2.  Una variable aleatoria x tiene una distribución
Gamma si su densidad de probabilidad esta dada
por:
k 1 kx
F ( x) x e 0 x , 0, k 0
( )

3.  Esta distribución continua depende de dos
parámetros
 parámetro que varia la forma de la distribución
 k parámetro que varia la escala de la distribución
 Parámetros en R
 A continuación veremos una breve explicación de
la función gamma que interviene en la definición de
la distribución gamma

4. Función Gamma
o Función factorial o Integral Euleriana de Segunda
especie
Es una función que extiende el concepto
de factorial a los números complejos.
k 1 x
( ) x e dx k 0 x 0
0
Si k es un numero entero positivo entonces
( ) ( 1)!

5.  Demostración
vamos au x 1 por partes
integrar dv e-x dx
2
du ( 1) x dx v -e-x
2
( ) ( 1) x e x dx ( 1) ( 1)
0
y sucesivamente
( ) = ( -1)( -2)( -3)... (1), pero
(1) = 1 por integración directa.
( +1) = ( )
(5)=4 (4) =4.3 (3)=4.3.2 (2)=4.3.2 (1)=4.3.2.1

6. Distribución exponencial caso particular cuando =1
y sabiendo que (1)=1
k 1 kx
F(X ) x e
( )
1
k 1 1 kx
F(X ) x e
(1)
k 0 kx
F(X ) xe
1
F(X ) ke kx

7.  MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN
GAMMA
= E[X] = , 2 = V[X] = 2

8. El tiempo en horas que semanalmente requiere una
máquina
para mantenimiento es una variable aleatoria con
distribución
Gamma con parámetros =3, =2
a)Encuentre la probabilidad que en alguna semana el
tiempo de mantenimiento sea mayor a 8 horas

9. Solución
Sea X duración del mantenimiento en horas (variable aleatoria)
Su densidad de probabilidad es:
x
1 1
F(X ) x e
( )
x
1 3 1 2
3
x e
2 (3)
x
1 2 2
xe
16

10. Probabilidad de que el tiempo de mantenimiento sea
mayor a 8 horas
El área
Resaltada
corresponde
a P(x>8)
8 x
1
1 P( x 8) 1 x 2e 2 dx 0.2381
16 0