O documento discute os conceitos básicos de polinômios, incluindo sua definição, classificação, determinação do grau, ordenação, soma, subtração, multiplicação e divisão. Ele explica como realizar operações com polinômios de uma e mais variáveis.

1. PolinômiosPolinômios

2. O que é um polinômio
Classificar os polinômios
Determinar o grau de um polinômio
Ordenar e completar um polinômio
Somar e subtrair polinômios
Multiplicar polinômios
Dividir um polinômio por um monômio
Dividir um polinômio por outro polinômio
Ao final dessa aula você saberá...

3. O que é polinômio?
É uma adição algébrica de monômios.
Exemplos de polinômios
4a3
x2
+3y 4m2
+3m+1
Atenção!
O 1º exemplo é a soma do monômio 4a3
com o zero.

4. Classificação dos polinômios
Monômios  polinômios com apenas 1 termo
Binômios  polinômios com 2 termos
Trinômios  polinômios com 3 termos
Não existe um nome específico para os
polinômios
que apresentam 4 ou mais termos.

5. Como sabemos o grau de um polinômio?
Verificamos o grau de cada monômio da
expressão. O maior deles é o grau do
polinômio.
Exemplos:
  polinômio do 5º grau
  polinômio do 4º grau
 
graugrau
xyyx
º3
2
º5
32
2+
 
graugraugrau
abbaa
º2º4
22
º3
3
674 −+ 

6. Observação
Polinômios com uma só variável geralmente
são apresentados ordenadamente, começando pelo
monômio de maior grau.
Exemplo:
Ordenar o polinômio 2x2
+ x + 5x3
+ 9.
Resposta: 5x3
+ 2x2
+ x + 9
Verifique que o 9 é um monômio de grau zero.
9 = 9x0

7. O que são polinômios incompletos
em relação a uma variável?
Se um polinômio estiver ordenado e o
coeficiente de algum termo for zero, então
esse polinômio é incompleto.
Exemplos:
x4
– 3 = x4
+ 0x3
+ 0x2
+ 0x – 3
8m3
+ m2
= 8m3
+ m2
+ 0m + 0

8. Qual é a regra para somar e
subtrair polinômios?
Basta fazer a redução dos termos semelhantes.
Exemplos:
a) (y3
– 2y2
+ 5) + (2y3
– 5y – 7) =
y3
– 2y2
+ 5 + 2y3
– 5y – 7 =
3y3
– 2y2
– 5y – 2
b) (6m2
– 7mn + 8n2
) – (8mn + 5m2
– 7n2
) =
6m2
– 7mn + 8n2
– 8mn – 5m2
+ 7n2
=
m2
– 15mn + 15n2

9. Tente fazer sozinho!
Dados os polinômios:
A = 5x2
– 3x + 4
B = 2x2
+ 4x – 3
C = x2
– 3x
Calcule A + C – B

10. Solução
A + C – B =
(5x2
– 3x + 4) + (x2
– 3x) – (2x2
+ 4x – 3)=
5x2
– 3x + 4 + x2
– 3x – 2x2
– 4x + 3 =
5x2
+ x2
– 2x2
– 3x – 3x – 4x + 4 + 3 =
4x2
– 10x + 7

11. Como multiplicamos polinômios?
Aplicando a propriedade distributiva.
Exemplos:
a) – y2
(y3
– 2y2
+ 1) = – y5
+ 2y4
– y2
b) (a + b) (a + b) = a2
+ ab + ab + b2
= a2
+ 2ab + b2

12. Tente fazer sozinho!
Seja A = e B =
Calcule AB.
yx
5
3
2 + yx
2
1
−

13. Solução
A . B =
= =
=






+ yx
5
3
2 





− yx
2
1
10
3
5
3
2
2
2 yxy
xyx −+−
10
3
5
3
5
5
2
2
2 yxyxy
x −+−
10
3
5
2
2
2
2 yxy
x −−

14. Como dividimos um polinômio
por um monômio?
Aplicando a propriedade distributiva.
Exemplos:
a) (15m3
– 10m2
) : (-5m) = - 3m2
+ 2m
b)
=











+− xxxx
3
4
:
2
1
4
3
6 23
8
3
16
9
2
9 2
+−
xx

15. Tente fazer sozinho!
(Cesgranrio - RJ) Simplificando a expressão
, encontramos:
a) 1 + a b) a2
+ a c) 1 + 5a
d) 1 – a e) a3
( ) 5323
: aaaa +

16. Solução
= = 1 + a
Resposta: A
( ) 5323
: aaaa + ( ) 565
: aaa +

17. Para dividir um polinômio por outro
também usamos a distributiva?
Não!
Nesse caso temos que armar a conta, como
se fosse uma divisão de números naturais:
e seguir os passos descritos nos próximos
exemplos.
quociente
dividendo divisor
resto

18. Exemplo 1
Calcule: :
1º passo: ordenar e completar o dividendo, se
necessário.
Nesse caso não será necessário
2º passo: armar a conta.
( )1522
−+ xx ( )5+x
1522
−+ xx 5+x

19. 3º passo: dividir o 1º termo do dividendo pelo
1º termo do divisor.
4º passo: multiplicar o resultado por cada termo
do divisor, colocando a resposta embaixo do
dividendo, com o sinal contrário.
1522
−+ xx 5+x
x
1522
−+ xx 5+x
xxx 52
−−
Para facilitar o próximo passo,
procure colocar os termos
semelhantes na mesma direção.

20. 5º passo: efetuar a soma da 1ª com a 2ª
linha, obtendo um novo dividendo.
6º passo: Verificar se o 1º termo do novo
dividendo é menor que o 1º termo do
divisor. Caso não seja, voltamos ao 3º
passo.
1522
−+ xx 5+x
xxx 52
−−
153 −− x
1522
−+ xx 5+x
3−xxx 52
−−
153 −− x

21. Logo, quociente = x – 3 e resto = 0.
Importante!
Note que para toda divisão vale dizer que
dividendo = divisor x quociente + resto, ou
seja, D = d.q + r
1522
−+ xx 5+x
3−xxx 52
−−
153 −− x
153 +x
1522
−+ xx 5+x
3−xxx 52
−−
153 −− x
153 +x
0

22. Exemplo 2
Encontre o resto da divisão de por .
1º passo:
2º passo: 3º passo:
14
+x 13
+x
1000 234
++++ xxxx
1000 234
++++ xxxx 13
+x 1000 234
++++ xxxx 13
+x
x

23. 4º passo: 5º passo:
6º passo: como o 1º termo do novo dividendo é
menor que o 1º termo do divisor, não podemos
continuar a divisão.
Logo, o quociente = x e o resto = - x +1
4
x−
1000 234
++++ xxxx 13
+x
xx− 4
x−
1000 234
++++ xxxx 13
+x
xx−
1+− x

24. Tente fazer sozinho!
1) (Uespi) O resto da divisão do polinômio
4x3
+ 12x2
+ x – 4 por 2x + 3 é:
a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8
2) Determine o polinômio que dividido por x + 5, tem
por quociente x – 2 e resto 3.

25. Soluções
Exercício 1:
Resposta: E
Exercício 2:
D = d.q + r = (x + 5) (x – 2) + 3 =
x2
– 2x + 5x – 10 + 3 =
x2
+ 3x – 7
432 2
−+ xx
4124 23
−++ xxx 32 +x
23
64 xx −−
46 2
−+ xx
xx 96 2
−−
48 −− x
128 ++ x
8