Modelos de risco individual e coletivo em seguros

Introdu¸cão.
Distribui¸cões usuais para a severidade
Aproxima¸cões do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
Tratado de Resseguro Stop-Loss
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
5. aplica¸cão da teoria do risco a seguros
1 / 107

Introdu¸cão.
1 Introdu¸cão.
2 Distribui¸cões usuais para a severidade
3 Aproxima¸cões do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.
4 Tratado de Resseguro Stop-Loss
5 Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
2 / 107

Introdu¸cão.
Introdu¸cão.
O objectivo deste cap´ıtulo é o de indicar vários modos de aplica¸cão de Teoria do Risco
a Problemas de Seguros. São assim aflorados os tipos usuais de distribui¸cões para
diferentes ramos de seguros; seguidamente, são referidos 2 métodos de aproxima¸cão
dos modelos de risco individual para uma carteira de apólices por modelos de risco
colectivo; é estudado o efeito do resseguro (Stop-loss e proporcional) na probabilidade
de ru´ına; e, por fim, faz-se referência a outros princ´ıpios de cálculo de prémio,
real¸cando que os tópicos abordados ao longo do curso podem ser reformulados à luz
desses princ´ıpios.
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Introdu¸cão.
Introdu¸cão.
O objectivo principal deste cap´ıtulo é o de indicar vários modos de
aplica¸cão da Teoria do Risco a Problemas de Seguros.
Nos dois cap´ıtulos anteriores foi desenvolvido o modelo de Risco
Colectivo. Este modelo foi constru´ıdo sob a suposi¸cão de que
uma coleçcão de apólices
↓ gera
um número aleatório de indemniza¸cões (sinistros) em cada per´ıodo
e
cada indemniza¸cão (sinistro) é de montante aleatório
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Introdu¸cão.
Introdu¸cão.
A aplica¸cão de semelhante modelo exige informa¸cão acerca de :
distribui¸cão do número de indemniza¸cões
distribui¸cão do montante de indemniza¸cão individual
Como foi salientado, não é tarefa espec´ıfica nesta abordagem levar
a cabo toda uma metodologia de modela¸cão face a dados reais.
Ao longo da exposi¸cão temos suposto que ambos os modelos são
conhecidos à partida, fruto eventualmente de todo um trabalho de
modela¸cão prévio.
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Introdu¸cão.
Introdu¸cão.
No entanto, será seguidamente dada uma breve ilustra¸cão do tipo
de distribui¸cões que usualmente se têm revelado mais frequentes
na modela¸cão de dados reais, para diferentes ramos de seguros:
Incêndio
Automóvel
Incapacidade Temporária
Hospitalar
Seguidamente, serão referidos dois métodos de aproxima¸cão dos
modelos de risco individual para uma carteira de apólices por
modelos de risco colectivo, através de distribui¸cões de Poisson
Composta convenientes.
Finalmente, falaremos de Resseguro Stop-Loss e o efeito do
resseguro na Probabilidade de Ru´ına.
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Introdu¸cão.
distribui¸cões usuais para a severidade
Será feita uma breve apresenta¸cão de algumas distribui¸cões associadas aos
montantes de indemniza¸cão, em Seguros de Incêndio, Acidentes Pessoais no Ramo
Automóvel, Incapacidade Temporária, Internamento Hospitalar. Nos ramos
mencionados são referidos os modelos lognormal, Pareto, mistura de exponenciais,
Gama, associados a problemas actuarias correntes.
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Introdu¸cão.
Referiremos 4 aplica¸cões espec´ıficas, de modo a dar uma visão do
leque de aplica¸cões associadas a modelos em Teoria do Risco.
SEGURO DE INCÊNDIO
SINISTRO −→ incêndio numa estrutura segura que origina dano
de perdas.
Na literatura ligada a problemas actuariais têm sido sugeridas
algumas distribui¸cões standard, com parâmetros a estimar a partir
da amostra dos montantes de sinistro no per´ıodo de estudo. Cabe
aqui referir o carácter altamente assimétrico das distribui¸cões, com
de caudas pesadas.
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Introdu¸c˜ao.
Lognormal:
fX (x; m, σ) =
1
xσ
√
2π
exp −
(log x − m)2
2σ2
, m ∈ , x > 0, σ > 0
Se Y N(m, σ) ent˜ao X = eY LN(m, σ).
µX = exp m +
σ2
2
σ2
X = (eσ2
− 1) exp 2m + σ2
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Introdu¸c˜ao.
Pareto:
fX (x; x0, α) =
αxα
0
xα+1 , x > x0 > 0, α > 0
µX =
αx0
α − 1
(existe para α > 1)
σ2
X =
αx2
0
(α − 2)(α − 1)2
(existe para α > 2)
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Introdu¸c˜ao.
Mistura de Exponenciais:
fX (x; p, q, α, β) = pαe−αx + qβe−βx ,
para x > 0, α, β > 0, 0 < p < 1, p + q = 1.
µX =
p
α
+
q
β
σ2
X =
p(1 + q)
α2
+
q(1 + p)
β2
−
2pq
αβ
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Introdu¸cão.
ACIDENTE DE AUTOM ÓVEL
SINISTRO −→ dano num automóvel originado por um acidente.
A distribui¸cão Gama(α, β) com localiza¸cão tem sido sugerida para
estes casos.
Os parâmetros envolvidos devem ser estimados a partir da amostra
dos montantes de indemniza¸cão.
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Introdu¸cão.
INCAPACIDADE TEMPORÁRIA
Este seguro é caracterizado por estabelecer benef´ıcios para pessoas
incapacitadas temporariamente.
Existe um per´ıodo de espera (7 dias, por exemplo) desde o dia da
ocorrência da causa da incapacidade e o come¸co do pagamento
dos benef´ıcios por parte da Seguradora.
Existe igualmente um limite superior para o per´ıodo de pagamento
(13 semanas, por exemplo).
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Introdu¸cão.
O benef´ıcio c é um montante diário fixo; assim, o montante de
indemniza¸cão é directamente proporcional ao per´ıodo de tempo em
que se verifica a incapacidade, a partir do per´ıodo de espera.
Seja Y a v.a. do ”tempo (em dias) a que se refere o benef´ıcio”.
A distribui¸cão do montante de indemniza¸cão, X = cY , é então:
P[X = x] = P[cY = x] = P[Y =
x
c
], x = c, 2c, 3c, · · · , 91c
no caso de 13 semanas como limite superior do suporte de Y .
Quer dizer, tudo se resume à modela¸cão da v.a. Y que está na
base de X.
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Introdu¸cão.
INTERNAMENTO HOSPITALAR
Supondo também um benef´ıcio diário constante c em caso de
internamento hospitalar , este exemplo é semelhante ao anterior,
excluindo o per´ıodo de espera.
Assim, sendo Y a v.a. do ”número de dias de internamento
hospitalar”, e considerando m o número máximo de dias para os
quais são pagos os benef´ıcios por parte da Seguradora,
P[X = x] = P[Y =
x
c
], x = c, 2c, 3c, · · · , mc
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Introdu¸cão.
Aproxima¸cões do Modelo Individual ao Modelo Colectivo
Nos 2 métodos apresentados, pretende-se dar uma visão comparativa de como
aproximar os modelos individual e colectivo, este último com uma distribui¸cão Poisson
Composta conveniente, sendo feito um estudo comparativo entre os referidos modelos
e o modelo de risco individual original.
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Introdu¸cão.
Os modelos de risco individual e de risco colectivo são estruturas
alternativas constru´ıdas de modo a captar os aspectos
fundamentais dos sistemas de seguros. O objectivo comum para
cada um dos modelos é o desenvolvimento da distribui¸cão do total
das indemniza¸cões, S.
Devido à complexidade computacional de calcular a distribui¸cão do
total das indemniza¸cões para uma carteira com n apólices usando o
modelo de risco individual, tem sido usual tentar aproximar a
distribui¸cão usando a distribui¸cão de Poisson Composta,
normalmente associada aos modelos de risco colectivo.
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Introdu¸cão.
Relembremos que o modelo de risco individual para n apólices
modela o total de indemniza¸cões do seguinte modo:
S =
n
j=1
Xj ,
onde Xj representa a indemniza¸cão relativa à apólice j,
j = 1, . . . , n.
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Introdu¸cão.
Considera-se que os montantes individuais de indemniza¸cão,
Xj = Ij Bj ,
com Ij a v.a. indicadora de ocorrência de indemniza¸cão para a
apólice j,
Ij :
1 0
qj 1 − qj
e Bj a v.a. do montante de indemniza¸cão, caso ocorra, com f.d. Fj ,
µj = E[Bj ] e σ2
j = Var[Bj ].
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Introdu¸cão.
Considera-se que Ij e Bj , j = 1, · · · , n, são mutuamente
independentes.
Assim, para a carteira das n apólices
E[S] =
n
j=1
qj µj (1)
Var[S] =
n
j=1
qj (1 − qj )µ2
j +
n
j=1
qj σ2
j (2)
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Introdu¸cão.
Iremos apresentar 2 métodos de aproxima¸cão ao modelo Poisson
Composto.
MÉTODO 1:
Aproximar a distribui¸cão de S através de S∗ PC(λ∗, FX∗ ), com:
λ∗ =
n
j=1
λ∗
j , λ∗
j = qj
FX∗ (x) =
n
j=1
λ∗
j
λ∗
Fj (x)
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Introdu¸cão.
Justifica¸cão:
A f.g.m. para a indemniza¸cão referente à apólice j, para
j = 1, · · · , n,
MXj
(r) = E[eXj r ]
= E[eXj r |Ij = 0]P[Ij = 0] + E[eXj r |Ij = 1]P[Ij = 1]
= 1 · (1 − qj ) + E[eBj r ]qj
= (1 − qj ) + MBj
(r) · qj
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Introdu¸cão.
pelo que a f.g.m. do total de indemniza¸cões no modelo de risco
individual é
MS (r) =
n
j=1
MXj
(r)
=
n
j=1
(1 − qj ) + MBj
(r) · qj
=
n
j=1
1 + qj MBj
(r) − 1
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Introdu¸cão.
Consequentemente, logaritmizando ambos os membros, obtem-se
log MS (r) =
n
j=1
log 1 + qj MBj
(r) − 1
=
n
j=1
∞
k=1
(−1)k+1
k
qj MBj
(r) − 1
k
O método baseia-se na aproxima¸cão que utiliza apenas o 1o termo
no desenvolvimento em série na expressão anterior, vindo então
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Introdu¸c˜ao.
log MS (r) ∼=
n
j=1
qj MBj
(r) − 1
= λ∗
n
j=1
λ∗
j
λ∗
MBj
(r) − 1
= λ∗


n
j=1
λ∗
j
λ∗
MBj
(r) −
n
j=1
λ∗
j
λ∗


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Introdu¸cão.
= λ∗


n
j=1
λ∗
j
λ∗
MBj
(r) − 1

 , com λ∗
=
n
j=1
λ∗
j , λ∗
j = qj
= λ∗ (MX∗ (r) − 1) , com MX∗ (r) =
n
j=1
λ∗
j
λ∗
MBj
(r),
sendo MX∗ (r) a f.g.m. associado à f.d. FX∗ (x); de imediato é
identificado o modelo Poisson Composto, com
MS∗ (r) = exp {λ∗
(MX∗ (r) − 1)} .
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Introdu¸cão.
Consequências da aproxima¸cão S∗:
1) Coincidência do valor médio das indemniza¸cões agregadas do
modelo individual com o da aproxima¸cão, já que
E[S∗
] = λ∗
p∗
1 = λ∗
E[X∗
] = λ∗
n
j=1
λ∗
j
λ∗
µj =
n
j=1
qj µj = E[S],
como se constata por (1).
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Introdu¸cão.
2) Variância das indemniza¸cões agregadas no modelo aproximado
superior à variância no modelo individual, em (2), já que
Var[S∗
] = λ∗
p∗
2
= λ∗
E[(X∗
)2
]
= λ∗
n
j=1
λ∗
j
λ∗
(σ2
+ µ2
j )
=
n
j=1
qj (σ2
+ µ2
j )
> Var[S]
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Introdu¸cão.
3) Coincidência do número esperado de sinistros do modelo
aproximado com o do modelo individual, já que
E[
n
j=1
Ij ] =
n
j=1
E[Ij ] =
n
j=1
qj =
n
j=1
λ∗
j = λ∗
.
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Introdu¸cão.
Observa¸cão:
No caso de montante de indemniza¸cão degenerado numa
constante, Bj = bj , as conclusões da aproxima¸cão pelo Método 1
têm por base a seguinte particulariza¸cão :
µj = bj σ2
j = 0 fX∗ (x) = P[X∗
= x] =
{j:bj =x}
qj
λ∗
.
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Introdu¸cão.
MÉTODO 2:
Aproximar a distribui¸cão de S através de ˜S PC(˜λ, F˜X ), com:
˜λ =
n
j=1
˜λj , ˜λj = − log(1 − qj )
F˜X (x) =
n
j=1
˜λj
˜λ
Fj (x)
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Introdu¸cão.
Justifica¸cão:
Semelhante à do Método 1, se considerarmos que ˜λj
∼= λ∗
j , i.e.,
− log(1 − qj ) ∼= qj , para valores de qj próximos de 0,
j = 1, 2, · · · , n, o que é razoável em muitas situa¸cões em que a
probabilidade de ocorrência de indemniza¸cão é pequena.
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Introdu¸cão.
Consequências da aproxima¸cão ˜S:
1) Coincidência da probabilidade de não ocorrência de sinistros no
modelo individual e no da aproxima¸cão, já que
P[0 sinistros na carteira no modelo S] =
n
j=1
P[Ij = 0] =
n
j=1
(1−qj )
= exp

log
n
j=1
(1 − qj )

 = exp


n
j=1
log(1 − qj )

 = e−˜λ
Ora, tem-se que
e−˜λ
= P[0 sinistros na carteira no modelo ˜S].
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Introdu¸cão.
2) Valor médio das indemniza¸cões agregadas no modelo
aproximado superior ao do modelo individual, já que tendo em
aten¸cão que
− log(1 − qj ) =
∞
k=1
qk
j
k
> qj , j = 1, 2, · · · , n,
tem-se que
E[˜S] = ˜λ ˜p1 = ˜λE[ ˜X] = ˜λ


n
j=1
˜λj
˜λ
µj

 = −
n
j=1
log(1 − qj )µj >
n
j=1
qj µj ,
como se constata por (1).
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Introdu¸cão.
Observa¸cão:
Retomemos o exemplo referente a uma Companhia Seguradora
efectua contratos de seguro de Vida (apólices anuais) para duas
unidades de benef´ıcio de montantes 1 e 2, respectivamente, e para
indiv´ıduos com probabilidade de morte 0.02 e0.10.
A Tabela seguinte sistematiza os 4 grupos de risco homogéneos, de
acordo com o ”no de indiv´ıduos segurados”, nk, em cada uma das
classes assim criadas (de acordo com o montante de benef´ıcio bk e
a probabilidade de indemniza¸cão qk, k = 1, 2, 3, 4):
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Introdu¸cão.
k qk bk nk
1 0.02 1 500
2 0.02 2 500
3 0.10 1 300
4 0.10 2 500
n = 1800
Aproximar a distribui¸cão de S através de uma distribui¸cão de
Poisson Composta, utilizando os dois métodos referidos,
comparando as variâncias obtidas com a variância do modelo de
risco individual original.
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Introdu¸cão.
Resolu¸cão: Pelo Método 1,
λ∗
=
1800
j=1
qj =
4
k=1
nk qk = 500(0.02)+500(0.02)+300(0.10)+500(0.10) = 100,
A f.m.p. para X∗ é fX∗ (x) = P[X∗ = x] =
{j:bj =x}
qj
λ∗
, pelo que
P[X∗
= 1] =
500(0.02) + 300(0.10)
100
= 0.4
P[X∗
= 2] =
500(0.02) + 500(0.10)
100
= 0.6
p∗
2 = E[(X∗
)2
] = 12
(0.4) + 22
(0.6) = 2.8
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Introdu¸c˜ao.
pelo que
Var[S∗
] = λ∗
p∗
2 = 100 × 2.8 = 280 > 256
Pelo M´etodo 2,
˜λ = −
1800
j=1
log(1 − qj ) = −
4
k=1
nk log(1 − qk)
= −500 log(0.98) − 500 log(0.98) − 300 log(0.90) − 500 log(0.90)
= 104.5,
38 / 107

Introdu¸c˜ao.
A f.m.p. para ˜X ´e f˜X (x) = P[ ˜X = x] =
{j:bj =x}
− log(1 − qj )
˜λ
, pelo
que
P[ ˜X = 1] =
−500 log(0.98) − 300 log(0.90)
104.5
= 0.399
P[ ˜X = 2] =
−500 log(0.98) − 500 log(0.90)
104.5
= 0.601
˜p2 = E[ ˜X2
] = 12
(0.399) + 22
(0.601) = 2.803
pelo que
Var[˜S] = ˜λ˜p2 = 104.5 × 2.803 ∼= 292.914 > 280 > 256.
39 / 107

Introdu¸cão.
Será aqui retomado o conceito de resseguro Stop-Loss, desenvolvendo o cálculo do
prémio de resseguro. Neste parágrafo entra em jogo a rela¸cão entre as três entidades:
Seguradora (ou Companhia Cedente), o Segurado, e a Resseguradora. No cálculo de
resseguro Stop-Loss são obtidas as fórmulas recursivas de acordo com dedut´ıveis
estipulados, sendo dado ênfase ao caso em que as indemniza¸cões individuais assumem
valores nos inteiros positivos. Por outro lado é uma constante desta seçcão evidenciar
ao aluno que os conceitos anteriormente apresentados são agora adaptados para esta
rela¸cão entre as 3 entidades em questão.
40 / 107

Introdu¸cão.
O conceito de seguro com um dedut´ıvel (ou reten¸cão) já foi
apresentado anteriormente, como um tipo de tratado óptimo que
maximiza a utilidade esperada, supondo fixado o prémio à partida.
Consideremos agora este conceito aplicado a um grupo de riscos
para a seguradora.
Seja S o total de indemniza¸cões num dado per´ıodo, para uma
Companhia Seguradora.
Para um Tratado de Resseguro Stop-Loss com Dedut´ıvel d, o
montante pago pela Resseguradora à Seguradora Cedente é o
excesso positivo sobre um limite fixado d:
Id := (
N
i=1
Xi −d)+
= (S−d)+
= max(S−d, 0) =
0, S < d
S − d, S ≥ d
,
41 / 107

Introdu¸cão.
e, consequentemente, o montante de indemniza¸cões retidas pela
Seguradora cedente é
S − Id := min(S, d) =
S, S < d
d, S ≥ d
.
Quer dizer, com este tipo de tratado a Seguradora vê assim
limitado superiormente por d o montante das indemniza¸cões
retidas na Companhia.
42 / 107

Introdu¸cão.
Neste parágrafo entra em jogo a rela¸cão entre as três entidades:
Seguradora (ou Companhia Cedente), o Segurado, e a
Resseguradora. Por outro lado, real¸camos o facto de que os
conceitos anteriormente apresentados são agora adaptados para
esta rela¸cão entre as 3 entidades em questão, sempre sob o ponto
de vista da entidade seguradora cedente que ocupa o papel central.
Com a figura seguinte pretende-se evidenciar o facto de que o
estudo é desenvolvido sob o ponto de vista da ”Seguradora
Cedente”.
43 / 107

Introdu¸c˜ao.
44 / 107

Introdu¸cão.
Debrucemo-nos, em seguida, sobre
Métodos de Cálculo do Prémio de Resseguro Stop-Loss com
dedut´ıvel d
Comecemos pelo prémio puro respectivo, E[Id ], o que corresponde
a um limite inferior para o prémio Stop-Loss real.
Denotemos por FS e fS respectivamente a f.d. de S e a f.d.p. de S.
Então:
E[Id ] =
∞
d
(x − d)fS (x)dx (3)
45 / 107

Introdu¸c˜ao.
Por outro lado,
E[Id ] =
∞
0
(x − d)fS (x)dx −
d
0
(x − d)fS (x)dx
=
∞
0
xfS (x)dx − d
∞
0
fS (x)dx +
d
0
(d − x)fS (x)dx,
pelo que (3) ´e equivalente a
E[Id ] = E[S] − d +
d
0
(d − x)fS (x)dx (4)
46 / 107

Introdu¸cão.
Notando que fS (x) = − d
dx [1 − FS (x)], podemos exprimir o prémio
puro do resseguro em termos da f.d. de S, já que
E[Id ] =
∞
d
(x − d)fS (x)dx =
∞
d
(d − x)
d
dx
[1 − FS (x)]dx
= (d − x)[1 − FS (x)]|∞
d +
∞
d
[1 − FS (x)]dx,
integrando por partes
47 / 107

Introdu¸c˜ao.
pelo que, notando que limx→∞ x[1 − FS (x)] = 0, se obtem
E[Id ] =
∞
d
[1 − FS (x)]dx (5)
e tamb´em
E[Id ] = E[S] −
d
0
[1 − FS (x)]dx (6)
48 / 107

Introdu¸cão.
Observa¸cão:
Se d = 0, então E[Id ] = E[I0] = E[S], o que de certo modo
equivale a dizer que se a seguradora estabelece um limite de
reten¸cão nulo então terá de pagar por prémio de resseguro o
prémio puro referente a todas as indemniza¸cões agregadas do risco
associado.
Observa¸cão:
As expressões (5) e (6) são válidas para distribui¸cões mais
genéricas, incluindo discretas ou mistas.
A utiliza¸cão mais conveniente de uma das expressões (3), (4), (5)
ou (6) depende do problema particular em questão.
49 / 107

Introdu¸cão.
Exemplo:
Considere que é sensato modelar através de uma distribui¸cão
Gama(α, β) as indemniza¸cões agregadas associadas a determinado
tipo de risco dentro de uma seguradora, S. Denotando por
FS (x; α, β) =
x
0 βα xα−1
Γ(α) e−βx dx a f.d. associada a S, mostrar que
E[Id ] =
α
β
[1 − FS (d; α + 1, β)] − d[1 − FS (d; α, β)].
50 / 107

Introdu¸c˜ao.
Resolu¸c˜ao:
E[Id ] =
∞
d
(x − d)fS (x; α, β)dx
=
∞
d
(x − d)βα xα−1
Γ(α)
e−βx
dx
=
∞
d
βα xα
Γ(α)
e−βx
dx − d
∞
d
fS (x; α, β)dx
= α
β
∞
d
βα+1 xα
Γ(α + 1)
e−βx
dx − d[1 − FS (d; α, β)]
= α
β [1 − FS (d; α + 1, β)] − d[1 − FS (d; α, β)].
51 / 107

Introdu¸cão.
Fórmulas Recursivas para E[Id ] com indemniza¸cões inteiras
Consideremos agora o caso particular de S com valores no suporte
dos inteiros
x = 0, 1, 2, · · ·
fS (x) = P[S = x]
d ∈ N
52 / 107

Introdu¸cão.
Observa¸cão:
O Prémio Puro de Resseguro Stop-Loss no caso do dedut´ıvel d /∈ ℵ
para o caso de indemniza¸cões inteiras obtem-se por interpola¸cão
linear nos inteiros que contêm d (Exerc´ıcio 8.9(∗)).
53 / 107

Introdu¸cão.
Para o caso discreto as expressões (3)e (4) têm a sua contrapartida
E[Id ] =
∞
x=d+1
(x − d)fS (x) = E[S] − d +
d−1
x=0
(d − x)fS (x) (7)
enquanto que para as expressões (5)e (6) se obtem
E[Id ] =
∞
d
[1 − FS (x)]dx
=
d+1
d
[1 − FS (x)]dx +
d+2
d+1
[1 − FS (x)]dx + · · · ,
= [1 − FS (d)] + [1 − FS (d + 1)] + · · · ,
E[Id ] =
∞
x=d
[1 − FS (x)] (8)
54 / 107

Introdu¸c˜ao.
e tamb´em
E[Id ] =
∞
x=0
[1 − FS (x)] −
d−1
x=0
[1 − FS (x)]
E[Id ] = E[S] −
d−1
x=0
[1 − FS (x)] (9)
55 / 107

Introdu¸cão.
Em geral, obtem-se assim uma fórmula recursiva:
E[Id+1] = E[Id ] − [1 − FS (d)], d = 0, 1, 2, · · ·
E[I0] = E[S]
(10)
Este método é muito útil para o caso de as indemniza¸cões
agregadas serem modeladas por uma Poisson Composta, com
severidade nos valores inteiros positivos, já que também para esse
caso a f.m.p. de S pode ser calculada recursivamente.
56 / 107

Introdu¸c˜ao.
F´ormulas Recursivas para S PC(λ, FX ) com fX (x) = P[X = x],
x = 1, 2, · · ·
A partir dos Valores Iniciais
fS (0) = P[S = 0] = e−λ
E[I0] = E[S] = λp1 = λE[X]
(11)
57 / 107

Introdu¸cão.
são usadas as Fórmulas Recursivas
fS (x) = P[S = x] =
λ
x
∞
j=1
jfX (j)fS (x − j)
FS (x) = FS (x − 1) + fS (x)
E[Ix ] = E[Ix−1] − {1 − FS (x − 1)}, x = 1, 2, 3, · · ·
(12)
58 / 107

Introdu¸cão.
Exemplo:
Uma carteira de apólices produz um no de sinistros, N, num
per´ıodo fixo, de acordo com
n 0 1 2 3
P[N = n] 0.1 0.3 0.4 0.2
e indemniza¸cões individuais X com
x 1 2 3
P[X = x] 0.5 0.4 0.1
59 / 107

Introdu¸c˜ao.
Este exemplo foi tratado anteriormente, tendo sido calculadas as
f.d. e f.m.p. de S, obtendo-se
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
fS (x) 0.1000 0.1500 0.2200 0.2150 0.1640 0.0950 0.0408 0.0126 0.0024 0.0002
FS (x) 0.1000 0.2500 0.4700 0.6850 0.8490 0.9440 0.9848 0.9974 0.9998 1.0000
Calcular o Pr´emio de Resseguro Stop-Loss, face a um dedut´ıvel de
d = 7.
60 / 107

Introdu¸c˜ao.
Resolu¸c˜ao:
E[I7] =
∞
x=8
(x − 7)fS (x) =
9
x=8
(x − 7)fS (x)
= 1 · fS (8) + 2 · fS (9) = 0.0024 + 2(0.0002) = 0.0028,
ou, alternativamente,
E[I7] =
∞
x=7
[1 − FS (x)] =
8
x=7
[1 − FS (x)] = 0.0028
61 / 107

Introdu¸cão.
Observa¸cão:
Para o caso de S ter suporte não limitado superiormente é mais
conveniente utilizar as expressões alternativas equivalentes para
somatórios finitos (ou integrais num intervalo limitado).
62 / 107

Introdu¸cão.
Exemplo:
Supondo que S tem distribui¸cão Poisson Composta com λ = 1.5 e
P[X = 1] = 2
3 e P[X = 2] = 1
3, calcular fS (x), FS (x) e E[Ix ] para
x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,.
Resolu¸cão:
Recorrendo às expressões (11) e (12), obtêm-se os valores iniciais
fS (0) = FS (0) = e−λ
= e−1.5
= 0.223
E[I0] = E[S] = λp1 = 1.5 × E[X] = 1.5 ×
4
3
= 2
e em seguida as expressões recursivas
63 / 107

Introdu¸c˜ao.
fS (x) =
λ
x
2
j=1
jfX (j)fS (x − j)
=
1.5
x
[fX (1)fS (x − 1) + 2fX (2)fS (x − 2)]
=
1
x
[fS (x − 1) + fS (x − 2)], x = 1, 2, · · · , 6
Por exemplo, fS (1) = fS (0) = 0.223 e assim sucessivamente,
obtendo-se no ﬁnal
64 / 107

Introdu¸c˜ao.
x fS (x) FS (x) E[Ix ]
0 0.223 0.223 2.000
1 0.223 0.446 1.223
2 0.223 0.669 0.669
3 0.149 0.818 0.338
4 0.093 0.911 0.156
5 0.048 0.959 0.067
6 0.024 0.983 0.026
65 / 107

Introdu¸cão.
Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına
Este parágrafo aborda o tema proposto de uma forma introdutória, visando um
compromisso entre o ganho esperado pelo segurador, por um lado, e a seguran¸ca
esperada por outro. Estabelecendo como medida de seguran¸ca exactamente um limite
superior para a probabilidade de ru´ına, pretende-se que a seleçcão do contrato entre os
resseguros admiss´ıveis aquele que produza um ganho esperado mais elevado. É
exactamente neste parágrafo que o significado da designa¸cão dada anteriormente de
coeficiente de ajustamento se torna mais evidente para o aluno: se para determinado
tratado de resseguro o valor daquele coeficiente não é suficientemente elevado (ao
qual corresponde um valor de probabilidade de ru´ına mais baixo), deverá ser tomado
em considera¸cão um ajustamento do contrato de resseguro com vista a aumentar o
referido parâmetro ( e a baixar a probabilidade de ru´ına, consequentemente).
Essencialmente, à custa de exemplos ilustrativos é feita uma compara¸cão do
desempenho entre os tratados proporcionais e de stop-loss.
66 / 107

Introdu¸cão.
Questões acerca do tipo de Resseguro a adquirir podem ser
respondidas de diferentes maneiras.
Uma da abordagens foi considerada à luz da teoria da utilidade.
Assim, face à adop¸cão de uma fun¸cão utilidade por parte da
Seguradora e tendo à sua disposi¸cão diversos tipos de contrato de
Resseguro, a seguradora opta por aquele a que corresponde a
maior utilidade esperada. Trata-se de uma abordagem muito
simples conceptualmente, mas que na prática não é muito
explorada, fundamentalmente devido à escolha da fun¸cão utilidade
mais apropriada.
67 / 107

Introdu¸cão.
Posteriormente, foi considerada uma taxa de prémio que
contemplava alguma carga de seguran¸ca relativamente ao processo
de risco associado, nomeadamente,
c = (1 + θ)λp1 (13)
supondo p1 = E[X] a indemniza¸cão individual esperada num
per´ıodo de tempo unitário.
Em termos de Resseguro Stop-Loss, debru¸cámo-nos anteriormente
sobre o cálculo do prémio puro associado ao resseguro com
dedut´ıvel d, E[Id ], que não é mais do que um limite inferior do
valor real do prémio a pagar pela transferência de parte das
indemniza¸cões acima de certo montante de reten¸cão.
68 / 107

Introdu¸cão.
Tal como no caso geral, a real taxa de prémio a pagar no caso de
utiliza¸cão do princ´ıpio do valor médio obedece ao enquadramento
geral do tipo
Taxa do Prémio
de Resseguro
=
(1+Coeficiente de Segu-
ran¸ca para Resseguro )
×
Taxa Esperada das
Indemniza¸cões para
Resseguro
Isto é, no caso de um Tratado de Resseguro para o colectivo S,
h(S) ≤ S, a taxa de prémio para o colectivo será
ch = (1 + ξh)E[h(S)] (14)
sendo a taxa no colectivo afectada de uma carga de seguran¸ca
ξhE[h(S)] .
69 / 107

Introdu¸cão.
Observa¸cão:
Note-se que sendo o taxa de prémio de Resseguro determinada
pela Resseguradora, o coeficiente de seguran¸ca ξh é obtido à custa
de (14). Em particular, o estudo efectuado na seçcão anterior com
resultados para a taxa de prémio puro E[Id ] equivale a considerar
ξh = 0.
Alternativamente à abordagem seguida anteriormente,
consideraremos uma nova perspectiva de Resseguro, de certa
forma contemplando um compromisso entre o ganho esperado, por
um lado, e a seguran¸ca esperada, por outro.
Devido à carga contida no prémio de Resseguro, a aquisi¸cão de
Resseguro reduz o ganho esperado do segurador cedente. Contudo,
um contrato de resseguro conveniente implica um acréscimo de
seguran¸ca para a Companhia Cedente.
70 / 107

Introdu¸cão.
Face a determinada condi¸cão de seguran¸ca pré-estabelecida, o
segurador selecciona de entre os contratos de resseguro admiss´ıveis
aquele que produz um ganho esperado mais elevado.
Que medida de seguran¸ca escolher?
Iremos considerar a probabilidade de ru´ına.
Um requisito poss´ıvel poderá ser uma condi¸cão limitativa para a
Probabilidade de Ru´ına, do tipo
PROBABILIDADE DE RUÍNA ≤ 1%
71 / 107

Introdu¸cão.
Iremos desenvolver este estudo para determinados tratados de
resseguro, para os quais seja poss´ıvel determinar o respectivo
Coeficiente de Ajustamento, R, (ou ˜R).
Tornar-se-á agora mais clara a designa¸cão de R: se para
determinado tratado de resseguro o valor de R não é
suficientemente elevado (e ao qual corresponde um valor de
Probabilidade de Ru´ına não suficientemente baixo) deverá ser
tomado em considera¸cão um reajustamento do contrato de forma
a aumentar o R associado (e a baixar a probabilidade de ru´ına,
consequentemente).
Iremos com o exemplo seguinte abordar a questão, para o caso de
um Tratado Stop-Loss, em que a seguradora tem à sua escolha um
de três dedut´ıveis a estabelecer.
72 / 107

Introdu¸cão.
Exemplo:
Uma Seguradora possui uma carteira de apólices que produz
indemniza¸cões agregadas anuais que são independentes e
identicamente distribu´ıdas como uma Poisson Composta com
λ = 1.5, com fX (1) = 2
3 e fX (2) = 1
3. Os prémios anuais são de
montante c = 2.5.
a Calcular o Coeficiente de Ajustamento que resulta
desta carteira (ou seja, com cobertura completa por
parte desta companhia seguradora, ou ainda supondo
o caso extremo de um dedut´ıvel d = ∞).
73 / 107

Introdu¸cão.
b Pode ser adquirida uma cobertura do tipo Stop-Loss
para uma carga de seguran¸ca associada de 100%.
Calcular o coeficiente de ajustamento que resulta de
um contrato de resseguro stop-Loss afectado de um
dedut´ıvel de
1 d = 3;
2 d = 4;
3 d = 5.
Comparar estas três alternativas que a companhia
tem ao seu dispor, tendo em vista o ganho esperado.
74 / 107

Introdu¸cão.
Resolu¸cão: a) Estamos perante a defini¸cão discreta do coeficiente
de ajustamento, já que são mencionados prémios anuais e o
comportamento da indemniza¸cões agregadas anuais.
Assim, o processo de reservas associado é dado pelo modelo
Un = u + nc − Sn, Sn =
n
i=1
Wi
onde Wi representa as indemniza¸cões agregadas no ano i, sendo
considerado que Wi i.i.d. a W PC(λ; FX ), com λ = 1.5 e
c = 2.5.
Para este caso particular foi mostrado que ˜R ≡ R, i.e., ˜R é solu¸cão
da equa¸cão do modelo a tempo cont´ınuo
λ + cr = λMX (r)
75 / 107

Introdu¸cão.
Ora neste caso a f.g.m. associada às indemniza¸cões individuais X é
MX (r) = E[erX
] = fX (1)er
+ fX (2)e2r
=
2
3
er
+
1
3
e2r
,
donde o coeficiente de ajustamento associado a esta cobertura
total, ˜R, é solu¸cão da equa¸cão transcendente
1.5 + 2.5r = er
+
1
2
e2r
,
que resolvida iterativamente resulta em
˜R = 0.28
76 / 107

Introdu¸cão.
Consideraremos o estudo do caso d = 4, já que para os outros
valores do dedut´ıvel o desenvolvimento é semelhante.
No Exemplo foram calculados vários valores para a taxa do prémio
puro, E[Id ], em particular E[I4] = 0.156 .
De acordo com os dados do problema proposto, a resseguradora
estabeleceu uma taxa de Prémio de Resseguro que está afectada
de um coeficiente de seguran¸ca
ξI4 = 100%,
i.e., denotando por cI4 o prémio de resseguro anual para um
Stop-Loss com dedut´ıvel d = 4,
cI4 = (1 + ξI4 )E[I4] = 2E[I4] = 0.312
77 / 107

Introdu¸cão.
Assim, o Prémio Retido anual na seguradora, cretido, será igual ao
montante recebido pelos seus segurados c subtra´ıdo do prémio de
Resseguro, cI4 , que a empresa cedente terá de pagar à
resseguradora para adquirir o Tratado de Stop-Loss; i.e.,
cretido = c − cI4
ou seja,
cretido = 2.5 − 0.312 = 2.188
Por outro lado, ao adquirir o resseguro, a seguradora cedente vê a
sua responsabilidade desagravada, ficando com as indemniza¸cões
retidas
ˆWi =
Wi , Wi = 0, 1, 2, 3, 4
4, Wi > 4
78 / 107

Introdu¸cão.
sendo ˆWi i.i.d. a ˆW que corresponde à v.a. W truncada em 4.
Assim, já não tem lugar o modelo Poisson Composto e teremos de
recorrer à equa¸cão geral para determina¸cão do Coeficiente de
Ajustamento ˜R associado a este tipo de tratado
e−cretidor
M ˆW (r) = 1
ou seja, considerando que f ˆW (x) = fW (x) para x = 0, 1, 2, 3 e
f ˆW (4) = 1 − FW (3) e que W
d
= S do Exemplo, então ˜R é solu¸cão
da equa¸cão
e−2.188r
3
x=0
fS (x)exr
+ [1 − FS (3)]e4r
= 1;
note-se que fS e FS foram previamente calculadas recursivamente
no Exemplo 8.4.
79 / 107

Introdu¸cão.
Por métodos numéricos iterativos é poss´ıvel determinar
˜R = 0.35,
pelo que o Ganho Esperado Anual da seguradora cedente, Gretido,
será igual ao montante de prémios retido na companhia adicionado
do pagamento esperado de indemniza¸cões pela Resseguradora e
subtra´ıdo do montante esperado de indemniza¸cões que terá de
pagar aos seus segurados; i.e.,
Gretido = cretido + E[I4] − E[W ]
= 2.188 + 0.156 − λE[X]
= 2.188 + 0.156 − 1.5 ×
4
3
= 0.344
80 / 107

Introdu¸c˜ao.
Para os outros valores de dedut´ıvel, d = 3, d = 5 e d = ∞(sem
resseguro) os valores s˜ao os seguintes:
d ˜R Gretido
3 0.25 0.162
4 0.35 0.344
5 0.34 0.433
∞ 0.28 0.500
81 / 107

Introdu¸cão.
Comentário Final:
Relativamente à seguran¸ca, em termos da probabilidade de
ru´ına ou, equivalentemente do coeficiente de ajustamento, o
dedut´ıvel de d = 4 é prefer´ıvel a d = 5, uma vez que o
primeiro produz ˜R = 0.35 superior a ˜R = 0.34.
Contudo, em termos do Ganho esperado d = 4 é pior do que
d = 5 uma vez que o primeiro produz Gretido = 0.344 inferior
a Gretido = 0.433.
Por outro lado, escolher um dedut´ıvel de d = 3 não tem
sentido, já que isso corresponde a um desempenho pior tanto
em termos de seguran¸ca como de ganho esperado do que
ausência de resseguro (d = ∞).
82 / 107

Introdu¸cão.
Observa¸cão
ote-se que o caso extremo de uma transferência total das
indemniza¸cões para resseguro, i.e., uma escolha de d = 0 conduz a
valores de um coeficiente de ajustamento ˜R = 0 e portanto a ru´ına
certa. Realmente o valor correspondente de ganho esperado é
negativo e de Gretido = −1.5 .
No Tratado Stop-Loss os pagamentos por parte da Resseguradora
è Seguradora cedente são estipulados em fun¸cão das indemniza¸cões
agregadas.
Consideremos seguidamente outro tipo de contrato de resseguro
em que os pagamentos da Resseguradora à Seguradora dependem
dos montantes individuais.
83 / 107

Introdu¸cão.
Em geral, uma cobertura deste tipo é definida em termos de uma
fun¸cão h(X), com 0 ≤ h(X) ≤ X.
Dois tipos de Tratado já foram apresentados:
Resseguro Quota-Share (ou Proporcional)
h(X) = αX, 0 ≤ α ≤ 1
Resseguro Excess-of-Loss (ou Excesso de Perda)
h(X) = (X−β)+
= max(X−β, 0) =
0, X < β
X − β, X ≥ β
, β ≥ 0
84 / 107

Introdu¸cão.
Observa¸cão:
1 Para o Resseguro Proporcional os casos extremos de α = 0 e
α = 1 correspondem respectivamente a ausência de resseguro
e a resseguro de cobertura total. Para o Resseguro
Excess-of-Loss β = ∞ é a ausência de resseguro enquanto que
β = 0 é resseguro de cobertura total.
2 Note-se que relativamente ao resseguro para o colectivo
referente ao total de indemniza¸cões as defini¸cões daqueles
tratados correspondem, respectivamente, a
α
N
i=1
Xi e
N
i=1
(Xi − β)+
.
85 / 107

Introdu¸cão.
No que se segue consideraremos novamente o modelo Poisson
Composto PC(λ, FX ), com prémios de resseguro pagos
continuamente a uma taxa ch; assim, sendo c a taxa dos prémios
continuamente recebidos pelos segurados, a seguradora retem
prémios a uma taxa cretido = c − ch. Então o Coeficiente de
Ajustamento, Rh, relativo ao resseguro h e, consequentemente,
associado às indemniza¸cões retidas Xretido = X − h(X) é a solu¸cão
não trivial da equa¸cão:
λ + cretidor = λMXretido
(r)
ou seja,
λ + (c − ch)r = λ
∞
0
er[x−h(x)]
fX (x)dx
86 / 107

Introdu¸cão.
Supondo que é aplicado o princ´ıpio do valor médio a taxa de
prémio de resseguro, relativamente a um total de indemniza¸cões
pagas pela resseguradora Sh, é do tipo
ch = (1 + ξh)E[Sh] = (1 + ξh)λE[h(X)]
e a taxa dos prémios recebidos pelos segurados relativamente a
um total de indemniza¸cões S é como anteriormente
c = (1 + θ)E[S] = (1 + θ)λE[X]
vem, consequentemente, uma taxa de prémios retidos
relativamente a um total de indemniza¸cões retidas Sretido da forma
cretido = (1 + θ∗
)E[Sretido] ⇐⇒ c − ch = (1 + θ∗
)λE[X − h(X)]
Nos exemplos que se seguem exploraremos estes conceitos para os
dois tipos de tratado de resseguro e diferentes coeficientes de
seguran¸ca associados.
87 / 107

Introdu¸cão.
Exemplo:
Suponha-se que as indemniza¸cões formam um processo de Poisson
Composto, com λ = 1 e X U(0, 1). Os prémios são recebidos
de acordo com uma taxa c = 1. Calcular o Coeficiente de
Ajustamento se for adquirido um Resseguro Proporcional com
α = 0, 0.1, 0.2, · · · , 1 e se o coeficiente de seguran¸ca para
resseguro é de
a) ξh = 100%; b) ξh = 140% .
88 / 107

Introdu¸cão.
Resolu¸cão:
A taxa de prémio de resseguro é
ch = (1+ξh)λE[h(X)] = (1+ξh)λ
1
0
h(x)fX (x)dx = (1+ξh)λ
1
0
αxdx
pelo que
ch = (1 + ξh)λ
α
2
.
a) Neste caso ξh = 100% e ch = α, vindo o coeficiente de
ajustamento como solu¸cão da equa¸cão
λ + (c − ch)r = λ
∞
0
er[x−h(x)]
fX (x)dx
89 / 107

Introdu¸cão.
ou seja,
1 + (1 − α)r =
1
0
er(1−α)x
dx ⇐⇒ 1 + (1 − α)r =
er(1−α) − 1
r(1 − α)
Considere-se o primeiro caso de α = 0 (ausência de resseguro). A
resolu¸cão por métodos numéricos da equa¸cão
1 + r =
er − 1
r
conduz neste caso a R = 1.793.
Ora, como
1 + r =
er − 1
r
⇐⇒ 1 + (1 − α)
r
1 − α
=
e
r
1−α
(1−α)
− 1
r
1−α(1 − α)
;
90 / 107

Introdu¸cão.
fazendo r∗ := r
1−α , somos conduzidos à equa¸cão
1 + (1 − α)r∗
=
er∗(1−α) − 1
r∗(1 − α)
,
pelo que as solu¸cões não trivias da equa¸cão determinante do
coeficiente de ajustamento para os outros valores de α = 0
correspondem à solu¸cão encontrada para α = 0 escalada
convenientemente, i.e.,
R ≡ Rα =
1.793
1 − α
, α = 0.1, 0.2, · · · , 1.0
b) No caso de ξh = 140% os cálculos são semelhantes, vindo
ch = 1.2α
e R ≡ Rα é solu¸cão da equa¸cão
1 + (1 − 1.2α)r =
er(1−α) − 1
r(1 − α)
91 / 107

Introdu¸cão.
As solu¸cões para os casos a) e b) estão resumidas na tabela
Coeficiente de ajustamento Rα
α ξh = 100% ξh = 140%
0.0 1.793 1.793
0.1 1.993 1.936
0.2 2.242 2.095
0.3 2.562 2.268
0.4 2.989 2.436
0.5 3.587 2.538
0.6 4.483 2.335
0.7 5.978 0.635
0.8 8.966 − ←− α=5/7
0.9 17.933 −
1.0 ∞ −
92 / 107

Introdu¸cão.
Comentário Final:
Vejamos a que carga de seguran¸ca, aplicada aos segurados,
corresponde um prémio c = 1:
c = (1 + θ)E[S] = (1 + θ)λE[X] = (1 + θ) · 1 ·
1
2
=⇒ θ = 1.
Em a), as cargas de seguran¸ca para resseguro e para os
segurados são iguais, i.e., ξh = θ = 1, e R ≡ Rα é crescente
com α (e a probabilidade de ru´ına?).
Em b), a carga de seguran¸ca para resseguro é superior à
aplicada aos segurados, i.e., ξh = 1.4 > θ = 1 e R ≡ Rα é
crescente de α = 0 até α = 0.5 e depois decresce (e a
probabilidade de ru´ına?).
93 / 107

Introdu¸cão.
Ainda em b) fa¸camos uma análise mais detalhada do que se
está a passar em termos da ru´ına. Vejamos para que valor de
α a taxa de prémios retidos é igual ao valor esperado das
indemniza¸cões retidas; quer dizer como
cretido = c−ch = 1−1.2α e E[Sretido] = λE[X −h(X)] = 1·
1 − α
2
determine-se α por forma a que
cretido = E[Sretido] ⇐⇒ 1 − 1.2α =
1 − α
2
.
94 / 107

Introdu¸c˜ao.
Ent˜ao para este valor de α = 5/7, tem-se obviamente
cretido = (1 + θ∗
)E[Sretido] ⇐⇒ θ∗
= 0
concluindo que existe Ru´ına Certa para a Companhia Cedente.
O mesmo sucede para valores α > 5/7, pois isso equivale a
dizer que θ∗ < 0 e, consequentemente, cretido < E[Sretido]
95 / 107

Introdu¸cão.
Exemplo:
Suponha que a Seguradora do exemplo anterior pode adquirir um
Resseguro para uma cobertura Excess-of-Loss com
β = 0, 0.1, 0.2, · · · , 1.
Calcular o Coeficiente de Ajustamento se o coeficiente de
seguran¸ca para resseguro é de
a) ξh = 100%; b) ξh = 140% .
96 / 107

Introdu¸cão.
Resolu¸cão:
A taxa de prémio de resseguro é
ch = (1+ξh)λE[h(X)] = (1+ξh)λ
∞
0
h(x)fX (x)dx = (1+ξh)
1
β
(x−β)dx
pelo que ch = (1 + ξh)
(1 − β)2
2
.
a) No caso de ξh = 100% obtem-se ch = (1 − β)2 e R ≡ Rβ é
solu¸cão não trivial da equa¸cão
λ + (c − ch)r = λ
∞
0
er[x−h(x)]
fX (x)dx
ou seja,
97 / 107

Introdu¸cão.
1 + [1 − (1 − β)2
]r =
β
0
erx
dx +
1
β
erβ
dx,
pelo que tudo se resume à resolu¸cão, por métodos numéricos, da
equa¸cão
1 + [1 − (1 − β)2
]r =
erβ − 1
r
+ (1 − β)erβ
b) Neste caso ξh = 140% vindo ch = 1.2(1 − β)2 e a consequente
equa¸cão a resolver
1 + [1 − 1.2(1 − β)2
]r =
erβ − 1
r
+ (1 − β)erβ
.
98 / 107

Introdu¸cão.
As solu¸cões não triviais das equa¸cões estão resumidas na tabela
Coeficiente de ajustamento Rβ
β ξh = 100% ξh = 140%
1.0 1.793 1.793
0.9 1.833 1.828
0.8 1.940 1.920
0.7 2.116 2.062
0.6 2.378 2.259
0.5 2.768 2.518
0.4 3.373 2.840
0.3 4.400 3.138
0.2 6.478 2.525
0.1 12.746 − ←− β=1−
√
5/7
0.0 ∞ −
99 / 107

Introdu¸cão.
Comentário Final:
A análise deste caso é semelhante ao do Resseguro
Proporcional, bastando notar que para o valor de
β = 1 − 5/7, se tem
1 − 1.2(1 − β)2
= (1 + θ∗
)
1 − (1 − β)2
2
⇐⇒ cretido = (1 + θ∗
)E[Sretido]
⇐⇒ θ∗
= 0
concuindo que para valores inferiores de β existe Ru´ına Certa
para a Companhia Cedente.
100 / 107

Introdu¸cão.
Exemplo:
Comparar os resultados dos exerc´ıcios anteriores referentes ao
resseguro proporcional hα(X) e ao resseguro Excess-of-Loss hβ(X),
para os pares (α, β) tais que
E[hα(X)] = E[hβ(X)]
.
Resolu¸cão:
Os pares (α, β) verificam a igualdade α
2 = (1−β)2
2 , pelo que
escrevendo α como fun¸cão de β, α = (1 − β)2 e com
procedimentos semelhantes aos expostos nos 2 exemplos anteriores
obtem-se a tabela:
101 / 107

Introdu¸c˜ao.
Coeﬁcientes de ajustamento para hα(X) e hβ(X)
ξhα = 100% ξhβ
= 100% ξhα = 140% ξhβ
= 140%
α β Rα Rβ Rα Rβ
0.00 1.0 1.793 1.793 1.793 1.793
0.01 0.9 1.811 1.833 1.807 1.828
0.04 0.8 1.868 1.940 1.848 1.920
0.09 0.7 1.971 2.116 1.921 2.062
0.16 0.6 2.135 2.378 2.030 2.259
0.25 0.5 2.391 2.768 2.181 2.518
0.36 0.4 2.802 3.373 2.372 2.840
0.49 0.3 3.516 4.400 2.535 3.138
0.64 0.2 4.981 6.478 1.992 2.525
0.81 0.1 9.438 12.746 − −
1.00 0.0 ∞ ∞ − −
102 / 107

Introdu¸cão.
comentário:
Para uma dada carga de seguran¸ca, o resseguro Excess-of-Loss
conduz a Coeficientes de Ajustamento superiores (e a valores de
Probabilidade de Ru´ına inferiores) aos obtidos por uma cobertura
Proporcional, para os mesmos valores esperados de pagamento de
resseguro.
No teorema que enunciaremos seguidamente (a demonstra¸cão
encontra-se em Bowers et al.,1987), constataremos que a conclusão
do exemplo anterior é um caso particular do resultado geral, de
certo modo confirmando a optimalidade do Tratado Excess-of-Loss
comparativamente a outro tipo de tratados como havia sido
referido no in´ıcio do curso, sob a perspectiva da Utilidade.
103 / 107

Introdu¸cão.
Teorema:
Considere-se um Resseguro h(X), 0 ≤ h(X) ≤ X, de taxa de
prémio ch. Seja hβ(X) um Tratado Excess-of-Loss com dedut´ıvel β
e seja chβ
a sua taxa de prémio. Sejam Rh e Rhβ
os respectivos
Coeficientes de Ajustamento.
Se E[h(X)] = E[hβ(X)] e ch = chβ
então Rh ≤ Rhβ
.
Observa¸cão:
Note-se que dizer que as taxas de prémios são iguais é equivalente
a dizer que a seguran¸ca é igual, já que
ch = chβ
⇐⇒ (1+ξh)λE[h(X)] = (1+ξβ)λE[hβ(X)] ⇐⇒ ξh = ξhβ
uma vez que E[h(X)] = E[hβ(X)].
104 / 107

Introdu¸cão.
De acordo com as condi¸cões do teorema as conclusões
comparativas relativamente aos coeficientes de ajustamento só
podem ser aplicadas para a mesma carga de resseguro.
Ora, por vezes, pode ser vantajoso escolher uma carga de
resseguro por forma a aumentar o coeficiente de ajustamento e
fazendo simultanemaente decrescer os prémios de resseguro.
No último caso apresentado, temos exemplificada essa situa¸cão do
seguinte modo:
105 / 107

Introdu¸cão.
Para α = 0.49 e ξhα = 100%, o valor da taxa de resseguro é de
chα = 2
α
2
= 0.49,
enquanto que para β = 0.3 e ξhβ
= 140% a taxa de resseguro
respectiva é de
chβ
= 2.4
(1 − β)2
2
= 0.58,
verificando-se que
chα < chβ
.
Quanto aos coeficientes de ajustamento também o Tratado
Proporcional oferece vantagem, já que
Rα = 3.516 > Rβ = 3.138,
associando igualmente uma menor probabilidade de ru´ına para
106 / 107

Introdu¸cão.
Uma escolha conveniente de resseguro deverá ter estes dois
objectivos: por um lado, uma
taxa de prémio tão baixa quanto poss´ıvel e conduzir à
maior seguran¸ca, neste caso ao maior Coeficiente de Ajustamento
e, consequentemente, à menor probabilidade de Ru´ına.
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