Vigas

PREDIMENSIONADO DE VIGAS

Introducción
La viga es el elemento estructural utilizado para cubrir espacios, soportando el peso colocado encima del
elemento mediante la resistencia a las fuerzas internas de flexión y corte.
En tal sentido el predimensionado de las vigas consiste en determinar las dimensiones necesarias para que
el elemento sea capaz de resistir la flexión y el corte, así como también debe tener dimensiones tales que la flecha
no sea excesiva. Así, el esquema para cumplir con los requisitos de una viga consiste en:

Determinar las Cuantificar las Predimensionar mediante Comprobar las
cargas fuerzas de diseño criterio de resistencia dimensiones por rigidez

Fuerzas de diseño
Los efectos que producen las cargas sobre una viga son de dos tipos: Fuerza Cortante (V) y Momento
Flector (M). La magnitud de estas fuerzas son variables a lo largo de la longitud de la viga, siendo así el objetivo
principal de determinar la magnitud de la fuerza cortante y el momento flector máximo aplicado en la viga (Vmax ;
Mmax). El procedimiento básico para cuantificar las fuerzas de diseño consiste en:
1. Asilar el elemento del sistema estructural,
2. determinar las reacciones por las ecuaciones estáticas o de las condiciones de apoyos,
3. realizar un corte en la sección donde se desea conocer la magnitud de las fuerzas internas con un
plano perpendicular al eje del elemento,
4. las fuerzas internas se obtienen de aplicar el equilibrio sobre una de las dos porciones obtenidas por el
corte.

V M

M V

Figura 1. Fuerza cortante y momento flector.

Facultad de Arquitectura y Diseño Sistemas Estructurales 20
Universidad de Los Andes, Venezuela Prof. Jorge O. Medina

Fuerza cortante
Definición
Para mantener el equilibrio sobre el segmento de la viga en la Figura 1, se debe incluir la fuerza V, que
actúa perpendicular al eje y se denomina fuerza cortante. La fuerza cortante es igual a la suma de todas las
fuerzas verticales que actúan en la porción aislada ubicada en el lado izquierdo .
Por otra parte, se observa que la magnitud de V es variable, ya que, la magnitud depende del punto donde
se realice el corte imaginario. Por lo tanto esta variabilidad es conveniente representarla gráficamente por
diagramas. En el caso de la fuerza cortante, el diagrama se denomina Diagrama de Fuerza Cortante (DFC) el
cual se indica en la Figura 4.

V = ∑ Fvert izq (Ec. 1)

Convenio de signos
Dado que el valor de V obtenido por la suma de la porción de la izquierda es igual pero de sentido
contrario a la suma de las fuerzas de la porción de la derecha, para indicar cuando el valor de V es positivo o
negativo, en la figura 2 se señala el convenio empleado según la tendencia que tiene la fuerza sobre el elemento.

(+) (-)
Figura 2. Convenio de signos de V.

Momento flector
Definición
Así como la fuerza cortante equilibra las fuerzas verticales, también se debe establecer un equilibrio en los
momentos hasta la sección evaluada de las fuerzas aplicadas sobre la viga en el segmento analizado. Este
momento interno se denomina momento flector y la magnitud es igual a la suma de los momentos sobre la
sección de corte, producidos por las fuerzas aplicadas en la porción de la izquierda.
Así como la fuerza cortante, el momento flector es variable y se representa por el Diagrama de Momento
Flector (DMF).

M = ∑ M izq = ∑ Fizq d F sec (Ec. 2)

Convenio de signos
El convenio más extendido de momento flector positivo es cuando produce concavidad hacia arriba, tal
como lo indica la figura 3.

(+) (-)
Figura 3. Convenio de signos de M.


w

DFC

DMF

Figura 4. Diagrama de fuerza cortante y momento flector de vigas.

Relación de carga fuerza cortante y momento flector
La carga se relaciona con la fuerza cortante y el momento flector, las cuales permiten un método
alternativo para dibujar los diagramas. Las relaciones están indicadas en la Ecuación 3 (Popov, 1996; Singer y
Pytel, 1982).

V2 − V1 = ΔV = areac arg as
M 2 − M 1 = ΔM = areaDFC
dV
w= (Ec. 3)
dx
dM
V=
dx

Vigas hiperestáticas
Las vigas que poseen reacciones redundantes o un exceso de restricciones, aumentan el número de
incógnitas sin el consecuente aumento de ecuaciones disponibles de la estática, por ello se denominan vigas
hiperestaticas o vigas estáticamente indeterminadas (véase figura 5). En todos estos problemas son válidas las
ecuaciones de equilibrio estático, ecuaciones necesarias pero no suficientes para resolver los problemas
hiperestáticos. Las ecuaciones complementarias se establecen partiendo de consideraciones de la geometría de la
deformación. En sistemas estructurales, por necesidad física, ciertos elementos o partes deben flexionarse
conjuntamente, torcerse juntos al mismo tiempo, alargarse juntos, etc., o bien, permanecer fijos. Formulando tales
observaciones cuantitativamente se obtienen las ecuaciones adicionales requeridas (Popov, 1996).

Métodos
Los mismos métodos para determinar la deformación de las vigas son válidos para la resolución de vigas
hiperestáticas, ya que las ecuaciones adicionales para hacer un sistema matemáticamente determinado son
tomadas de la elástica de la viga.
Una forma alternativa de añadir ecuaciones, es considerar como desconocido o hiperestático los momentos
de los apoyos. Una vez determinados estos momentos también llamados momentos de continuidad, el cálculo de
reacciones se hace sencillo. Uno de estos métodos se denomina tres momentos y la otra distribución de momentos
o rigidez (Singer y Pytel, 1982).


Tres Momentos
Para un número cualquiera de tramos, n, es posible escribir n—1 ecuaciones de tal clase. Esto da
suficientes ecuaciones simultáneas para la determinación de momentos redundantes sobre los apoyos. Tal
fórmula de recurrencia se llama ecuación de los tres momentos, debido a los tres momentos desconocidos que
aparecen en ella y se escribe de la siguiente forma:

Número de
reacciones = 4

Número de
reacciones = 5

Número de
reacciones = 6

Número de reacciones =
2 * número de apoyos
Figura 5. Tipos de vigas hiperestáticas

6 A1a1 6 A2 b2 ⎛h h ⎞
M 1 L1 + 2 M 2 (L1 + L2 ) + M 3 L2 + + = 6 EI ⎜ 1 + 3 ⎟
⎜L ⎟
L1 L2 ⎝ 1 L2 ⎠ (Ec. 4)

Donde: M1≡ Momento primer apoyo;
M2≡ Momento segundo apoyo;
M3≡Momento tercer apoyo;
6 A1a1
L1 ≡ Término de cargas primer tramo;
6 A2b2
L2 ≡ Término de cargas segundo tramo;
h1≡ Diferencia de altura entre el primer y segundo apoyo;
h2≡ Diferencia de altura entre el segundo y tercer apoyo.

L1 L2

Figura 6. Esquema de viga de tres momentos

La ecuación de tres momentos fue determinada en la suposición de momentos flectores positivos, según lo
indicado en la Figura 7.
En un problema particular, donde se tienen más de dos tramos. Un número suficiente de ecuaciones
simultáneas para determinar los momentos desconocidos se obtiene imaginando sucesivamente los apoyos de
tramos contiguos (véase Figura 8). De manera similar ocurre cuando se tiene un solo tramo, donde se agregan
tramos con condiciones cero, para adaptarse a la ecuación de tres momentos.


Figura 7. Convenio de signos (Singer y Pytel, 1982, p. 251).

Caso 1

L1 L2 L3

=
L1 L2

+

L2 L3

Caso 2
=

L

L=0 L
Figura 8. Aplicaciones del método de Tres Momentos en otro tipo de vigas

Predimensionado de vigas por resistencia
El criterio de resistencia se basa en el empleo del concepto de esfuerzo, para el caso de la fuerza cortante
se produce el esfuerzo cortante y el momento flector produce el esfuerzo de flexión.

Esfuerzo de flexión
La relación entre el momento flector y el esfuerzo de flexión se hace mediante la fórmula de la flexión,
señalada en la Ecuación 5.
Esta ecuación indica que el esfuerzo de flexión es proporcional a la distancia al eje neutro, esta relación se
puede observar en la Figura 9. Asimismo, se observa que el esfuerzo es máximo en los bordes superiores e
inferiores de la viga, el valor de y para los bordes coincide con el valor del centroide de la sección por lo que el
esfuerzo es máximo para y=c. De esta manera el esfuerzo máximo se expresa según la Ecuación 6 (Singer y
Pytel, 1982).


My
σ= (Ec. 5)
I
Donde: σ ≡ Esfuerzo normal de flexión;
M ≡ Momento flector aplicado en la sección;
y ≡ distancia desde el eje neutro;
I ≡ Momento de inercia centroidal.

c

Eje neutro y
CG
M

Figura 9. Distribución del esfuerzo de flexión.

Mc I M
σ max = ; si S = tenemos σ max = (Ec. 6)
I c S
Donde: S ≡ Módulo de sección.

El módulo de sección es la propiedad geométrica que establece las dimensiones de la viga. Es por ello, que
se determina el módulo de sección necesario para resistir la carga aplicada sobre la viga según la Ecuación 7, esta
indica la sección mínima que debe ser empleada para un esfuerzo admisible establecido según el tipo de material
a utilizar.

M
S req ≥ (Ec. 7)
σ adm
Donde: Sreq ≡ Módulo de sección requerido;
σadm ≡ Esfuerzo de flexión admisible del material.

Predimensionado por flexión para viga de Acero
Para el predimensionado de vigas de acero se emplea un diseño plástico que examina el comportamiento
en todo el intervalo de carga, desde una carga pequeña hasta una carga que origina el colapso de la viga1.
En la Figura 10 se indica una viga donde se incrementa la carga, se observa en la Figura 10.a, la viga sigue
un esfuerzo lineal según lo señalado anteriormente, en la Figura 10.b, el esfuerzo máximo es igual al de cedencia.
A partir de este momento el diagrama deja de ser lineal2 y la cedencia avanza hasta el eje neutro. El colapso es
cuando toda la sección tiene un esfuerzo de cedencia (véase Figura 10.d).
El diseño de una viga de acero se realiza para el punto de colapso y aplicado el criterio de estados límites,
el momento de colapso o momento plástico Mp o Mn será el momento máximo resistente a flexión que debe ser
mayor o igual al momento producido por la carga Mu. Así, la Ecuación 7 para el caso de acero, bajo la condición
de colapso sería como la señala la Ecuación 8 y por lo tanto el tipo de sección a emplear en acero debe tener un
módulo plástico mayor al determinado por la ecuación (Segui, 2000).

1
Se entiende por colapso de una viga de acero, el punto en el cual toda la sección alcanza el esfuerzo de
cedencia.
2
Por no poder obtener un esfuerzo mayor al de cedencia según el diagrama elastoplastico perfecto.


Figura 10. Esquema de falla para una viga de acero (Segui, 2000, p. 147).

Mu
Z req ≥
φb Fy
(Ec. 8)

Donde Zreq≡ Módulo de sección plástico requerido;
Mu ≡ Momento mayorado;
øb ≡ Factor de resistencia de viga; øb= 0,9;
Fy ≡ Esfuerzo de cedencia del acero del perfil.

Predimensionado por flexión para viga de concreto armado
Las vigas solo de concreto no son eficientes para resistir la flexión, ya que el concreto no soporta la
tracción generada por el momento flector, fallando antes de alcanzar la capacidad que tiene en compresión, por lo
tanto se colocan barras de acero en el extremo sometido a tracción con una capa de concreto que protege el acero
del fuego y la corrosión. Para garantizar el comportamiento de la viga hecha de dos materiales (concreto y acero)
se debe impedir el desplazamiento relativo de las barras de acero respecto al concreto.
En la Figura 11 se indica una viga donde se incrementa la carga hasta la falla, en la Figura 11.c la viga
sigue un esfuerzo lineal según lo señalado anteriormente para esfuerzos menores al de rotura del concreto a
tracción, en 11.b. Cuando la carga aumenta, se sobrepasa la resistencia a tracción del concreto y se agrieta, por lo
tanto el esfuerzo de tracción solo es soportado por las barras de acero al desaparecer la contribución de la
resistencia del concreto por debajo de la línea neutra (véase Figura 11.e). Al seguir aumentando la carga
desaparece la relación lineal del esfuerzo y la deformación por lo que se produce la falla (véase Figura 11.f).
El punto de colapso de una viga puede ser de dos formas, según la cantidad de acero a colocar. Si el acero
es limitado, el acero cede antes del concreto alcanzar la falla por lo que la deformación es alta así como el tamaño
de las grietas siendo visibles; el concreto por lo tanto falla por aplastamiento. Este tipo de falla es gradual y esta
precedido por grietas visibles así como una flecha evidente.


Figura 11. Comportamiento de una viga de concreto armado (Nilson, 1999, p.65).

Por otra parte, cuando el acero es empleado en grandes cantidades, no se llega al punto de cedencia del
acero cuando el concreto falla, en consecuencia no se observan grandes grietas ni deflexiones importantes. El
concreto falla por aplastamiento repentino sin ningún tipo de aviso. Debido a la naturaleza súbita de este tipo de
falla, es aconsejable colocar una cantidad de acero limitada para así tener una colapso que pueda ser anticipado y
tomar medidas antes que esto ocurra.

M u ≤ φM n
⎛ ρf y ⎞ 2 (Ec. 9)
M n = ρf y ⎜1 − 0,59
⎜ ⎟bd ⇒ M n = Ru bd 2
⎟
⎝ f c′ ⎠
Donde: fy≡ Esfuerzo de cedencia del acero de refuerzo;
fc´≡ Resistencia del concreto de compresión a los 28 días;
ø≡ Factor de minoración de resistencia a flexión, ø=0,9;
b≡ Ancho de la sección transversal de la viga (véase Figura 11.b);
d≡ Altura útil de la viga de concreto armado (véase Figura 11.b);
R≡ Resistencia nominal a la flexión de la viga de concreto armado.

Debido a las particularidades3 del comportamiento en los elementos de concreto armado, el
predimensionado es distinto al indicado en la Ecuación 7, principalmente debido a que las dimensiones de una
viga de concreto armado son función de la cuantía de acero (ρ4). El predimensionado se basa en la ecuación
fundamental de los estados límites5, donde los efectos de la carga (Mu) deben ser menores a la capacidad
disminuida de la viga a flexión (øMn).

3
Elementos constituidos por dos materiales y las vigas deben fallar para deformaciones mayores a las de
la cedencia del acero.
4
La cuantía de acero es la relación del área de acero de la sección (As) con respecto al área neta de la

sección (Ag), ρ = As A .
g

5 ∑ γ Q ≤ φR
i i n
.


Al igualar los efectos de la carga con la capacidad a flexión, obtenemos la Ecuación 10 que proporciona
las mínimas dimensiones de una viga de concreto armado capaz de resistir las cargas aplicadas (Nilson, 1999).

M u = φRu bd 2
(Ec. 10)
Mu
d=
φRu b
El propósito del predimensionado es obtener las dimensiones de la viga para una cuantía de acero (ρ6)
predeterminada. A continuación se indican dos metodologías que ambas conducen al mismo resultado.

Método 1
Se selecciona una ρ7 apropiada que este entre ρmax y ρmin,
ε cu f c′
ρb = 0,85β
ε cu + ε y fy
;

f c′ ≤ 280
si kgf/cm2
β = 0,85
ε cu = 0,003
Multiplicando el numerador y denominador por Es, tenemos
6300 f c′
ρb = 0,852
6300 + f y f y
,

ρ max = γρb γ=0,5 zona sísmica,
γ=0,75 zona no sísmica,

ρ min = 14 f
y
,

⎛ ρf ⎞
Ru = ρf y ⎜1 − 0,59 y ⎟
⎜
⎝ f c′ ⎟
⎠,
Calcular el factor de resistencia a la flexión Ru,

Determinar la altura útil d, según:
M u = φRu bd 2 ,

Recordar que h = d + 5 ; h = 2;4 b , [ ]
h≥L
Verificar α (Nilson y Winter, 1994).

6
La cuantía de acero es la relación del área de acero de la sección (As) con respecto al área neta de la
As
sección (Ag), ρ .
Ag
7
Esta cuantía debe estar cercana al valor máximo.


Método 2

q = ρ f y f c′
Seleccionar q=0,20 o q=0,18 ( ),

qmin ≤ q ≤ qmax
Comprobar que el valor seleccionado de q se encuentre dentro del intervalo, ,
6300
qb = 0,85β
6300 + f y
si
f c′ ≤ 280 kgf/cm2,

qmax = γqb γ=0,5 zona sísmica,

γ=0,75 zona no sísmica,

qmin = 14 ′
fc ,

Calcular Ju
J u = 1− 0,59q ,

Calcular el factor de resistencia a la flexión Ru,
Ru = f c′qJ u ,

Determinar la altura útil d, según:
M u = φRu bd 2 ,

Recordar que h = d + 5 ; h = 2;4 b , [ ]
h≥L
Verificar α (Arnal y Epelboim, 1985).
El método 2 es más práctico por la introducción de dos variables q y Ju, aunque estas carecen de sentido
físico son herramientas para facilitar el cálculo, y q tiene la ventaja de ser invariable con respecto a la resistencia
del concreto (f´c) tal como se observa en las tablas a continuación.

Tabla 1 Valores de φRu

f´c (kgf/cm2) φRu (kgf/cm2)
150 23,81
200 31,75
210 33,34
250 39,69
280 44,45

Esfuerzo cortante
Al hacer una viga formada por varias capas, se observa que cada capa se desliza con respecto a las
contiguas, siendo la viga menos resistente que el caso de una viga maciza, porque la viga de la derecha posee
mayor deflexión ante la misma carga que la viga de la izquierda (véase Figura 12). Esto se debe a que para
compensar la resultante del esfuerzo de flexión se genera un esfuerzo cortante, solo es posible que se genere en
las vigas macizas, por lo que en las vigas de capas, al no poder formarse el esfuerzo de corte se deslizan las
capas.


P

Figura 12. Comparación entre viga formada por capas y viga maciza.

Para determinar el esfuerzo cortante se observa que es función de la fuerza cortante vertical, la razón de
ello es que para conservar el equilibrio y la sección no tener una distorsión angular, se debe acompañar a un par
de fuerzas horizontales un par de fuerzas verticales, esto se nota al realizar el equilibrio sobre un elemento
diferencial de la viga. El esfuerzo cortante es máximo por lo general en el eje neutro, contrario a lo ocurrido por
flexión (véase Figura 13).

Ay
CG
c
d
V y b
Eje neutro
CG

Figura 13. Distribución del esfuerzo cortante.

VQ
τ= (Ec. 11)
bI
Donde: τ ≡ Esfuerzo cortante;
V ≡ Fuerza cortante;
Q ≡ momento de primer orden; Q=Ay d;
b ≡ ancho de la sección a una altura y;
I ≡ Momento de inercia;

Corte en vigas de acero
Los perfiles de acero poseen gran resistencia al corte, por lo que el corte en los perfiles consiste solo en
comprobar que le perfil calculado sea capaz de resistir el corte.

Vu ≤ φVn ; Vn = 0,6 Fy Cv Aw (Ec. 12)

Donde: Vu≡ Corte aplicado sobre el perfil;
Vn≡ Corte resistente del perfil;
Aw≡ Area del alma del perfil, Aw=htw;
ø ≡ Factor de minoración de resistencia para vigas, ø=0,9;
Cv≡ coeficiente de corte según la proporción del alma.


h
≤ 69,6 ⇒ Cv = 1
tw
h 69,6
69,6 < ≤ 86,9 ⇒ Cv = (Ec. 13)8
tw h
tw
h 6199
86,9 < ⇒ Cv = 2
tw ⎛h ⎞
⎜ t ⎟
⎝ w⎠
Donde: h≡ Altura del perfil;
tw≡ espesor del alma del perfil.

Corte en viga de concreto armado
La resistencia de las vigas de concreto armado es producida por la suma de la resistencia al corte del
concreto más la resistencia al corte del acero, el acero resistente al corte se proporciona mediante estribos que
amarran las barras longitudinales y cubre el perímetro del núcleo de la sección9, de manera que el concreto en la
parte exterior del estribo es solo de recubrimiento, además las especificaciones establecen la separación
longitudinal de los estribos (s).

s
Figura 14. Esquema de un estribo en la sección transversal y sección longitudinal.

Partiendo de la filosofía de diseño de la norma, se establece la separación de los estribos según la fuerza
cortante aplicada y el corte resistente del concreto.

Av f y d
Vu ≤ φVn ; Vn = vc + vs ; vc = 0,53 f c′bd ; vs = (Ec. 14)
s
Donde: Vu≡ Corte aplicado en la sección;
Vn≡ Corte resistente de la viga;
ø ≡ Factor de minoración de resistencia al corte, ø= 0,75;
vc≡ Corte resistente del concreto;
vs≡ Corte resistente del acero;
Av≡ Area de acero de los estribos;
s≡ Separación de los estribos.

8
Ecuación válida para acero tipo PS-25.
9
Se denomian “núcleo de sección” a la porción de concreto encerrada por el estribo.


Pred
dimensio
onado de vigas por rigidez
z
Adicionalmeente al diseño de vigas por resistencia, se debe deter
o rminar la defl
lexión máxim de una viga
ma a
bajo u carga dada, ya que las e
una especificacion de diseño incluyen un v
nes valor máximo admisible par la deflexión
ra n
y en a
algunos casos el diseño de l viga queda d
la determinado m por rigide que por resistencia.
más ez
Por otra par el estudio de rigidez de viga es imp
rte, o e portante porqu los pisos e un edificio no se pueden
ue en n
flexio
onar excesivammente, ya qu tiene un efecto psicológ
ue gico en los o
ocupantes ade emás se debe minimizar o
e
imped el deterioro de los mater
dir o riales frágiles del acabado. A
Asimismo el e
estudio de las deformaciones en las vigas
prove ecuaciones adicionales estas con las de equ
ee s s, uilibrio perm
miten resolver las vigas estáticamente
r e
indete
erminadas o hiperestáticas.
En la figura 15 se indica la deflexión o flecha por la variable y
a a n r y(x); esta constituye la dist
tancia entre la
a
posici original d la viga y la posición que adquiere des
ión de a e spués de aplic las cargas. La pendiente de una recta
car a
tangen a la posici deformada o elástica de la viga, esta definida por e valor de θ(x y represent el ángulo de
nte ión a e el x) ta e
la recta tangente co respecto a la posición or
on riginal. Es im
mportante seña que las de
alar eflexiones determinadas por
estas s
suposiciones s limitan a de
se eflexiones que son pequeña en relación con la longitu del claro, por ello se dice
e as ud p e
que ta θ ≈ θ(x) en radianes.
an

Figu 15. Variables q intervienen en la deformació de una viga (B
ura que e ón Beer y Johnston, 1993, p. 480).

Métodos pa determ
M ara minar la de
eformació en vigas
ón
Se utilizan v
varios método para determ
os minar la deform
mación en viga (doble integ
as gración, super
rposición, área
a
de moomentos, viga conjugada, rigidez direc elementos finitos etc… todos está basados e los mismos
a cta, s …), án en
princi
ipios pero difi
ieren en su téc
cnica y objetiv
vos.

Superposici
ión
Como métod alternativo para la evalu
do o uación de pend lástica se pued utilizar los
dientes y ordenadas de la el den
resultados de algun tipos senci
nos illos de cargas para obtene por suma de efectos, las s
s, er e soluciones corrrespondientes
a carg más comp
gas plicadas. Este procedimient llamado sup
to perposición, d
determina la p
pendiente y deeflexión en un
n
punto mediante la suma de las pendientes o deflexiones p producidas en ese mismo p
n punto, por ca una de las
ada
cargas cuando actúan por separad (Singer y P
s do Pytel, 1982).

Diseño por rigidez en vigas de acero
r n e
Para las estr cero, la deflexión es un esta límite de servicio, no d resistencia, por lo que las
ructuras de ac ado de
deflexxiones deben ssiempre calcuularse con carg de servicio10. Para el cál
gas o lculo de la flecha se emplea el módulo de
a e
cidad del acer y el momen de inercia del perfil, la flecha máxim se compara con los valores admisibles
elastic ro nto ma a
para eestructuras de acero (Segui, 2000)

10
Cargas sin ser mayorad
n das.

Faculta de Arquitectura y Diseño
ad a Sistemas Estructurales 20
s 0
Universidad de Los And Venezuela
des, Prof Jorge O. Medin
f. na

Diseño por rigidez en vigas de concreto armado
Para las vigas de concreto armado no es necesario determinar la flecha si se trata de elementos cuya
deformación no perjudique a elementos no estructurales, siempre y cuando se halla chequeado que h ≥ L α ;
donde los valores de α se indican en la Tabla 1. En caso de emplear valores de h menores a lo indicado en la
fórmula, se debe calcular la flecha para carga variable y comparar con la flecha admisible, el valor de I a emplear
en el cálculo de flecha se obtiene al aplicar la Ecuación 15 ya que el momento de inercia es un valor que oscila
entre el correspondiente a la sección completa y el de la sección completamente agrietada (González y Robles,
1997).

Tabla 1. Valores de α

Tipo de apoyo α
Simplemente apoyada 16
1 extremo continuo 18,5
2 extremos continuos 21
Volado 8

⎛ M ag ⎞
3
⎡ ⎛ M ag ⎞3 ⎤
Ie = ⎜
⎜ M ⎟ I g + ⎢1 − ⎜ M ⎟ ⎥ I ag ≤ I g
⎟ ⎜ ⎟
⎝ max ⎠ ⎢ ⎝ max ⎠ ⎥
⎣ ⎦

2 f c′I g
M ag = (Ec. 15)
yt

Donde: Mag≡ Momento de agrietamiento;
Mmax ≡ Momento máximo bajo cargas variable;
Ie ≡ Momento de inercia efectivo ;
Ig ≡ Momento de inercia de la sección completa;
Iag ≡ Momento de inercia de la sección agrietada transformada.

Para vigas con ambos extremos continuos I e = 0,7 I c + 0,15(I e1 + I e 2 )

I
Para vigas con un extremo continuo e
= 0,85I c + 0,15I ex (Ec. 16)

Donde: Ic ≡ Momento de inercia efectivo de la parte central;
Ie1 , Ie2 , Iex ≡ Momento de inercia efectivo en los extremos.

Referencias
− Beer, F. y Johnston, E. (1993). Mecánica de Materiales. Santafé de Bogota, Colombia: McGraw-Hill
Interamericanam S.A.
− González, O. y Robles, F. (1997). Aspectos Fundamentales del Concreto Reforzado. México D.F., México:
Editorial LIMUSA, S.A. de C.V.
− Nilson, A. (1999). Diseño de estructuras de concreto. Santafé de Bogotá, Colombia: McGraw-Hill
Interamericana, S.A.
− Popov, E. (1996). Introducción a la mecánica de sólidos. México D.F., México: Editorial LIMUSA, S.A. de
C.V.


− Segui, W. (2000). Diseño de estructuras de acero con LRFD. México D.F., México: Internacional Thomson
Editores, S.A. de C.V.
− Singer, F. y Pytel, A. (1982). Resistencia de materiales. México D.F., México: Editorial Harla, S.A. de C.V.


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