1. Transformasi Geometri - IPA
Tahun 2005
π
1. Persamaan peta suatu kurva oleh rotasi pusat O bersudut , dilanjutkan dilatasi (0,
2
adalah x = 2 + y - y². Persamaan kurva semula adalah ........
A . y = - x² - x + 4 D. y = -2x² + x + 1
B . y = - x² - x – 4 E . y = 2x² - x - 1
C . y = - x² + x + 4
Jawab:
π  0 − 1
- rotasi pusat O bersudut = R(O, 90 0 ) = 
1 0  
2  
2 0
- dilatasi (0, 2) = 
 0 2

 
 x '   2 0   0 − 1  x 
 ' = 
 y   0 2 1 0   y 
   
      
 0 − 2  x 
=
2 0   y
 
  
Jika A.B = C maka
1. A = C . B −1
2. B = A −1 . C
−1
 x  0 − 2  x' 
 =
 y 2 0   y' 
   
     
1  0 2  x' 
=
0 − ( −4) − 2 0  y' 
  
  
 1
 0  '
= 2 x 
 '
− 1
 y 
0  
 2 
www.belajar-matematika.com 1

2. 1 '
x= y y ' = 2x
2
1
y = - x' x ' = -2y
2
misalkan hasil pemetaannya adalah x = 2 + y - y². x' = 2 + y' - y' 2
masukkan nilai y ' = 2x dan x ' = -2y :
-2y = 2 + 2x – (2x) 2
y = -1 – x + 2x 2 y = 2x 2 - x – 1
Jawabannya adalah E
Tahun 2006
2. Persamaan bayangan garis 4x – y + 5 = 0 oleh transformasi yang bersesuaian dengan
matriks
 2 0
 − 1 3  dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu Y adalah….
 
 
A. 3x + 2y – 30 = 0 C. 7x + 3y + 30 = 0 E. 11x - 2y + 30 = 0
B. 6x + 12y – 5 = 0 D. 11x + 2y – 30 = 0
Jawab:
 −1 0
pencerminan terhadap sumbu Y =   

 0 1
 2 0
transformasi dengan 
 − 1 3  dilanjutkan terhadap sumbu Y =

 
 x'   −1 0  2 0  x 
 ' =    
y   0 1  −1 3  y 
     
 x'   − 20  x 
 ' =   
 y   −1 3  y 
    
1
x' = - 2 x x = − x'
2
'
y = -x + 3y 3y = x + y '
1 1
y = x + y'
3 3
1 1 1 1
masukkan nilai x = − x ' menjadi y = ( − x ' )+ y '
2 3 2 3
1 ' 1 '
= y - x
3 6
www.belajar-matematika.com 2

3. Masukkan nilai-nilai tesebut ke dalam persamaan garis awal:
1 ' 1 1 '
4x – y + 5 = 0 4 . (−
x ) – { y' - x }+ 5 = 0
2 3 6
1 1 '
⇔ - 2 x' - y' + x +5=0
3 6
− 12 x ' + x ' 1
⇔ - y' + 5 = 0
6 3
11 ' 1 '
⇔ - x - y +5=0 dikalikan -6
6 3
⇔ 11 x ' + 2 y ' - 30 = 0
Jawabannya adalah D
Tahun 2007
3. Bayangan kurva y = x² – 3 jika dicerminkan terhadap sumbu x yang dilanjutkan dengan
dilatasi pusat O dan faktor skala 2 adalah ….
A. y = ½ x² + 6 C. y = ½ x² – 3 E. y = 3
– ½ x²
B. y = ½ x² – 6 D. y = 6 – ½ x²
jawab:
1 0 
Pencerminan terhadap sumbu x 
 0 −1

 
k 0 2 0
dilatasi pusat O dan faktor skala 2 
0 k 
 
 0 2

   
Pencerminan terhadap sumbu x yang dilanjutkan dengan dilatasi pusat O
dan faktor skala 2:
 x'  2 0 1 0   x
 ' = 
 0 2   0 −1
   
 y
y 
      
 2 .1 + 0 .0 2 .0 + 0 . − 1   x   2 0   x 
=
 0 .1 + 2 .0 0 .0 + 2 . − 1   y  =  0 . − 2   y 
    
     
1 '
x' = 2 x x= x ;
2
1 '
y ' = -2y y=- y
2
www.belajar-matematika.com 3

4. masukkan nilai x dan y ke dalam persamaan y = x² – 3
1 ' 1 ' 2
- y =( x ) -3
2 2
1 ' 1 ' 2
- y = x -3 dikalikan 2
2 4
1 ' 1 '
- y'= x 2
- 6 ⇒ y'= - x 2
+6
2 2
1 ' 2
=6- x
2
1 2
Sehingga bayangannya adalah y = 6 - x
2
Jawabannya adalah D
Tahun 2008
4. Persamaan bayangan parabola y = x ² + 4 karena rotasi dengan pusat O (0,0) sejauh
1800 adalah ….
A. . x = y ² + 4 C. x = –y² – 4 E. y = x ² + 4
B. x = –y² + 4 D. y = –x² – 4
Jawab:
Rotasi dengan pusat O (0,0) sejauh 1800
 x'   cos θ − sin θ   x  cos180 0 − sin 180 0   x
 ' = 
 sin θ    ⇒   
y 
   cos θ 
 y
 
 sin 180 0
 cos180 0  
 y
 
 x'   −1 0   x
⇒ ' = 
 y   0 − 1  
 y
     
x' = - x x = - x'
y' = - y y = - y'
masukkan ke dalam persamaan y = x ² + 4
- y ' = (-x ' ) 2 + 4
- y' = x' 2
+ 4
y' = - x' 2
- 4 ⇔ y = -x 2 - 4
Jawabannya adalah D
www.belajar-matematika.com 4

5. 5. Persamaan bayangan garis 4y + 3x – 2 = 0 oleh transformasi yang bersesuaian dengan
 0 − 1 1 1 
matriks 
 1 1  dilanjutkan matriks 1 −1 adalah ….
  
   
A. 8x + 7y – 4 = 0 C. x – 2y – 2 = 0 E. 5x + 2y – 2 = 0
B. x – 2y – 2 = 0 D. x + 2y – 2 = 0
Jawab:
 0 − 1 1 1 
Transformasi dengan matriks 
 1 1  dilanjutkan matriks
 
1 −1 adalah:

   
 x'  1 1   0 − 1  x 
 ' = 
1 −1
 
1 1   y
 
y 
      
1 0   x
=
 − 1 − 2   y  ⇒ C = A. B
  B = A −1 . C
  
Jika A.B = C
1. A = C . B −1
2. B = A −1 . C
−1
 x  1 0   x' 
  =
 y   −1 − 2
  '
y 
     
 x 1  − 2 0  x' 
  =
 y −2−0  1 1  y ' 
  
    
 − 2 0  x'   x 
'
1  
= -  1 1  y '  =  − 1 x'
    1 '
− y 
2     2 2 
1 ' 1 '
x = x' ; y = - x - y
2 2
masukkan ke dalam persamaan garis 4y + 3x – 2 = 0 :
1 ' 1 '
4 (- x - y ) + 3 . x'- 2 = 0
2 2
- 2x ' - 2 y ' + 3 . x ' - 2 = 0
x ' - 2y' - 2 = 0 ⇒ x – 2 y – 2 = 0
Jawabannya adalah C
www.belajar-matematika.com 5

6. Tahun 2009
6. Bayangan garis 2x – y – 6 = 0 jika dicerminkan terhadap sumbu x dilanjutkan rotasi
pusat O sejauh 900 adalah ….
A. 2x + y – 6 = 0 C. x – 2y – 6 = 0 E. x – 2y + 6 = 0
B. x + 2y – 6 = 0 D. x + 2y + 6 = 0
Jawab:
1 0 
Pencerminan terhadap sumbu x = 
 0 − 1

 
 cos θ − sin θ   0 − 1
Rotasi (0,90 0 ) = 
 sin θ  = 
 cos θ   1 0 
  
Pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan rotasi pusat O sejauh 90 0 :
 x'   0 − 1  1 0   x
 ' = 
 1 0   0 − 1
   
 y
y 
      
 0 1  x 
=
1 0  y 
 
  
x' = y y = x'
y' = x x = y'
substitusikan ke dalam persamaan garis 2x – y – 6 = 0 :
2 y' - x' - 6 = 0 x' - 2 y'+ 6 = 0 ⇒ x – 2 y + 6 = 0
Jawabannya adalah E
7. Titik A’(3,4) dan B’(1,6) merupakan bayangan titik A(2,3) dan B(–4,1) oleh transformasi
a b  0 1
T1 =   yang diteruskan T2 = 
 0 1  − 1 1 . Bila koordinat peta titik C oleh transformasi

   
T2oT1 adalah C’(–5,–6), maka koordinat titik C adalah ….
A. (4,5) C. (–4, –5) E. (5,4)
B. (4, –5) D. (–5,4)
www.belajar-matematika.com 6

7. Jawab:
 3   0 1  a b   2 
  =
 4   − 1 1  0 1   3 
  
     
 0 1   2
=
 − a − b + 1
  
 3
   
-2a+3(1-b) = 4
-2a + 3 – 3b = 4
-2a – 3b = 1 2a + 3 b = -1 …(1)
1  0 1   − 4
  =
 6   − a − b + 1
  
 1 
     
4a –b + 1 = 6
4a – b = 5 …(2)
Substitusi pers (1) dan (2) :
Eliminasi a
2a + 3 b = -1 x 4 ⇒ 8a + 12 b = - 4
4a – b = 5 x 2 ⇒ 8a - 2 b = 10 -
14b = - 14
b = -1
4a – b = 5 4a – (-1) = 5
4a + 1 = 5
4a = 4
a=1
Maka:
 − 5  0 1   x  − 5  0 1  x 
  =
 − 6   − a − b + 1
  
 y   =
 − 6  −1 2  y 
 
          
-5 = y
-6 = -x + 2y x = 2y + 6 x = 2 . -5 + 6 =-10+ 6 = -4
Maka titik C adalah (-4,-5)
Jawabannya adalah C
www.belajar-matematika.com 7

8. Tahun 2010
8. Diketahui koordinat A(0,0,0), B(–1,1,0), C(1, –2,2). Jika sudut antara AB dan AC
adalah α maka cos α = ….
1 1
A. 2 C. 0 E. - 2
2 2
1 1
B. D. -
2 2
Jawab:
AB. AC
cos α =
| AB | . | AC |
AB = B – A = (–1,1,0)
AC = C – A = (1, –2,2)
(−1.1) + (1. − 2) + 0 −3 1 1 2 1
cos α = = =- =- =- 2
(−1) 2 + (1) + 0 . 12 + (−2) 2 + 2 2 2 .3 2 2 2 2
Jawabannya adalah E
9. Diketahui titik A(3,2, –1), B(2,1,0), dan C(–1,2,3). Jika AB wakil vektor u dan AC wakil
v maka proyeksi vector u pada v adalah ….
1
A. (i + j +k ) C. 4( j + k ) E. 8( i + j + k )
4
B. - i + k D. 4( i + j + k )
Jawab:
Proyeksi vektor ortogonal u pada v adalah :
 u.v 
|c| =   . v
 | v |2 
 
AB = u = B – A = (2-3, 1-2 ,0 – (-1)) = (-1, -1, 1)
AC = v = C – A = (-1-3, 2-2 , 3 – (-1)) = ( - 4, 0, 4)
 u.v 
|c| =  
 2 .v
| v | 
www.belajar-matematika.com 8

9.  (−1. − 4) + 0 + (1.4) 
=

 ( - 4 i +4 k )

 ( 16 + 16 ) 2 
4+4 1
=  ( - 4 i -2 k ) = ( - 4 i +4 k )
 32  4
1
= .4 (- i + k ) = - i + k
4
Jawabannya adalah B
www.belajar-matematika.com 9