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A UA U L A
     L A


79
 79

              Revisão II
              Geometria

 Introdução                                   A  gora vamos rever alguns conceitos bási-
              cos da Geometria, estudados ao longo do Telecurso 2000.

                  Observe a figura abaixo e resolva a seguinte questão:




                  Uma formiga sai do ponto A dirigindo-se ao ponto B. Sabendo que cada
              uma das faces do cubo mede 20 cm ´ 20 cm, responda: qual será o caminho
              traçado pela formiga, de modo que ela percorra a menor distância?

                  Sugestão: como a formiga tanto pode começar a andar pela face superior do
              cubo quanto pela frontal - aquela que está de frente para você -, pense no cubo
              planificado e na menor distância entre esses pontos. Utilize o Teorema de
              Pitágoras.



 Nossa aula       O triângulo retângulo

                 seu João vai construir um quarto nos fundos de sua casa. O quarto deverá
              medir 3 m ´ 4 m e servirá para guardar material de construção.

                  Depois de “levantar” a primeira parede, ele ficou pensando sobre como
              construir as outras, de modo que o quarto ficasse retangular, ou seja, com
              ângulos de 90º em cada canto.
Para resolver esse problema, ele teve a seguinte idéia: uniu três cordas de   A U L A
mesmo comprimento (0A, 0B e 0C), por uma de suas extremidades:

                                                                                 79


    Em seguida, com as cordas sobre o chão, fixou as extremidades A e B na
parede construída e esticou as três cordas, de modo que OB e OC ficassem
colineares, como mostra a figura abaixo:




   Construíndo a parede sobre a direção AC, seu João garantiu que ela ficaria
perpendicular à parede construída. Por que ele está certo?




   Repare que os dois triângulos construídos (OAB) e (OAC) são isósceles, pois
OA = OB e OA = OC.
   Logo, tais triângulos possuem dois ângulos internos de mesma medida,
como indicado na figura pelas variáveis x e y .

    Observando o triângulo ABC, verificamos que seus ângulos internos são:

              A=x+y        B=x      C=y
A U L A       De acordo com a lei angular de Tales, sabemos que, em qualquer triângulo,
          a soma dos seus ângulos interno vale 180º. Logo:

79                      A + B + C = 180º
                        x + y + x + y = 180º
                        2x + 2y = 180º            ®       x + y = 90º

             Como x + y é a expressão que representa o ângulo A do triângulo ABC,
          podemos afirmar que o triângulo ABC é retângulo.
              Portanto, seu João conseguiu que o quarto ficasse retangular.


              Quantas lajotas comprar?




               Para revestir o chão de seu quarto com lajotas de 30 cm ´ 20 cm, quantas
          lajotas seu João precisará comprar?
              O quarto mede 3 m ´ 4 m, convertendo essa medida para centímetros,
          temos: 300 cm ´ 400 cm. Portanto, a área do quarto é de 300 cm ´ 400 cm =
                    2
          120.000 cm
              Como a área da lajota é de 30 cm ´ 20 cm = 600 cm , o número de lajotas
                                                                2

          necessário será de 120.000 : 600 = 200 lajotas.
              Portanto, seu João deverá comprar pelo menos 200 lajotas
                                                               lajotas.


              Qual o comprimento do tubo?

             De que modo seu João conseguirá colocar um tubo de PVC, medindo 6 m de
          comprimento, no chão de seu quarto?
Como a maior distância disponível no chão desse quarto fica na diagonal,        A U L A
resolvemos pelo Teorema de Pitágoras:
                2    2
               d =3 +4
                         2

               d2 = 9 + 16
                                                                                    79
                2
               d = 25
               d=5

    Assim, temos que a maior distância disponível no chão do quarto é de 5 m.
Portanto, seu João não poderá colocar em seu quarto um tubo de 6 m de
comprimento.


    Quanto de tinta encomendar?

    seu João deseja pintar as paredes de seu quartinho. Para saber a quantidade
de tinta necessária para a pintura, ele deverá calcular a área total das paredes.

    Sabendo que o quarto tem o formato de um paralelepípedo, devemos
calcular as áreas de suas faces e, em seguida, somá-las:




    O pé direito (altura) do quarto é de 2,5 m e suas paredes são de 3 m ´ 4 m.

    Calculando a área do paralelepípedo (área de suas faces), temos:

               2 faces de 4 m ´ 3 m = 2 . (4 . 3) = 24 m
                                                        2

               2 faces de 3 m ´ 2,5 m = 2 . (3 . 2,5) = 15 m2
               2 faces de 4 m ´ 2,5 m = 2 . (4 . 2,5) = 20 m
                                                            2




    No caso do quartinho de seu João, em que serão pintadas as paredes laterais
e o teto, a área total é de:
                                   2
               24 + 15 + 20 = 59 m


    Portanto, seu João deverá comprar uma quantidade de tinta suficiente para
                        2
pintar um total de 59 m .

    Agora, imagine que seu João queira encher seu quartinho de objetos. Como
saber o volume que poderá ser ocupado por suas coisas?
A U L A       Neste caso, basta calcular o volume do paralelepípedo:


79


              V = base ´ largura ´ altura
              V = 4 m ´ 3 m ´ 2,5 m =
                = 4 ´ 3 ´ 2,5 = 30 m (metros cúbicos).
                                    3




                                            Curiosidade
              Movendo-se sobre um paralelepípedo:




             Qual será o menor percurso para ir de A até B, movendo-se sobre a
          superfície de um paralelepípedo?
              Para resolver esse problema, é preciso lembrar que a menor distância entre
          dois pontos de um plano deve ser calculada sobre a reta que liga esses pontos.
              De acordo com a figura acima, imaginamos três possíveis caminhos.
             Para facilitar o entendimento, vamos planificar suas faces. Se quiser
          acompanhar melhor o raciocínio, pode pegar uma caixa e desmontá-la, como
          mostra a figura:
Para calcular a distância de A até B, devemos aplicar o Teorema de        A U L A
Pitágoras:

                                                                              79
   Caminho 1:

   triângulo ABC:
        2   2   2
   (AB) = 8 + 10 = 64 + 100 = 164

   AB = 164 = 12,8 cm aproximadamente


   Caminho 2:

   triângulo ARP:
     2   2   2
   d = 6 + 8 = 36 + 64 = 100
   d = 100 ®        d = 10

   de A até B:   10 + 4 = 14 cm


   Caminho 3:

   triângulo ADB:
        2    2  2
   (AB) = 12 + 6 = 144 + 36 = 180

   AB = 180 = 13,4 cm aproximadamente


   Logo, o menor percurso será aquele traçado pelo caminho 1.


   Observação: A partir do exemplo acima, você poderá resolver o problema
proposto na introdução desta aula.



                                                                              Exercícios
Exercício 1
   Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles mede 50º. Quais são as
   medidas dos outros dois ângulos internos?

Exercício 2
   No triângulo retângulo ABC, o lado AC tem a mesma medida que a mediana
   OA. Calcule as medidas dos ângulos B e C.
A U L A
          Exercício 3

79           Em um semicírculo de centro 0 e diâmetro BC, escolhemos um ponto A
             qualquer e o ligamos aos pontos B e C, como mostra a figura.
             Qual o valor do ângulo A?




          Exercício 4
             Um reservatório, com a forma de um paralelepípedo mede 4m ´ 2m ´ 2,5m.
             Qual a capacidade desse reservatório?


          Exercício 5
             Qual a área total das paredes de uma sala que tem 3 m de pé direito e mede
             3,5 m ´ 4 m?

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  • 1. A UA U L A L A 79 79 Revisão II Geometria Introdução A gora vamos rever alguns conceitos bási- cos da Geometria, estudados ao longo do Telecurso 2000. Observe a figura abaixo e resolva a seguinte questão: Uma formiga sai do ponto A dirigindo-se ao ponto B. Sabendo que cada uma das faces do cubo mede 20 cm ´ 20 cm, responda: qual será o caminho traçado pela formiga, de modo que ela percorra a menor distância? Sugestão: como a formiga tanto pode começar a andar pela face superior do cubo quanto pela frontal - aquela que está de frente para você -, pense no cubo planificado e na menor distância entre esses pontos. Utilize o Teorema de Pitágoras. Nossa aula O triângulo retângulo seu João vai construir um quarto nos fundos de sua casa. O quarto deverá medir 3 m ´ 4 m e servirá para guardar material de construção. Depois de “levantar” a primeira parede, ele ficou pensando sobre como construir as outras, de modo que o quarto ficasse retangular, ou seja, com ângulos de 90º em cada canto.
  • 2. Para resolver esse problema, ele teve a seguinte idéia: uniu três cordas de A U L A mesmo comprimento (0A, 0B e 0C), por uma de suas extremidades: 79 Em seguida, com as cordas sobre o chão, fixou as extremidades A e B na parede construída e esticou as três cordas, de modo que OB e OC ficassem colineares, como mostra a figura abaixo: Construíndo a parede sobre a direção AC, seu João garantiu que ela ficaria perpendicular à parede construída. Por que ele está certo? Repare que os dois triângulos construídos (OAB) e (OAC) são isósceles, pois OA = OB e OA = OC. Logo, tais triângulos possuem dois ângulos internos de mesma medida, como indicado na figura pelas variáveis x e y . Observando o triângulo ABC, verificamos que seus ângulos internos são: A=x+y B=x C=y
  • 3. A U L A De acordo com a lei angular de Tales, sabemos que, em qualquer triângulo, a soma dos seus ângulos interno vale 180º. Logo: 79 A + B + C = 180º x + y + x + y = 180º 2x + 2y = 180º ® x + y = 90º Como x + y é a expressão que representa o ângulo A do triângulo ABC, podemos afirmar que o triângulo ABC é retângulo. Portanto, seu João conseguiu que o quarto ficasse retangular. Quantas lajotas comprar? Para revestir o chão de seu quarto com lajotas de 30 cm ´ 20 cm, quantas lajotas seu João precisará comprar? O quarto mede 3 m ´ 4 m, convertendo essa medida para centímetros, temos: 300 cm ´ 400 cm. Portanto, a área do quarto é de 300 cm ´ 400 cm = 2 120.000 cm Como a área da lajota é de 30 cm ´ 20 cm = 600 cm , o número de lajotas 2 necessário será de 120.000 : 600 = 200 lajotas. Portanto, seu João deverá comprar pelo menos 200 lajotas lajotas. Qual o comprimento do tubo? De que modo seu João conseguirá colocar um tubo de PVC, medindo 6 m de comprimento, no chão de seu quarto?
  • 4. Como a maior distância disponível no chão desse quarto fica na diagonal, A U L A resolvemos pelo Teorema de Pitágoras: 2 2 d =3 +4 2 d2 = 9 + 16 79 2 d = 25 d=5 Assim, temos que a maior distância disponível no chão do quarto é de 5 m. Portanto, seu João não poderá colocar em seu quarto um tubo de 6 m de comprimento. Quanto de tinta encomendar? seu João deseja pintar as paredes de seu quartinho. Para saber a quantidade de tinta necessária para a pintura, ele deverá calcular a área total das paredes. Sabendo que o quarto tem o formato de um paralelepípedo, devemos calcular as áreas de suas faces e, em seguida, somá-las: O pé direito (altura) do quarto é de 2,5 m e suas paredes são de 3 m ´ 4 m. Calculando a área do paralelepípedo (área de suas faces), temos: 2 faces de 4 m ´ 3 m = 2 . (4 . 3) = 24 m 2 2 faces de 3 m ´ 2,5 m = 2 . (3 . 2,5) = 15 m2 2 faces de 4 m ´ 2,5 m = 2 . (4 . 2,5) = 20 m 2 No caso do quartinho de seu João, em que serão pintadas as paredes laterais e o teto, a área total é de: 2 24 + 15 + 20 = 59 m Portanto, seu João deverá comprar uma quantidade de tinta suficiente para 2 pintar um total de 59 m . Agora, imagine que seu João queira encher seu quartinho de objetos. Como saber o volume que poderá ser ocupado por suas coisas?
  • 5. A U L A Neste caso, basta calcular o volume do paralelepípedo: 79 V = base ´ largura ´ altura V = 4 m ´ 3 m ´ 2,5 m = = 4 ´ 3 ´ 2,5 = 30 m (metros cúbicos). 3 Curiosidade Movendo-se sobre um paralelepípedo: Qual será o menor percurso para ir de A até B, movendo-se sobre a superfície de um paralelepípedo? Para resolver esse problema, é preciso lembrar que a menor distância entre dois pontos de um plano deve ser calculada sobre a reta que liga esses pontos. De acordo com a figura acima, imaginamos três possíveis caminhos. Para facilitar o entendimento, vamos planificar suas faces. Se quiser acompanhar melhor o raciocínio, pode pegar uma caixa e desmontá-la, como mostra a figura:
  • 6. Para calcular a distância de A até B, devemos aplicar o Teorema de A U L A Pitágoras: 79 Caminho 1: triângulo ABC: 2 2 2 (AB) = 8 + 10 = 64 + 100 = 164 AB = 164 = 12,8 cm aproximadamente Caminho 2: triângulo ARP: 2 2 2 d = 6 + 8 = 36 + 64 = 100 d = 100 ® d = 10 de A até B: 10 + 4 = 14 cm Caminho 3: triângulo ADB: 2 2 2 (AB) = 12 + 6 = 144 + 36 = 180 AB = 180 = 13,4 cm aproximadamente Logo, o menor percurso será aquele traçado pelo caminho 1. Observação: A partir do exemplo acima, você poderá resolver o problema proposto na introdução desta aula. Exercícios Exercício 1 Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles mede 50º. Quais são as medidas dos outros dois ângulos internos? Exercício 2 No triângulo retângulo ABC, o lado AC tem a mesma medida que a mediana OA. Calcule as medidas dos ângulos B e C.
  • 7. A U L A Exercício 3 79 Em um semicírculo de centro 0 e diâmetro BC, escolhemos um ponto A qualquer e o ligamos aos pontos B e C, como mostra a figura. Qual o valor do ângulo A? Exercício 4 Um reservatório, com a forma de um paralelepípedo mede 4m ´ 2m ´ 2,5m. Qual a capacidade desse reservatório? Exercício 5 Qual a área total das paredes de uma sala que tem 3 m de pé direito e mede 3,5 m ´ 4 m?