Massonnet

1
Metodo di ripartizione dei carichi: Guyon - Massonnet - Bareš
Corso Ponti 1 – Ass. Ing. Corrado Pecora
graticcio effettivo graticcio a maglie
infinitesime equivalente
IMPALCATO A GRATICCIO
Elementi longitudinali → TRAVI
Elementi trasversali → TRAVERSI
Travi e traversi sono perpendicolari
IPOTESI
1) Il graticcio effettivo può essere sostituito da uno equivalente con maglie
infinitesime, avente le stesse rigidezze medie flessionali e torsionali
Inerzia
flessionale
Inerzia
torsionale
TRAVI (POUTRE) JP JT,P
TRAVERSI (ENTRETOISE) JE JT,E

2
2) L’impalcato si ritiene appoggiato sui bordi estremi (x=0 e x=L) e libero
sugli altri due (y=-b e y=b)
Analisi armonica nella direzione x
3) La ripartizione dei carichi fra le travi longitudinali (ripartizione trasversale),
per ogni condizione di carico, è la stessa che si avrebbe se i carichi
fossero distribuiti in senso longitudinale con legge (sinusoidale)
Sviluppo in serie troncato al 1° termine
→ errore ~ 2%

3
COEFFICIENTE DI RIPARTIZIONE TRASVERSALE
- carico agente su una parallela all’asse x con eccentricità “e”
- carico ripartito con legge sinusoidale
- ipotesi di vincolo già descritte
la deformata ha forma di semionda di sinusoide
w(x,y) = w(y,e) sen(πx/L)
il rapporto k(y,e) = w(x,y)/w0(x) = w(y,e)/w0 è detto coefficiente di ripartizione
trasversale e consente di valutare la distribuzione delle sollecitazioni prodotte
dall’azione dei carichi sull’impalcato
nel caso di carico sinusoidale ripartito su tutta la larghezza 2b dell’impalcato
p0(x) = p(x)/2b = p1 sen(πx/L)/2b
la deformata si presenta cilindrica w0(x) = w0 sen(πx/L)

4
k(y,e) è indipendente dall’ascissa x
Tale parametro dipende da:
1) il parametro di irrigidimento
2) il parametro di torsione
3) l’eccentricità relativa e/b posizione del carico
4) l’ordinata relativa y/b posizione della trave longitudinale
4
E
P
L
b
ρ
ρ
=ϑ
EP
EP
2 ρ⋅ρ
γ+γ
=α
k(y,e) = k(e,y) TEOREMA DI MAXWELL
trave carico
ϑ<0.3 traversi infinitamente rigidi

5
Massonnet per evitare di valutare kα per ogni valore di α ha
fornito la seguente relazione semiempirica
( )
(GUYON)isotropapiastra1perkk
nullatorsionalerigidezza0perkk
kkkk
1
0
010
=α→
=α→
α⋅−+=α
Metodo caratterizzato dall’uso di tabelle
K0
y/e -1,00 -0,75 -0,50 -0,25 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00
-1,00 4,6376 3,4626 2,3904 1,4672 0,6944 0,0460 -0,5170 -1,0350 -1,5388
-0,75 3,4626 2,7877 2,1034 1,4522 0,8625 0,3358 -0,1425 -0,5933 -1,0350
-0,50 2,3904 2,1034 1,7920 1,4214 1,0223 0,6237 0,2359 -0,1425 -0,5170
-0,25 1,4672 1,4522 1,4214 1,3348 1,1509 0,9019 0,6237 0,3358 0,0460
0,00 0,6944 0,8625 1,0223 1,1509 1,2064 1,1509 1,0223 0,8625 0,6944
0,25 0,0460 0,3358 0,6237 0,9019 1,1509 1,3348 1,4214 1,4522 1,4672
0,50 -0,5170 -0,1425 0,2359 0,6237 1,0223 1,4214 1,7920 2,1034 2,3904
0,75 -1,0350 -0,5933 -0,1425 0,3358 0,8625 1,4522 2,1034 2,7877 3,4626
1,00 -1,5388 -1,0350 -0,5170 0,0460 0,6944 1,4672 2,3904 3,4626 4,6376
K1
y/e -1,00 -0,75 -0,50 -0,25 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00
-1,00 2,0184 1,6715 1,3586 1,0943 0,8814 0,7158 0,5902 0,4944 0,4157
-0,75 1,6715 1,5147 1,3215 1,1208 0,9392 0,7875 0,6670 0,5727 0,4944
-0,50 1,3586 1,3215 1,2594 1,1425 1,0031 0,8708 0,7583 0,6670 0,5902
-0,25 1,0943 1,1208 1,1425 1,1339 1,0646 0,9671 0,8708 0,7875 0,7158
0,00 0,8814 0,9392 1,0031 1,0646 1,0957 1,0646 1,0031 0,9392 0,8814
0,25 0,7158 0,7875 0,8708 0,9671 1,0646 1,1339 1,1425 1,1208 1,0943
0,50 0,5902 0,6670 0,7583 0,8708 1,0031 1,1425 1,2594 1,3215 1,3586
0,75 0,4944 0,5727 0,6670 0,7875 0,9392 1,1208 1,3215 1,5147 1,6715
1,00 0,4157 0,4944 0,5902 0,7158 0,8814 1,0943 1,3586 1,6715 2,0184
θ = 0,46900
-2,0000
-1,0000
0,0000
1,0000
2,0000
3,0000
4,0000
5,0000
-1,00
-0,50
0,00
0,50
1,00
y/b
kα
e/b=-1.00
e/b=-0.75
e/b=-0.50
e/b=-0.25
e/b=+0.00
e/b=+0.25
e/b=+0.50
e/b=+0.75
e/b=+1.00
α = 0,03929

6
∑
∑
=
=
α⋅
⋅= n
1i
i
n
1i
ii
mediox
p
)e,y(kp
MM
∑=
αμ⋅⋅=
n
1i
iiy )e,y(pbM
∑=
ατ⋅⋅⋅
γ+γ
γ
⋅−=
n
1i
ii
EP
P
xy )e,y(pb2M
∑=
ατ⋅⋅⋅
γ+γ
γ
⋅−=
n
1i
ii
EP
E
yx )e,y(pb2M
∑
∑
∑
=
α
=
=
α
μ⋅⋅
π
⋅⋅
ρ
γ
+
⋅
⋅=
n
1i
ii
E
E
n
1i
i
n
1i
ii
medioxx )e,y(pb
p
)e,y(kp
VV
l
∑∑ =
α
=
α τ⋅⋅
π
⋅⋅
γ+γ
γ⋅
+κ⋅=
n
1i
ii
EP
P
n
1i
iiy )e,y(pb
2
)e,y(pV
l
Riepilogo delle principali relazioni
Momento flettente nella trave
Momento flettente nel traverso
Momento torcente nella trave
Momento torcente nel traverso
Taglio nella trave
Taglio nel traverso

7
Esempio numerico
Determinare gli effetti della ripartizione trasversale con il
metodo di Massonnet, valutando i momenti flettenti e
torcenti e i tagli nelle travi e nei traversi

8
Valutare α e ϑ
L=22.30m
2b = 11.50m
b1 = 1.00m
Momento
d’inerzia
flessionale
EP
EP
2 ρ⋅ρ
γ+γ
=α4
E
P
L
b
ρ
ρ
=ϑ

9
Momento
d’inerzia
torsionale
In genere il problema legato alla determinazione dell’inerzia torsionale non è
dato dalla determinazione di β (che si può assumere pari a 1/3), quanto dalla
trasformazione dei rettangoli in aree equivalenti in modo da ricondursi in
sezioni a o T, in cui il flusso delle tensioni tangenziali è noto.
4
3
1k
3
kkkP,T cm66,520241saJ =β= ∑=

10
Rigidezza torsionale per sezioni composte da rettangoli allungati

11
SEZIONE COMPOSTA DA 3 RETTANGOLI
GEOMETRIA
nr. Base [m] Altezza [m]
1 4,000 0,200
2 0,200 1,000
3 2,000 0,300
INERZIA FLESSIONALE
A = 1,60000 m^2 area
Sx = 1,03000 m^3 momento statico
xG = 0,000 m ascissa baricentro
yG = 0,644 m ordinata baricentro
Ix = 1,22333 m^4 inerzia flessionale asse xx
IxG = 0,56027 m^4 inerzia flessionale asse GG
INERZIA TORSIONALE
Geometria per calcolo inerzia torsionale
nr. sk [m] ak [m] betak
1 0,200 4,000 0,3229
2 0,200 1,000 0,2915
3 0,300 2,000 0,3020
Jt = 0,02897 m^4 inerzia torsionale
0,000
0,500
1,000
1,500
2,000
2,500
3,000
3,500
4,000
4,500
-2,500
-2,000
-1,500
-1,000
-0,500
0,000
0,500
1,000
1,500
2,000
2,500
Rettangolo 1
Rettangolo 2
Rettangolo 3
Baricentro
∑=
⋅⋅=
3
1
3
k
kkkt asJ β

12
EC2
DM 2008
Shear lag Airy

13
Momento
d’inerzia
flessionale
Momento
d’inerzia
torsionale
4
2
1k
3
kkkE,T cm33,1433053saJ =β= ∑=

14

15
∑
∑
=
=
α⋅
⋅= n
1i
i
n
1i
ii
mediox
p
)e,y(kp
MM
Momento flettente nella trave
1) Sviluppo in serie di Fourier del carico
2) Calcolo delle sollecitazioni (Mx) relative
ad ogni condizione di carico
3) Definizione ed uso della funzione kα
4) Calcolo di Mx sull’impalcato
Normativa di riferimento
D. M. LL. PP. 4/5/1990 “Aggiornamento delle norme tecniche per la
progettazione, la esecuzione e il collaudo dei ponti stradali”
Differenze con D. M. 2008: carichi mobili, coefficiente dinamico, larghezza corsia 3,50m

16
2) Calcolo delle sollecitazioni (Mx) relative ad
ogni condizione di carico
3) Definizione della funzione kα

17

18

19
-500,0
0,0
500,0
1000,0
1500,0
2000,0
2500,0
3000,0
3500,0
0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0
x
M(x)
M_Fourier
M_effettivo
M_corretto

20
2) Calcolo delle sollecitazioni (Mx) relative
ad ogni condizione di carico

21
NORMATIVA
L=22,30m

22

23
-2,0000
-1,0000
0,0000
1,0000
2,0000
3,0000
4,0000
5,0000
-1,00
-0,50
0,00
0,50
1,00
kα
θ = 0,46900 α = 0,03929
K0
e/y -1,00 -0,75 -0,50 -0,25 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00
1,00 -1,5388 -1,0350 -0,5170 0,0460 0,6944 1,4672 2,3904 3,4626 4,6376
K1
e/y -1,00 -0,75 -0,50 -0,25 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00
1,00 0,4157 0,4944 0,5902 0,7158 0,8814 1,0943 1,3586 1,6715 2,0184
e/y -1,00 -0,75 -0,50 -0,25 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00
1,00 -1,1514 -0,7319 -0,2976 0,1788 0,7315 1,3933 2,1859 3,1076 4,1184
( ) α⋅−+=α 010 KKKK
Fissata
l’ordinata y,
ossia la
trave
longitudinale
TABELLE
BIBLIOGRAFIA
Le calcul des grillages
de poutres et dalles
orthotropesLarghezza
impalcato
(y/b)

24

25
Utilizzo della funzione kα
quale linea di influenza

26
11 travi
∑
∑
=
=
α⋅
⋅= n
1i
i
n
1i
ii
mediox
p
)e,y(kp
MM
(162.2419+324.4838
+43.5129)/11 =
48.2035

27

28

29
Momento flettente nel traverso
∑=
αμ⋅⋅=
n
1i
iiy )e,y(pbM
( ) α⋅μ−μ+μ=μ α 010

30

31
Momento torcente nella trave
∑=
ατ⋅⋅⋅
γ+γ
γ
⋅−=
n
1i
ii
EP
P
xy )e,y(pb2M
α=0
rigidezza torsionale
nulla

32

33
Momento torcente nel traverso
∑=
ατ⋅⋅⋅
γ+γ
γ
⋅−=
n
1i
ii
EP
E
yx )e,y(pb2M

34
Taglio nella trave
∑
∑
∑
=
α
=
=
α
μ⋅⋅
π
⋅⋅
ρ
γ
+
⋅
⋅=
n
1i
ii
E
E
n
1i
i
n
1i
ii
medioxx )e,y(pb
p
)e,y(kp
VV
l

35
Taglio nel traverso
∑∑ =
α
=
α τ⋅⋅
π
⋅⋅
γ+γ
γ⋅
+κ⋅=
n
1i
ii
EP
P
n
1i
iiy )e,y(pb
2
)e,y(pV
l

36

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