geometri analitik Lecture 3

Geometri Analitik (lecture 3)

M. Januar Ismail, M.Si.

UIN SGD

Juli 2012

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 1 / 28

Outline

1 Irisan Kerucut (konik) dan koordinat kutub
De…nisi Elips dan Hiperbol tanpa ke-eksentrikan
Contoh sifat dawai

2 Translasi Sumbu
Pendahuluan
Contoh Translasi sumbu
Melengkapkan Kuadrat
Contoh MKuadrat

3 Daftar pustaka


Review kemiringan garis singgung pada kurva

Kemiringan garis singgung pada kurva y = f (x ) di titik (x0, y0 ) adalah

m = f 0 (x0 )


Pendahuluan

Kita telah mende…nisikan elips dan Hiperbola dengan menggunakan
keeksentrikan.


Pendahuluan

Kita telah mende…nisikan elips dan Hiperbola dengan menggunakan
keeksentrikan.
Syarat jPF j = e jPLj menentukan elips apabila 0 < e < 1 dan
hiperbola apabila e > 1.


Definisi Elips dan Hiperbol yang lainnya

Definisi
Sebuah Elips adalah himpunan semua titik P pada sebuah bidang yang
jumlah jaraknya terhadap dua titik tetap pada bidang itu (fokus) sama
dengan 2a.

Definisi
Sebuah Hiperbol adalah himpunan semua titik P pada sebuah bidang yang
selisih jaraknya terhadap dua titik tetap pada bidang itu (fokus) sama
dengan 2a.Selisih artinya jarak panjang dikurangi jarak pendek.


Arti Geometris Deﬁnisi


Penurunan Sifat dawai elips dan hiperbol

De…nisi baru tentang elips dan hiperbol tadi dinamakan sifat dawai elips
dan hiperbol. Selanjutnya akan dibuktikan dari de…nisi keeksentrikan elips
dan hiperbol dapat diperoleh sifat dawai elips dan hiperbol.
Elips dan hiperbol memiliki dua fokus dan dua garis arah.



Kita letakkan sumbu panjang pada sumbu-x dan pusat pada titik asal.



Kita letakkan sumbu panjang pada sumbu-x dan pusat pada titik asal.
Fokus-fokus berada di titik ( ae, 0) dan persamaan garis arahnya
x = a/e.


Ilustrasi Langkah sebelumnya


Pembuktian sifat dawai dari keeksentrikan

Apabila kita mengambil titik sebarang P (x, y ) pada elips
Gunakan jPF j = e jPLj untuk fokus dan garis arah sebelah kiri



Gunakan jPF j = e jPLj untuk fokus dan garis arah sebelah kanan



Diperoleh, dari fokus kiri

PF 0 = e (x + a/e ) = ex + a




PF 0 = e (x + a/e ) = ex + a

fokus kanan
jPF j = e (a/e x) = a ex




PF 0 = e (x + a/e ) = ex + a

fokus kanan
jPF j = e (a/e x) = a ex

Sehingga,
PF 0 + jPF j = 2a


Perhatikan pada hiperbola, terdapat dua kasus
Apabila kita mengambil titik sebarang P (x, y ) pada cabang kanan,
maka

PF 0 = e (x + a/e ) = ex + a
dan
jPF j = e (x a/e ) = ex a


maka

PF 0 = e (x + a/e ) = ex + a
dan
Sehingga,
PF 0 jPF j = 2a


maka

PF 0 = e (x + a/e ) = ex + a
dan
Sehingga,
PF 0 jPF j = 2a
Jika P (x, y ) kita ambil pada cabang kiri, kita peroleh 2a sebagai
ganti 2a.


maka

PF 0 = e (x + a/e ) = ex + a
dan
Sehingga,
PF 0 jPF j = 2a
Jika P (x, y ) kita ambil pada cabang kiri, kita peroleh 2a sebagai
ganti 2a.
Jadi untuk kedua kasus ini diperoleh,
PF 0 jPF j = 2a


Contoh 1

Tentukan persamaan himpunan titik-titik, yang jumlah jaraknya terhadap
titik-titik ( 3, 0) adalah 10.
Penyelesaian : Hal ini adalah sebuah elips mendatar dengan a = 5
p
dan c = 3, sehingga b = a2 c 2 = 4. Jadi persamaan himpunan
tersebut adalah
x2 y2
+ =1
25 16


Contoh 2

Tentukan persamaan himpunan titik-titik, yang selisih jaraknya dari
titik-titik (0, 6) adalah 4.
Penyelesaian : Himpunan itu adalah sebuah hiperbol tegak dengan
p p p
a = 2 dan c = 6, sehingga b = c 2 a2 = 32 = 4 2. Jadi
persamaan Hiperbol tersebut adalah

x2 y2
+ =1
32 4


Sifat Oftis


Persamaan garis singgung dan gradiennya pada elips dan
hiperbol

Elips
x2 y2
+ 2 =1
a2 b


hiperbol

Elips
x2 y2
+ 2 =1
a2 b
Kemiringan garis singgung di (x0 , y0 )

b 2 x0
m=
a2 y0


hiperbol

Elips
x2 y2
+ 2 =1
a2 b

b 2 x0
m=
a2 y0

Persamaan garis singgung di (x0 , y0 )
x0 x y0 y
2
+ 2 =1
a b


hiperbol

Hiperbol
x2 y2
=1
a2 b2


hiperbol

Hiperbol
x2 y2
=1
a2 b2

b 2 x0
m=
a2 y0


hiperbol

Hiperbol
x2 y2
=1
a2 b2

b 2 x0
m=
a2 y0

Persamaan garis singgung di (x0 , y0 )
x0 x y0 y
=1
a2 b2


Pendahuluan

Hingga sekarang konik-konik diletakkan pada sebuah sistem koordinat
dalam kedudukan yang istimewa.


Pendahuluan

Hingga sekarang konik-konik diletakkan pada sebuah sistem koordinat
dalam kedudukan yang istimewa.
Selanjutnya akan kita letakkan konik dalam kedudukan yang lebih
umum, tetapi sumbu panjang tetap diambil sejajar dengan salah satu
sumbu koordinat.


Alat bantu berupa Lingkaran

Perhatikan persamaan sebuah lingkaran dengan jari-jari 5 yang berpusat di
(2, 3) adalah
(x 2)2 + (y 3)2 = 25
atau dengan kesetaraan diperoleh

x2 + y2 4x 6y = 12

Persamaan lingkaran yang sama yang berpusat di titik asal sistem
koordinat uv mempunyai persamaan lebih sederhana

u 2 + v 2 = 25


Alat bantu berupa Lingkaran

Perhatikan persamaan sebuah lingkaran dengan jari-jari 5 yang berpusat di
(2, 3) adalah
(x 2)2 + (y 3)2 = 25
atau dengan kesetaraan diperoleh

x2 + y2 4x 6y = 12

Persamaan lingkaran yang sama yang berpusat di titik asal sistem
koordinat uv mempunyai persamaan lebih sederhana

u 2 + v 2 = 25

Penggunaan sumbu koordinat yang baru tidak mengubah bentuk
kurva, tetapi menyederhanakan persamaannya. Penggunaan sumbu
koordinat baru ini disebut translasi sumbu.


Ilustrasi


Translasi Sumbu

Deﬁnisi
Jika sumbu yang baru tersebut kita letakkan dalam satu bidang, tiap titik
akan memiliki dua pasang koordinat, yaitu koordinat lama (x, y ) relatif
terhadap sumbu lama dari koordinat baru (u, v ) terhadap sumbu baru.
Dikatakan bahwa koordinat yang semula mengalami transformasi. Jika
sumbu-sumbu yang baru masing-masing sejajar dengan sumbu yang lama
dan searah, transformasi itu dinamakan translasi sumbu.


Translasi Sumbu

Dapat dilihat bagaimana hubungan antara koordinat baru (u, v ) dan
koor…nat lama (x, y ). Andaikan (h, k ) koordinat lama dari titik asal
yang baru, maka
u = x h, v = y k


Translasi Sumbu

Dapat dilihat bagaimana hubungan antara koordinat baru (u, v ) dan
koor…nat lama (x, y ). Andaikan (h, k ) koordinat lama dari titik asal
yang baru, maka
u = x h, v = y k

Atau secara ekuivalen

x = u + h, y = v +k


Ilustrasi


Contoh 1

Tentukan koordinat baru P ( 6, 5) setelah sumbu-sumbu ditranslasi ke
titik asal baru di (2, 4) .
Penyelesaian : Di sini h = 2 dan k = 4, maka

u=x h= 6 2= 8 v =y k=5 ( 4) = 9


Contoh 1

Tentukan koordinat baru P ( 6, 5) setelah sumbu-sumbu ditranslasi ke
titik asal baru di (2, 4) .
Penyelesaian : Di sini h = 2 dan k = 4, maka

u=x h= 6 2= 8 v =y k=5 ( 4) = 9

jadi koordinat baru titik P adalah ( 8, 9).


Contoh 2
Diketahui x 2 + y 2 4x 6y = 12, tentukan persaman kurva tersebut
setelah dilakukan translasi sumbu ke titik asal baru (2, 3).
Penyelesaian : Dalam persamaan kurva kita ganti x menjadi dalam
variabel u, x = u + h = u + 2 dan y dengan y = v + k = v + 3.
Jadi diperoleh,

(u + 2)2 + (v + 3)2 4 (u + 2) 6 (v + 3) = 12

atau

u 2 + 4u + 4 + v 2 + 6v + 9 4u 8 6v 18 12 = 0


Contoh 2
Diketahui x 2 + y 2 4x 6y = 12, tentukan persaman kurva tersebut
setelah dilakukan translasi sumbu ke titik asal baru (2, 3).
Penyelesaian : Dalam persamaan kurva kita ganti x menjadi dalam
variabel u, x = u + h = u + 2 dan y dengan y = v + k = v + 3.
Jadi diperoleh,

(u + 2)2 + (v + 3)2 4 (u + 2) 6 (v + 3) = 12

atau

u 2 + 4u + 4 + v 2 + 6v + 9 4u 8 6v 18 12 = 0

Sehingga,
u2 + v 2 25 = 0
persamaan ini adalah sebuah lingkaran.


Melengkapkan kuadrat

Diketahui sebuah persamaan kuadrat yang rumit. Bagaimana kira
dapat mengetahui translasi mana yang dapat menyederhanakan
persamaan itu sehingga dapat dikenali? Untuk mengetahui ini kita
menggunakan suatu proses aljabar yang disebut melengkapkan
kuadrat. Khususnya, kita dapat menggunakan proses itu untuk
menghilangkan suku-suku yang berpangkat satu, dalam bentuk

Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, A 6= 0, C 6= 0


Contoh MKuadrat
Buatlah suatu translasi yang dapat menghilangkan suku-suku pangkat satu
dalam bentuk
4x 2 + 9y 2 + 8x 90y + 193 = 0
dan gunakan pengetahuan tersebut untuk membuat sketsa gra…knya.
Penyelesaian : Untuk melengkapkan menjadi sebuah kuadrat bentuk
a2
x 2 + ax kita harus menambahkan dengan .
4
4 x 2 + 2x + + 9 y2 10y + = 193
4 x 2 + 2x + 1 + 9 y 2 10y + 25 = 193 + 4 + 225
2 2
4 (x + 1) + 9 (y 5) = 36
2 2
(x + 1) (y 5)
+ = 1
9 4


Contoh MKuadrat

Apabila digunakan translasi u = x + 1 dan v = y 5 persamaan
tersebut menjadi
u2 v2
+ =1
9 4


Contoh MKuadrat

Apabila digunakan translasi u = x + 1 dan v = y 5 persamaan
tersebut menjadi
u2 v2
+ =1
9 4
yang merupakan persamaan elips mendatar dengan titik pusat di
( 1, 5)


Sketsa graﬁk


Daftar pustaka

Purcell dan Dale, Kalkulus dan Geometri analitik jilid 2, Erlangga.


geometri analitik Lecture 3

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

Plus de Chaerul Uman

Plus de Chaerul Uman (8)

Dernier

Dernier (20)

geometri analitik Lecture 3