quadriláteros que não existe nos
triângulos: a diagonal.

    Diagonal de um quadrilátero é o segmento de reta que liga
                 dois vértices não consecutivos.

     No retângulo ABCD, os vértices não consecutivos são A e C, e B e D. Veja
a figura:      B                              C

                                                       AC e BD são as diagonais


                   A                                  D
    No retângulo as diagonais são iguais e se cortam ao meio
                                                        meio.
    Faça você as outras figuras (paralelogramos) e conclua as propriedades
das diagonais.
    Confira suas conclusões com a tabela abaixo.

                   DUAS DIAGONAIS DUAS DIAGONAIS          DIAGONAIS    DIAGONAIS QUE SE
                           IGUAIS       DESIGUAIS    PERPENDICULARES CORTAM AO MEIO




                             ´                                ´                ´

                             ´                                                 ´

                                           ´                  ´                ´

                                           ´                                   ´

    Observe que na 4ª coluna aparece a propriedade comum às diagonais dos
paralelogramos:

           As diagonais dos paralelogramos se cortam ao meio.
A U L A      Soma dos ângulos internos de um quadrilátero qualquer


42            Já sabemos que em qualquer triângulo a soma dos três ângulos internos é
          180º.
              Um quadrilátero é convexo quando uma das diagonais fica totalmente no
          interior do quadrilátero, como na figura.
              Quando traçamos uma das diagonais de um quadrilátero, ele fica dividido
          em dois triângulos:
                                                N


                                                                        O
                           L




                                    M



              A soma dos ângulos do triângulo LMO, assim como a soma dos ângulos do
          triângulo LNO, é igual a 180º.
              Somando-se os ângulos dos dois triângulos, encontramos a soma dos
          ângulos do quadrilátero. Portanto, 180º + 180º = 360º.


          A soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360º


                                         Curiosidade!
             Usando recortes e colagens, podemos mostrar com bastante facilidade
             que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a
             180º e que a dos quadriláteros convexos vale 360º, como nas figuras
             abaixo.

                      1                     1

                                                                                    1
              2           3             2                   3               2           3




                               3                                                3
                                                                    2
                  2



              1                         4                       1                           4




                                                    1
                                                4

                                                3       2
Exercícios
                                                                               A U L A


                                                                              42
Exercício 1
   Como se chama o quadrilátero:

   a) Que possui os lados opostos iguais?

   b) Que possui somente um par de lados paralelos?

   c) Que possui os quatro ângulos iguais a 90º?

   d) Que possui as diagonais iguais cortando-se ao meio?

Exercício 2
   Complete a tabela com o que se pede:

          FIGURAS GEOMÉTRICAS          PONTOS EM COMUM       DIFERENÇAS




Exercício 3
   Desenhe:

   a) Um quadrilátero com quatro lados iguais que não seja um quadrado.
      Diga seu nome.

   b) Um quadrilátero com quatro ângulos iguais que não seja um quadrado.
      Diga seu nome.

   c) Um quadrilátero que tenha somente dois ângulos retos. Diga seu nome.

   d) Um quadrilátero cujas diagonais cortam-se ao meio mas não são iguais.
A U L A   Exercício 4
             Nesta figura quadriculada existe um total de 5 quadrados.

42                           Temos um quadrado de 2 · 2 e 4 quadrados de 1 · 1.



             Descubra quantos quadrados existem nos seguintes quadriculados:

             a)                           b)




          Exercício 5
             Desenhe em papel quadriculado 4 triângulos retângulos iguais a este:




             a) Recorte-os.
             b) Agora desenhe, em papel quadriculado, um quadrado. A medida do lado
                do quadrado deve ser igual à medida do lado menor do triângulo que
                você recortou.
             c) Recorte também esse quadrado. Você construiu um quebra-cabeça
             com               5 peças.

             Atividades:
             l Construa com 2 peças do seu quebra-cabeça:
               − um paralelogramo;
               − um retângulo.
             l Registre as soluções encontradas em papel quadriculado.
             l Com 3 peças de seu quebra-cabeça, forme:
               − um paralelogramo;
               − um retângulo.
             l Registre as soluções encontradas em papel quadriculado.
             l Utilizando as 5 peças, tente formar figuras diferentes e registre-as em
               papel quadriculado.

          Exercício 6
             Sabendo que um dos ângulos de um paralelogramo mede 45º, calcule os
             outros três ângulos.

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  • 1. A UU AL A L A 42 42 O quadrado e outros quadriláteros Para pensar No mosaico acima, podemos identificar duas figuras bastante conhecidas: o quadrado de dois tamanhos diferentes, e o retângulo quadrado, retângulo. As duas figuras possuem quatro ângulos internos iguais e retos, portanto Nossa aula medem 90º cada um. Além disso, o quadrado tem os quatro lados iguais e o retângulo tem dois pares de lados iguais chamados lados opostos opostos. Vejamos como se representam as observações acima: B C F G E H A D No quadrado ABCD: AB = BC = CD = AD _ lados iguais Â=B=C=D _ ângulos iguais No retângulo EFGH: EF = GH _ lados opostos iguais FG = EH _ lados opostos iguais Ê=F=G=H _ ângulos iguais
  • 2. A U L A Veja, agora, um outro mosaico formado por uma figura de quatro lados também conhecida: 42 Essa figura, chamada losango possui os quatro lados iguais e dois pares de losango, ângulos iguais, os ângulos opostos. S No losango RSTU: R T RS = ST = TU = UR _ lados iguais R=T _ ângulos opostos iguais S=U _ ângulos opostos iguais U Outra figura de quatro lados que possui também dois pares de ângulos iguais é o paralelogramo Note que seus lados opostos são iguais dois a dois, paralelogramo. como no retângulo. No paralelogramo MNOP: N O MN = OP NO = MP } dois pares de lados opostos iguais M N = O = P } dois pares de ângulos opostos iguais M P Todas as figuras apresentadas nesta aula são chamadas de quadriláteros (quadri = quatro e láteros = lados). Veja um resumo das características (propriedades) dessas figuras: 4 LADOS APENAS LADOS 2 PARES DE 4 ÂNGULOS APENAS IGUAIS O POSTOS IGUAIS LADOS OPOSTOS IGUAIS ÂNGULOS PARALELOS OPOSTOS IGUAIS ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ Observe que na 3ª coluna aparece uma propriedade comum a todas as figuras, ou seja, as quatro possuem dois pares de lados opostos paralelos. Por isso, são chamadas de paralelogramos Portanto: paralelogramos. Os paralelogramos são quadriláteros que possuem dois pares de lados opostos paralelos.
  • 3. O trapézio não é um paralelogramo, pois é quadrilátero que tem apenas um A U L A par de lados opostos paralelos que chamamos de bases Veja alguns tipos de paralelos, bases. trapézio: C D G H L M 42 A B E F I J (1) (2) (3) O trapézio 1 tem os lados AB e CD paralelos, sendo AB a base maior e CD a base menor Os outros dois lados não são paralelos mas são iguais, isto é, menor. AC = BD. Esse é o trapézio isósceles isósceles. O trapézio 2 tem o lado EG perpendicular às bases formando, portanto, ângulos retos Ê e G. Esse é o trapézio retângulo retângulo. O trapézio 3 tem os dois lados não paralelos desiguais, isto é, IL ¹ JM. Esse é o trapézio escaleno escaleno. Essa classificação dos trapézios tem uma analogia (semelhança) com a classificação dos triângulos vista na aula anterior, lembra-se? Assim fica fácil lembrar de nomes novos. Vamos conhecer agora um elemento dos quadriláteros que não existe nos triângulos: a diagonal. Diagonal de um quadrilátero é o segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos. No retângulo ABCD, os vértices não consecutivos são A e C, e B e D. Veja a figura: B C AC e BD são as diagonais A D No retângulo as diagonais são iguais e se cortam ao meio meio. Faça você as outras figuras (paralelogramos) e conclua as propriedades das diagonais. Confira suas conclusões com a tabela abaixo. DUAS DIAGONAIS DUAS DIAGONAIS DIAGONAIS DIAGONAIS QUE SE IGUAIS DESIGUAIS PERPENDICULARES CORTAM AO MEIO ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ Observe que na 4ª coluna aparece a propriedade comum às diagonais dos paralelogramos: As diagonais dos paralelogramos se cortam ao meio.
  • 4. A U L A Soma dos ângulos internos de um quadrilátero qualquer 42 Já sabemos que em qualquer triângulo a soma dos três ângulos internos é 180º. Um quadrilátero é convexo quando uma das diagonais fica totalmente no interior do quadrilátero, como na figura. Quando traçamos uma das diagonais de um quadrilátero, ele fica dividido em dois triângulos: N O L M A soma dos ângulos do triângulo LMO, assim como a soma dos ângulos do triângulo LNO, é igual a 180º. Somando-se os ângulos dos dois triângulos, encontramos a soma dos ângulos do quadrilátero. Portanto, 180º + 180º = 360º. A soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360º Curiosidade! Usando recortes e colagens, podemos mostrar com bastante facilidade que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a 180º e que a dos quadriláteros convexos vale 360º, como nas figuras abaixo. 1 1 1 2 3 2 3 2 3 3 3 2 2 1 4 1 4 1 4 3 2
  • 5. Exercícios A U L A 42 Exercício 1 Como se chama o quadrilátero: a) Que possui os lados opostos iguais? b) Que possui somente um par de lados paralelos? c) Que possui os quatro ângulos iguais a 90º? d) Que possui as diagonais iguais cortando-se ao meio? Exercício 2 Complete a tabela com o que se pede: FIGURAS GEOMÉTRICAS PONTOS EM COMUM DIFERENÇAS Exercício 3 Desenhe: a) Um quadrilátero com quatro lados iguais que não seja um quadrado. Diga seu nome. b) Um quadrilátero com quatro ângulos iguais que não seja um quadrado. Diga seu nome. c) Um quadrilátero que tenha somente dois ângulos retos. Diga seu nome. d) Um quadrilátero cujas diagonais cortam-se ao meio mas não são iguais.
  • 6. A U L A Exercício 4 Nesta figura quadriculada existe um total de 5 quadrados. 42 Temos um quadrado de 2 · 2 e 4 quadrados de 1 · 1. Descubra quantos quadrados existem nos seguintes quadriculados: a) b) Exercício 5 Desenhe em papel quadriculado 4 triângulos retângulos iguais a este: a) Recorte-os. b) Agora desenhe, em papel quadriculado, um quadrado. A medida do lado do quadrado deve ser igual à medida do lado menor do triângulo que você recortou. c) Recorte também esse quadrado. Você construiu um quebra-cabeça com 5 peças. Atividades: l Construa com 2 peças do seu quebra-cabeça: − um paralelogramo; − um retângulo. l Registre as soluções encontradas em papel quadriculado. l Com 3 peças de seu quebra-cabeça, forme: − um paralelogramo; − um retângulo. l Registre as soluções encontradas em papel quadriculado. l Utilizando as 5 peças, tente formar figuras diferentes e registre-as em papel quadriculado. Exercício 6 Sabendo que um dos ângulos de um paralelogramo mede 45º, calcule os outros três ângulos.