3. Círculo TrigonométricoCírculo Trigonométrico
OO ciclo trigonométricociclo trigonométrico é representado por umé representado por um
círculocírculo que apresentaque apresenta raioraio igual aigual a 11 e cujae cuja
circunferênciacircunferência éé orientadaorientada..
xx
yy
5. O que significa aO que significa a
representação de umrepresentação de um ânguloângulo
negativonegativo??
Significa que aSignifica que a localizaçãolocalização dele deve serdele deve ser
procurada noprocurada no sentidosentido contrário (contrário (horáriohorário).).
Exemplos:Exemplos:
xx
yy
º30−
º30
6. Determinação de quadrantesDeterminação de quadrantes
AsAs retasretas xx ee yy dividemdividem oo círculocírculo trigonométricotrigonométrico
emem 44 partes, chamadaspartes, chamadas quadrantesquadrantes..
4º Q4º Q3º Q3º Q
2º Q2º Q 1º Q1º Q
Os quadrantes apresentamOs quadrantes apresentam
sempre a mesma posiçãosempre a mesma posição
no círculo trigonométrico.no círculo trigonométrico.
8. Unidades de medidas de umUnidades de medidas de um
ânguloângulo
GrauGrau
Exemplos: 30º, 60º, 180ºExemplos: 30º, 60º, 180º
rad
2
,rad
5
4
,rad
4
3 πππ
RadianoRadiano
Exemplos:Exemplos:
9. Como passar de grau paraComo passar de grau para
radiano?radiano?
xx
yy
π≅º180
2
º90
π
≅
2
3
º270
π
≅
π2º360 ≅
Basta fazer umaBasta fazer uma
regra de trêsregra de três,,
sabendo que:sabendo que:
π≅º180
11. Como passar de radiano paraComo passar de radiano para
grau?grau?
Ou fazemos umaOu fazemos uma regra de trêsregra de três, ou procedemos, ou procedemos
como no exemplo abaixo:como no exemplo abaixo:
º270
2
180.3
2
180.3
grau.pararad
2
3
Passar
==
π
90º
13. ExercícioExercício
1) Apresente o quadrante onde estão localizados1) Apresente o quadrante onde estão localizados
os seguintes arcos:os seguintes arcos:
280º-c)
5
7
b)138ºa)
π
15. Arcos ou Ângulos CôngruosArcos ou Ângulos Côngruos
(Congruentes)(Congruentes)
Ângulos côngruosÂngulos côngruos sãosão ângulosângulos que apresentam aque apresentam a
mesma extremidademesma extremidade e número dee número de voltas diferentesvoltas diferentes..
Exemplo:Exemplo:
...º960º600º240 ≅≅≅
...º780º420º60 ≅≅≅...º840º480º120 ≅≅≅
...º1020º660º300 ≅≅≅
16. OsOs ângulos côngruosângulos côngruos que distam 60ºque distam 60º
do ângulo de 0º, são:do ângulo de 0º, são:
ouou
...º780º420º60 ≅≅≅
º60º360. +K
17. Fórmula GeralFórmula Geral
Para medidas emPara medidas em grausgraus..
Para medidas emPara medidas em radianosradianos..
KK número de voltasnúmero de voltas
menor determinação positivamenor determinação positiva
α+Kº.360
απ +K.2
α
18. congruênciacongruência
número denúmero de
voltas diferentesvoltas diferentes
mesmamesma
extremidadeextremidade
definiçãodefinição
απ +K.2
α+Kº.360
fórmulafórmula
geralgeral
unidadeunidade
radianoradiano radrad
graugrau ºº
CicloCiclo
TrigonométricoTrigonométrico
círculocírculo r = 1r = 1
PropriedadePropriedade
ss
4 quadrantes4 quadrantes
sentidosentido
anti-horárioanti-horário
circunferênciacircunferência orientadaorientada
arcosarcos
19. Menor DeterminaçãoMenor Determinação
PositivaPositiva
Menor determinação positivaMenor determinação positiva é oé o ânguloângulo queque
apresenta oapresenta o menor módulomenor módulo em um conjunto deem um conjunto de
arcos côngruos.arcos côngruos.
Exemplo:Exemplo:
A menor determinação positiva é 60º.A menor determinação positiva é 60º.
...º780º420º60 ≅≅≅
20. ParaPara calcular a MDPcalcular a MDP de umde um
ângulo, bastaângulo, basta
dividirdividir esse ânguloesse ângulo por 360ºpor 360º. O. O restoresto dessadessa
divisão é adivisão é a MDPMDP..
Exemplo:Exemplo:
A MDP de 1117º é 37º.A MDP de 1117º é 37º.
Logo, a fórmula geral desses arcos éLogo, a fórmula geral desses arcos é
11171117 360360
333737
º37º360 +K
22. ExercícioExercício
2) Apresente a fórmula geral, em graus,2) Apresente a fórmula geral, em graus,
dos arcos côngruos a :dos arcos côngruos a :
5
35π
32. Cosseno de um arcoCosseno de um arco
'
1
'
cos Ox
Ox
hipotenusa
adjacentecateto
a ===
coscos
33. Dependendo do quadrante, oDependendo do quadrante, o sinalsinal dodo
cossenocosseno
também pode sertambém pode ser positivo oupositivo ou negativonegativo..
41. SoluçãoSolução
2
2
-45ºcos-135ºcos ==⇒
( )
( )
c.Letra
423
2
826
24
424224
22
22
22
222
−=
−
=
=
−
−++−
=
=
−
−
+
+−
=
m
m
m
30153015 360360
88135135
( )
22
222
22222
22222
22222
2
2
2
1
+
+−
=
+−=+
+−=+
+−=+
−=
−
+
m
m
mm
mm
m
m
42. Tangente de um arcoTangente de um arco
adjacentecateto
opostocateto
a
asen
tga ==
cos
xx
yy
sen +sen +
cos +cos +
tg +tg +
sen -sen -
cos +cos +
tg -tg -
sen -sen -
cos -cos -
tg +tg +
sen +sen +
cos -cos -
tg -tg -
45. Cotangente de um arcoCotangente de um arco
asen
acos
atg
1
acotg ==
3
4
−=xtg
Exemplo:Exemplo:
Sendo um arco x do 2º quadrante. Se ,Sendo um arco x do 2º quadrante. Se ,
entãoentão
Apresenta o mesmo sinal da tangente!
4
3
−=xtg
46. Exemplo:Exemplo:
Sendo um arco x do 3º quadrante. Se ,Sendo um arco x do 3º quadrante. Se ,
entãoentão
Secante de um arcoSecante de um arco
acos
1
asec =
5
3
cos −=x
Apresenta o mesmo sinal do
cosseno!
3
5
sec −=x
47. Exemplo:Exemplo:
Sendo um arco x do 4º quadrante. Se ,Sendo um arco x do 4º quadrante. Se ,
entãoentão
Cossecante de um arcoCossecante de um arco
asen
1
acossec =
5
4
cos =x
Apresenta o mesmo sinal do seno!
4
5
seccos =x