Université de Boumerdès Année 2007-2008
Faculté des sciences
Dépt. De Physique
Mécanique rationnelle : LMD-ST3
E.M.D : 01 ...
Exercice 04 : (06 pts)
Deux tiges de masses négligeables sont soudées à 90° comme représenté sur la figure ci-dessous.
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Solution :
Exercice 01 : (4 pts)
1) L’automoment du torseur ;
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Lmd st3 m.r. février2008

  1. 1. Université de Boumerdès Année 2007-2008 Faculté des sciences Dépt. De Physique Mécanique rationnelle : LMD-ST3 E.M.D : 01 Durée : 01h30mn février 2008 Exercice 01 :(04 pts) On considère le torseur [ ]T défini au point A (1, 3, 3), relativement à un repère orthonormé : ),,,(0 →→→ kjiOR [ ]     −+= ++−= = →→→→ →→→→ kjiM kjiR T A A 53 423 Calculer : 1) l’automoment du torseur ; 2) le pas du torseur ; 3) en déduire le torseur au point O 4) l’équation vectorielle de l’axe central. Exercice 02 : (04 pts) Déterminer les coordonnées du centre d’inertie du solide homogène suivant en utilisant le théorème de Guldin Exercice 03 : (04 pts) Déterminer le tenseur d’inertie au point O du système mécanique suivant dans le repère (O,x,y,z). La barre a une masse m, et la plaque rectangulaire a une masse M. R x y O R 2R A a x y O a L a
  2. 2. Exercice 04 : (06 pts) Deux tiges de masses négligeables sont soudées à 90° comme représenté sur la figure ci-dessous. L’une porte une boule de poids P soudée à son extrémité D et une charge de poids 5P à l’autre extrémité C. La deuxième barre est maintenue par une articulation cylindrique en A et sphérique en B. Ce système est en équilibre statique dans la position indiquée, à l’aide d’un moteur qui développe un couple de moment → M . On donne : OA =OB = OC= 6 m ; OD = 2 m 1) Donner les coordonnées des points: A, B, C, D ; 2) Ecrire les équations d’équilibre statique du système; 3) Déterminer les réactions aux points A et B ainsi que le moment M en fonction de P. D L A x z y P B →− M C L OL/2 L 5P
  3. 3. Solution : Exercice 01 : (4 pts) 1) L’automoment du torseur ; 172063 −=−+−=•= →→ Am MRA 2) le pas du torseur ; 29 17 2 −= • = →→ R MR P A 3) En déduire le torseur au point O →→−→→ ∧+= ROAMM AO ; 6 10 7 4 2 3 3 3 1 5 3 1           −=          − ∧           +           − = → OM 4) Equation vectorielle de l’axe central.           + + − =          − +           −∧          − =+ ∧ = → →−→ →−− λ λ λ λλ 416 246 352 29 1 4 2 3 6 10 7 4 2 3 29 1 2 R R MR OP O Exercice 02 : (4 pts) 2222 3)2( RRRh =−= ⇒ 3Rh =         − +− = − −− == − − 2 3. 4 )2( 2 3. 3 1 3.)2( 3 2 )(2 )( .2 2 223 / RRR RRRRR SS VVV S V x triangledisquequart conecylidresphèredemi tot ytot G π π πππ ππ         − − = − − == − − 2 3. 4 )2( 2 .)3.( 3 1 )2( 3 2 )(2.2 2 23 / RRR RRR SS VV S V x triangledisquequart conesphèredemi tot ytot G π π ππ ππ Exercice 03 : (04 pts) )()()( plaqueIbarreIsystèmeI OOO += A a x y O a L aG y 1 1 1 1 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 x y h z R
  4. 4.                 = 3 00 0 3 0 000 )( 2 2 mL mL barreIO , Pour la plaque nous utiliserons le théorème de Huygens : [ ]2 )()( dMplaqueIplaqueI GO += ; avec : )0,0, 2 ( a LOG +                 = 12 5 00 0 12 0 00 12 )2( )( 2 2 2 Ma Ma aM barreIG ;                 ++ ++= 2 2 2 2 2 ) 2 ( 12 5 00 0) 2 ( 12 0 00 12 )2( )( a LM Ma a LM Ma aM barreIO                 +++ +++= 3 ) 2 ( 12 5 00 0 3 ) 2 ( 12 0 00 12 )2( )( 2 2 2 2 2 2 2 mLa LM Ma mLa LM Ma aM systèmeIO Exercice 04 : (08 pts) 1) Donner les coordonnées des points: A, B, C, D ;      −= →− 0 6 0 OA ;      = →− 0 6 0 OB ;      = →− 0 0 6 OC ;     − = →− 0 0 2 OD 2) Ecrire les équations d’équilibre statique du système; ∑ →→ = i iF 0 ⇔ →→→→→ =+++ 021 PPRR BA (1) 1 0,5 0,5 2x 0,5 2x 0,5 4x 0,25 0,5
  5. 5. ∑ →→−−− = i BiFM 0)( / ⇔ →→→→−→→−→→− =+∧+∧+∧ 021 MPBCPBDRBA A (2)      = →− Az Ax A R O R R ;      = →− Bz By Bx B R R R R ;      − = →− P P 0 0 1 ;      − = →− P P 5 0 0 2 0=+ AxBx RR (3) 0=ByR (4) 05 =−−+ PPRR BzAz (5) 0 0 0 0 0 5 0 0 0 6 6 0 0 0 6 2 0 0 12 0           =           −+           − ∧           −+           − ∧           − − +           ∧           − M PPR R Az Ax 030612 =++− PPRAz (6) 0302 =−+− MPP (7) 0=AxR (8) 3) Réactions aux points A et B ainsi que le moment M en fonction de P. (8) ⇒ 0=AxR (7) ⇒ PM 28= (6) ⇒ PRAz 3= (5) ⇒ PRBz 3= (4) ⇒ 0=ByR (3) ⇒ 0=BxR PRA 3= ; PRB 3= ; PM 28= 0,5 4x 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 2 x 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5
  6. 6. ∑ →→−−− = i BiFM 0)( / ⇔ →→→→−→→−→→− =+∧+∧+∧ 021 MPBCPBDRBA A (2)      = →− Az Ax A R O R R ;      = →− Bz By Bx B R R R R ;      − = →− P P 0 0 1 ;      − = →− P P 5 0 0 2 0=+ AxBx RR (3) 0=ByR (4) 05 =−−+ PPRR BzAz (5) 0 0 0 0 0 5 0 0 0 6 6 0 0 0 6 2 0 0 12 0           =           −+           − ∧           −+           − ∧           − − +           ∧           − M PPR R Az Ax 030612 =++− PPRAz (6) 0302 =−+− MPP (7) 0=AxR (8) 3) Réactions aux points A et B ainsi que le moment M en fonction de P. (8) ⇒ 0=AxR (7) ⇒ PM 28= (6) ⇒ PRAz 3= (5) ⇒ PRBz 3= (4) ⇒ 0=ByR (3) ⇒ 0=BxR PRA 3= ; PRB 3= ; PM 28= 0,5 4x 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 2 x 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5

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