ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริง

1. ใบความรู้ที่ 22
เรื่อง ค่าสัมบูรณ์ของจานวนจริง
ค่าสัมบูรณ์ของจานวนจริง
ค่าสัมบูรณ์ของ a เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ | a | หมายถึง ระยะห่างระหว่างจุดแทน 0
กับจุดแทน a บนเส้นจานวน
บทนิยาม กำหนดให้ a เป็นจำนวนจริงใด ๆ
| a | =










0a้้ำ
0a้้ำ
0a้้ำ
ถ
ถ
ถ
a-
0
a
เช่น | 3 | = 3
| -3 | = -(-3) = 3
| 10 | = 10
| 0 | = 0
| -5 | = -(-5) = 5
ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ
1. | -9 |
2. | -10 + 2 |
3. | 8 - 20 |
4. | 5 | + | -3 |
วิธีทา 1. | -9 | = -(-9) = 9
2. | -10 + 2 | = | -8 | = -(-8) = 8
3. | 8 - 20 | = | -12 | = -(-12) = 12
4. | 5 | + | -3 | = 5 + [ -(-3) ]
= 5 + 3
= 8

2. โดยทั่วไป ถ้า a เป็นจานวนบวกใด ๆ
1. | x | < a มีความหมายเช่นเดียวกันกับ -a < x < a
และ | x |  a มีความหมายเช่นเดียวกันกับ -a  x  a
เช่น | x | < 3 หมายความว่า ระยะจากจุด x ไปยัง 0 บนเส้นจานวนน้อยกว่า 3
หน่วย เขียนแสดงบนเส้นจานวนได้ดังนี้
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
จากรูป จะเห็นว่า | x | < 3 มีความหมายเช่นเดียวกัน -3 < x < 3
| x |  3 เขียนแสดงค่า x บนเส้นจานวนได้ดังนี้
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
2. | x | > a มีความหมายเช่นเดียวกันกับ x < -a หรือ x > a
และ | x |  a มีความหมายเช่นเดียวกันกับ x  a หรือ x  a
เช่น | x | > 2 เขียนแสดงค่า x บนเส้นจานวนได้ดังนี้
-2 -1 0 1 2 3
จากรูป จะเห็นว่า | x | > 2 มีความหมายเช่นเดียวกับ x < -2 หรือ x > 2
| x |  2 เขียนแสดงค่า x บนเส้นจานวนได้ดังนี้
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

3. ตัวอย่างที่ 2 จงแสดงค่าของ x บนเส้นจานวน เมื่อกาหนดให้
1. | x | > 6
2. | x |  5
วิธีทา 1. | x | > 6 มีความหมายเช่นเดียวกับ x < -6 หรือ x > 6
เขียนแสดงค่าของ x บนเส้นจานวนได้ดังนี้
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
2. | x |  5 มีความหมายเช่นเดียวกับ x  -5 หรือ x  5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
ค่าสัมบูรณ์ในสมการ
ต่อไปนี้จะแสดงการหาคาตอบหรือผลเฉลยที่เกี่ยวข้องกับค่าสัมบูรณ์
ตัวอย่างที่ 3 จงแก้สมการ |x - 5| = 8
วิธีทา วิธีที่ 1
ในทางเรขาคณิต |x - 5| = 8 คือระยะระหว่าง x และ 5 เท่ากับ 8
ดังนั้น x = 5  8
x = 13หรือx = -3
วิธีที่ 2
จากบทนิยาม
ถ้า x - 5 ณ 0 ถ้า x - 5< 0
จะได้ x - 5 = 8 จะได้ x - 5 = -8
x = 8 + 5 x = -8 + 5
= 13 = -3
ดังนั้น x = 13หรือ x = -3

4. ตรวจสอบ
เมื่อ x = 13 จะได้ เมื่อ x = -3 จะได้
|13 - 5| = 8 |-3 -5| = 8
|8| = 8 เป็นจริง |-8| = 8 เป็นจริง
ตอบ เซตคาตอบ คือ {13, -3}

5. แบบฝึกทักษะที่ 22
เรื่อง ค่าสัมบูรณ์ของจานวนจริง
คาชี้แจง
1. ให้นักเรียนเติมคาตอบลงในช่องว่างแต่ละข้อต่อไปนี้ให้ถูกต้องสมบูรณ์
1. | -7 | = ……………………………………………………………………….
2. | 8 -13 | = ……………………………………………………………………….
3. | 12 | + | -5 | - | 20 | = ……………………………………………………..…..
4. | -25 | - | -3 | = ……………………………………………………...…………
5.
|5-|
10
= …………………………………………………………….....………
6. | 10 -7 | + | 20 - 30 | = ……………………………………………..………….
7. | 8  102
| + | 5  102
| = ………………………………………………
8. | 10 + 2 | + | 20 - 3 | - | 10 - 18 | = ………………………………………………
2. จงแก้สมการและตรวจสอบคาตอบ
1) |x - 8| = 12
2) |2x - 5| = 17

6. เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 22
เรื่อง ค่าสัมบูรณ์ของจานวนจริง
1. ให้นักเรียนเติมคาตอบลงในช่องว่างแต่ละข้อต่อไปนี้ให้ถูกต้องสมบูรณ์
1. | -7 | = ……………………………………7………………………………….
2. | 8 -13 | = ……………………………………5………………………………….
3. | 12 | + | -5 | - | 20 | = ……………………-3……………………………..…..
4. | -25 | - | -3 | = ……………………………22………………………...…………
5.
|5-|
10
= …………………………………-2………………………….....………
6. | 10 -7 | + | 20 - 30 | = ……………………13………………………..………….
7. | 8  102
| + | 5  102
| = …………1300……………………………………
8. | 10 + 2 | + | 20 - 3 | - | 10 - 18 | = …………37……………………………………
2. จงแก้สมการและตรวจสอบคาตอบ
1) |x - 8| = 12
วิธีทา จากบทนิยาม
ถ้า x - 8  0 ถ้า x - 8< 0
จะได้ x - 8 =12 จะได้ x - 8 = -12
x =12 + 8 x = -12 + 8
= 20 = -4
ดังนั้น x = 20 หรือ x = -4
ตรวจสอบ
เมื่อ X = 20 จะได้ เมื่อX = -4 จะได้
|20 - 8| = 12 เป็นจริง |-4 - 8| = 12 เป็นจริง
ตอบ เซตคำตอบ คือ {20, -4}

7. 2) |2x - 5| = 17
วิธีทา จากบทนิยาม
ถ้า 2x - 5 0 ถ้า 2x - 5 < 0
จะได้ 2x – 5 = 17 จะได้ 2x - 5 = -17
2x = 17 + 5 2x = -17 + 5
=22 = -12
x = 11 x = -6
ตรวจสอบ
เมื่อ x = 11 จะได้ เมื่อ x = -6 จะได้
|22 - 5| = 17 |-12 - 5| = 17
|17| = 17 เป็นจริง |-17| = 17 เป็นจริง
ตอบ เซตคำตอบ คือ {11, -6}