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1. PROGRESSÕES ARITMÉTICAS

2. AO FINAL DESTA AULA SERÁ IMPORTANTE
ENTENDER:
 Conjunto dos números reais.
 O que é uma sequência numérica?
 Como determinar uma sequência finita ou infinita?
 Como determinar os termos de uma sequência?
 O que é uma sucessão aritmética e soma dos termos de uma
P.A.?

3. O QUE É UMA SEQUÊNCIA NUMÉRICA?
São elementos cujos números pertencem ao conjunto
dos números reais, esses elementos estão dispostos
em uma certa ordem, um conjunto assim é chamado de
sequência numérica.
Quando uma sequência tem infinitos termos ela se
chamara infinita; caso contrário, é uma sequência finita.

4. EXEMPLOS
Sequências infinitas:
Sucessão dos números pares (2, 4, 6, 8 ,...)
Sucessão dos números impares (1, 3, 5, 7,...)
Sequências finitas:
Sucessão dos números (1, 2, 3, 4, 5)
Sucessão dos números (10, 20, 30, 40, 50)

5. O QUE É UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA?
É toda sequência numérica na qual, a partir do
segundo, cada termo é igual à soma de seu
antecessor com uma constante chamada de
razão, essa constante é indicada pela letra r.

6. DETERMINAÇÃO DE UMA SEQUÊNCIA
Determinar uma sequência é saber qual a imagem de
n para todo n lN , e podemos fazê-lo aplicando a lei
de recorrência ou o termo geral.
O que é lei de recorrência?
É uma lei que permite calcular cada termo da
sequência, apartir do termo anterior.
∈ *

7. É necessário também, para determinação da
sequência, que o primeiro termo seja dado.
91811
81711
71611
61511
5:
1
5
55455
44344
33233
22122
1
1
1
=⇒+=⇒+=⇒+=
=⇒+=⇒+=⇒+=
=⇒+=⇒+=⇒+=
=⇒+=⇒+=⇒+=
=



+=
=
+
AAAAnA
AAAAnA
AAAAnA
AAAAnA
ALogo
nA
A
n

8. Onde :
é o primeiro termo.
é o segundo termo.
é o terceiro termo.
é o quarto termo.
é o quinto termo.
1A
2A
5
4
3
A
A
A

9. EXEMPLOS
1) (-5, -3, -1, 1, 3, 5, 7,...) é P.A. de razão r = 2.
2) (8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8,...) é P.A. de razão r = 0.
3) (20, 16, 12, 8, 4, 0) é P.A. de razão r = -4.
Então uma P.A. pode ser:
Crescente: quando r é maior que zero (r > 0).
Constante: quando r é igual a zero (r = 0).
Decrescente: quando r é menor que zero (r < o).

10. AGORA VAMOS ALGUNS EXEMPLOS DE
EXERCÍCIOS
Exemplo 1: Escreva os quatro primeiros termos de uma P.A
sabendo que:
= -3 e r = 4. r = -
= + r = -3 + 4 = 1
= + r =1 + 4 = 5
= + r = 5 + 4 = 9
= + r = 9 + 4 = 13
1A 1A2A
2A1A
⇒
2A 3A
4A
5A
2A ⇒
3A
3A ⇒
4A
4A ⇒ 5A

11. Exemplo 2: Escreva uma P.A. de cinco termos sabendo que:
= e r = 3.
= + r = + 3
= + r = + 6
= + r = + 9
= + r = + 12
1A
2
2A 3A
4A5A
1A2A
3A4A ⇒
⇒
⇒
⇒
2A
3A
4A
5A
2
2
2
2

12. FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A.
Determinar o termo geral de uma P.A. é calcular o valor de uma
termo qualquer. Essa fórmula permite que encontremos,
dados três dos quatro elementos.
Sendo:
termo geral
n números de termos
primeiro termo
r razão
nA
nA ⇒
⇒
1A ⇒
⇒

13. Questão 1: Calcule na P.A.: (2, 5, 8,...)
= + (n – 1). r
= 2 + (20 – 1). 3
= 2 + 19. 3
= 2 + 54
= 59
20A
nA 1A
20A
20A
20A
20A
325
3
20
2
12
1
20
=⇒−=⇒−=
=
=
=
=
rrAAr
onde
r
n
A
AAn

14. Questão 2: Determine a razão, sabendo que = 14 e = 0.
= + ( n – 1 ). r
= 0 + (8 – 1). r
14 = 0 + 7 . r
14 = 7r
r = 14 / 7
r = 2
8A 1A
nA
1AnA
?
8
0
14
1
8
=
=
=
==
r
n
A
AAn

15. AGORA TENTE FAZER SOZINHO.
Determine o sexto termo de uma P.A. onde = - 3 e r = 5
 Só para relembrar é o primeiro termo e r é a
razão.
1A
1A

16. SUBSTITUA NA FÓRMULA OS TERMOS QUE
VOCÊ POSSUI
= - 3
r = 5
 n = 6, pois é o sexto termo dessa P.A.
= ?
= + ( n – 1 ). r
= - 3+ ( 6 – 1 ). 5
= - 3+ 5 . 5
= - 3 + 25
= 22
1A
nA
nA
1A
nA
nA
nA
nA

17. INTERPOLAÇÃO
Agora um outro exercício de P.A. que se chama interpolação.
Este tipo de problema consiste em descobrir a razão, para
podermos determinar os elementos dessa P.A., onde são dados
dois valores (que são as extremidades) e a quantidades de
termos que ficam entre essas extremidades, chamamos de
interpolar.
Exemplo:
Faça a interpolação de cinco meios aritméticos entre - 8 e 22.
Neste caso devemos descobrir cinco números entre - 8 e 22
que formem juntamente com estes a seguinte P.A.

18. 6 RAZÕES
5 meios
O problema fica resolvido com a determinação da razão da P.A.
Como = - 8 e = 22, então:
= + 6 . r 22 = - 8 + 6 . r r = 5
Os números procurados são - 3, 2, 7, 12, 17 e a P.A. é (- 8, - 3,
2, 7, 12, 17, 22)
( )22,,,,,,8 65432 AAAAA−
↑ ↑
1A 7A
1A 7A
7A 1A ⇒ ⇒

19. Obs: Entre – 8 e 22 existem 6 razões, por isso na montagem
da expressão multiplicamos 6. r.
O número que se multiplica pela razão irá varias de acordo com a
quantidades de termos.
1 2 3 4 5 6
( )22,,,,,,8 65432 AAAAA−

20. AGORA TENTE FAZER ESTE EXERCÍCIO.
1 - (FATES) - Interpolar 10 meios aritméticos entre 2 e 57 e
escrever a P. A. correspondente com primeiro termo igual a 2.
Lembre-se que é
preciso determinar a
razão!

21. 11 RAZÕES
10 meios
(são 10 termos entre as extremidades que são 2 e 57)
= + 11 . r
57 = 2 + 11 . r
57- 2 = 11r
r = 55/11
r = 5
( )57,,,,,,,,,,,2 111098765432 AAAAAAAAAA
↑ ↑
1A 12A
12A 1A

22. SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A. FINITA
Podemos definir a soma dos termos de uma P.A. finita através
da fórmula:
Onde:
soma dos termos de uma P.A. finita
primeiro termo
termo geral
n número de termos
2
).( 1 nAA
S n
n
+
=
nS ⇒
1A ⇒
nA ⇒
⇒

23. EXEMPLO
Calcule a soma dos doze primeiros termos da P.A. (- 3, -1, 1, 3,
...).
 Neste caso devemos primeiro determinar o valor de através
da fórmula do termo geral.
r = -
r = (-1) – (-3)
r = 2
nA
rnAAn ).1(1 −+=
2A 1A
19
223
2).112(3
).1(1
=
+−=
−+−=
−+=
n
n
n
n
A
A
A
rnAA

24. Agora podemos utilizar a fórmula de somatória dos termos da
P.A. , já que temos os elementos necessários:
96
2
192
2
12.16
2
12).193(
2
).( 1
⇒=
=
+−
=
+
=
n
n
n
n
n
S
S
S
nAA
S
19=nA
31 −=A
12=n

25. AGORA TENTE FAZER SOZINHO!
2 - (PUC-SP) - Determine uma P.A. sabendo que a
soma de seus 8 primeiros termos é 324 e que = 79.
8A

26. Solução:
2
8
16
8632648
)6328(648
)6328(2.324
2
8).79(
324
2
).(
1
1
1
1
1
1
⇒=
=−
+=
+=
+
=
+
=
A
A
A
A
A
nAA
S n
n
11
7/77
777
7279
).18(279
).1(1
=
=
=
+=
−+=
−+=
r
r
r
r
r
rnAAn

27. SENDO ASSIM OS ELEMENTOS DESSA P.A, SÃO
(2, 13, 24, 35, 46, 57, 68, 79)
Poderemos calcular qualquer termo
das fórmulas gerais desde de que
sejam conhecidos três desses quatro
valores!

28. BIBLIOGRAFIA
FACCHINI,Walter. Matemática Volume Único. Editora
Saraiva, 2007.
BACCARO, Nelson. Matemática; 2ºgrau. Editora
Ática,1995.