Conjuntos Numéricos

Conjuntos NuméricosConjuntos Numéricos

Ao final dessa aula você saberá:
 O que é um conjunto e suas
representações
 Subconjuntos notáveis dos conjuntos
N, Z, Q e R.
 Tudo sobre o conjunto dos números
reais
 Representações por intervalo e as
operações de união, interseção e
conjunto complementar.

O que é conjunto?O que é conjunto?
Exemplos:Exemplos:
 { a,b,c,d,e}{ a,b,c,d,e}
 {1,2,3,4,5,6,7,8}{1,2,3,4,5,6,7,8}
 {laranja, banana, maçã}{laranja, banana, maçã}
É uma coleção de
qualquer coisa.

ComoComo representamosrepresentamos os conjuntos?os conjuntos?
a) Entre chaves (a) Entre chaves (enumeraçãoenumeração))
A = {0,1,2,3,4,5}A = {0,1,2,3,4,5}
b) Pelob) Pelo diagramadiagrama A
5.
4.
3.
2.
1.
0.

O que é conjuntoO que é conjunto vaziovazio??
É um conjuntoÉ um conjunto sem elementossem elementos..
ComoComo representamosrepresentamos oo
conjunto vazioconjunto vazio??
{ }∅

O que é conjuntoO que é conjunto unitáriounitário??
É o conjunto queÉ o conjunto que sósó apresentaapresenta umum
elementoelemento..
Exemplos:Exemplos:
 A = {3}A = {3}
 BB
. 19
Atenção! O conjunto
{ } é um conjunto
unitário.
∅

O que éO que é subconjuntosubconjunto??
É umÉ um conjuntoconjunto que estáque está contidocontido emem outrooutro..
Exemplo: A = {t,u,v,x,z} e B = {u,v,x} ,Exemplo: A = {t,u,v,x,z} e B = {u,v,x} ,
então B é um subconjunto de Aentão B é um subconjunto de A
O conjunto vazio é
subconjunto de qualquer
conjunto.
Todo conjunto é subconjunto
dele mesmo.

Como calculamos aComo calculamos a quantidadequantidade dede
subconjuntossubconjuntos de um conjunto?de um conjunto?
Basta efetuar a conta oBasta efetuar a conta o 22nn
, sendo, sendo nn igualigual
aa quantidadequantidade dede elementoselementos do conjunto.do conjunto.
Exemplo: Sendo A = {6,7,8,9}, então oExemplo: Sendo A = {6,7,8,9}, então o
número de subconjuntos de A é:número de subconjuntos de A é:
22nn
= 2= 244
= 16 subconjuntos.= 16 subconjuntos.

Qual é a representação doQual é a representação do
conjuntoconjunto dosdos números naturaisnúmeros naturais??
N = {0,1,2,3,4,5,...}N = {0,1,2,3,4,5,...}
Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
E a representação doE a representação do conjuntoconjunto
dosdos números inteirosnúmeros inteiros??
O conjunto N é um
subconjunto de Z.

Quais são osQuais são os subconjuntos notáveissubconjuntos notáveis dede ZZ??
{ },...3,2,1,1,2,3...,*
−−−=Ζ
*
Ζ é o conjunto dos números inteiros sem o zero.
+Ζ é o conjunto dos números inteiros não-negativos.
{ },...3,2,1,0=Ζ+
−Ζ é o conjunto dos números inteiros não-positivos.
{ }0,1,2,3..., −−−=Ζ−
*
+Ζ é o conjunto dos números inteiros positivos.
{ },...3,2,1*
=Ζ+
*
−Ζ é o conjunto dos números inteiros negativos.
{ }1,2,3...,*
_ −−−=Ζ

E o conjunto dosE o conjunto dos números racionaisnúmeros racionais??
É o conjunto dos números que podemÉ o conjunto dos números que podem
ser escritos sob forma deser escritos sob forma de fraçãofração..
É representado porÉ representado por QQ e tambéme também incluiinclui
asas dízimasdízimas..
Os conjuntos N
e Z são
subconjuntos
de Q.
N
Z
Q

Você já percebeu que:Você já percebeu que:
EntreEntre dois númerosdois números inteirosinteiros existemexistem infinitosinfinitos
númerosnúmeros racionaisracionais??
43
  
initosinf
;...999,3;...;00001,3...;
O conjunto Q também
apresenta os subconjuntos
notáveis:
**
,,*, −−++ QeQQQQ

Quais osQuais os elementoselementos do conjuntodo conjunto
dos númerosdos números irracionaisirracionais??
São númerosSão números decimais infinitosdecimais infinitos, que, que nãonão
sãosão periódicosperiódicos. É representado por. É representado por II..
Exemplos:Exemplos:
N
Z
Q
I
...414213,12 =
...1416,3=π
 0,1234...0,1234...


O conjunto R
também
apresenta os
subconjuntos
notáveis!

E o conjunto dos númerosE o conjunto dos números reaisreais??
É aÉ a uniãounião do conjuntodo conjunto QQ com o conjuntocom o conjunto II..
N
Z
Q
R
I
A reta numérica, agora, é
chamada de reta real!

O que éO que é intervalointervalo??
É aÉ a representaçãorepresentação de algunsde alguns subconjuntossubconjuntos
de Rde R, determinados por uma, determinados por uma desigualdadedesigualdade..
Exemplos:Exemplos:
I) Números reais maiores que -1 e menoresI) Números reais maiores que -1 e menores
que 4, ou seja,que 4, ou seja,
Representação por intervalo:Representação por intervalo:
[1,4][1,4]
-1 4
}41/{ ≤≤−∈ xRx

II)II)
III)III)
IV)IV)
V)V)
VI)VI)
{ } ] ]2,121/ =≤<∈= xRxB
1 2
C=x∈R/−2≤x<0{ }=−2,0[ [
-2 0
{ } ] [3,333/ −=<<−∈= xRxD
-3 3
{ } [ [+∞=≥∈= ,11/ xRxE
1
{ } ] ]5,5/ ∞−=≤∈= xRxF
5

Tente fazer sozinho!Tente fazer sozinho!
Analise a reta abaixo e faça o que se pede:Analise a reta abaixo e faça o que se pede:
a) Escreva o subconjunto de A formadoa) Escreva o subconjunto de A formado
pelos números inteiros.pelos números inteiros.
b) Escreva o subconjunto de A formadob) Escreva o subconjunto de A formado
pelos números naturais.pelos números naturais.
c) Quantos elementos tem oc) Quantos elementos tem o
conjunto A?conjunto A?
-2,6 6

SoluçãoSolução
a) {-2,-1,0,1,2,3,4,5}a) {-2,-1,0,1,2,3,4,5}
b) {0,1,2,3,4,5}b) {0,1,2,3,4,5}
c) Infinitos.c) Infinitos.

QueQue símbolossímbolos usamos parausamos para
relacionar umrelacionar um elementoelemento com umcom um
conjuntoconjunto??
pertence ou não-pertencepertence ou não-pertence
Exemplos:Exemplos:
Sendo o conjunto A = {a,b,c}, podemosSendo o conjunto A = {a,b,c}, podemos
dizer que:dizer que:
∈ ∉
∈
∈
∉
 aa AA
 c Ac A
 d Ad A

QueQue símbolossímbolos usamos parausamos para
relacionar umrelacionar um conjuntoconjunto comcom
outrooutro conjuntoconjunto??
 ContémContém
 Não contémNão contém
 Está contidoEstá contido
 Não está contidoNão está contido
⊃
⊄
⊂
⊃
Se liga!
Contém começa
com c, mas quem
fica com ele é o
está contido.

Quais afirmativas são verdadeiras?Quais afirmativas são verdadeiras?
Ze
QNd
QZc
Qb
Qa
∉−
⊄
⊄
∉
∈
3
2
)
*)
)
...2555,0)
25,0)
Respostas:
A, D e E.

O que éO que é uniãounião de conjuntos?de conjuntos?
É aÉ a somasoma de conjuntos. É indicada pelode conjuntos. É indicada pelo
símbolosímbolo UU..
Exemplos:Exemplos:
I) Sendo A = {3,4,5} e B = {5,6,7}.I) Sendo A = {3,4,5} e B = {5,6,7}.
A U B = {3,4,5,6,7}A U B = {3,4,5,6,7}

II) Sendo A = ]-5,6[ e B = ]-6,4].II) Sendo A = ]-5,6[ e B = ]-6,4].
BB
AA
A U BA U B
-5 6
-6 4
-6 6
] [
{ }66/
6,6
<<−∈=
−=
xRxAUB
AUB

O que éO que é interseçãointerseção dede
conjuntos?conjuntos?
É o subconjunto que representa todos osÉ o subconjunto que representa todos os
elementoselementos queque pertencempertencem a todos osa todos os
conjuntosconjuntos dados.dados.
Exemplos:Exemplos:
I) A = conjunto dos números naturaisI) A = conjunto dos números naturais
B = conjunto dos números inteirosB = conjunto dos números inteiros
ABA =∩

BA∩
II) Sendo A = ]-5,6[ e B = ]-6,4].Sendo A = ]-5,6[ e B = ]-6,4].
-5 6
AA
-6 4
BB
] ]4,5−=∩ BA
{ }45/ ≤<−∈=∩ xRxBA
-5 4

(UFS-SE) Considere os conjuntos:(UFS-SE) Considere os conjuntos:
Para analisar as afirmações que se seguem:Para analisar as afirmações que se seguem:
{ }
{ }
{ }42/
351/
6431/
≤<∈=
≠<≤∈=
≤≤≤<∈=
xRxC
xexRxB
xouxRxA
] ]3,2)
]6,1[)
)
=∩
=∪
⊃
CAc
BAb
CBa

BB
CA∩
A U BA U B
CC
AA
Solução
3 51
2 4
1 6
1 63 4
2 43
] ]3,2)
]6,1[)
)
=∩
=∪
⊃
CAc
BAb
CBa
VV
FF
FF

Como representamos a
diferença entre conjuntos?
Excluindo do primeiro todos os elementos
do segundo.
Exemplos:
I) Sendo A = {0,1,2,3,4,5,...} e
B = {20,21,22}.
A – B={0,1,2,3,...,19} U {23,24,...}
Ou A – B = N - B

A -BA -B
II) Sendo A = ]-5,6[ e B = ]-6,4].Sendo A = ]-5,6[ e B = ]-6,4].
-5 6
AA
-6 4
BB
4 6
] [
{ }64/
6,4
<<∈=−
=−
xRxBA
BA

O que é conjunto complementar?
É a diferença entre um conjunto e um
subconjunto dele.
Exemplos:
I) Sendo A = {0,1,2} e B = {2}.
CA
B
= {0,1}
Pode ser representado
pelos seguintes símbolos:
BAouCB
A −

CCAA
BB
BB
AA
II) Sendo A = [-1,4] e B = ]0,2[.
-1 4
0 2
[ ] [ ]
{ }6201/
6,20,1
≤≤≤≤−∈=
∪−=
xouxRxC
C
B
A
B
A
O complemento de um conjunto A
é a diferença entre o conjunto
Universo e o conjunto A. É
indicado pelos seguintes símbolos:
AAUAC A
U ,,', −
2 60-1

Tente fazer sozinho!
1) (UFPI) Considerando os conjuntos A, B e C
na figura abaixo, a região pintada
representa:
)()
)()
)()
)()
)()
CABe
CABd
CABc
CABb
CABa
∪−
∪∩
∩∪
−∩
−−

a) b)
c) d)
Resposta: E
Solução

{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }1/)
3/)
11/)
01/)
01/)
:)(
,0/
31/
,1/
))(2
−>∈
≤∈
<<−∈
≤<−∈
<<−∈
−∩
≥∈=
≤<−∈=
<∈=
−
xRxe
xRxd
xRxc
xRxb
xRxa
éCBArepresentaqueconjuntooentão
xRxC
exRxB
xRxASe
RJCesgranrio

Solução
-1 3
BB
0
CC
AA
1
CBA −∩ )(
-1 0
-1 1
BA∩
Resposta: A

3) Numa pesquisa de mercado, foram
entrevistados consumidores sobre suas
preferências em relação aos produtos A e
B. Os resultados da pesquisa indicaram que:
• 310 pessoas compraram o produto A
• 220 pessoas compraram o produto B
• 110 pessoas compraram os produtos A e B
• 510 pessoas não compraram nenhum dos dois
Indique o número de consumidores
entrevistados, dividido por 10.

Solução
110 110200 510
200 + 110 + 110 + 510 = 930
930 : 10 = 93
A B

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