การแก้สมการ

1. ใบความรู้ที่ 18
เรื่อง การแก้สมการกาลังสองตัวแปรเดียว
การแก้สมการกาลังสองตัวแปรเดียว
1. การแก้สมการกาลังสองตัวแปรเดียว โดยอาศัยการแยกตัวประกอบพหุนามและ ab = 0 แล้ว a หรือ b
อย่างน้อยหนึ่งตัวต้องเป็นศูนย์ เมื่อ a, b  R
ตัวอย่างที่ 1 จงหาคาตอบของสมการ x2
– 4x + 3 = 0
วิธีทา x2
– 4x + 3 = 0
(x – 1)(x – 3) = 0
หาคาตอบของสมการ (x – 1)(x – 3) = 0 โดยหาค่า x ที่ทาให้
x – 1 = 0 หรือ x – 3 = 0
x = 1 หรือ x = 3
ตรวจคาตอบโดยการแทนค่า x ด้วย 1 หรือ 3 ในสมการ x2
– 4x + 3 = 0
เมื่อ x = 1 จะได้
(12
) – 4(1) + 3 = 0 ซึ่งเป็นจริง
เมื่อ x = 3 จะได้
(32
) – 4(3) + 3 = 0 ซึ่งเป็นจริง
1 และ 3 เป็นคาตอบของสมการ x2
– 4x + 3 = 0 ตอบ

2. 2. การแก้สมการกาลังสองตัวแปรเดียวในรูป ax2
+ bx + c = 0 เมื่อ a, b, c เป็นค่าคงตัว
และ a  0 โดยใช้สูตร x =
2a
4ac-bb- 2

เมื่อ b2
– 4ac  0
ตัวอย่างที่ 2 จงหาคาตอบของสมการ 2x2
– 4x – 4 = 0
วิธีทา จากสูตร x = 2a
4ac-bb- 2

จากโจทย์จะได้ a = 2 , b = -4 และ c = -4
แทนค่า a, b, c ในสูตร จะได้
x = 42
(-4))2(4-(-4)(-4)- 2


= 4
32164 
= 4
484 
= 4
344 
= 31 
คาตอบของสมการคือ 31  และ 3-1 ตอบ
ข้อสังเกต

3. ตัวอย่างที่ 3 จงแก้สมการ x
2
+ 3x = 4 โดยใช้สูตรข้างต้น
จากสมการ x
2
+ 3x = 4
จะได้ x
2
+ 3x - 4 = 0
สูตร x =
a
acbb
2
42 
เมื่อ a = 1, b = 3 และ c = - 4 จะได้
x =
)(
))((
12
414233 
=
2
1693 
=
2
53
คาตอบของสมการ คือ 1 และ -4
ตัวอย่างที่ 4 จงแก้สมการ 2x
2
+ 10x + 7 = 0 โดยใช้สูตร
สูตร x =
a
acbb
2
42 
เมื่อ a = 2, b = 10 และ c = 7
จะได้ x =
a
ac
2
421010 
=
)(22
5610010 
=
2
115
คาตอบของสมการ คือ
2
115
และ
2
115

4. แบบฝึกทักษะที่ 18
เรื่อง การแก้สมการกาลังสองตัวแปรเดียว
1. จงแก้สมการ
1) x2 - 16 = 0
2) 3x2 – 25 = 0
3) (2x + 3)2 = 9
4) 2x2 = -8
5) (3x - 5)2 = -6
6) (2x + 3)2 – 6 = 0
2. จงแก้สมการโดยวิธีแยกตัวประกอบ
1) x2 - 7x + 10 = 0
2) 2x2 + x – 10 = 0
3) x2 + 6x = -10
4) y2 - 8y = 0
5) 3a2 - 7a + 4 = 0
3. แก้สมการโดยทาให้เป็นกาลังสองสมบูรณ์
1) x2 + 2x = 6
2) y2 - 2y - 16 = 0
3) 3x2 + 4 = -2x
4. จงแก้สมการโดยใช้สูตรกาลังสอง
1) 2x2 + 4x – 3 = 0
2) 3x2 + 2x - 7 = 0
3) 2y3 - 5y3 - 12y = 0

5. 5. สังกะสีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปหนึ่งมีด้านยาวยาวกว่าด้านกว้าง 3 เซนติเมตร ถ้าความยาวและความกว้าง
เพิ่มขึ้นอีกด้านละ 3 เซนติเมตร จะมีพื้นที่เพิ่มขึ้น 54 ตารางเซนติเมตร จงหาความกว้างและความยาวของรูป
สี่เหลี่ยมผืนผ้าเดิม
6. ถ้าจานวนสองจานวน จานวนที่มากกว่ามากกว่าจานวนที่น้อยกว่าอยู่ 6 ถ้าผลบวกของกาลังสองของแต่
ละจานวนเท่ากับ 306 จงหาจานวนทั้งสอง

6. เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 18
เรื่อง การแก้สมการกาลังสองตัวแปรเดียว
1. แก้สมการ
1) x2 - 16 = 0
x2 - 16 = 0
x2 = 16
x = 4
คาตอบของสมการ คือ 4 และ -4
2) 3x2 – 25 = 0
3x2 - 25 = 0
x2 =
3
25
x =
3
5

=
3
35

คาตอบของสมการ คือ
3
35
และ -
3
35
3) (2x + 3)2 = 9
2x + 3= 3
x =
2
33
คาตอบของสมการ คือ 0 และ -3
4) 2x2 = -8
x2 = -4
ไม่มีจานวนจริง x ที่ทาให้ x2 เท่ากับ -4
ดังนั้น สมการ 2x2= -8 ไม่มีคาตอบของสมการ

7. 5) (3x - 5)2 = -6
3x - 5 = 6
ไม่มีจานวนจริงใดที่ยกกาลังสองได้-6
ดังนั้น สมการ (3x - 5)2 = -6 ไม่มีคาตอบของสมการ
6) (2x + 3)2 – 6 = 0
(2x + 3)2 = 6
2x + 3 = 6
x =
2
36 
คาตอบของสมการ คือ
2
36 
และ -
2
36 
2. แก้สมการโดยวิธีแยกตัวประกอบ
1) x2 - 7x + 10 = 0
(x - 5)(x - 2) = 0
x - 5 = 0 หรือ x - 2 = 0
x = 5 หรือ x = 2
คาตอบของสมการ คือ 5 และ 2
2) 2x2 + x – 10 = 0
(2x + 5)(x - 2) = 0
2x + 5= 0 หรือ x - 2 = 0
x =
2
5
หรือ x = 2
คาตอบของสมการ คือ
2
5
และ 2

8. 3) x2 + 6x = -10
x2 + 6x + 10 = 0
x2 + 2(3)x + 32 - 32 + 10 = 0
(x + 3) 2 + 1 = 0
เมื่อแทน x ด้วยจานวนจริงใดๆ จะได้ว่า (x + 3)2 + 1 มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ 1 เสมอ
ดังนั้นสมการ x2 + 6x = -10 หรือ (x + 3)2 + 1 = 0 จึงไม่มีคาตอบ
4) y2 - 8y = 0
y(y - 8) = 0
y = 0 หรือ y - 8 = 0
y = 0 หรือ y = 8
คาตอบของสมการ คือ 0 และ 8
5) 3a2 - 7a + 4 = 0
(3a - 4)(a - 1) = 0
3a - 4 = 0 หรือ a – 1 = 0
a =
3
4
หรือ a = 1 คาตอบของสมการ คือ
3
4
และ 1
3. แก้สมการโดยทาให้เป็นกาลังสองสมบูรณ์
1) x2 + 2x = 6
x2 + 2x - 6 = 0
จะได้ [x2 + 2(1)x + 12] - 12 - 6 = 0
(x + 1)2 - 7 = 0
(x + 1) 2 = 7
x + 1 = 7
x = -1 7
คาตอบของสมการ คือ -1 + 7 และะ -1 - 7

9. 2) y2 - 2y - 16 = 0
y2 - 2y - 16 = 0
[y2 - 2(1)y + 12] - 12 - 16 = 0
(y - 1) 2 - 17 = 0
(y - 1) 2 = 7
y - 1 = 17
y = 1 17
คาตอบของสมการ คือ 1 + 17 และ 1 - 17
3) 3x2 + 4 = -2x
3x2 + 2x + 4 = 0
x2 +
3
2
x +
3
4
= 0 (นา 3 หารทั้งสองข้างของสมการ)
[x2 + 2(
3
1
x) + (
3
1
) 2] - (
3
1
) 2 +
3
4
= 0
(x +
3
1
) 2 -
9
1
+
3
4
= 0
(x +
3
1
) 2 +
9
11
= 0
เนื่องจาก เมื่อแทน x ด้วยจานวนจริงใดๆ จะทาให้ (x +
3
1
)2 มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ
ดังนั้น [(x +
3
1
) 2 +
9
11
] จะมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ
9
11
เสมอ
นั่นคือ สมการ (x +
3
1
) 2 + =
9
11
0 หรือ 3x2 + 4 = -2x
ไม่มีคาตอบเป็นจานวนจริง

10. 4. แก้สมการโดยใช้สูตรกาลังสอง
1) 2x2 + 4x – 3 = 0
x =
)(
))((
22
32444 
=
4
1024
=
2
102
คาตอบของสมการ คือ
2
102
และ
2
102
2) 3x2 + 2x - 7 = 0
x =
)(
))((
32
734222 
=
6
2222
=
3
221
คาตอบของสมการ คือ
3
221
และ 3
221
3) 2y3 - 5y3 - 12y = 0
y(2y2 - 5y - 12) = 0
y(2y + 3)(y - 4) = 0
y = 0 หรือ 2y + 3 = 0 หรือ y - 4 = 0
y = 0 หรือ y= หรือ y = 4
คาตอบของสมการ คือ 0,
2
3
และ 4

11. 6. สังกะสีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปหนึ่งมีด้านยาวยาวกว่าด้านกว้าง 3 เซนติเมตร ถ้าความยาว
และความกว้างเพิ่มขึ้นอีกด้านละ 3 เซนติเมตร จะมีพื้นที่เพิ่มขึ้น 54 ตารางเซนติเมตร จงหาความกว้างและ
ความยาวของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเดิม
ให้เดิมมีด้านกว้าง x เซนติเมตร มีด้านยาว x + 3 เซนติเมตร
เดิมจะมีพื้นที่ x 5 (x + 3) = x2 + 3x ตารางเซนติเมตร
เมื่อด้านกว้างเป็น x + 3 เซนติเมตร ด้านยาวเป็น x + 6 เซนติเมตร
จะมีพื้นที่ (x + 3)(x + 6) = x2 + 9x + 18 ตารางเซนติเมตร
จะได้ (x2 + 9x + 18) - (x2 + 3x) = 54
ดังนั้น x = 6
นั่นคือ รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเดิมมีด้านกว้าง 6 เซนติเมตร
และมีความยาว 6 + 3 = 9 เซนติเมตร
7. ถ้าจานวนสองจานวน จานวนที่มากกว่ามากกว่าจานวนที่น้อยกว่าอยู่ 6 ถ้าผลบวกของกาลังสองของแต่
ละจานวนเท่ากับ 306 จงหาจานวนทั้งสอง
ให้จานวนที่น้อยกว่า คือ x ดังนั้นจานวนที่มากกว่า คือ x + 6
x2 + (x + 6)2 = 306
x2 + x2 + 12x + 36 = 306
x2 + 6x - 135 = 0
(x - 9)(x + 15) = 0
x = 9 หรือ x = -15
ถ้าจานวนที่น้อยคือ -15 จานวนที่มาก คือ -9
ถ้าจานวนที่น้อย คือ 9 จานวนที่มาก คือ 15
ตอบ