ejemplos de calculo de las cargas condiciones de equilibrio

1. TEMA 1.4. CONDICIONES DE
EQUILIBRIO, PRIMERA LEY DE
NEWTON.
SUBTEMA 1.4.1. EQUILIBRIO DE
LA PARTICULA EN EL PLANO.

2. Primera condición del equilibrio
(traslacional).
 “Un cuerpo se encuentra en equilibrio
traslacional si y solo si la suma
vectorial de las fuerzas que actúan
sobre el es igual a cero”. Cuyas
ecuaciones son las siguientes:
 ΣFx= 0 y ΣFy= 0.

3. Segunda condición del equilibrio
(rotacional).
 Para que un cuerpo esté en equilibrio
de rotación, la suma de los momentos
o torcas de las fuerzas que actúan
sobre él respecto a cualquier punto
debe ser igual a cero”.
Matemáticamente esta ley se expresa
con la ecuación:
 ΣM=0. ΣM= M1 + M2 + M3 + … Mn= 0.
 Στ =0. Στ = τ1 + τ2 + τ3 + … τn = 0.

4. PRIMERA LEY DE NEWTON:
Ley de la inercia
“Todos los cuerpos tienden a permanecer en el
estado de movimiento que tienen a menos
que una causa externa (fuerza) altere dicha
condición” En forma general si un cuerpo está
en reposo o en movimiento rectilíneo
uniforme, “querrá” seguir en ese estado a
menos que una fuerza externa se aplique a
ese cuerpo y le haga cambiar esta condición
de reposo o movimiento.

5. TERCERA LEY DE NEWTON.
Ley de acción y reacción
“Si un cuerpo ejerce una fuerza sobre un
segundo cuerpo, éste ejercerá a su vez
una fuerza sobre el primero de igual
magnitud pero de sentido contrario”

6. CONCEPTO DE DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE
 a) Hacer un dibujo que represente claramente el
problema que se desea resolver (solo si no se
proporciona la figura, si aparece, siga con el paso B).
 b) Construye un diagrama de cuerpo libre
sustituyendo por medio de fuerzas todo aquel efecto
que recibe el cuerpo, provocado por su contacto con
otros cuerpos o por la fuerza gravitacional y que
originan que se encuentren en equilibrio. Indique la
magnitud, dirección y sentido de las fuerzas
conocidas. Use símbolos para señalar las cantidades
que se desconocen.

7. c) Haga un sistema de referencia
utilizando ejes rectangulares y coloque
al cuerpo en equilibrio en el origen del
sistema de coordenadas.
d) Aplique las ecuaciones de equilibrio
que necesite para encontrar las
respuestas a las incógnitas buscadas.

8. PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LA
PRIMERA CONDICION DEL EQUILIBRIO.
 La resolución de problemas en las cuales se
utiliza la primera condición del equilibrio
(traslacional), es el procedimiento inverso al
cálculo del vector resultante, por el método
analítico (Teorema de Pitágoras), ya que en
este tipo de problemas, se asume de
antemano que la resultante es igual a cero, es
decir, ahora de lo que se trata es hallar la
magnitud de las fuerzas o vectores que
mantienen a un cuerpo en equilibrio.

9.  En estos problemas, se hace uso de igual forma de
las funciones trigonométricas coseno, para las
componentes X de las fuerzas o vectores y el seno,
para las componentes, en ocasiones también se usa
la función tangente si se desconoce el ángulo o
ángulos con los cuales se aplican las fuerzas.
Mediante una serie de despejes y sustitución de
valores en las ecuaciones que se obtengan, se hallan
los valores de las fuerzas o vectores. Los signos de
las X y las Y en los cuadrantes, de igual forma se
deben de tener en cuenta, para obtener los resultados
correctos como se observan en los siguientes
ejercicios.

10.  1.- Una pelota de 100 N suspendida de
un cordel es tirada hacia un lado por
otro cordel B y mantenida de tal forma
que el cordel A forme un ángulo de 30°
con la pared vertical. Dibuje el diagrama
de cuerpo libre y encuéntrese las
tensiones en los cordeles A y B de
acuerdo a la siguiente figura.

11. 
A
Θ= 30°
B
100 N

12. DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE.
Y
A
Θ= 60° B
X
W = 100 N

13.  En el diagrama de cuerpo libre que la cuerda
A, forma un ángulo de 60° con el eje X, en el
segundo cuadrante, esto se sustenta en el
teorema sobre triángulos que dice que “En un
triángulo, la suma de los ángulos internos es
igual a 180°”, si la cuerda A, forma con la
pared vertical, un ángulo de 30°, la pared
forma con el eje X, un ángulo de 90°,
entonces, la cuerda A, forma un ángulo de 60°
con el eje X.

14. Cuadro de fuerzas.
 F θ comp. X comp. Y
 A 60° - A cos 60° A sen 60°
 B 0° B 0
 W 0° 0 -100 N
ΣFx =- A cos60°+ B = 0 ΣFy = A sen 60°-100 N = 0
Pasando - A cos60° del otro lado de la igualdad con diferente signo:
ΣFx = B = A cos60° ΣFx = B = A (0.5). Como desconocemos A y B, esta última
expresión queda como la ecuación 1.
Pasamos del otro lado de la igualdad el peso de 100 N, con diferente signo:
ΣFy = A sen 60° = 100 N. ΣFy = A (0.8660) = 100 N.
De esta última expresión podemos despejar A, pasando el valor de 0.8660,
dividiendo al peso de 100 N:
A = 100 N = 115.47 Newtons.
0.8660
Ahora regresamos a la ecuación 1: B = A (0.5). Y sustituimos el valor de A para
hallar B tenemos: B = 115.47 N x 0.5 = 57.73 Newtons.
Entonces los valores de A = 115.47 Newtons. Y B = 57.73 Newtons.

15.  2.- Dos cuerdas T1 y T2, sostienen un
objeto cuyo peso es de 500 N, como se
ve en la figura siguiente, elaborar el
diagrama de cuerpo libre y hallar las
tensiones de las cuerdas T1 y T2.

16. 40°
T1
T2
500 N

17. Diagrama de cuerpo libre.
Y
T1
T2 40°
X
W = 500 N

18.  Como observamos en el diagrama de cuerpo
libre, la cuerda T1, forma un ángulo de 40°,
respecto al eje X en el primer cuadrante, esto
es debido a que es un ángulo alterno interno,
respecto al ángulo que forma T1, respecto al
techo, la cuerda T2, está en forma horizontal
sobre el eje X, entre el segundo y tercer
cuadrantes, y el peso W, se encuentra sobre
el eje Y, hacia abajo entre el tercer y cuarto
cuadrantes.

19. Cuadro de fuerzas.
 F θ Comp. X Comp. Y
 T1 40° T1 cos 40° T1 sen 40°
 T2 0° - T2 0
 W 0° -500 N
 ΣFx =T1 cos 40°- T2 =0 ΣFy= T1 sen 40°-500 N = 0.
 Pasamos T2 del otro lado de la igualdad con signo positivo: ΣFx = T1 cos40° =
T2. ΣFx = T1 (0.7660) = T2. Como desconocemos T1 y T2, esta última expresión
queda provisionalmente como la ecuación 1. De la ΣFy, pasamos el peso del otro
lado de la igualdad, con signo positivo: ΣFy= T1 sen 40° = 500 N. Ahora sacamos
el seno de 40° : ΣFy= T1 (0.6427) = 500 N. Despejando el valor de T1, tenemos:
T1 = 500 N = 778 Newtons.
 0.6427
 Ahora regresamos a la ecuación a la ecuación 1, T1 (0.7660) = T2.
 y sustituimos el valor de T1, para hallar T2, tenemos:
 T2 = 778 N x 0.7660 = 596 Newtons.
 Las tensiones son entonces: T1 = 778 Newtons. Y T2 = 596 Newtons.


20.  3.- Un cuerpo cuyo peso es de 500 N
está suspendido de una armadura como
se ve en la figura. Determinar el valor de
la tensión de la cuerda y el empuje de la
barra.

21. Esquema y diagrama de cuerpo
libre.
T
T
Ty
35°
35°
E Tx E
500 N

22. Cuadro de fuerzas.
 F θ comp. X comp. Y
 T 35° -T cos 35° T sen 35°
 E 0° E 0
 W 0° 0 -500 N
ΣFx = -T cos 35° + E = 0 ΣFy =T sen 35°- 500 N = 0.
De la ΣFx, pasamos -T cos 35°, del otro lado de la igualdad con signo positivo:
ΣFx = E = T cos 35°. Ahora sacamos el coseno de 35°. E = T (0.8191). Como
desconocemos E y T, esta última expresión queda provisionalmente como la
ecuación 1. Ahora de la ΣFy, pasamos el peso del otro lado de la igualdad con
signo positivo:
ΣFy = T sen 35° = 500 N. Ahora sacamos el seno de 35°.
T (0.5735) = 500 N. Despejando T, tenemos:
T = 500 N = 871. 68 Newtons.
0.5735
Ahora regresamos a la ecuación 1 para hallar el valor del Empuje E, y sustituyendo el
valor de T, tenemos:
E = 871.68 N x 0.8191 = 714.08 Newtons .Entonces los resultados son:
T = 871. 68 Newtons. Y E = 714.08 Newtons.

23.  Como el cuerpo está en equilibrio:
 ΣFx = 0 = E + (-Tx)
 ΣFy = 0 = Ty + (-P)
 Sustitución:
 ΣFx = E – T cos 35°= 0
 E = T cos 35°.
 ΣFy = T sen 35°- P = 0
 T sen 35° = P
 T = P_____ = 500 N = 871.68 N
 sen 35° 0.5736
 Sustituyendo el valor de la tensión para encontrar el del empuje
tenemos:
 E = T cos 35° = 871.68 N x 0.8192 = 714.08 N.

24. 4.- Calcular el ángulo, la tensión y el
empuje de la siguiente armadura:
T
T
3m Ty
θ= ¿
θ= ¿
5m Tx E
E
900 N

25.  Solución: Primero debemos hallar el ángulo que forma
la tensión T con el eje x: Vemos que la componente Y,
del triángulo rectángulo es de 3 metros y la
componente X, es de 5 metros, por lo cual vienen
siendo los catetos opuesto y adyacente del ángulo en
cuestión por lo cual se puede utilizar la función
trigonométrica tangente: (cateto opuesto entre
adyacente):
 tan θ= 3 m = 0.6 . θ = tan-1 0.6 = 31°.
 5m
 Una vez hallado el ángulo ya podemos hallar la
tensión y el empuje.

26. Cuadro de fuerzas.
 F θ comp. X comp. Y
 T 31° -T cos 31° T sen 31°
 E 0° E 0
 W 0° 0 -900 N
Fx = -T cos 31° + E = 0 ΣFy =T sen 31°- 900 N =0
 De la ΣFx, pasamos -T cos 31° del otro lado de la igualdad con signo positivo.
 ΣFx = E = T cos 31° , ahora sacamos el coseno de 31° . E = T (0.8571). Como
desconocemos E y T, ésta última expresión queda como la ecuación 1. Ahora de
la ΣFy, pasamos el peso del otro lado de la igualdad con signo positivo: ΣFy = T
sen 31° = 900 N. Ahora se saca el seno de 31°. ΣFy = T (0.5150) = 900 N. De
esta expresión despejamos la tensión T.
 T = 900 N = 1747.57 Newtons.
 0.5150
 Ahora regresamos a la ecuación 1, para hallar el valor del empuje E:
 E = 1747.57 N x 0.8571 = 1498.02 Newtons.
 Entonces los resultados son: θ = 31°, T = 1747.57 N, E = 1498.02 N.

27. 5.- Encontrar las tensiones de las cuerdas T1 y T2 de la
figura siguiente que soportan un peso de 300 N.
34° 56°
T2 T1
300 N

28. Diagrama de cuerpo libre.
Y
T1
56°
34°
X
W = 300 N

29. Cuadro de fuerzas.
 F θ comp. X comp. Y
 T1 56° T1cos 56° T1 sen 56°
 T2 34° -T2 cos 34° T2 sen 34°
 W 0° 0 -300 N
 ΣFx = T1cos 56°-T2 cos 34° = 0. ΣFy =T1 sen 56° + T2 sen 34°-300 N = 0.
 De la ΣFx, pasamos T2 cos 34°, del otro lado de la igualdad con signo positivo:
 ΣFx = T1cos 56° = T2 cos 34°. Ahora sacamos los cosenos de los ángulos:
 ΣFx = T1 x 0.5591 = T2 x 0.8290. Ahora despejamos T1, para expresarlo en relación a T2 en una sola
cantidad:
 T1 = 0.8290 T2
 0.5591
 T1 = 1.4827 T2. Ecuación 1. Como desconocemos T1 y T2, esta última expresión queda provisionalmente
como la ecuación 1. Seguimos con la sumatoria de fuerzas Y. Primero pasamos el peso del otro lado de la
igualdad con signo positivo: ΣFy =T1 sen 56° + T2 sen 34° = 300 N. Ahora sacamos los senos de los
ángulos: ΣFy = T1 (0.8290) + T2 (0.5591) = 300 N. Ahora, sustituimos el valor de T1, obtenida en la
ecuación 1: ΣFy = 1.4827 T2 (0.8290) + T2 (0.5591) = 300 N. Se realizan las multiplicaciones: ΣFy = T2
(1.2291) + T2 (0.5591) = 300 N.
 Dado que las dos cantidades tienen como factor común a T2, entonces se pueden sumar:
 ΣFy = T2 (1.7882) = 300 N. Ahora despejamos a T2: T2 = 300 N = 167.76 newtons.
 1.7882
 Ahora regresamos a la ecuación 1, para hallar el valor de T1: T1 = 1.4827 x 167.76 N = 248.73 newtons.
 Entonces los valores de T1 = 167.76 N y T2 = 248.73 N.

30.  6.- Un tanque de acero debe colocarse
en la fosa mostrada en la figura de
abajo. Sabiendo que α = 20°,
determínese la magnitud de la fuerza P
requerida si la resultante R de las dos
fuerzas aplicadas en A debe de ser
vertical.

32. Diagrama de cuerpo libre.
Y
425 lb
P=?
α= 20°
30°
X
R

33. Cuadro de fuerzas.
F θ comp X comp. Y
P 20° P cos 20° P sen 20°
 425 lb 30° - 425 cos 30° 425 sen 30°
 ΣFx = P cos 20° - 425 cos 30° = 0.
 ΣFy = P sen 20° + 425 sen 30° = 0.
 ΣFx = P cos 20° = 425 cos 30°.
 ΣFx = P (0.9396) = 425 (0.8660).
 ΣFx = P (0.9396) = 368 lb. Despejando P
tenemos: P = 368 lb = 391.7 lb.
 0.9396

34. 7.- Dos cables se amarran juntos en C y se cargan como
se muestra en la figura. Determínese la tensión en el
cable AC.

35. Diagrama de cuerpo libre.
Y
TBC TAC
30° 50°
X
500 N

36. Cuadro de fuerzas.
F θ comp. X comp. Y
 TAC 50° TAC cos 50° TAC sen 50°
 TBC 30° - TBC cos 30° TBC sen 30°
W 0° 0 - 500 N
 ΣFx = TAC cos 50° - TBC cos 30° = 0.
 ΣFx = TAC cos 50° = TBC cos 30°.
 ΣFx = TAC (0.6427) = TBC (0.8660). Despejando
TAC tenemos:
 TAC = TBC 0.8660. = TAC = TBC 1.3474 ec. 1.
 0.6427

37.  ΣFy = TAC sen 50° + TBC sen 30° - 500 N = 0.
 Pasando el peso del otro lado de la igualdad con signo positivo:
 ΣFy = TAC sen 50° + TBC sen 30°= 500 N.
 Sacando los senos de los ángulos:
 ΣFy = TAC (0.7660) + TBC (0.5) = 500 N
 Sustituyendo el valor de TAC de la ecuación 1, tenemos:
 ΣFy = TAC (0.7660) + TBC (0.5) = 500 N
 ΣFy = TBC (1.3474) (0.7660) + TBC (0.5) = 500 N.
 Efectuando la multiplicación:
 ΣFy = TBC (1.0321) + TBC (0.5) = 500 N. Como TBC es un factor común a
ambas cantidades, estas se pueden sumar:
 ΣFy = TBC ( 1.5321) = 500 N. Despejando el valor de TBC tenemos: TBC =
500 N = 326.34 Newtons.
 1.5321
 Para encontrar el valor de TAC regresamos a la ecuación 1:
 TAC = TBC 1.3474 TAC = 326.34 N x 1.3474 = 439.7 Newtons.

38.  8.- La vista desde el helicóptero en la
figura de abajo muestra a dos personas
que jalan a una obstinada mula.
Encuentre la fuerza que una tercera
persona tendría que ejercer sobre la
mula para hacer la fuerza resultante
igual a cero. Las fuerzas se miden en
Newtons.

40. Diagrama de cuerpo libre.
F2 = 80 N Y
F1 = 120 N
75° 60°
X
R

41. Cuadro de fuerzas.
 F θ comp X comp. Y
 F1 60° 120 N cos 60° 120 N sen 60°
 F2 75° - 80 N cos 75° 80 N sen 75°
 R 0° 0 0.
 ΣFx = 120 N cos 60°- 80 N cos 75°.
 ΣFx = 120 x 0.5 - 80 N x 0.2588
 ΣFx = 60 N – 20.70 N = 39.3 N i componente en x.
 ΣFy = 120 N sen 60°+ 80 N sen 75°.
 ΣFy = 120 N (0.8660) + 80 N (0.9659)
 ΣFy = 103.92 N + 77.27 = 181.19 N j componente en y. Este problema se resolvió en una
forma diferente a los 7 primeros, lo que se hizo, fue hallar las componentes de la resultante
de las dos fuerzas que ejercen las dos personas, en este caso 39.3 N y
 181.19 N, pero como lo que se pide en el problema es la fuerza que ejercería una tercera
persona para que la fuerza resultante sea cero, entonces la respuesta del ejercicio es:
 R = - 39. 3 N i (componente en X) y – 181.19 N j (componente en Y). Expresado en las
componentes rectangulares de la fuerza. Recordando que el vector equilibrante es de la
misma magnitud, y dirección que la fuerza resultante, pero de sentido contrario.