Chapitre I prof :ISRINE
Système de numération et représentation de l’information
1. Généralités
Presque tous les ordinateu...
Chapitre I prof :ISRINE
3. Représentation de données numériques
Un nombre réel comporte généralement une partie entière et...
Chapitre I prof :ISRINE
(18)10 = (10010)2
Conversion d’un nombre en base 8
(207)10 = (…)8
207 :8 = 25 et reste = 7
25 :8 =...
Chapitre I prof :ISRINE
1. (145)8 = (…)10
2. (452)8 = (…)10 = (…)16
3. (546)16 = (…)10 = (…)8 = (…)2
4. (458)16 = (…)10 = ...
Chapitre I prof :ISRINE
1. (250.55)10 = (…)2 = (…)8 = (…)16
2. (1001001.011)2 = (…)10 = (…)13
3. (1032.2)8 = (…)10 = (…)2 ...
Chapitre I prof :ISRINE
a. Addition fondamentale
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10
b. Soustraction
0 – 0 = 0
0 – 1 ...
Chapitre I prof :ISRINE
d. Division
Nous avons constaté que la multiplication était basée sur une succession d’addition.
I...
Chapitre I prof :ISRINE
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Symbole :
Norme US :
c. La fonction « OU ».
Equation.
S = A + B
Table de v...
Chapitre I prof :ISRINE
Par exemple l'expression algébrique
(A+B).(A+/C)
Sera schématisée comme suit :
5. Algèbre de Boole...
Chapitre I prof :ISRINE
Idempotence
A.A est équivalent à A
A + A est équivalent à A
Identité
1.A est équivalent à A
0+A es...
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( A . B ) = A + B
6. Un additionneur
Un additionneur est un circuit capable de faire la somme de p...
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Cours architecture

  1. 1. Chapitre I prof :ISRINE Système de numération et représentation de l’information 1. Généralités Presque tous les ordinateurs ne font pas le calcul en base 10. La base 10 est le plus souvent utilisée par les hommes, il faut apprendre à convertir les nombres d’une base de données à une autre. 2. Les systèmes de numération Par définition est l’action ou la manière de représenter les chiffres. Il existe plusieurs systèmes de numération :  Système décimal  Système binaire  Système octal  Système hexadécimal Ces systèmes sont généralement utilisés dans la programmation, Dans la base donnée α un nombre peut être exprimé sous la forme d’un polynôme. Supposons le nombre suivant X = (an an-1 … a0) Exemple : Soit X = 2955 sa forme pronominale est : X = 2x103 + 9x102 + 5x101 + 5x100 a. Le système décimal ou base 10 C’est le système le plus connu et le plus utilisé par les hommes. Il est constitué de 10 symboles ou chiffres appelés digits. Ces symboles sont : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 b. Le système binaire ou base 2 C’est un système composé de 2 symboles 0 et 1 encore appelé digits binaire (binary digit) d’où le nom bit. Ce système est à la base du langage machine (c’est le seul langage compréhensible par l’ordinateur). Le système octal ou base 8 C’est un système intermédiaire constitué de 8 symboles qui sont : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ;7 Le système hexadécimal ou base 16 Le langage utilisé par l’ordinateur pour communiquer est le langage binaire. Or écrire une suite d’instruction dans le langage binaire devient parfois impossible car il faudra systématiquement aligner une suite de 0 et de 1. Ce qui est laborieux et augmente les possibilités d’erreur. C’est la raison pour laquelle le système hexadécimal intervient. Ce système dispose de 16 symboles dont 10 chiffres de 0 à 9 et 6 lettres A ; A ; B ; C ; D ; E et F. A = 10 ; B = 11 ; C = 12 ; D = 13 ; E = 14 ; F = 15
  2. 2. Chapitre I prof :ISRINE 3. Représentation de données numériques Un nombre réel comporte généralement une partie entière et une partie décimale. Dans une base α un nombre X quelconque peut avoir la représentation suivante. X = (anan-1 … a0, b1b2 … bn). Il existe une correspondance entre les bases 10 ; 2 ; 8 et 16. Base 10 Base 2 Base 8 Base 16 0 0000 0 0 1 0001 1 1 2 0010 2 2 3 0011 3 3 4 0100 4 4 5 0101 5 5 6 0110 6 6 7 0111 7 7 8 1000 10 8 9 1001 11 9 10 1010 12 A 11 1011 13 B 12 1100 14 C 13 1101 15 D 14 1110 16 E 15 1111 17 F Pour convertir un nombre d’une base donnée à une autre on convertit la partir entière dans la base voulue et pour la partie décimale on convertit la partie fractionnelle dans la base voulue. a. Conversion de la partie entière Conversion de la base 10 à une base β Il est possible de passer d’un nombre décimal à un nombre en base β en utilisant la division successive par β. On divise successivement le nombre décimal par β en gardant les restes, on s’arrête lorsque le quotient devient nul. Le résultat est obtenu en prenant l’ordre inverse des restes. Exemples : Conversion d’un nombre en base 2. (18)10 = (…)2 18 :2 = 9 et reste = 0 9 :2 = 4 et reste = 1 4 :2 = 2 et reste = 0 2 :2 = 1 et reste = 0 1 :2 = 0 et reste = 1
  3. 3. Chapitre I prof :ISRINE (18)10 = (10010)2 Conversion d’un nombre en base 8 (207)10 = (…)8 207 :8 = 25 et reste = 7 25 :8 = 3 et reste = 1 3 :8 = 0 et reste = 3 (207)10 = (317)8 Exercice : Effectuer les conversions suivantes : (3479)10 = (…)16 ; (145)10 = (…)2 ; (3007)10 = (…)16 ; (452)10 = (…)8 Conversion de la base β à la base 10 De façon inverse il est facile de passer d’un nombre β d’un nombre en base 10 pour multiplication successive de puissance de β : on multiplie chaque élément du nombre en base β élevé à une puissance. Les puissances sont comptées à partir de 0 en partant de la droite vers la gauche, puis on effectue la somme des résultats obtenus :  Trouver la position de chaque chiffre constituant le nombre  On multiplie chaque chiffre par β à la puissance de sa position  Faire la somme des résultats obtenus. Exemple : 1) (1100101)2 = (…)10 2.26 + 1.25 + 0.24 + 0.23 + 1.22 + 0.21 + 1.20 = 64 + 32 + 0 + 0 + 4 + 0 + 1 = (101)10 2) (203)8 = (…)10 2.8² + 0.81 + 3.80 = 128 + 3 = (131)10 3) (76)16 = (…)10 7.161 + 6.160 = 112 + 6 = (118)10 Exercice : Effectuer la conversion suivante :
  4. 4. Chapitre I prof :ISRINE 1. (145)8 = (…)10 2. (452)8 = (…)10 = (…)16 3. (546)16 = (…)10 = (…)8 = (…)2 4. (458)16 = (…)10 = (…)2 5. (DC48)16 = (…)10 = (…)8 6. (100011)2 = (…)10 = (…)8 7. (111001011)2 = (…)10 = (…)16 b. Conversion de la partie décimale Une partie décimale y s’exprime sur la forme suivante y=(0,b1b2...bn) En multipliant y par β on obtient une partie entière et une partie décimale La conversion de la partie décimale peut générer un nombre qui n’a pas une représentation fixe. Exemple : (0.175)10 = (…)2 d0 = 0.175 2d0 = 0.35 d1 = 0.35 et b1 = 0 2d1 = 0.7 d2 = 0.7 et b2 = 0 2d2 = 1.4 d3 = 0.4 et b3 = 1 2d3 = 0.8 d4 = 0.8 et b4 2d4 = 1.6 d5 = 0.6 et b5 = 1 2d5 = 1.2 d6 = 0.2 et b6 = 1 2d6 = 0.4 d7 = 0.4 et b7 = 0 réponse : (0.175)10 = (0.0010110…)2 Exercice : Effectuer les conversions suivantes :
  5. 5. Chapitre I prof :ISRINE 1. (250.55)10 = (…)2 = (…)8 = (…)16 2. (1001001.011)2 = (…)10 = (…)13 3. (1032.2)8 = (…)10 = (…)2 = (…)16 4. (45EA.AB)16 = (…)10 = (…)8 c. Conversion de 2↔8 et 2↔16 Conversion de 2↔8 Etant donné un nombre en base 2 la conversion en base 8 se fait en subdivisant la représentation binaire en groupe de 3 bits en remplaçant chaque groupe par son chiffre correspondant en base 8. La subdivision procède du point décimal vers la gauche pour la partie entière et vers la droite pour la partie décimale. Dans chaque cas on peut avoir à compléter le dernier bit par zéro pour avoir 3 bits. Exemple : (11 001 011. 111 001 11)2 = (313.716)8 Pour passer de la base 8 à la base 2 on remplace chaque chiffre par sa représentation binaire. Exemple : (4375.4012)8 = (1000 011 111 101 . 100 000 001 010)2 Conversion de 2↔16 Chaque symbole de l’alphabet hexadécimal correspond à un nombre de 4 bits. Ainsi on peut passer d’un nombre binaire à un nombre hexadécimal en subdivisant ces nombres binaires en groupe de 4 bits. Pour la partie entière on procède de la droite vers la gauche à partir du point décimal et pour la partie décimale on procède de la gauche vers la droite. Dans chaque cas on peut avoir à compléter le dernier quartet de bit par les 0 pour avoir 4 bits. Exemple : (100 0111 . 1100 0011 0)2 = (47.C30)16 Pour passer de la base 16 à la base 2 il suffit de convertir tout simplement chaque chiffre qui compose le nombre hexadécimal en binaire. Exemple : (13C)16 = (0001 0011 1100)2 4. Opération arithmétique Les opérations sur les nombres binaires s’effectuent de la même façon que sur les nombres décimaux. Toutefois il ne faut pas oublier que les seuls symboles utilisés sont le 1 et 0.
  6. 6. Chapitre I prof :ISRINE a. Addition fondamentale 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10 b. Soustraction 0 – 0 = 0 0 – 1 = 1 et on retient 1 1 – 0 = 1 1 – 1 = 0 0 – 1 – 1 = 0 et on retient 1 c. Multiplication Méthode 1 Dans cette méthode on utilise le même principe que dans la base 10. On multiplie le multiplicande par chacun des bits du multiplicateur, on décale à chaque fois les résultats intermédiaires et on effectue ensuite l’addition de ces résultats partiels. Exemple : 1011 * 111 1011 *111 ______ 1011 1011 1011 ______ 1001101 Méthode 2 On multiplie le premier terme par la somme des puissances de 2 du second terme. Pour cela il suffit de décomposer le second terme sous forme de somme de puissance de 2. Ex : 101011 = 100 000 + 1 000 + 10 + 1 Exemple : 1100 * 1101 = 1100(1000 + 100 + 1) = 1100 000 + 1100 00 + 1100 = 10011100
  7. 7. Chapitre I prof :ISRINE d. Division Nous avons constaté que la multiplication était basée sur une succession d’addition. Inversement la division va être basée sur une succession de soustraction. Exemple : 1100 : 100 = 11 5. OPERATEURS LOGIQUES Les 3 opérateurs de bases sont NON, OU, ET. Les opérations logiques peuvent être réalisées avec des circuits électroniques intégrés. Les entrées et les sorties sont des tensions électriques. Généralement une variable x = 0 correspond à une tension 0 Volt et une variable x = 1 correspond à une tension de 5 Volt. a. La fonction « NON ». Equation : s = A La table de vérité. entrée sortie A S 0 1 1 0 Symbole : Norme US : b. La fonction « ET ». Equation : S = A . B Table de vérité entrée entrée sortie A B S 1 A S
  8. 8. Chapitre I prof :ISRINE 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Symbole : Norme US : c. La fonction « OU ». Equation. S = A + B Table de vérité. A B S 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Symbole. Norme US : d. Réalisation de circuits logiques &  1 A A B B S S
  9. 9. Chapitre I prof :ISRINE Par exemple l'expression algébrique (A+B).(A+/C) Sera schématisée comme suit : 5. Algèbre de Boole L'algèbre de Boole est une algèbre se proposant de traduire des signaux en expressions mathématiques. Grâce à des règles appelées lois de composition a. Loi de composition Les lois de composition sont des règles logiques qui permettent de simplifier l'écriture des expressions algébriques. Associativité (A.B).C est équivalent à A.(B.C) (A+B)+C est équivalent à A+(B+C) Absorption A.(A+B) est équivalent à A A+A.B est équivalent à A Commutativité A.B est équivalent à B.A A+B est équivalent à B+A Distributivité A+(B.C) est équivalent à (A+B).(A+C) A.(B+C) est équivalent à A.B+A.C
  10. 10. Chapitre I prof :ISRINE Idempotence A.A est équivalent à A A + A est équivalent à A Identité 1.A est équivalent à A 0+A est équivalent à A Inversion A./A est équivalent à 0 A+/A est équivalent à 1 Nullité 0.A est équivalent à 0 1+A est équivalent à 1 b. THEOREME DE DEMORGAN 1) Théorème N°1 Le complément d’une somme logique est égal aux produits des termes complémentés de cette somme. Exemple : ( A + B ) = A . B ( A + B + C ) = A . B . C ( A + B ) = A . B 2) Théorème N°2 Le complément d’un produit logique est égal à la somme des termes complémentés de ce produit. Exemple : ( A . B ) = A + B ( A . B . C ) = A + B + C
  11. 11. Chapitre I prof :ISRINE ( A . B ) = A + B 6. Un additionneur Un additionneur est un circuit capable de faire la somme de plusieurs nombres. Une addition met en œuvre deux sorties: la somme la retenue Lorsque l'on fait une somme en décimal (base 10), on ajoute dans un premier temps les deux unités, puis si le résultat obtenu est supérieur à 10, on garde la dizaine restante en retenue, pour l'ajouter lors de la somme des dizaines des deux nombres. Ce procédé est le même en binaire. 7. Additionneur de deux nombres de 1 bit Pour une addition de deux nombres de 1 bit, 4 combinaisons sont possibles, et le résultat occupe 2 bits (un bit pour la somme et un pour la retenue). Voici la table de vérité de cette fonction: Entrée Sortie A B R S 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 L'expression logique de cette fonction est donc: Le circuit peut donc être représenté selon le schéma électrique suivant:

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