Este documento presenta las leyes de la teoría de exponentes y las operaciones con raíces. En resumen: 1) La potencia de una base con exponente par es siempre positiva, mientras que la potencia de una base con exponente impar depende del signo de la base. 2) Si el índice de una raíz es impar, el resultado tendrá el mismo signo que la cantidad subradical. Si el índice es par y la cantidad subradical es positiva, el resultado será positivo o negativo, pero si la cantidad subradical es neg

1. [+]
a) ––– = [+]
[+]
b) ––– = [-]
α 1.- Calcular el valor de:
α
[+] [-]
2x+4 + 36(2x-2)
E = ––––––––––––––––––––––––––––––
[-] [-] 2x+5 - 2(2x+3) - 4(2x+1) - 6(2x-1)
c) ––– = [+] d) ––– = [-]
[-] [+]
Solución:
Por la ley de la teoría de exponentes se conoce
POTENCIACIÓN
que:
m
La potencia de una base con exponente par, siempre am+n = am . an ; am-n = a n
––
es positiva; pero la potencia de una base con expo- a
nente impar, depende del signo de la base: Aplicando al ejercicio:
( )
x
2
a) [+]par = [+] 2x . 24 + 36 –––
22
E = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––
b) [+]impar = [+]
[-] par
2x
2x . 25 - 2(2x . 23) - 4(2x . 21) - 6 –––
2 ( )
α
c) = [+]
Operando apropiadamente:
impar
d) [-] = [-]
16 . 2x + 9 . 2x
E = ––––––––––––––––––––––––––––
RADICACIÓN 32 . 2x - 16 . 2x - 8 . 2x - 3 . 2x
Si el índice es impar, el resultado tendrá el mismo Se hace el cambio de 2x = a, para hacer más sim-
signo que la cantidad subradical. Si el índice es par y ple las operaciones:
la cantidad subradical es positivo, el resultado tendrá
doble signo; positivo y negativo;pero, si la cantidad 16a + 9a 25a
E = –––– ––––––––––––– = –––– = 5
–
subradical es negativa el resultado será una cantidad 32a - 16a - 8a - 3a 5a
imaginaria, que no existirá en el campo real.
___ Rpta.: = 5
impar
a) √[+] = [+]
2.- Calcular el valor de:
impar
___
-n
b) √[-] = [-]
par
___ ( )
4
–
43 8 3
E = ––––––––––
c) √[+] = [±] [4(4-1)n]2
___
par Solución:
d) √[+] = cantidad imaginaria
Transformemos el numerador, para escribir con
base 4:
Nota:
-n -n -n
Para efectos de estudio, se empleará, en el caso
(c), raíces de índice par y cantidad subradical po-
(8 ) [ ]
_
4
3
_
4
= (23)3 [ ]
= (24)n = (22)2 = 4
sitivas; el signo aritmético de la raíz; es decir, el
Reemplazando en la expresión original:
valor positivo.
43 . 4-2n 43 . 4-2n 43-2n
E = –––––––– = ––––––– = – – –
–––
(41 . 4-n)2 (41-n)2 42-2n
EJERCICIO RESUELTOS
E = 43-2n(2-2n) = 43-2n-2+2n = 41 = 4
Sobre las leyes de la teoría de exponentes y los
signos en las operaciones algebráicas. Rpta.: = 4
- 18 -

2. Á L G E B R A
3.- Hallar el valor de la expresión: multiplicando potencias de bases iguales:
___________
n
20n+1 36 . 79 . 56 . 212
√
E = ––––––––––
4n+2 + 22n+2
E = ––––––––––––––
36 . 79 . 56 . 211
Solución: simplificando:
Transformando el denominador: 12
E = 2 = 212-11 = 21 = 2
–––
4n+2 + 22n+2 = 4n+2 + 22(n+1) 211
Rpta.: 2
= 4n+2 + (22)n+1
= 4n+2 + 4n+1 5.- Calcular el valor de:
_
_
-6 3
= 4n+1 (41+1) _ ___
_
= 4n+1 . 5 E= [√ ]
3
√3 __
3√3
√
reemplazando en la expresión, y transformando Solución:
el numerador:
__________ Escribimos la raíz principal en la forma expo-
n nencial:
(4 . 5)n+1
√
E = –––––––––
4n+1 . 5
-6 –
_ √3
–
operando en el numerador:
n
__________
n+1
E = 4 n+1. 5 1
n+1
E=
3 [ ]
√3
–––
3
√3
_
√
–––––––––
4 .5 luego, transformamos los exponentes:
simplificando y descomponiendo la potencia:
[ ] [ ]
31/2 3-1/6 ( )
1 1 -1/6
–– - ––
_______ –––
1/3 2 3 3
__ 3 3
n
5n . 51 n E = (3) = (3)
√
E = ––––––– = √5n = 5n = 5
41
1
-–
[ ] 1 6 1 1 1 1
Rpta.: 5 – 3
6
– -–
6 6
–-–
6 6 0
3 . 3 3
= 3 = (3) = (3) = 33 = 31 = 3
4.- Calcular el valor de: 3
216 . 353 . 803 Rpta.: 3
E = –––––––––––––
154 . 149 . 302
6.- Simplificar la expresión:
Solución:
{ [ ]}
1 1 -2
Se sabe que: (a . b)n = an . bn – –
E= m-1 m(m3) 2 5
descomponemos en factores primos, para aplicar
esta ley: Solución:
6 3 4 3
(3 . 7) (7 . 5) (2 . 5)
E = ––––––––––––––––––––– Efectuando operaciones:
(3 . 5)4 (2 . 7)9 (2 . 3 . 5)2
aplicando la ley anterior: [ 1
–
E = (m-1)-2 (m1)5 ] {[(m )– ]–}
-2 1
3 2
1 -2
5
36 . 76 . 73 . 53 . 212 . 53 2 3 2 3
E = –––––––––––––––––––––– -– -– 2-–-–
34 . 54 . 29 . 79 . 22 . 33 . 52 E = m2 . m 5 . m 5 = m 5 5
- 19 -

3. 2 - 2+3
––– 2 - 5
–
α Luego:
_________________
α
5 5
E=m =m = m2-1 = m1 = m n
10n + 15n + 6n
–––––––––––––– ––––––––––
Rpta.: m
7.- Calcular:
n
_________
n+1
2__
E=
√ 1
–––––––––––––– =
[10n + 15n + 6n
––––––––––––
(5 . 2 . 3)n ] √
n
(5 . 2 . 3)n
–––––––––
1
E=
√√ –––––– __
n+2
____
––––
4 √4n
Simplificando:
n –––
n
–
n
E = √(30)n = 30 = 301 = 30
Solución:
Rpta.: 30
Trabajando con el denominador:
_____
___ _____
n+2 n+2 9.- Calcular:
√
4 √4n = √4 . 4n/2 _
1
2n+1 . 5n+1 - 2n . 5n n
n+2
___
__
n+2
____ [
E = ––––––– ––––––––
–
23 . 52 + 5n ]
√4 = √4 n n+2
α
1+ –– –––
2 2
=
Solución:
___
____
√(2) = √_2_____ = 2 Separemos los exponentes que aparecen suma-
n+2 n+2 n+2
___
––– n+2
2 2 n+2 n+2
=2
= dos:
_
1
reemplazando, descomponiendo y simplificando: 2n . 21 . 5n . 51 - 2n . 5n n
n
––––––
___ _
[
E = –––––––––––––––––––
23 . 52 + 5n ]
n
E=
√ 2n . 21 n
–––––– = √2n = 2n = 21 = 2
2 Hagamos que: 2n = a; 5n = b:
_
1 _
1
_
1
Rpta.: 2 10ab - ab n
9ab n
8.- Calcular:
[
E = ––––––––
8b + b ] [ ]
= ––––
9b
=an
_____________
_ _
1 n
n n n
10n + 15n + 6n
E=
√ ––––––––––––
5-2 + 2-n + 3-n
reponiendo: E = (2n) = 2 = 21 = 2
Rpta.: 2
Solución:
10.- Calcular:
En primer lugar transformemos el denominador:
_____________ (3n + 6) veces (2n + 3) veces
n n
10 + 15 + 6 n n 6447448 6447448
E=
√ ––––––––––––
1 1 1
–– + –– + ––
5n 2n 3n
[ x.x.x.….x
x.x.x.….x
1442443
x.x.x….x
(4n - 2) veces
x 6 ][ 1
E = –––––––––––––– –––––––––––– ––––
xn+2 ][ ]
Dando común denominador en el denominador
de la raíz: Solución:
_________________
n Cada expresión se reduce:
10n + 15n + 6n
E=
√( ––––––––––––––
6n + 15n + 10n
––––––––––––
5n . 2n . 3n ) [ ][ ][ ]
x3n+6 x2n+3
x4n-2 x6
1
E = –––– –––– ––––
xn+2
- 20 -

4. Á L G E B R A
Que se puede escribir así:
(––) (––) = (––)
x-1 -1/2 2
3 3 3
4 4 4
x3n x6 x2n x3 1 x3n+2n . x6+3
E = ––––– . ––––– . ––––– = ––––––––––
4n -2 6 n 2 1
x4n+n . x-2+6+2
(––) = (––)
x x x x x x-1- –– 2
3 23
4 4
x3n x6 x2n x3
E = ––––– = ––––– = x9-6 = x3
x4n x-2 x6 igualando los exponentes:
x -–– - –– = ––
Rpta.: x3 –––1 1 2
1 2 1
11.- Resolver: eliminado los denominadores:
_______
x-1 ____ 3x-7 ____ 2x - 2 - 1 = 4
√ 3
√ 23x-1 - √8x-3 = 0 2x = 7
Solución:
Rpta.: x = 7/2
Transpongamos términos:
_______ 13.- Hallar el valor de:
x-1 ____ ____ ––––––––––––––
3
√ 3x-7
√ 23x-1 = √8x-3 = 0 n+1
____
√
256n+1 √4n -1
n 2
___
3x-1 ___
x-3 E= ––––– ––––––––
– __
1
n
_
23(x-1) = (23)3x-7 64n+1 √4-1
___
3x-1 ___
x-3
Solución:
2 3x-3 = 2 3x-7
Previamente se opera en forma parcial:
Si igualamos los exponentes (dado que son fun-
ciones exponenciales): • 256n+1 = (64 . 4)n+1
3x - 1 3x - 9 = 64n+1 . 4n+1
––––– = ––––––
3x - 3 3x - 7 ____ n2-1 n2-12 (n+1)(n-1)
n+1 –––– ––––– –––––––––
n2-1 n+1
(3x - 1)(3x - 7) = (3x - 3) (3x - 9)
• √4 = 4 = 4 = 4 n+1 = 4n-1
n+1
1
- ––
9x2 - 21x - 3x + 7 = 9x2 - 27x - 9x + 27 1 –– –– -1 1
___ _
–
n _
1 __
1
• √4 = 4 = 4n = 4-n
-1 n
simplificando:
-21x - 3x + 27x + 9x = 27 - 7 Reemplazando las expresiones transformadas, en
la expresión inicial:
12x = 20 ________________
n
5
Rpta.: x = ––
3
E=
√ 64n+1 . 4n+1 . 4n-1
––––––––––––––
64n+1 . 4-n
12.- Resolver: simplificando y efectuando:
___ _______
n
(––) √
x-1
3 4 9
4
–– = –––
3 16
4n+1+n-1
E=
––––––
_____ n _____ n ___
4-n √
Solución: n
E = √42n-(-n) = √42n+n = √43n
Transformemos buscando una base común: 3n
–––
E = 4 n = 43 = 64
(––) (––) = (––)
x-1 1/2 2
3 4 3
4 3 4 Rpta.: 64
- 21 -

5. 14.- Calcular el valor de:
α Reemplazando los equivalentes en la expresión
propuesta:
α
2a 2b
–– –– __________
4a-b + 12 . 4a-b x4
R = ––––––––––––
____
Solución:
a-b
√4a+b
E=
√[ 3
_____
√(63)x3
x
]
Efectuando operaciones, de adentro hacia afuera:
___________ _______ _______
La expresión se puede escribir así: x4 x4 x x4 1
√[ √[ ] √[
E= x = =
_____ 3x3
__ x
2a
–– 2b
–– 2a
–– 2b
––
4a-b + 12 . 4a-b = ––––– + ––––––––
4a-b 12 . 4a-b
3
√(63)x3 ] 6 3 x3
6 ]
R = –––––––––––– x 4
a+b a+b a+b
–– –– –– x4 ––––
4 ––4
4a-b 4a-b 4a-b E = √6x = 6x = 6
Rpta.: 6
Operando convenientemente:
2a 16.- Calcular el valor de: ________
–– a+b
–– - ––
a-b
––
a-b
12 _______
R=4 + –––––––––
a+b 2b n-1 n-1
y, efectuando los exponentes:
–– - ––
–– ––
4 a-b a-b E=
√ 4n-1 + 1 +
––––––
41-n + 1 √
n-1
5n-1 + 1
–––––––
1-n
5_______
+1
n-1
_____
___
α
2a-a-b
–––– 12
R = 4 a-b + ––––––
a+b-2b
+
√ 6n-1 + 1 +
––––––
61-n + 1 √ 7n-1 + 1
–––––––
71-n + 1
––––– Solución:
4 a-b
Desarrollando el caso general:
Simplificando: _______ ________
n-1 n-1
R=4
a-b
–––
a-b 12
+ –––––– = 4 + 3 = 7
a-b
–––
√ an-1 + 1 =
––––––
a1-n + 1 a √
an-1 + 1
–––––––––
-(n-1)
_______
+1
_____ ___
4 a-b n-1 n-1
a +1 = n-1
an-1 + 1
Rpta.: 7
=
√
––––––
n-1
1
–––– + 1
a n-1
_______ √ –––––––
1 + an-1
––––––––
an-1
15.- Calcular el valor de: an-1 + 1
––––––
–––––––––––––––
√
n-1
___
1
3
n = –––––– = a n-1 = a
an-1 + 1
√ [√
81 n
E= _______ 3 ––––n-1
––––
a
]
3
3 n+1
3
216 3 Por lo tanto, por analogía:
________
Solución: n-1 n-1
4 +1 =4
Por convenir, se realiza las siguientes equiva-
lencias:
√ –––––––
41-n + 5
________
n-1 n-1
5 +1 =5
• 33
n
= x √ –––––––
51-n + 5
_______
_
n n n n-1 n-1
6 +1 =6
• 813
n+1
= (34)3 + ( 33 )4 = x4
n 1 n n
√ –––––––
61-n + 5
________
• 33 = 3(3 .3 )
= 3(3 . 3)
= (33 )3 = x3 n-1 n-1
7 +1 =7
• 216 = 63 √ –––––––
71-n + 5
- 22 -

6. Á L G E B R A
Luego: E = 4 + 5 + 6 + 7 = 22 19.- Calcular el valor de:
__ –––––––––– 7
Rpta.: 22
17.- Simplificar:
n
–––––––––––– ––––––
–
––––––––––
[√ ]
√7
7
√7
7
__ 7
7
-1
E = ––––––––––––––––––––––––––––
7
__
-7
__
n
[( __ √7 __ √ 7
]
√ √ )( )
2 2 -7 7
3n x4n + x3n √7 -√7
x + –––––––––
E=
2
x2n + xn
2 7 7
––––––––––––– ––––
xn + 1 Solución:
__
7
Solución: Si definimos √7 = x, luego:
Resolviendo por partes: _ 7 __
1
-1
–––––––––– ––––––––––––– • 77 = 77 = √7 = x
n 4n2 3n2 n 2 2
x3n (xn + 1)
√ x +x
––––––––– =
2
x2n + xn
______
2
√–––––––––––––
2 2
x4n (xn + 1)
____
-7 ––
1
-– 1 1
71/2 7 7
√
__ x
1
• √ 7 = 7 7 = ––– = –––– = ––
n 2 2 n 2
= √x3n -n = √x2n = x2n Reemplazando:
x
__
Reemplazando: ( √xx )7
––––– ––––– ––––– –––––––– E = ––––––––––––
(7 _ ) _
1 x 1
n 4n2 2 n 3n2 2 x
x + x3n x (xn + 1) (7-x) x
√
E = ––––––––– =
2
x2n + xn
2
√–––––––––––––
____
2
__
2n
2
x4n (xn + 1) 7
7 .7 7
7
= – x -1 = x0 = 7
–––– ––
n
= √x2n = x n
Reponiendo el valor de x:
Rpta.: x2 __
7
E = ( √7 )7 = 7
18.- Simplificar:
_________________
_________________
_______________
n
n _ ________
__________ ______
________ ___
_ ________
Rpta.: 7
√√
n ___
n
E= xn xn
2
√x √x
n3 n4
n
… √ xn
n 20.- Señalar el exponente de “x” después de simpli-
ficar (hay “n” radicales):
Extrayendo raíz a cada factor, sucesivamente: ––––––––––
––––––––––––––––
___________
___________ _ _____
_______ _ __ _
_ _ _____
_ ___ ___
–––––––––––––––––––––––––––––––
–– 4
_ __
________
_ _ __
n2
√
n 4
4
√ √
E = x . xn
2 3
n
√4
xn xn … √ xn
n
n E= x3 √ 4
x3 √x3 √ x3
Solución:
_____________ _____
______ ______
_ ___ _ __ _
_
n3 _
n Suponiendo n = 1, se obtiene que:
E=x.x. x √ √n3 n4
x …√ x
n
_____ __ _____
_ _ _ _ ___
nn
4
__ __
4-1
4
n
n √x3 = x3/4 = x 4
√ 4
E = x . x . x . xn … √ xn
n
Suponiendo n = 2, se obtiene que:
por lo que, al final se obtendrá: _______
___ 4 ___________ 2 ______
_______
4 4 4 4
• √x √ x3 = √x3 √ x3 . 4 . x3 = √x12 . x3
3
E = x . x . x . x … x = xn
1442443
42 - 1
“n” veces 15
–– –––
16 4 2
=x =x
Rpta.: xn
- 23 -

7. Suponiendo n = 3, se obtiene:
_______ ____
α 1
_
n
α
[( ) ]
n
4 _______
___ 3 ___ __
63 43-1
___ 6 6
4 E= ––– = ––
√ 3 3
4
3
4
• x √x √ x = √ x = x 63 4 3
=x4 3 10 10
Suponiendo n = 4, se obtiene: Rpta.: 0,6
_________________
4 ____________ 22.- Simplificar:
_______
___ 4 ___ 43-1
√
4 ___ __
• x 3
√ 3
4
3
4
3
4
x √x √ x = √x = x255 4 4 bb
√b ––
√b
y, así sucesivamente.
Para “n” casos se puede generalizar como:
4n-1
___
4n
E= [ ]
Solución:
b
b
-b
-b
-b
E=x
Trabajando con el exponente:
4n - 1
luego, el exponente es: –––––
4n 1
_____
α
__ __ __ -1
21.- Simplificar la expresión:
bb
√b –– √b( ) ( )
bb bb
√b
√b = b =b
[ ]
1
–
[( )]
n n+2 n+1 n -1
2 . 12 30
6n + ––––––––– . ––––– 1
–
4n+2 5n-1
E = ––––––––––––––––––––––––––––
23 . 5n . 14n
2n+1 . 5n + 25 . 10n - –––––––––– b
b
b b
=b
( )
bb
-b
-1
=bb
-b
-b
7n -b
A continuación, hagamos que x = b-b , y reem-
Solución: placemos en E:
Trabajando por partes: E = [bb ]b = bb
-x x -x . bx 0
= bb = b1 = b
2n . 12n+2 2n(4 . 3)n+2 2n . 4n+2 . 3n+2 Rpta.: b
• ––––––– = ––––––––– = ––––––––––––
4n+2 4n+2 4n+2
23.- Calcular:
= 2n . 3n . 32 = 9 . 6n ______________ ________
_
____
52n . 2n+1 + 50n . n+1 n2-1
E=n √5
√
30n+1 (6 . 5)n+1 6n+1 . 5n+1 –––––– –––––––
• –––– = –––––––– = ––––––––– = 6n . 6 = 6 . 6n 5n . 8 - 5n+1
5n+1 5n+1 5n+1 ––––––––––––––– _
___ __ –––––––
1/n
√5-1 √5-1
• 2n+1 . 5n = 2 . 2n . 5n = 2(2 . 5)n = 2 . 10n
Solución:
n n n n
23 . 5 . (14) 23 . 5 . (7 . 2) Operando por partes:
• –––––––––––– = –––––––––––––––– =23 . 10
n
7 7n • 52n . 2n+1 + 50n = (52)n . 2n . 2 + 50n
Reemplazando: = 25n . 2n . 2 + 50n = (25 . 2)n . 2 + 50n
1
_
n = 50n . 2 + 50n = 50n . 3 (I)
[ 6n + 9 . 6n - 6 . 6n
E = –––––––––––––––––––––––
2 . 10n + 25 . 10n - 23 . 10n ] • 5n . 8 - 5n+1 = 5n . 8 - 5n . 5 = 5n . 3
n2-1
(II)
1
_
___ ______
(n+1)(n-1)
n • 5 n+1 = 5 n+1 = 5n-1 (III)
[ ]
4 (6)n
E = ––––––
4 (10)n 1/n
__ __
1
• √5-1 = (5-1)(1/n) = (5-1)n = 5-n (IV)
- 24 -

8. Á L G E B R A
Reemplazando (I), (II), (II) y (IV) en E: Solución:
3
__
_
1 _
1
Haciendo x = √3 , por lo tanto x3 = 3
[ ][ ]
n n n n
50 . 3
–––––– . 5n-1
5n . 3
E = ––––––––––––
50
5( )
––– . 5n-1
= –––––––––– Reemplazando:
5-1 . 5-n 5-1-n
x3 .–
1
_ _ x
[ ]
1 1 1
___ –
[
= 10 . 5
–––––––––
5-1-n
n n-1
] [
n
2 .5 .5
= ––––––––––––
5-1-n
n n n-1
] n
x
E = xx . √x3
x
_1 _
1
n
n+n-1+1+n n
= [2 . 5
n
] = [2 . 5 ]
n 3n Efectuando las operaciones necesarias:
= [(2 . 53)n]n = 2 . 53 = 250 x2
Rpta.: 250 [ _
3
E = xx . xx ( )
_
1
x
] = (x ) x x2
[
x
_._
3 1
x x
]
x2
24.- Calcular el valor de:
3
__ = xx . x3 = x3 . 3 = 3 . 3 = 9
__ 3
__ 3 __ 3 . √3 -1
[ –– √3
]
3 3 -1
__√3 √3 Rpta.: 9
E=
3
√3 3 √
EJERCICIOS PROPUESTOS
5
__
1. Calcular: a) 3 125 b) 625 c) 25 d) 5 e) √5
1
_
[√ ]
2
______ _____ 4. Calcular “n” en la igualdad:
__ __
_ _
___ ____
____ ___ __ _ ___
____
__ _ _
__ ___________________ _
__ __ __ __ _______________
√√ √√
√2 √2 √ √2 √2 √√ √ √
2 2 2 2 _______ __
_ _____ 32
–– ( )
-1
E=
2 x 3
√ √
x3
x …… √ x = x
3
1444442444443
3
93
√
__ “n” radicales
1
a) 2 b) √2 c) ––––
__ a) 6 b) 3 c) 5 d) 4 e) 8
√2
1
d) –– e) 4 5. Efectuar:
2 _____________________________
_____________________
______________
√ √
2. Hallar E = a.b en la relación: 3 ______
4
b a
a .b =2 21/2
__
J=
__
(3 ) ( ) ( ) (––) √(––__
_
1
6
5
3
__
5
3)
3
––
5
-2
__
3
––
5 √
3
__
-6 5
5
-10
a) 1
1
b) ––––
__
√2
c) √2 d) 2 e) 4
5
a) √6
3
b) √5
6
c) √5
6
d) √3
√3
e) ––
5
6. Efectuar:
3. Simplificar:
156 . 124 . 59 . 63
––––––––––––––––––––––
__ 5 __ 5 __ 5 __ 5 __ 5 __ 25 2-1
11 13 4
5 10 . 3 .5
5
__ √5 √5 √5 √5 √5 √5
E = √5 a) 1 b) 3 c) 5 d) 2 e) 6
- 25 -