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1. M´ultiplos y divisibilidad
Se dice que un n´umero a es divisible por otro b si al dividir a con b, el residuo o resto es cero, dicho
de otra manera:
a es divisible por b s´ı y s´olo s´ı a = b · c donde c es cociente.
En base a esto podemos decir que a contiene a b exactamente c veces. Llamaremos m´ultiplo de un
n´umero a un n´umero que contiene a otro una cantidad exacta de veces, por ejemplo 12 es m´ultiplo de 2
porque 12 contiene a 2 seis veces exactamente. Los m´ultiplos de un n´umero pueden obtenerse f´acilmente
multiplicando ese n´umero por la serie infinita de los n´umeros naturales. Veamos un ejemplo con el conjunto
de los m´ultiplos de 3.
Los m´ultiplos de 3 son:
3 × 1 = 3
3 × 2 = 6
3 × 3 = 9
3 × 4 = 12
3 × 5 = 15
3 × 6 = 18
...
3 × n = 3n
Si lo escribimos como conjunto por extensi´on:
M3 = {3, 6, 9, 12, 15, 18, . . . , 3n}
Los m´ultiplos de un n´umero n se obtienen multipli-
cando n por cada n´umero natural.
1.1. N´umeros primos
Dentro de los n´umeros naturales m´as interesantes est´an los n´umeros primos, los que se caracterizan
por ser divisibles por 1 y por s´ı mismos. Algunos ejemplos de n´umeros primos son:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 37, 97
Otra caracter´ıstica muy potente de los n´umeros primos es que con ellos podemos generar cualquier
otro n´umero natural mediante la multiplicaci´on de ellos. Esta caracter´ıstica la abordaremos m´as adelante.
1.2. N´umeros compuestos
Cualquier n´umero natural que pueda escribirse como multiplicaci´on de 2 o m´as n´umeros naturales
distintos de 1 y s´ı mimo, se denomina n´umero compuesto. Por ejemplo el n´umero 12 lo podemos
descomponer as´ı:
12 = 3 · 4
= 3 · 2 · 2
Si descomponemos el n´umero 18 en sus factores primos obtenemos:
18 = 2 · 9
= 2 · 3 · 3
Notar que los t´erminos que componen a un n´umero
compuesto coincide con sus divisores.
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1.3. Pares e impares
Podemos separar el conjuntos de los enteros Z en dos subconjuntos: pares e impares. Llamamos par
a todo n´umero que es m´ultiplo de 2, es decir, si un n´umero lo podemos escribir como
P = 2n
donde n ∈ Z, entonces P es par independiente de que n lo sea. Entonces si dividimos un n´umero por
2 y el residuo o resto es 0, ese n´umero es par.
Los impares son n´umeros que al dividir por 2 obtenemos 1 como residuo o resto. Dicho de otra
manera, podemos construir cualquier impar como un par m´as o menos uno.
I = 2n ± 1
donde n ∈ Z. En estas condiciones I es impar independientemente si n lo es.
2. Criterios de divisibilidad
Podemos darnos cuenta que a todos los m´ultiplos de un n´umero a los podemos identificar tambi´en
como n´umeros divisibles por a.
Si b es m´ultiplo de a, entonces b es divisible por a
4. ¡Mira!
Existen ciertas caracter´ısticas de los n´umeros que nos permiten identificar por simple inspecci´on si
son divisibles por otro. A continuaci´on mostraremos algunos de estos criterios.
2.1. Divisibilidad por 2
Un n´umero se dice divisible por 2 si ´este termina en cero o par. Algunos ejemplos de n´umeros divisibles
por 2 son:
10
122
1.224
40.336
324.118
1.200.770
2.2. Divisiblilidad por potencias de 10
Un n´umero es divisible por alguna potencia de 10 si termina en tantos ceros como el n´umero del
exponente de la potencia de 10. Por ejemplo 1.200 termina en 2 ceros, entonces es divisible por 102 = 100.
En cambio 1.230 termina en 1 cero, por lo que, es divisible por 101 = 10. Algunos ejemplos:
120 es divisible por 10
1.300 es divisible por 100
53.000 es divisible por 1.000
120.000 es divisible por 10.000
3
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2.3. Divisibilidad por 5
Un n´umero es divisible por 5 si termina en cinco o cero. Algunos ejemplos de n´umeros divisibles por
5 son:
10
15
30
105
1.200
11.115
222.225
1.098.765
99.453.330
2.4. Divisibilidad por 4
Un n´umero es divisible por 4 cuando las ´ultimas dos cifras de la derecha (decena y unidad) son ceros
o forman un n´umero que es m´ultiplo de 4. Algunos ejemplos son:
300
1.016
20.324
325.636
4.331.500
24.500.040
2.5. Divisibilidad por 8
Un n´umero es divisible por 8 cuando las ´ultimas tres cifras (centena, decena y unidad) son ceros o
forman un m´ultiplo de 8. Algunos ejemplos de n´umeros divisibles por 8 son:
3.000
7.016
20.024
257.800
8.765.168
51.523.040
2.6. Divisibilidad por 3
Un n´umero es divisible por 3 cuando la suma de los valores absolutos de sus cifras es un m´ultiplo de
3. Algunos ejemplos de n´umeros divisibles por 3:
102 es divisible por 3 ya que 1 + 0 + 2 = 3 y 3
es m´ultiplo de 3
7.011 es divisible por 3 ya que 7+0+1+1 = 9
y 9 es m´ultiplo de 3
21.990 es divisible por 3 ya que 1+2+9+9+
0 = 21 y 21 es m´ultiplo de 3
357.000 es divisible por 3 ya que 3+5+7 = 15
y 15 es m´ultiplo de 3
8.725.161 es divisible por 3 ya que 8 + 7 + 2 +
5 + 1 + 6 + 1 = 30 y 30 es m´ultiplo de 3
31.523.040 es divisible por 3 ya que 3+1+5+
2 + 3 + 0 + 4 + 0 = 18 y 18 es m´ultiplo de 3
4
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2.7. Divisibilidad por 9
Un n´umero es divisible por 9 cuando la suma de los valores absolutos de sus cifras es un m´ultiplo de
9. A continuaci´on mostramos algunos ejemplos de n´umeros divisibles por 9:
162 es divisible por 9 ya que 1 + 6 + 2 = 9 y 9
es m´ultiplo de 9
7.911 es divisible por 9 ya que 7+9+1+1 = 18
y 18 es m´ultiplo de 9
21.996 es divisible por 9 ya que 1+2+9+9+
6 = 27 y 27 es m´ultiplo de 9
999.990 es divisible por 9 ya que 9 + 9 + 9 +
9 + 9 + 0 = 45 y 45 es m´ultiplo de 9
8.725.761 es divisible por 3 ya que 8 + 7 + 2 +
5 + 7 + 6 + 1 = 36 y 36 es m´ultiplo de 9
31.523.040 es divisible por 9 ya que 3+1+5+
2 + 3 + 0 + 4 + 0 = 18 y 18 es m´ultiplo de 3
Notar que todo n´umero que es divisible por 9, tam-
bi´en lo es por 3.
2.8. Divisibilidad por 6
Un n´umero es divisible por 6 si cumple con los criterios de divisibilidad por 2 y 3 al mismo tiempo, es
decir, ser´a divisible por 6 si su ´ultima cifra (unidad) es 0 ´o par y la suma de los valores absolutos de sus
cifras es un m´ultiplo de 3.. Algunos ejemplos de n´umeros divisibles por 6.
102 es divisible por 6 ya que es un n´umero par
y la suma de sus cifras es 1 + 0 + 2 = 3
7.002 es divisible por 6 ya que termina en 2 y
la suma de sus cifras es 7 + 0 + 0 + 2 = 9
21.990 es divisible por 6 ya que termina en 0
y la suma de sus cifras es 1+2+9+9+0 = 21
357.000 es divisible por 6 es un n´umero par y
la suma de sus cifras es 3 + 5 + 7 = 15
2.9. Divisibilidad por 11
Un n´umero es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de las cifras en las posiciones impares y
el valor absoluto de las cifras en las pociciones pares, de derecha a izquierda, es cero o un m´ultiplo de 11.
Por ejemplo 3.289 es divisible por 11 ya que
(9 + 2) − (8 + 3) = 11 − 11 = 0
Otros ejemplos de n´umeros divisibles por 11 son:
1.122 es divisible por 11 ya que (2 + 1) − (2 + 1) = 0
96.162 es divisible por 11 ya que (2 + 1 + 9) − (6 + 6) = 0
120.901 es divisible por 11 ya que (1 + 9 + 2) − (0 + 0 + 1) = 12 − 1 = 11
Desaf´ıo I
En el n´umero 104.3?2, ¿qu´e valores puede tomar ? para que el n´umero sea divisible
por 6? Respuesta
5
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3. Propiedades de la multiplicidad y divisibilidad
3.1. Suma de m´ultiplos o divisibles de un n´umero
Si a y b son divisibles por n, entonces a + b tambi´en es divisible por n. En un caso concreto
10, 20 y 25 son divisibles por 5, ya que terminan en 0 ´o en 5. Notemos que
10 + 20 + 25 = 55
Como 55 termina en 5, entonces la suma de los divisibles por 5 es tambi´en divisible por 5.
3.2. Diferencia de m´ultiplos o divisibles de un n´umero
Si a y b son divisibles por n, donde a > b, entonces a − b tambi´en es divisible por n. En un
caso concreto 15 y 6 son divisibles por 3. Notemos que 15 − 6 = 9 y 9 es divisible por 3.
3.3. Propiedad de los m´ultiplos
Si n divide a b entonces dividir´a a cualquier m´ultiplo de b. Por ejemplo 1.122 es divisible por
11, si tomamos alg´un m´ultiplo de 1.122, por ejemplo 5.610 y analizamos seg´un el criterio de divisibilidad
de 11 se obtiene:
(0 + 6) − (1 + 5) = 6 − 6 = 0
Como el resultado es 0, entonces 5.610 es tambi´en divisible por 11.
3.4. Multiplicaci´on de divisores de un n´umero
Si a es divisible por n y m, entonces a es divisible por mn. El caso m´as simple para ejemplificar
esto es el criterio de divisibilidad por 6. Recordemos que un n´umero es divisible por 6 si es divisible por
2 y 3, y efectivamente 2 · 3 = 6.
Ejercicios 1
Resuelve los siguientes problemas
1. ¿Por qu´e n´umeros son divisibles 25, 123 y 6.130?
2. ¿Cu´al es la menor cifra que se le debe agregar a 341 para que sea divisible por 9?
3. Por simple inspecci´on determine ¿cu´al es el residuo de las siguientes divisiones 571 ÷ 2, 1.201 ÷ 3 y
1.551 ÷ 11?
4. ¿ Por qu´e n´umero es divisible la suma de un m´ultiplo de 11 con otro m´ultiplo de 11?
5. ¿La suma de un par con un impar es par o impar? ¿Por qu´e?
6. ¿La suma de un par con otro par es par o impar? ¿Por qu´e?
7. ¿La multiplicaci´on de dos impares es par o impar? ¿Por qu´e?
8. ¿La multiplicaci´on de dos pares es par o impar? ¿Por qu´e?
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9. ¿Si un n´umero no es divisible por 3, qu´e valor puede tomar el residuo de dividir dicho n´umero por
3?
10. ¿Si un n´umero no es divisible por 5, qu´e valor puede tomar el residuo de dividir dicho n´umero por
5?
4. Descomposici´on prima
Uno de los grandes logros de la Teor´ıa de los N´umeros es haber llegado a la conclusi´on de que todo
n´umero compuesto puede escribirse como multiplicaci´on de n´umeros primos. A la acci´on de es-
cribir un n´umero compuesto como multiplicaci´on de sus divisores primos se le denomina descomposici´on
prima. Por ejemplo, si queremos descomponer el n´umero 120, vamos escribi´endolo como multiplicaci´on
9. ¡Mira!
de otros n´umeros, hasta llegar s´olo a n´umeros primos:
120 = 2 · 60
= 2 · 6 · 10
= 2 · 2 · 3 · 10
= 2 · 2 · 3 · 2 · 5
= 2 · 2 · 2 · 3 · 5
= 23
· 3 · 5
Ejercicios 2
Descomponer en sus factores primos los siguientes n´umeros.
1. 24
2. 64
3. 121
4. 160
5. 182
6. 306
7. 625
8. 840
9. 1.218
10. 5.887
11. 9.420
12. 21.901
Es interesante notar que para cada n´umero compuesto existe s´olo un sistema de n´umeros primos que
lo descomponen, es decir, cada n´umero compuesto tiene s´olo una factorizaci´on prima. Esta caracter´ıstica,
entre otras, es la que hace tan importantes e interesantes a los n´umeros primos.
La descomposici´on prima es ´unica para cada n´umero
compuesto.
La descomposici´on prima es muy ´util en las matem´aticas, nos permite encontrar el n´umero de divisores
de un n´umero, el m´ınimo com´un m´ultiplo (MCM) y m´aximo com´un divisor (MCD) entre dos n´umeros.
7
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4.1. Encontrar el n´umero de divisores de un n´umero
Ayud´andonos de que la descomposici´on prima es ´unica para cada n´umero, podemos encontrar to-
dos los divisores de ese n´umero haciendo todas las combinaciones posibles entre los factores primos. Si
descomponemos el n´umero 825 obtenemos:
825 = 25 · 33
= 5 · 5 · 33
= 3 · 5 · 5 · 11
= 3 · 52
· 11
Recordemos que al realizar la descomposici´on prima, cada uno de los n´umeros primos divide a 825,
y como vimos anteriormente la multiplicaci´on de los divisores de un n´umero tambi´en es divisor de ese
n´umero. Entonces el n´umero de divisores de 825 ser´an todas las combinaciones que podamos hacer con
los n´umeros 3, 5, 5 y 11 considerando tambi´en a las combinaciones que no incluyan a todos los elementos.
Para obtener el n´umero de divisores multiplicamos la potencia aumentada en una unidad de cada
primo que compone a dicho n´umero, en este caso
(1 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 2 · 3 · 2 = 12
En efecto, los factores son
3050110 = 1
3150110 = 3
3051110 = 5
3050111 = 11
3052110 = 5 × 5 = 25
3151110 = 3 × 5 = 15
3150111 = 3 × 11 = 33
3051111 = 5 × 11 = 55
3152110 = 3 × 5 × 5 = 75
3052111 = 5 × 5 × 11 = 275
3151111 = 3 × 5 × 11 = 165
3152111 = 3 × 5 × 5 × 11 = 825
En el caso que la descomposici´on prima de un n´umero sea n = paqbrc donde p, q y r son primos, el
n´umero de divisores D de n es
D = (a + 1)(b + 1)(c + 1)
Ejercicios 3
Hallar el n´umero de divisores que tiene cada uno de los siguientes n´umeros:
1. 12
2. 34
3. 62
4. 75
5. 92
6. 106
7. 425
8. 845
9. 1.008
8
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4.2. Primos relativos o primos entre s´ı
Se llaman primos relativos o primos entre s´ı a dos o m´as n´umeros que s´olo tienen como divisor
com´un el 1. Por ejemplo 12 y 25 son primos relativos porque no tienen factores o divisores en com´un.
Este concepto ser´a ´util cuando queramos encontrar MCM y MCD de algunos n´umeros.
5. M´aximo com´un divisor
Puede definirse como el mayor n´umero entero que divide exactamente a dos o m´as n´umeros naturales.
Usualmente el m´aximo com´un divisor entre a y b se denota como MCD(a, b). Para calcular el MCD de dos
n´umeros hay variados m´etodos o estrategias, pero si conocemos la notaci´on de las potencias y manejamos
la descomposici´on prima existe una forma muy simple para obtenerlo.
12. ¡Mira!
El m´aximo com´un divisor entre a y b, MCD(a, b),
es igual a la multiplicaci´on de las bases primas en
com´un entre a y b, elevadas a la m´ınima potencia
a la que aparecen en la descomposici´on prima.
Ejemplo
1. Hallar el m´aximo com´un divisor entre 12 y 18
Soluci´on: Escribimos primero la descomposici´on prima de cada n´umero
12 = 4 · 3 = 22 · 3
18 = 2 · 9 = 2 · 32
Notemos que ambos tienen en com´un las bases primas 2 y 3. Ahora debemos identificar cu´al es la
m´ınima potencia a la que est´a elevada cada base prima. En el caso de 2 su menor potencia es 1, y
para la base prima 3 la menor potencia es 1 tambi´en. Entonces:
MCD(12, 18) = 21
· 31
= 6
2. Calcular MCD(36, 75)
Soluci´on: La descomposici´on prima de cada uno es:
36 = 2 · 18 = 2 · 2 · 9 = 22 · 32
75 = 5 · 15 = 5 · 3 · 5 = 3 · 52
En este caso la ´unica base prima que tienen en com´un es 3, y la m´ınima potencia a la que est´a elevada
es 1, por lo tanto
MCD(36, 75) = 3
3. ¿Cu´al es el m´as grande de los divisores que tienen en com´un 30 y 72?
Soluci´on:
30 = 2 · 3 · 5
72 = 23 · 32
Tienen en com´un las bases 2 y 3. La menor potencia de 2 es 1 y la menor potencia de 3 es 1 tambi´en,
entonces el mayor de los divisores entre ellos es 21 · 31 = 6
9
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6. M´ınimo com´un m´ultiplo
Si tenemos varios n´umeros enteros, llamaremos m´ınimo com´un m´ultiplo de esos n´umeros al menor
n´umero entero positivo que es m´ultiplo de todos ellos. El m´ınimo com´un m´ultiplo entre a y b se denota
MCM(a, b) y para calcularlo es ´util usar la descomposici´on prima al igual que para el MCD.
14. ¡Mira!
El m´ınimo com´un m´ultiplo entre a y b,
MCD(a, b), es igual a la multiplicaci´on de todas las
bases primas diferentes que aparecen en la descom-
posici´on prima de a y b, elevadas a la m´axima po-
tencia a la que aparecen en las descomposiciones.
Ejemplo
1. ¿Cu´al es el m´ınimo com´un m´ultiplo entre 9 y 30?
Soluci´on: Descomponemos 9 y 30 en sus factores primos.
9 = 32
30 = 2 · 3 · 5
El MCM(6, 30) ser´a igual a la multiplicaci´on de todas las bases primas que aparecen en las dos
descomposiciones, elevadas a la potencia m´axima a la que aparecen. En este caso las bases son 2, 3
y 5, y las potencias m´aximas a las que est´an elevadas son 1, 2 y 1 respectivamente. Entonces
MCM(6, 30) = 21
· 32
· 51
= 2 · 32
· 5
2. Obtener el MCM entre 6, 12 y 15
Soluci´on: Escribimos el n´umero como descomposici´on prima.
6 = 2 · 3
12 = 22 · 3
15 = 3 · 5
Entonces, el MCM(6, 12, 15) ser´a la multiplicaci´on de todas las bases primas que aparecen en las 3
descomposiciones, elevadas a la m´axima potencia.
MCM(6, 12, 15) = 22
· 3 · 5 = 60
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Ejercicios 3
1. Encuentra el MCM y MCD de cada grupo de n´umeros.
a) 10 y 15
b) 12 y 18
c) 3 y 7
d) 7 y 11
e) 14 y 13
f ) 12, 40 y 100
g) 145 y 320
h) 100 y 150
i) 120 y 180
j) 30 y 70
k) 120 y 400 y 1.000
2. Identifica si en los siguientes problemas est´a presente el concepto de MCM y MCD.
a) Dos varas de madera de 6 y 15 cent´ımetros se quieren cortar en una misma cantidad de pedazos.
¿Cu´antos pedazos se pueden cortar como m´aximo?
b) El campanario de una iglesia tiene 2 campanas. Una suena cada 15 minutos y la otra suena
cada 32 minutos. Si la ´ultima vez que sonaron juntas fue a las 12:00 am, ¿a qu´e hora sonar´an
nuevamente juntas?
c) ¿Cu´al es el valor m´aximo de la longitud de una regla con la que se puede medir exactamente
el largo y ancho de una habitaci´on de 820 por 635 cent´ımetros de largo?
d) Dos listones de madera de 36 y 48 metros respectivamente, se quieren cortar en pedazos iguales
y de la mayor longitud posible. ¿Cu´al ser´a el largo de cada pedazo?
Desaf´ıo II
Si p es m´ultiplo de q, ¿cu´al es el MCM(p, q)? Respuesta
11
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Desaf´ıos resueltos
Desaf´ıo I: El n´umero es par, independiente del valor que tome ?. Nos falta hacer que el n´umero sea
divisible por 3, para ello debe cumplirse que
1 + 0 + 4 + 3 + ? + 2 sea m´ultiplo de 3.
Fij´emonos que
1 + 0 + 4 + 3 + ? + 2 = 10 + ?
Notar que si el n´umero inc´ognito es 0, faltar´ıan 2 unidades para ser m´ultiplo de 3 ´o sobra una unidad
para cumplir la misma condici´on. Entonces el n´umero inc´ognito ? debe ser un m´ultiplo de 3 m´as 2
´o un m´ultiplo de 3 menos 1.
? = 3k − 1
? = 3k + 2
donde k ∈ N Volver
Desaf´ıo II: Como p es m´ultiplo de q, el m´ınimo com´un m´ultiplo entre ellos ser´a el mayor, en este
caso p, entonces
MCM(p, q) = p
Volver
Bibliograf´ıa
[1 ] ´Algebra, Edici´on 1983, CODICE S.A. Madrid (1983)
Dr. Aurelio Baldor.
[2 ] Aritm´etica, Edici´on 1974, CULTURAL CENTROAMERICANA Guatemala (1983)
Dr. Aurelio Baldor.
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