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Revisão de geometria e medidas
- 3. Relembrando Antes de começar a aula de hoje, precisamos rever alguns pontos de geometria plana e unidades de medidas: Área do retângulo: Área do quadrado: hbA . 2 lA
- 4. Relembrando Diagonal do quadrado: Área do triângulo: 2ld 2 .hb A
- 8. Relembrando Sendo o metro (m) a unidade de medida, temos: 1 m = 10 dm = 100 cm 1 m2 = 100 dm2 = 10000 cm2 1 m3 = 1000dm3 = 1000000 cm3 Observação: 1 dm3 = 1 litro
- 9. Prismas e Cilindros Cilindros retos Volume Área lateral Área da base áreas Cilindro equilátero Caso particular elementos definição Área total Prismas retos áreas volume Área da base Área lateral elementos definição Área total
- 10. Prismas Prisma é uma sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as duas bases se situam em planos paralelos. Exemplos:
- 11. prismas Duas bases paralelas Limitado por faces planas sólido definição
- 12. Prismas Podemos classificar um prisma quanto ao número de arestas da base. Triangular Quadrangular Pentagonal Hexagonal
- 13. prismas Base é um triângulotriangulares Nº de arestas da base classificação Duas bases paralelas Limitado por faces planas sólido definição Base é um quadriláteroquadrangulares Base é um pentágonopentagonal Base é um hexágonohexagonal
- 14. Prismas Podemos classificar um prisma quanto à inclinação das arestas laterais. Oblíquos: arestas laterais oblíquas às bases. Retos: arestas laterais perpendiculares às bases.
- 15. prismas Base é um triângulotriangulares Nº de arestas da base classificação Duas bases paralelas Limitado por faces planas sólido definição Base é um quadriláteroquadrangulares Base é um pentágonopentagonal Base é um hexágonohexagonal retos Arestas laterais oblíquas à base oblíquos Inclinação das arestas laterais definição Arestas laterais perpendiculares à base
- 16. Prismas Os elementos de um prisma reto são:
- 17. Prismas Note que todas as faces laterais dos prismas retos são retângulos
- 18. prismas Base é um triângulotriangulares Nº de arestas da base classificação Duas bases paralelas Limitado por faces planas sólido definição Base é um quadriláteroquadrangulares Base é um pentágonopentagonal Base é um hexágonohexagonal vértices Lateral = altura faces elementos retos Arestas laterais oblíquas à base oblíquos Inclinação das arestas laterais definição Arestas laterais perpendiculares à base base lateral arestas base
- 19. Paralelepípedos Paralelepípedos são prismas quadrangulares, cuja base é um paralelogramo. Quando as bases são retângulos, chamamos de paralelepípedo retângulo.
- 20. Paralelepípedos Podemos calcular a diagonal do paralelepípedo através do Teorema de Pitágoras ou pela fórmula: 222 cbaD
- 21. Paralelepípedos Exemplo: Dado um paralelepípedo retângulo de dimensões 5 cm, 4 cm e 3 cm. Calcule a medida da sua diagonal.
- 23. Exemplo Pela Fórmula: 222 cbaD 2550 25169 543 222 DD D D
- 24. Paralelepípedos Caso particular: Cubo O cubo é um paralelepípedo reto retângulo, no qual todas as faces são quadrados, ou seja todas as arestas apresentam a mesma medida. 3aD
- 25. Paralelepípedos Exemplo: Calcule a diagonal de um cubo, cujo perímetro de uma face é 24 cm. Se o perímetro da é 24cm, então a aresta do cubo mede 24 : 4 = 6 cm 36 3 D aD
- 26. Tente fazer sozinho A aresta de um cubo mede 4 cm. De quantos centímetros deve ser aumentada a medida da diagonal desse cubo, de modo a obter-se um novo cubo cuja aresta meça 6 cm.
- 27. Tente fazer sozinho A aresta de um cubo mede 4 cm. De quantos centímetros deve ser aumentada a medida da diagonal desse cubo, de modo a obter-se um novo cubo cuja aresta meça 6 cm.
- 29. Áreas do Prisma Área da base: é a área do polígono que constitui a base. A) No prisma triangular. 4 3. 2 . 2 l Aou hb A bb
- 30. Áreas do Prisma Exemplo: Calcule a área da base de um prisma triangular regular, sabendo que a altura do triângulo da base mede .34 316 4 38 4 3 834 2 3 22 l A l l h b
- 31. Áreas do Prisma B) No prisma quadrangular. hbAb . 2 lAb
- 32. Áreas do Prisma Exemplo: Uma piscina de fundo retangular de 1,80 m de profundidade, foi instalada em um buraco cujo fundo tem dimensões a 3 m x 5 m. Calcule a área da base da piscina. 2 155.3 . cmA hbA b b
- 33. Áreas do Prisma C) No prisma hexagonal. 2 3.3 2 l Ab
- 34. Áreas do Prisma Exemplo: Os senhores Balo Ofos pediram uma pizza que veio em uma caixa de base hexagonal, calcule á área da base da caixa, sabendo que o lado do hexágono mede 12 cm. 2 2 2 3216 2 3.12.3 2 3.3 cmA l A b b
- 35. Prismas retos áreas Área da base Área do polígono da base vértices Lateral = altura faces elementos definição Arestas laterais perpendiculares à base base lateral arestas base
- 36. Áreas do Prisma Área lateral: é a soma das áreas das faces laterais. A) No prisma triangular Como temos 3 faces laterais, então .hbAl ..3
- 37. Áreas do Prisma Exemplo: O monumento de uma praça no norte da Croácia tem forma de um prisma triangular regular de altura igual a 7m. Calcule a área lateral do monumento, sabendo que a área da base mede .34 2 2 847.4.3 434 4 3 mA ml l A l b
- 38. Áreas do Prisma B) No prisma quadrangular hbAl ..4bcacAl 22
- 39. Áreas do Prisma Exemplo: Para reformar o móvel abaixo, um designer colocará 2 portas e pintará todas as faces laterais. Calcule toda superfície que será pintada?
- 41. Áreas do Prisma C) No prisma hexagonal regular. hbAl ..6
- 42. Áreas do Prisma Exemplo: Um instrumento de base hexagonal regular está sendo testado por uma banda de reagge. Sabendo que as bases desse prisma devem ser vermelhas. Calcule a área, em m2 a ser pintada de amarelo e verde. 22 9,09000 30.50.6 ..6 mcmA A hbA l l l
- 43. Prismas retos áreas Área da base Área do polígono da base Área lateral Soma das áreas dos retângulos das faces laterais vértices Lateral = altura faces elementos definição Arestas laterais perpendiculares à base base lateral arestas base
- 44. Áreas do Prisma Área total: é a área de toda a superfície do prisma, portanto, é a soma das áreas das bases com a área lateral. lbt AAA .2
- 45. Prismas retos áreas Área da base Área do polígono da base Área lateral Soma das áreas dos retângulos das faces laterais vértices Lateral = altura faces elementos definição Arestas laterais perpendiculares à base base lateral arestas base Área total 2Ab + Al
- 46. Áreas do Prisma Exemplo: Seja um prisma reto de 20 cm de altura, cuja base é um triângulo retângulo com catetos de 8 cm e 15 cm. Calcule a área total do prisma.
- 48. Tente fazer sozinho Calcule a medida do lado da base de um prisma hexagonal regular, sabendo que a sua área total é dm2 e que a sua altura é igual ao apótema da base. 3216
- 49. Tente fazer sozinho Calcule a medida do lado da base de um prisma hexagonal regular, sabendo que a sua área total é dm2 e que a sua altura é igual ao apótema da base. 3216
- 51. Tente fazer sozinho (Fatec) A figura abaixo é um prisma reto, cuja base é um triângulo equilátero de cm de lado e cuja altura mede 5 cm. Se M é o ponto médio da aresta DF, calcule o seno do ângulo . 210 EMB
- 52. Tente fazer sozinho (Fatec) A figura abaixo é um prisma reto, cuja base é um triângulo equilátero de cm de lado e cuja altura mede 5 cm. Se M é o ponto médio da aresta DF, calcule o seno do ângulo . 210 EMB
- 54. Áreas do Prisma Caso particular: cubo Como o cubo apresenta todas as faces com a mesma área, então: 2 .6 lAt
- 55. Áreas do Prisma Exemplo: A diagonal de um cubo mede 12 cm. Calcule a área total. 34123 ll 2 2 2 288 346 .6 cmA A lA t t t
- 56. Volume do Prisma O volume de todo prisma é o produto entre a área da base e a altura. hAV b.
- 57. Volume do Prisma Exemplo: Determine o volume da piscina ilustrada abaixo: ldmV cmhAV b 22502250 225000050.150.300. 3 3
- 58. Volume do Prisma Caso particular: cubo Como o cubo apresenta todas as arestas com a mesma medida, então: 32 . . aVaaV hAV b
- 59. Volume do Prisma Exemplo: Um tanque cúbico sem tampa será revestido internamente com uma massa impermeabilizante. Calcule o volume do tanque, sabendo que a área da superfície a ser revestida é 125m2. área revestida = área do cubo – tampa 125 = 6l2 – l2 125 = 5l2 l = 5 m Logo, V = l3 = 53 = 125m3
- 60. Prismas retos áreas volume Área da base Área do polígono da base Área lateral Soma das áreas dos retângulos das faces laterais vértices Lateral = altura faces elementos definição Arestas laterais perpendiculares à base base lateral arestas base Área total 2Ab + Al V = Ab . h
- 61. Tente fazer sozinho (Faap-SP) Sabe-se que foram gastos 0,96 m2 de material para se montar uma caixa cúbica. O volume dessa caixa é: a) 64 dm3 b) 40 cm3 c) 96 dm3 d) 160 cm3 e) 55 dm3
- 62. Tente fazer sozinho (Faap-SP) Sabe-se que foram gastos 0,96 m2 de material para se montar uma caixa cúbica. O volume dessa caixa é: a) 64 dm3 b) 40 cm3 c) 96 dm3 d) 160 cm3 e) 55 dm3
- 64. Tente fazer sozinho (UFPI) A base de um prisma reto é um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 5 cm e um dos catetos mede 3 cm. Se a medida da altura desse prisma é 10 cm, seu volume, em centímetros cúbicos, mede: a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) 100
- 65. Tente fazer sozinho (UFPI) A base de um prisma reto é um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 5 cm e um dos catetos mede 3 cm. Se a medida da altura desse prisma é 10 cm, seu volume, em centímetros cúbicos, mede: a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) 100
- 67. Cilindros Cilindros retos são sólidos de revolução, obtidos através do giro de um retângulo.
- 68. Cilindros retos Gerados pela rotação de um retângulo sólidos definição
- 69. Cilindros Os elementos do cilindro reto são:
- 70. Cilindros retos Geratriz = altura base elementos Gerados pela rotação de um retângulo sólidos definição
- 71. Cilindros Caso particular: cilindro equilátero. O cilindro equilátero apresenta altura com a mesma medida do diâmetro da base.
- 72. Cilindros retos h= 2r Cilindro equilátero Caso particular Geratriz = altura base elementos Gerados pela rotação de um retângulo sólidos definição
- 73. Áreas do Cilindro Área da base: é a área do círculo que constitui a base. 2 .rAb
- 74. Áreas do cilindro Exemplo: Determine a área da base de um cilindro cujo raio do círculo da base mede 4cm. 2 2 2 16 4. . cmA A rA b b b
- 75. Cilindros retos Área do círculo da baseÁrea da base áreas h= 2r Cilindro equilátero Caso particular Geratriz = altura base elementos Gerados pela rotação de um retângulo sólidos definição Ab = πr2
- 76. Áreas do Cilindro Área lateral: é a área da superfície lateral planificada. hrAl ...2
- 77. Áreas do Cilindro Exemplo: A base do ofurô, ilustrado abaixo tem diâmetro igual a 0,8 m. Na fábrica onde é construído, a base cilíndrica não é de madeira e a altura padrão é de 0,7 m. Calcule, em cm2 a área da superfície revestida de madeira. 2 18684,17 70.40.14,3.2 ...2 cmA A hrA l l l
- 78. Cilindros retos Área lateral Área do círculo da baseÁrea da base áreas h= 2r Cilindro equilátero Caso particular Geratriz = altura base elementos Gerados pela rotação de um retângulo sólidos definição Al = 2πrh Ab = πr2
- 79. Áreas do Cilindro Área total: é a área de toda a superfície do prisma, portanto, é a soma das áreas das bases com a área lateral. lbt AAA .2
- 80. Áreas do Cilindro Exemplo: Determine a área total de um cilindro reto, cujo perímetro da base mede 10π cm, igual a medida da altura. cmrr 510..2 2150 25050 25025.2 .2 2 2 t t t lbt A A A AAA 2 2 250 10.5..2 ...2 25. l l l b A A hrA rA
- 81. Cilindros retos Área lateral Área do círculo da baseÁrea da base áreas h= 2r Cilindro equilátero Caso particular Geratriz = altura base elementos Gerados pela rotação de um retângulo sólidos definição Al = 2πrh Área total Ab = πr2 At = 2Ab + Al
- 82. Tente fazer sozinho (UFAM) Uma lata de óleo tem 6 cm de diâmetro na base e 18 cm de altura. Quantos centímetros quadrados de material são usados, aproximadamente, para fabricar essa lata? (Considere π = 3,14) a) 396 b) 126 c) 285 d) 436 e) 578
- 83. Tente fazer sozinho (UFAM) Uma lata de óleo tem 6 cm de diâmetro na base e 18 cm de altura. Quantos centímetros quadrados de material são usados, aproximadamente, para fabricar essa lata? (Considere π = 3,14) a) 396 b) 126 c) 285 d) 436 e) 578
- 85. Áreas do Cilindros Caso particular: cilindro equilátero. Como o cilindro equilátero apresenta altura com a mesma medida do diâmetro da base, então: 222 ..2..4 2..2 rrA rrA t l 2 2 ..6 ..4 rA rA t l
- 86. Áreas do Cilindros Exemplo: Calcule a área lateral e a área total de um cilindro reto equilátero, cujo raio da base mede 5 cm. 1505..6..6 1005..4..4 22 22 rA rA t l
- 87. Volume do Cilindro O volume de todo cilindro é o produto entre a área da base e a altura. hAV b.
- 88. Volume do Cilindro Exemplo: Calcule o volume da piscina abaixo, em litros, sabendo que é um cilindro reto, o diâmetro mede 1m e a altura mede 50 cm. litrosV V hAV b 125 5.5. . 2 dmcm dmrdmm 550 5101
- 89. Volume do Cilindro Caso particular: cilindro equilátero Como o cilindro equilátero apresenta a altura com a mesma medida do diâmetro da base, então: 32 ..2.2. . rVrrV hAV b
- 90. Volume do Cilindro Caso particular: cilindro equilátero Exemplo: Um cilindro equilátero de volume 128π litros, tem diâmetro de quantos centímetros? cmdmrr rr hAV b 40464 2128..2128 . 3 33
- 91. Cilindros retos V = Ab . hVolume Área lateral Área do círculo da baseÁrea da base áreas h= 2r Cilindro equilátero Caso particular Geratriz = altura base elementos Gerados pela rotação de um retângulo sólidos definição Al = 2πrh Área total Ab = πr2 At = 2Ab + Al
- 92. Tente fazer sozinho (UFPI) Um reservatório com capacidade para 6280 litros tem a forma de um cilindro circular reto. Se o raio da base do reservatório mede 1 metro, sua altura, também em metros, mede: (Considere π = 3,14) a) 1 b) 1,4 c) 1,8 d) 2 e) 2,3
- 93. Tente fazer sozinho (UFPI) Um reservatório com capacidade para 6280 litros tem a forma de um cilindro circular reto. Se o raio da base do reservatório mede 1 metro, sua altura, também em metros, mede: (Considere π = 3,14) a) 1 b) 1,4 c) 1,8 d) 2 e) 2,3
- 95. Tente fazer sozinho (UFRN) Nove cubos de gelo, cada um com aresta igual a 3 cm, derretem dentro de um copo cilíndrico vazio, com raio da base também igual a 3cm. Após o gelo derreter completamente, a altura da água no copo será de aproximadamente: a) 8,5 cm b) 8,0 cm c) 7,5 cm d) 9,0 cm
- 96. Tente fazer sozinho (UFRN) Nove cubos de gelo, cada um com aresta igual a 3 cm, derretem dentro de um copo cilíndrico vazio, com raio da base também igual a 3cm. Após o gelo derreter completamente, a altura da água no copo será de aproximadamente: a) 8,5 cm b) 8,0 cm c) 7,5 cm d) 9,0 cm
- 98. Tente fazer sozinho (UFMG) Um aquário cilíndrico, com 30 cm de altura e área da base igual a 1200 cm2, está com água até a metade da sua capacidade. Colocando-se pedras dentro desse aquário, de modo que fiquem totalmente submersas, o nível da água sobe para 16,5 cm. O volume das pedras, em centímetros cúbicos, é: a) 1200 b) 1500 c) 1800 d) 2100
- 99. Tente fazer sozinho (UFMG) Um aquário cilíndrico, com 30 cm de altura e área da base igual a 1200 cm2, está com água até a metade da sua capacidade. Colocando-se pedras dentro desse aquário, de modo que fiquem totalmente submersas, o nível da água sobe para 16,5 cm. O volume das pedras, em centímetros cúbicos, é: a) 1200 b) 1500 c) 1800 d) 2100
- 101. Bibliografia • http://pessoal.sercomtel.com.br/matemati ca/geometria/prisma/prisma.htm • Matemática – Volume Único: Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Degenszajn, David; Périgo, Roberto – Atual Editora – 4ª edição – 2007 – Páginas: 456 até 464. • Figuras: google imagens