Calculo Integral. Solucion integrales definidas e indefinidas por distintos metodos de integracion

1. Departamento de Ciencias Básicas
Asignatura Calculo Integral
Segundo corte – Actividad 3 Sala de Cómputo
OBJETIVO: Utilizar una herramienta tecnológica (derive, geogebra) que facilite realizar
procesos algorítmicos, con el fin de solucionar integrales definidas e indefinidas que
requieran en su solución la aplicación de diferentes métodos de integración.
1. Resuelva las siguientes integrales por el método de partes:
a. ∫ 𝑥𝑠𝑒𝑛(4𝑥)𝑑𝑥
𝑢 = 𝑥; 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥; 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛(4𝑥)𝑑𝑥; 𝑣 = −
𝑥𝐶𝑜𝑠(4𝑥)
.∫ 𝑥𝑠𝑒𝑛(4𝑥)𝑑𝑥 = −
.∫ 𝑥𝑠𝑒𝑛(4𝑥)𝑑𝑥 =
4
𝑠𝑒𝑛(4𝑥)
16
𝑥𝑒 𝑥
𝑥𝑒 𝑥
𝑥𝑒 𝑥
+∫
𝑥𝑒 𝑥
𝑥+1
𝑥𝑒 𝑥
𝑥𝑒 𝑥
𝑥+1
𝑥𝑒 𝑥
. ∫ (𝑥+1)2 𝑑𝑥 = −
. ∫ (𝑥+1)2 𝑑𝑥 = −
.∫
.∫
.∫
.∫
√ 𝑥+1
log(𝑥+1)
√ 𝑥+1
log(𝑥+1)
√ 𝑥+1
log(𝑥+1)
√ 𝑥+1
log(𝑥+1)
√ 𝑥+1
𝑑𝑥
4
𝑥𝐶𝑜𝑠(4𝑥)
4
+ 𝑐
1
.∫ (𝑥+1)2 𝑑𝑥 = −
log(𝑥+1)
+∫
4
𝑢 = 𝑥𝑒 𝑥 ; 𝑑𝑣 = (𝑥+1)2 𝑑𝑥; 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑥 (𝑥 + 1)𝑑𝑥; 𝑣 = −
b. ∫ (𝑥+1)2 𝑑𝑥
c. . ∫
−
𝐶𝑜𝑠(4𝑥)
𝐶𝑜𝑠(4𝑥)
𝑥+1
𝑒 𝑥 (𝑥+1)
𝑑𝑥
𝑥+1
+ ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥
+ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥 ;
𝑢 = 1 + 𝑥,
𝑑𝑥 = ∫
1
𝑥+1
log(𝑢)
√𝑢
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
𝑑𝑢 ; 𝑢 = log(𝑢) ; 𝑑𝑢 =
𝑑𝑥 = 2√ 𝑢 log(𝑢) − 2 ∫
1
√𝑢
1
𝑢
𝑑𝑢; 𝑑𝑣 =
1
√𝑢
𝑑𝑢; 𝑣 = 2√ 𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥 = 2√ 𝑢 log(𝑢) − 4√ 𝑢 + 𝑐
𝑑𝑥 = 2√ 𝑥 + 1 log(𝑥 + 1) − 4√ 𝑥 + 1 + 𝑐
d. ∫ 𝑠𝑒𝑐 5 𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑐 3 𝑥 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥;
.𝑢 = 𝑠𝑒𝑐 3 𝑥; 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥𝑑𝑥; 𝑑𝑢 = 3𝑠𝑒𝑐 3 𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥𝑑𝑥; 𝑣 = 𝑡𝑎𝑛𝑥;
.∫ 𝑠𝑒𝑐 5 𝑥𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 3 𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 − 3 ∫ 𝑠𝑒𝑐 3 𝑥𝑡𝑎𝑛2 𝑥𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 3 𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 − 3 ∫(𝑠𝑒𝑐 5 𝑥−𝑠𝑒𝑐 3 )𝑥𝑑𝑥
.∫ 𝑠𝑒𝑐 5 𝑥𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 3 𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 − 3 ∫ 𝑠𝑒𝑐 5 𝑥𝑑𝑥 + 3 ∫ 𝑠𝑒𝑐 3 𝑥𝑑𝑥
. 4 ∫ 𝑠𝑒𝑐 5 𝑥𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 3 𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 + 3 ∫ 𝑠𝑒𝑐 3 𝑥𝑑𝑥
 ∫ 𝑠𝑒𝑐 3 𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑐𝑥𝑠𝑒𝑐 2 𝑥𝑑𝑥 ; 𝑢 = 𝑠𝑒𝑐𝑥; 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥𝑑𝑥; 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑐𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥𝑑𝑥; 𝑣 = 𝑡𝑎𝑛𝑥
 ∫ 𝑠𝑒𝑐 3 𝑥𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑐𝑥𝑡𝑎𝑛2 𝑥𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 − ∫(𝑠𝑒𝑐 3 𝑥 − 𝑠𝑒𝑐𝑥)𝑑𝑥
 2 ∫ 𝑠𝑒𝑐 3 𝑥𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 + ∫ 𝑠𝑒𝑐𝑥𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑥|
 ∫ 𝑠𝑒𝑐 3 𝑥𝑑𝑥 =
5
𝑠𝑒𝑐𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥
2
+
𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐𝑥+𝑡𝑎𝑛𝑥|
3
. 4 ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑥𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 + 3 (
. ∫ 𝑠𝑒𝑐 5 𝑥𝑑𝑥 =
1
4
𝑠𝑒𝑐 3 𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 +
3
8
2
𝑠𝑒𝑐𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥
2
+
𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐𝑥+𝑡𝑎𝑛𝑥|
2
)
3
𝑠𝑒𝑐𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑥| + 𝑐
8
Luz Angélica Sánchez Rodríguez

2. e. ∫
0
𝜋⁄
2
.∫
0
𝑥 2 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥;
𝜋⁄
2
𝑢 = 𝑥 2 ; 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥; 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥; 𝑣 = −
𝑥 2 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥 = −
1
.∫
0
.∫
0
𝜋⁄
2
𝑥 2 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥 = −
𝜋⁄
2
2
𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥 = [−
𝜋⁄
2
2
𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥 =
1
𝑥 2 𝐶𝑜𝑠2𝑥
𝑥𝑠𝑒𝑛2𝑥
+
2
𝑥 2 𝐶𝑜𝑠2𝑥
1
+
2
𝑥𝑠𝑒𝑛2𝑥
+
2
(𝜋 2
8
2
𝐶𝑜𝑠2𝑥
𝑥 2 𝐶𝑜𝑠2𝑥 − ∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥
2
𝑢 = 𝑥; 𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥; 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥; 𝑣 =
.∫
0
1
2
2
∫ 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥
−
1
𝑠𝑒𝑛2𝑥
2
2
]
𝜋⁄
2
0
− 4)
2. Resuelva las siguientes integrales por el método de fracciones parciales.
𝑑𝑥
a. ∫
.∫
b. ∫
𝑥 3 −𝑥 2 +𝑥−1
3𝑥 2 −4𝑥+5
1
2
𝑥+1
𝑙𝑛|𝑥+1|
−
𝑑𝑥 =
2
𝑥𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑥 2 +1
𝑥 3 −2𝑥 2 +12𝑥+9
𝑑𝑥 =
𝑑𝑥 = 22 ∫
𝑥 4 −6𝑥 3 +12𝑥 2 +6
𝑥 3 −6𝑥 2 +12𝑥−8
𝑑𝑥
+ 2∫
𝑥−1
− 3𝑙𝑛|𝑥 2 + 1| + 2𝑙𝑛|𝑥 − 1| + 𝑐
𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
𝑑𝑥 = ∫
+ ∫
2 (𝑥−3)2
2 (𝑥+1)2
𝑑𝑥 = −
𝑥 2 −8𝑥+7
𝑥 4 −6𝑥 3 −11𝑥 2 +60𝑥+100
.∫
+ + 𝑐
− 3∫
2
5𝑥 2 +6𝑥+9
𝑥 3 −6𝑥 2 +12𝑥−8
𝑥2
1
9
𝑥 3 −2𝑥 2 +12𝑥+9
𝑥 4 −6𝑥 3 +12𝑥 2 +6
𝑑𝑥
−∫
𝑥
𝑥 2 +1
𝑙𝑛|𝑥 2 +1|
5𝑥 2 +6𝑥+9
𝑥 4 −4
𝑑𝑥
− ∫
2
𝑑𝑥 = ∫
𝑥 3 −𝑥 2 +𝑥−1
𝑥 4 −4
.∫
e. ∫
𝑑𝑥
𝑥−1
𝑙𝑛|𝑥−1|
3𝑥 2 −4𝑥+5
.∫
d. ∫
=
𝑥 4 −𝑥 2
.∫
c. ∫
1
= ∫
2
𝑥 4 −𝑥 2
𝑑𝑥
9
6−2𝑥
𝑑𝑥
(𝑥−2)3
11
(𝑥−2)2
𝑑𝑥 = −
𝑥 2 −8𝑥+7
𝑥 4 −6𝑥 3 −11𝑥 2 +60𝑥+100
−
8
𝑑𝑥 = −
+ 𝑐
+ 8∫
+
49
1
2𝑥+2
8
2−𝑥
𝑑𝑥
(𝑥−2)2
+
𝑥2
2
𝑑𝑥
+ ∫ 𝑥 𝑑𝑥
+ 𝑐
30
∫ (𝑥−5)2 + 343 ∫
8
245−49𝑥
21
3. Encuentre una aproximación de ∫
1
𝑥
+
𝑑𝑥
𝑥−5
30 𝑙𝑛|𝑥−5|
343
+
−
27
49
𝑑𝑥
30
∫ (𝑥+2)2 − 343 ∫
27
49𝑥+98
−
30𝑙𝑛|𝑥+2|
343
𝑑𝑥
𝑥+2
+ 𝑐
𝑑𝑥 utilizando la Regla de Simpson con n=10.
Determine el error en que se incurre.
.∆𝑥 =
21
. ∫
1
𝑥
1
10
= 0.1;
𝑑𝑥 ≈
1
30
[𝑓(1) + 4𝑓(1.1) + 2𝑓(1.2) + 4𝑓(1.3) + 2𝑓(1.4) + 4𝑓(1.5) + 2𝑓(1.6) + 4𝑓(1.7) +
2𝑓(1.8) + 4𝑓(1.9) + 𝑓(2)]
Luz Angélica Sánchez Rodríguez

3. 21
∫
1
.
𝑥
𝑑𝑥 ≈
1
30
[1 + 6.636 + 1.666 + 3.077 + 1.429 + 2.666 + 1.25 + 2.353 + 1.111 + 2.105 +
0.5]
21
.∫
1
𝑥
𝑑𝑥 ≈ 0.7931
Estimación del error:
.𝑓 =
1
𝑥
; 𝑓 𝑖𝑣 =
24
𝑥5
; El valor máximo de𝑓 𝑖𝑣 ocurre cuando 𝑥 = 1.
. |𝑓 𝑖𝑣 | ≤ 24, 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑀 = 24.
.
𝑀(𝑏−𝑎)5
180𝑛4
= 0.001333
2
4. Encuentre una aproximación de ∫ √4 + 𝑥 2 𝑑𝑥 utilizando la Regla del Trapecio con n=4.
0
Determine el error en el que se incurre.
.∆𝑥 = 0.5
2
. ∫ √4 + 𝑥 2 𝑑𝑥 ≈ 0.25[𝑓(0) + 2𝑓(0.5) + 2𝑓(1) + 2𝑓(1.5) + 𝑓(2)]
0
2
. ∫ √4 + 𝑥 2 𝑑𝑥 ≈ 0.25[2 + 4.123 + 4.472 + 5 + 2.828]
0
2
. ∫ √4 + 𝑥 2 𝑑𝑥 ≈ 4.606
0
Estimación del error:
.𝑓 = √4 + 𝑥 2 ; 𝑓´´ =
𝑥
3 ;
(𝑥 2 +4) ⁄2
El valor máximo de 𝑓´´ ocurre cuando 𝑥 = 0
. |𝑓 ´´ | ≤ 8, 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑀 = 8.
.
𝑀(𝑏−𝑎)3
12𝑛2
=
64
192
= 0.333
5. Estime el error en el que se incurre utilizando al Regla del Trapecio y la Regla de
1
Simpson en el cálculo de la ∫
0
4
1+𝑥 2
𝑑𝑥.Tomando un n=4
Regla del Trapecio:
.∆𝑥 = 0.25
1
.∫
0
.
.
.
4
1+𝑥 2
1 4
∫ 1+𝑥 2
0
1 4
∫ 1+𝑥 2
0
1 4
∫ 1+𝑥 2
0
𝑑𝑥 ≈ 0.125[𝑓(0) + 2𝑓(0.25) + 2𝑓(0.5) + 2𝑓(0.75) + 𝑓(1)]
𝑑𝑥 ≈ 0.125[4 + 7.529 + 6.4 + 5.12 + 2]
𝑑𝑥 ≈ 0.125[25.049]
𝑑𝑥 ≈ 3.131
Luz Angélica Sánchez Rodríguez

4. Estimación del error:
.𝑓 =
4
1+𝑥 2
; 𝑓´´ =
24𝑥 2 −8
(𝑥 2 +1)3
; El valor máximo de 𝑓´´ ocurre cuando 𝑥 = 0
. |𝑓 ´´ | ≤ −8, 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑀 = −8.
.
𝑀(𝑏−𝑎)3
12𝑛2
=
−8
192
= −0.042
Regla de Simpson:
. ∆𝑥 = 0.25
1
.∫
0
.
.
.
4
1+𝑥 2
1 4
∫ 1+𝑥 2
0
1 4
∫ 1+𝑥 2
0
1 4
∫ 1+𝑥 2
0
𝑑𝑥 ≈ 0.0625[𝑓(0) + 4𝑓(0.25) + 2𝑓(0.5) + 4𝑓(0.75) + 𝑓(1)]
𝑑𝑥 ≈ 0.0625[4 + 15.059 + 6.4 + 10.24 + 2]
𝑑𝑥 ≈ 0.0625[37.699]
𝑑𝑥 ≈ 2.356
Estimación del error:
.𝑓 =
4
1+𝑥 2
; 𝑓 𝑖𝑣 =
24
𝑥5
; El valor máximo de𝑓 𝑖𝑣 ocurre cuando 𝑥 = 1.
. |𝑓 𝑖𝑣 | ≤ 24, 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑀 = 24.
.
𝑀(𝑏−𝑎)5
180𝑛4
= 0.001333
Luz Angélica Sánchez Rodríguez