Chapitre 34
Aires
34.1 Questions
34.1.1 Questions A
Question 34.1 On donne un polygone non croisé. Comment calculer son
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252 CHAPITRE 34. AIRES
Question 34.6 Expliquez au moins deux façons di¤érentes de calculer l’aire
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Réponse — O...
34.2. SUR LE TERRAIN 253
Dé…nition d’une intégrale – Une fonction  de [ ] dans R
est intégrable au sens de Riemann (c’...
254 CHAPITRE 34. AIRES
Par contre, la première dé…nition écrire au tableau au début de la partie I pose
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34.2. SUR LE TERRAIN 255
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sition ? L’exemple pris...
256 CHAPITRE 34. AIRES
34.3 Extrait de Géométrie du collège
Le livre Géométrie du collège pour les matheux [25] permet de ...
34.3. EXTRAIT DE GÉOMÉTRIE DU COLLÈGE 257
258 CHAPITRE 34. AIRES
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260 CHAPITRE 34. AIRES
34.3. EXTRAIT DE GÉOMÉTRIE DU COLLÈGE 261
262 CHAPITRE 34. AIRES
34.3. EXTRAIT DE GÉOMÉTRIE DU COLLÈGE 263
264 CHAPITRE 34. AIRES
Bibliographie
[1] Clément Boulonne, les leçons de mathématiques à l’oral du CAPES, Li-
cence Creatice Commons, 2013.
http ...
290 BIBLIOGRAPHIE
[13] D.-J. Mercier, Acquisition des fondamentaux pour les concours, Vol. II :
Algèbre linéaire, CSIPP, 2...
BIBLIOGRAPHIE 291
[31] Programme de mathématiques des brevets de technicien supérieur, Arrêté
du 4 juin 2013 paru au Journ...
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Oral 1 CAPES Maths - Ne pas manquer d'aires à l'oral

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Voici un panel de questions que l'on peut se poser avant de passer l'oral 1 du CAPES. Elles me sont venues à l'idée en écoutant scrupuleusement une simulation et elles pourront maintenant servir à tous les candidats qui forgent leurs armes dans leur coin.

A lire attentivement en conservant son sens critique...

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Oral 1 CAPES Maths - Ne pas manquer d'aires à l'oral

  1. 1. Chapitre 34 Aires 34.1 Questions 34.1.1 Questions A Question 34.1 On donne un polygone non croisé. Comment calculer son aire ? Question 34.2 Comment faire pour calculer l’aire d’une surface dans R3 ? Réponse — Choisir beaucoup de points sur cette surface, dessiner des tri- angles à partir de ces points pour obtenir une représentation de la surface en …l de fer, puis calculer la somme des aires de tous ces triangles. On dit qu’on a triangulé la …gure, ou que l’on a e¤ectué une triangulation. Cela me rappelle ma thèse de doctorat où il était question de triangulations... Plus on prend de points sur la surface et plus l’approximation obtenue de l’aire de cette surface est meilleure. Question 34.3 Que dire des aires et des symétries axiales ? Démontrez-le dans le cas d’un triangle. Question 34.4 Quelles sont les deux propriétés essentielles de l’aire ? Réponse — L’additivité ([25], 14.2.3.(3)) et l’invariance par isométrie ([25], 14.2.3.(4)) démontrée dans la Question 14.3 de [25]. Question 34.5 {[25], Question 14.1} Pourquoi un disque possède-t-il une aire ? Réponse — Parce que c’est une partie quarrable du plan, comme le montre par exemple la méthode d’Archimède (voir [25], chapitre 14). 251 ORAL 1 du CAPES Maths Ne pas manquer d'aires à l'oral (23/03/15) Extrait du livre évolutif gratuit "ORAL 1 du CAPES Maths, pistes et commentaires" au 23 mars 2015 à télécharger sur MégaMaths.
  2. 2. 252 CHAPITRE 34. AIRES Question 34.6 Expliquez au moins deux façons di¤érentes de calculer l’aire d’un disque. Réponse — On peut penser à la méthode d’Archimède ([25], Section 14.5.2) et à la méthode de Monte-Carlo qui revient à calculer la probabilité pour qu’une ‡èche lancée au hasard sur une cible carrée tombe dans le grand cercle inscrit dans ce carré. Question 34.7 Qu’est-ce qu’une partie quarrable ? Réponse — C’est expliqué à la Section 14.2.3 de [25] qui est reprise ici dans les extraits de la Section 34.3. Les compléments sur les parties quar- rables proposés en annexe de [25] permettront de mieux retenir le principe et voir quelques démonstrations si on dispose de su¢samment de temps pour approfondir cette question. Question 34.8 Quelle est l’aire d’un cercle ? Pourquoi ? Réponse — C’est zéro. Il faut avoir un argument à ce sujet ! Et cela revient à retourner à la dé…nition d’une partie quarrable. Question 34.9 Connaissez-vous des parties du plan qui n’ont pas d’aire ? Réponse — Des parties qui manquent d’air donc ? Bon elle est mauvaise. Une partie non quarrable du plan est par exemple donnée par l’ensemble des points du carré [0 1] £ [0 1] de R2 dont les coordonnées sont des nombres rationnels. Il est très facile de démontrer que cette partie n’a pas d’aire en retournant à la dé…nition d’une partie quarrable, ce qui est l’objet de l’exemple 2 du §.15.8.2 de [25]. Question 34.10 Justi…ez que l’aire d’un rectangle est donnée par A = £ ? Réponse — Cette question sera facile à poser par le jury, et une réponse est détaillée au §.14.2.2 de [25]. On ne nous aura pas comme ça si facilement ! Question 34.11 Quel lien existe-t-il entre la dé…nition d’une aire d’une par- tie quarrable et la dé…nition de l’intégrale d’une fonction d’un segment [ ] de R dans R ? Réponse — Le travail est identique puisqu’il revient dans les deux cas à dire que l’on peut encadrer une certaine quantité de façon aussi précise qu’on le désire. Cela se voit de façon frappante si l’on prend la peine d’énoncer les deux dé…nitions (possibles) côte à côte :
  3. 3. 34.2. SUR LE TERRAIN 253 Dé…nition d’une intégrale – Une fonction  de [ ] dans R est intégrable au sens de Riemann (c’est-à-dire « possède une in- tégrale ») si la borne supérieure des intégrales des fonctions en es- calier qui minorent  est égale à la borne inférieure des intégrales des fonctions en escalier qui majorent . Dans ce cas, l’intégraleR    ()  de  sur [ ] est la valeur commune de cette borne supérieure et de cette borne inférieure. Dé…nition d’une aire – Une partie  du plan est quarrable (c’est-à-dire « possède une aire ») si la borne supérieure des aires des parties pavables du plan incluses dans  est égale à la borne inférieure des aires des parties pavables du plan qui contiennent . Dans ce cas la valeur commune de cette borne supérieure et de cette borne inférieure. La démarche est identique, même si l’on a remplacé des sommes d’aires de rectangles « bien placés » par rapport à la courbe représentative de  (les intégrales des fonctions en escalier qui minorent ou majorent ) par des aires de parties pavables dé…nies comme des réunions …nies de pavés. Après avoir vu ça, on ne peut plus douter de la proximité de ces deux concepts ! Question 34.12 {Reprise de la Question 32.3} Soit  une fonction continue d’un intervalle ouvert  de R dans R. Soit  2 . On pose  () = R    ()  quel que soit  2 . Lorsque  est monotone sur , démontrer que  est dérivable sur  comme on le ferait dans une classe de terminale. [Réponse à bien connaître, expliquée sur la fig. 32.1 p. 247] 34.1.2 Questions B 34.1.3 Questions C Question 34.13 {[25], Question 14.2} La notion d’aire est une notion mé- trique ou a¢ne ? 34.2 Sur le terrain Ä Une candidate à une simulation propose un plan en quatre parties : I. Grandeur II. Mesure III. Aires des …gures usuelles IV. Intégration sous une courbe Le libellé de la partie IV est étonnant : intègre-t-on « sous une courbe » ? Mais cela n’est pas trop grave.
  4. 4. 254 CHAPITRE 34. AIRES Par contre, la première dé…nition écrire au tableau au début de la partie I pose un véritable problème qui ne passera pas aperçu par le jury : Dé…nition – On dit que deux …gures ont la même aire si en décou- pant l’une d’entre elles, on peut recomposer l’autre. La candidate donne rapidement un exemple en dessinant un triangle , puis un polygone où l’on retrouve ce triangle quelque part, et où on peut le découper et le replacer ailleurs sans changer l’aire du polygone. Je joue le rôle du jury dans cette simulation. Pendant l’entretien, je demande de relire cette dé…nition et d’expliquer quel est son niveau de vérité, de la criti- quer puis d’expliquer pourquoi on l’a choisie ici. Je n’obtiens malheureusement aucune réponse, aucune justi…cation. Il était pourtant nécessaire de corriger le tir... J’attendais à ce qu’on m’explique que cette dé…nition était inapplicable dans la pratique : - d’abord parce que « découper une …gure » est quelque chose de physique dont on peut se satisfaire dans un premier temps, mais en admettant de devoir travailler avec des approximations de longueurs, - ensuite parce que cette dé…nition est inutilisable dans la pratique (essayez donc de montrer par des découpages qu’une …gure donnée n’a pas la même aire qu’une autre …gure donnée : bonjour les dégâts), sauf dans quelques activités triées sur le volet que l’on pourrait proposer à des élèves. L’idée n’est pas mauvaise en sixième pour faire prendre conscience de la no- tion d’aire, et la candidate aurait dû parler dans ce sens. Ne rien répondre à ce niveau montre un manque de ré‡exion critique sur cette dé…nition et la méconnaissance de ce qui pourrait être une dé…nition rigoureuse d’une aire, et cela sera très certainement lourdement sanctionné par un jury. La candidate se « suicide » alors dans le second énoncé qu’elle propose : Proposition – On peut toujours découper un polygone en un rec- tangle de même aire. Elle rajoute le dessin suivant pour seule justi…cation :
  5. 5. 34.2. SUR LE TERRAIN 255 Que répondra-t-elle quand le jury lui demandera de démontrer cette propo- sition ? L’exemple pris montre un parallélogramme, ce qui est loin d’être un polygone quelconque. Ensuite elle insiste avec une seconde dé…nition qui re- prend la première avec d’autres termes : Dé…nition – On dit que deux …gures n’ont pas la même aire si en essayant de découper une des …gures pour reconstituer l’autre, les deux surfaces obtenues ne sont pas superposables. Cette dé…nition a-t-elle été prise dans un livre de CM1 ? On notera qu’il su¢t de découper et de faire un seul essai pour pouvoir a¢rmer que deux …gures n’ont pas la même aire ! Pendant l’entretien, le jury aura beau jeu de demander comment faire pour savoir qu’il n’existe pas de méthode qui permette d’obtenir deux …gures superposables, même si on a l’impression qu’elles ne le seront jamais quelle que soit la découpe. On notera quand même que l’existence ou non de découpages et de recolle- ments permet de caractériser deux polygones de même aire d’après le résultat bien di¢cile à établir suivant dont la preuve, inspirée de celle de Lebesgue, est proposée par Daniel Perrin en [27] et [28] : Théorème de Bolyai (1832) – Si  et  sont deux polygones de même aire, alors  et  sont équivalents par découpage et recollement. Ce résultat est résolument hors du programme du CAPES, et je pense qu’il vaut mieux l’éviter, pour éviter des problèmes. Dans la troisième partie de son exposé, la candidate ne présente que les for- mules donnant l’aire d’un rectangle, d’un triangle rectangle, d’un carré, et en…n d’un disque. Elle oublie de parler de l’aire d’un triangle quelconque, ce qui est inacceptable, et montre un désintérêt complet pour les aires des losanges et des trapèzes, ce qui me semble inconcevable ! Je lui demande de démontrer la formule donnant l’aire du triangle rectangle (Question 34.10). La candidate arrive à la démontrer en partant de l’aire du triangle rectangle, et vice versa, mais s’interroge pour savoir si c’est su¢sant, sans voir le cercle vicieux dans lequel elle est tombée. Il faudra chercher une autre approche pour démontrer, ou tout au moins expli- quer, pourquoi l’aire d’un rectangle est A =  £ , en s’inspirant par exemple du chapitre 14 de Géométrie du collège pour les matheux [25]. Je conclurai en disant que c’est en écoutant cet exposé que m’est venue à l’idée de poser beaucoup de questions « simples », et donc dangereuses les jours des oraux, que l’on trouvera maintenant pour vous dans la Section 34.1.1.
  6. 6. 256 CHAPITRE 34. AIRES 34.3 Extrait de Géométrie du collège Le livre Géométrie du collège pour les matheux [25] permet de réunir su¢sam- ment de munitions pour créer sa leçon de CAPES sur les aires. Ce livre, qui ne mentionne pas le concours du CAPES et ne propose pas de leçons toutes faites, permet de ré‡échir sur l’enseignement de la géométrie au collège, et à ce titre devrait être accepté comme compagnon pendant les épreuves orales d’admission. Les huit pages suivantes sont extraites du chapitre 14 consacré aux aires des …gures classiques et à la dé…nition des parties quarrables du plan qui est ensuite reprise et détaillée dans l’annexe qu’on pourra parcourir si on a le temps.
  7. 7. 34.3. EXTRAIT DE GÉOMÉTRIE DU COLLÈGE 257
  8. 8. 258 CHAPITRE 34. AIRES
  9. 9. 34.3. EXTRAIT DE GÉOMÉTRIE DU COLLÈGE 259
  10. 10. 260 CHAPITRE 34. AIRES
  11. 11. 34.3. EXTRAIT DE GÉOMÉTRIE DU COLLÈGE 261
  12. 12. 262 CHAPITRE 34. AIRES
  13. 13. 34.3. EXTRAIT DE GÉOMÉTRIE DU COLLÈGE 263
  14. 14. 264 CHAPITRE 34. AIRES
  15. 15. Bibliographie [1] Clément Boulonne, les leçons de mathématiques à l’oral du CAPES, Li- cence Creatice Commons, 2013. http ://cboumaths.wordpress.com/2013/06/08/les-lecons-de-mathematiques-a- loral-du-capes-session-2013/ [2] F. Herbaut, Souvenirs d’oraux du CAPES externe de mathématiques, (en ligne en 2008 à l’adresse : http ://fabien.herbaut.free.fr/oraux2006.html), 2006. [3] Manuel de Mathématiques de Terminale S, Enseignement obligatoire et de spécialité, collection Déclic, Hachette, 2012. [4] Manuel de Mathématiques de Terminale S, Enseignement obligatoire et de spécialité, collection Repères, Hachette, 2012. [5] D.-J. Mercier, L’épreuve d’exposé au CAPES mathématiques, 14 leçons rédigées et commentées, Vol. I, Publibook, 2007. [6] D.-J. Mercier, L’épreuve d’exposé au CAPES mathématiques, Leçons ré- digées et commentées, Vol. II, Publibook, 2006. [7] D.-J. Mercier, L’épreuve d’exposé au CAPES mathématiques, Leçons ré- digées et commentées, Vol. III, Publibook, 2007. [8] D.-J. Mercier, L’épreuve d’exposé au CAPES mathématiques, Leçons ré- digées et commentées, Vol. IV, Publibook, 2008. [9] D.-J. Mercier, Cours de géométrie, CSIPP, édition 4, 2014. [10] D.-J. Mercier, Polyèdres eulériens et solides pathologiques, LMEC (Lec- tures sur les Mathématiques, l’Enseignement et les Concours), Vol. I, pp. 151-162, 2009. [11] D.-J. Mercier, Fondamentaux de géométrie pour les concours (grandes écoles, CAPES, agrégation, ...), Publibook, 2009. [12] D.-J. Mercier, Acquisition des fondamentaux pour les concours, Vol. I : Nombres, algèbre, arithmétique et polynômes, CSIPP, 2014. 289
  16. 16. 290 BIBLIOGRAPHIE [13] D.-J. Mercier, Acquisition des fondamentaux pour les concours, Vol. II : Algèbre linéaire, CSIPP, 2014 [14] D.-J. Mercier, Acquisition des fondamentaux pour les concours, Vol. III : Espaces euclidiens et hermitiens, CSIPP, 2014. [15] D.-J. Mercier, Acquisition des fondamentaux pour les concours, Vol. IV : Géométrie a¢ne et euclidienne, CSIPP, 2014. [16] A. Delcroix, D.-J. Mercier, A. Omrane, Acquisition des fondamentaux pour les concours (grandes écoles, CAPES, agrégation, ...), Vol. V : Ana- lyse, Intégration, Géométrie, Publibook, 2011. [17] D.-J. Mercier, Acquisition des fondamentaux pour les concours, Vol. VI - Cuvée spéciale, analyse et autres joyeusetés, CSIPP, 2013. [18] D.-J. Mercier, Acquisition des fondamentaux pour les concours, Vol. VII - Topologie et autres thèmes lumineux, CSIPP, 2014. [19] D.-J. Mercier, Acquisition des fondamentaux pour les concours, Vol. VIII - Pour quelques questions de plus, à paraître. [20] D.-J. Mercier, Oral 1 du CAPES Maths - Plans et approfondissements de cinq leçons de la liste 2013, Publibook, 2013. [21] D.-J. Mercier, Brèves de mathématiques, Publibook, 2013. [22] D.-J. Mercier, J.-E. Rombaldi, Annales 2013-B, Agrégation interne de mathématiques, 2 problèmes corrigés de la session 2013 avec rappels de cours, Publibook, 2013. [23] D.-J. Mercier, J.-E. Rombaldi, Annales de l’agrégation interne de ma- thématiques 2005 à 2013, 18 problèmes corrigés avec rappels de cours, Publibook, 2013. [24] D.-J. Mercier, Dossiers mathématiques n±6, Les grands théorèmes de l’analyse, CSIPP, 2013. [25] D.-J. Mercier, Géométrie du collège pour les matheux, CSIPP, 2014. [26] G. Orvas, Des solides pathologiques, Les Cahiers de Science & Vie n±59, octobre 2000, pp. 60-63. [27] D. Perrin D., Mathématiques d’école, Cassini, 2005. [28] D. Perrin, Aires et volumes : découpage et recollement, Conférence donnée au colloque de l’IREM de Rennes le 5 juin 2010. [29] Programme du collège, Enseignement de mathématiques, B.O. spécial n±6 du 28 août 2008. [30] Programme de mathématiques de terminale S, B.O. spécial n±8 du 13 octobre 2011.
  17. 17. BIBLIOGRAPHIE 291 [31] Programme de mathématiques des brevets de technicien supérieur, Arrêté du 4 juin 2013 paru au Journal o¢ciel de la république française du 22 juin 2013, au Bulletin o¢ciel de l’enseignement supérieur et de la recherche et au Bulletin o¢ciel de l’éducation nationale du 4 juillet 2013, Ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche, 2013. [32] Programme de mathématiques de la classe de MPSI (première année de CPGE), BOESR spécial 3 du 30 mai 2013.

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