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2. iPor favor, poderia me dizer que caminho devo seguir agora?Isso depende bastante de até onde você quer chegar.Lewis Carrol - Alice no País das MaravilhasAtravés dos séculos a Matemática tem sido a mais poderosa e efetiva ferra-menta para a compreensão das leis que regem a Natureza e o Universo.Os tópicos introdutórios que apresentamos neste livro originaram-se, inicial-mente, dos problemas práticos que surgiram no dia a dia e que continuaramimpulsionados pela curiosidade humana de entender e explicar os fenônemosque regem a natureza.Historicamente, o Cálculo Diferencial e Integral de uma variável estuda dois ti-pos de problemas: os associados à noção de derivada, antigamente chamadosde tangências e os problemas de integração, antigamente chamados de qua-draturas. Os relativos à derivação envolvem variações ou mudanças, comopor exemplo, a extensão de uma epidemia, os comportamentos econômicosou a propagação de poluentes na atmosfera, dentre outros. Como exemplosde problemas relacionados à integração destacam-se o cálculo da áreas de re-giões delimitadas por curvas, do volume de sólidos e do trabalho realizadopor uma partícula.Grande parte do Cálculo Diferencial e Integral foi desenvolvida no século XVI-II por Isaac Newton para estudar problemas de Física e Astronomia. Aproxi-madamente na mesma época, Gottfried Wilhelm Leibniz, independentementede Newton, também desenvolveu considerável parte do assunto. Devemos aNewton e Leibniz o estabelecimento da estreita relação entre derivada e inte-gral por meio de um teorema fundamental. As notações sugeridas por Leibnizsão as universalmente usadas.O principal objetivo do livro foi apresentar os primeiros passos do Cálculo Di-ferencial e Integral de uma variável com simplicidade, através de exemplos,mas sem descuidar do aspecto formal da disciplina, dando ênfase à interpre-tação geométrica e intuitiva dos conteúdos.O livro inclui a maioria da teoria básica, assim como exemplos aplicados eproblemas. As provas muito técnicas ou os teoremas mais sofisticados quenão foram provados no apêndice, foram ilustrados através de exemplos, apli-cações e indicações bibliográficas adequadas e estão incluidos como referênciaou leitura adicional para os leitores interessados.Os conceitos centrais do Cálculo Diferencial e Integral de uma variável são re-lativamente profundos e não se espera que possam ser assimilados de uma só

3. iivez. Neste nível, o importante é que o leitor desenvolva a habilidade de calcu-lar e adquira a compreensão intuitiva dos problemas. As expressões do tipo éfacil verou semelhantes, que aparecem no texto, não devem ser encaradas deforma literal e tem o propósito de dar um aviso ao leitor de que naquele lugara apresentação é resumida e os detalhes, perfeitamente acessíveis, deverão serpreenchidos.Esperamos que o livro permita ao leitor um acesso rápido e agradável ao Cál-culo Diferencial e Integral de uma variável.Não podemos deixar de recomendar aos alunos a utilização, criteriosa, dossoftwares de Cálculo existente no mercado, pois eles são um complemento útilao aprendizado da disciplina.Desejamos agradecer aos nossos colegas do Departamento de Análise e doIME-UERJ que, de algum modo, nos motivaram e deram condições para es-crever estas notas e à Sra. Sonia M. Alves pela digitação. O texto foi digitadoutlizando Amstex e a maioria dos desenhos foram feitos utilizando o softwareMathematica. Certamente, todos os erros são exclusivamente de responsabili-dade dos autores. Mauricio A. Vilches- Maria Luiza Correa Rio de Janeiro

4. iii Copyright by Mauricio A. Vilches Todos os direitos reservadosProibida a reprodução parcial ou total

5. iv

6. Conteúdo1 Introdução 1 1.1 Desiguldades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.3 Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Distância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Plano Coordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.6 Equação da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6.1 Equação Geral da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6.2 Equação Reduzida da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.6.3 Paralelismo e Perpendicularismo de Retas . . . . . . . . 10 1.7 Equação das Cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.8 Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.9 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Funções de uma Variável Real 25 2.1 Definições e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Gráficos de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3 Exemplos de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3.1 Função Modular ou Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . 39 2.3.2 Funções Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.3 Funções Pares e Ímpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.4 Interseção de Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.5 Ágebra de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.5.1 Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.6 Composta de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.7 Inversa de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.7.1 Método para Determinar a Inversa . . . . . . . . . . . . . 58 2.8 Função Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.8.1 Crescimento e Decaimento Exponencial . . . . . . . . . . 65 2.8.2 Função Logística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.9 Função Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 v

7. vi CONTEÚDO 2.9.1 Desintegração Radioativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.10 Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.10.1 Função Seno e Co-seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.10.2 Função Tangente e Secante . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.10.3 Função Co-tangente e Co-secante . . . . . . . . . . . . . . 74 2.11 Funções Trigonométricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.11.1 Função Arco seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.11.2 Função Arco co-seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.11.3 Função Arco tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.11.4 Função Arco secante, co-tangente e co-secante . . . . . . 83 2.12 Funções Hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 2.13 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883 Limite e Continuidade de uma Função 95 3.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.1.1 Definições e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.1.2 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.1.3 Limites no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.1.4 Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.1.5 Símbolos de Inderminação . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.1.6 Limites Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3.1.7 Assíntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 3.2 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 3.2.1 Teorema do Valor Intermediário . . . . . . . . . . . . . . 126 3.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304 Derivada 139 4.1 Reta Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 4.2 Funções Deriváveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 4.3 Regras de Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 4.4 Derivada da Função Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 4.4.1 Derivada da Função Exponencial . . . . . . . . . . . . . . 154 4.4.2 Derivada da Função Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . 156 4.4.3 Derivada das Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . 159 4.4.4 Derivada das Funções Trigonométricas Inversas . . . . . 161 4.4.5 Derivada das Funções Hiperbólicas . . . . . . . . . . . . 162 4.5 Derivação Implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 4.5.1 Cálculo da Derivada de uma Função Implícita . . . . . . 165 4.6 Famílias de Curvas Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 4.7 Derivadas de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 4.8 Aproximação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

8. CONTEÚDO vii 4.9 Velocidade e Aceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 4.10 A Derivada como Taxa de Variação . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 4.11 Exercícios I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 4.12 Variação de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 4.13 Funções Monótonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 4.14 Determinação de Máximos e Mínimos . . . . . . . . . . . . . . . 204 4.15 Concavidade e Pontos de Inflexão . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 4.16 Esboco do Gráfico de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 4.17 Problemas de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 4.18 Teorema de L’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 4.19 Exercícios II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2395 Integração Indefinida 246 5.1 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 5.2 Métodos de Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 5.2.1 Método de Substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 5.2.2 Integrais que Envolvem Produtos e Potências de Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 5.2.3 Integração Por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 5.2.4 Substituição Trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 5.2.5 Integração de Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . 262 5.2.6 Tangente do Ângulo Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 5.3 Aplicações da Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 5.3.1 Obtenção de Famílias de Curvas . . . . . . . . . . . . . . 272 5.3.2 Outras Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 5.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2766 Integração Definida 282 6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 6.2 Definição e Cálculo da Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . 288 6.2.1 Teorema Fundamental do Cálculo . . . . . . . . . . . . . 290 6.3 Contrução de Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 6.4 Aplicações da Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 6.4.1 Aceleração, velocidade e posição . . . . . . . . . . . . . . 300 6.5 Cálculo de Áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 6.6 Volume de Sólidos de Revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 6.6.1 Cálculo do Volume do Sólidos . . . . . . . . . . . . . . . 321 6.6.2 Outros Eixos de Revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 6.6.3 Métodos das Arruelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 6.7 Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 6.8 Logaritmo Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

9. viii CONTEÚDO 6.8.1 Logaritmo Natural como Área . . . . . . . . . . . . . . . 338 6.9 Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 6.10 Integrais Impróprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 6.10.1 Integrais Definidas em Intervalos Ilimitados . . . . . . . 341 6.10.2 Integrais de Funções Descontínuas . . . . . . . . . . . . . 348 6.11 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3537 Exercícios Resolvidos 3658 Apéndice 4019 Respostas 41110 Bibliografia 429

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