1
Chapitre 2. l’utilité espérée et le
comportement vis-à-vis du risque
1. Principes et axiomatique de
l’espérance d’utilit...
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1) L’espérance d’utilité (Von Neumann et Morgenstern)
a) principes
∑=
j
ijji GUpEU )(
3
100
= 1/2 (50) +1/2 (150)
50 150
U(50)
U(150)
gain
Utilité
½ U(50) +
½ U(150)
U{½ (50)+
½ (150)}=
u(100)
70=EC
Prime
de ...
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Prime de risque et préférence vis–à-vis du risque
• Si PR>0, alors UE > EU et l’agent est risquophobe
(averse au risque)...
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L’espérance d’utilité
• Si Pr (X=x) = {0,2 ; 0,5 ; 0,3} et U =ln(x)
• Alors EU (A) = 0,2ln(100) +0,5 ln50 + 0,3 ln 30 = ...
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Comparaison des loteries et comparaison des
distributions de probabilités
• Une décision di est en fait
une loterie, ie ...
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exemple
504535
C
Bus articulé en
site protégé
407065
B
Bus guidé
3050100
A
Tramway
Faible
(0.3)
Moyenne
(0.5)
Élevée
(0....
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exemple
• L’ensemble des
conséquences sur ces 3
loteries est :
• Si on l’ordonne :
• Chaque décision (loterie)
peut alor...
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b) Axiomatique de Von Neumann-Morgenstern
• Par conséquent, si on prend le cardinal des
conséquences des toutes les lote...
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Axiomes d’existence de l’espérance d’utilité
• Axiome 1 de comparabilité. soit p et q 2 distributions de
probabilités a...
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Axiomes d’existence de l’espérance d’utilité
• Axiome 2 de transitivité. Soit 3 distributions de
probabilité, p, q et z...
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Axiomes d’existence de l’espérance d’utilité
• Axiome 3 d’indépendance. Soit 3 distributions de probabilité, p,
q et z ...
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Axiomes d’existence de l’espérance d’utilité
• Axiome 4 de continuité. Soit 3 distributions de probabilité, p, q
et z. ...
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Axiomes d’existence de l’espérance d’utilité
• Axiome 5 de réduction des loteries composées.
• Un agent doit être indif...
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Théorème de VNM
• Si les 5 axiomes précédents sont respectés, alors il existe une
fonction u tq :
( ) ( )CuECuEqp
Pqp
q...
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Implication de la concavité des fonctions d’utilité
• Si la dérivée seconde de la fonction d’utilité est
négative, alor...
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2. La prime de risque : définition formelle (1)
• Soit U(x) la fonction d’utilité d’un individu
• soit une loterie :
• ...
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La prime de risque : définition formelle (2)
• Soit l’utilité de l’espérance mathématique des gains afférents à la
lote...
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La prime de risque : définition formelle (3)
• Par définition de l’EC, on a forcément :
• Par conséquent, on peut écrir...
20
La prime de risque : définition formelle (4)
• En croisant (4) et (6), on peut écrire la valeur de la
prime de risque :...
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Un exemple
• Exemple : dans le cas d’une loterie [(50$ ; 150$)(1/2 ;
1/2)] et d’une fonction d’utilité bernoullienne U(...
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Graphique : l’utilité de la loterie pour U(x) = ln(x)
50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
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L’approximation d’Arrow-Pratt (1964) (1)
• On sait que :
• Par définition de l’équivalent-certain de la
loterie, on a :...
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L’approximation d’Arrow-Pratt (1964) (2)
• Un utilisant la formule des DL d’ordre 2
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Démonstration par l’exemple
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L’approximation d’Arrow-Pratt (1964) (3)
• Si on reprend l’eqn (2) :
• Comme on suppose que
est suffisamment petit, alo...
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(*) Exemple avec U(x)=ln(x)
• Exemple : dans le cas d’une loterie [(50$ ; 150$)(1/2 ; 1/2)]
et d’une fonction d’utilité...
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3. Indices d’aversion au risque : Le niveau absolu
et relatif d’aversion au risque
• Pour une fonction d’utilité
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Aversion au risque et utilité marginale de la
richesse
• Plus généralement, pour des
fonctions de type puissance
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Fonctions CARA et fonctions CRRA
• CARA : Constant Absolute Risk Aversion
• CRRA : Constant Relative Risk Aversion
• L’...
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Fonctions CARA et fonctions CRRA
• L’indice Relatif d’Aversion au Risque (IRAR) s’écrit :
• Une fonction d’utilité dont...
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Exemples de fonction CARA et CRRA
• La fonction U(x) = ln (x) est une fonction CRRA car l’IAAR
est égal à 1/x
• La fonc...
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L’estimation de la fonction d’utilité du décideur :
un exemple
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chance
gain %de...
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Estimation des préférences vis-à-vis du risque :
une méthode
• Si on suppose que la fonction d’utilité est de type
puis...
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Classification des types d’individus
Source : Holt and Laury (2002), AER.
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Application : questionnaire distribué en cours en
décembre 2006, master 2
• Questionnaire 1 = 4 choix A et 6 choix B, d...
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Préférence « moyenne » de la classe (n=10,
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Masclet, Colombier, Denant-Boemont &
Loheac, 2008, JEBO
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salaries+ 36 self
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(endogene...
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Proportion of safe choices, sessions 1-4
0
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Decision
Percenta...
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Importance des gains et aversion au risque (Colombier,
Denant-Boemont, Loheac & Masclet, 2007)
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4. Mesures de risque
• Supposons qu’il existe 2 alternatives d’investissement, F
et G, avec un résultat stochastique x,...
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Dominance stochastique de 1er ordre
• La distribution de probabilités F domine stochastiquement
la distribution de prob...
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Exemple : DS 1 (Levy & Levy, 2001)
• Soit deux loteries F et G
• F domine stochastiquement
au 1er ordre G :
½+25002/3+2...
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Dominance stochastique de 2d ordre
• La distribution F domine stochastiquement au 2d ordre la distribution G si
l’aire ...
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Exemple : DS 2 (Levy & Levy, 2001)
• Soit deux loteries F et G
• G domine stochastiquement au 2d
ordre F (G en dessous ...
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Implication des critères de DS
• Ainsi un pari F est préféré à un pari G par tous les
parieurs si F Domine Stochastique...
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Résultats des expériences de Levy & Levy, 2001
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5. limites du critère d’UE et résultats
expérimentaux
a) Axiome d’indépendance : le paradoxe d’Allais
b) Axiome de tran...
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a) l’axiome d’indépendance et le paradoxe d’Allais
• M. Allais, Prix Nobel d’économie 1989
• Soit deux billets de loter...
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Le paradoxe d’Allais
• Soit deux billets de loterie C et D, lequel choisiriez vous ?
C
15 000 €
0 €
0.9
0.1
D
10 000 €
...
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Analyse des choix
• Si A préféré à B et D préféré à C, alors incohérence des
choix !
• En effet, supposons que je propo...
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Analyse des choix
• E est une composée de la loterie D et F est une composée de la
loterie C
• Les loteries « composées...
55
Si on réduit E…
E
0 €
0.1
0.9
10 000
0 €
1
0
E
10 000 €
0 €
0.1
0.9 B !
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Si on réduit F…
F
0 €
0.1
0.9
15 000
0 €
0.9
0.1
F
15 000 €
0 €
0.1 x 0.9 = 0.09
0.9
A !0 €
0.1 x 0.1 = 0.01
F
15 000 €...
57
Conclusion
• Comme D est préféré à C, E devrait être préféré à F (car E est
une composée de D et d’une autre loterie et...
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b) l’axiome de transitivité et le renversement des
préférences
• Q1. Choisissez entre :
– A. 18 € avec proba de 30%, 0€...
59
Le renversement des préfèrences
• Phénomène dit de « preference reversal »
• Toutefois, explication relativement simple...
60
c) L’unicité de la fonction d’utilité et l’aversion aux pertes
(Kahneman et Tversky)
• … problèmes d’aversion aux perte...
61
Tversky et Kahneman, 1986
• Q1. supposez que vous soyez de 300 $ plus riche qu’aujourd’hui. Que
choisissez-vous ?
– A. ...
62
La théorie des perspectives (« prospect theory », Kahneman, Tversky,
1979, 1992)
• Hypothèses :
1. Dépendance à un poin...
63
La théorie des perspectives (Prospect Theory) de
Kahneman et Tversky (1)
• La théorie des perspectives peut formellemen...
64
Un exemple de fonction de transformation des
probabilités
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La théorie des perspectives (2)
• Fonction de pondération des probabilités ̟(p) + fonction de valeurs v(x),
• Pour w(p)...
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Kahneman, Knetsch and Thaler, 1991
GainsPertes
valeur
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Quelques problèmes de la TP
• Ne respecte par le principe de dominance stochastique (un agent
préfère plus de gain à mo...
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d) l’aversion à l’ambiguïté et le paradoxe
d’Ellsberg
• Dans une urne, 90 boules
• 30 boules sont rouges, 60 sont blanc...
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Le paradoxe d’Ellsberg
0 €
100 €
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100 €
Boule
blanche
100 €
100 €
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G
H
0 €
0 €
100 €
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E
F
Boule noireBou...
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Le paradoxe de Ellsberg
• Mis dans cette situation, la majorité des sujets préfèrent E à F et H à G.
• Cette réponse n’...
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Conclusion
• Remises en causes nombreuses et nourries de la théorie de
l’espérance d’utilité,
• Certains économistes ou...
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NOTION DE L'UTILTITE ESPEREE ET COMPORTEMENT FACE AU RISQUE

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NOTION DE L'UTILTITE ESPEREE ET COMPORTEMENT FACE AU RISQUE

  1. 1. 1 Chapitre 2. l’utilité espérée et le comportement vis-à-vis du risque 1. Principes et axiomatique de l’espérance d’utilité 2. La prime de risque 3. Les indices d’aversion au risque 4. Les mesures de risque 5. Remises en causes et critiques du critère d’EUPhilip Kaufman (1983), L’étoffe des héros (The Right Stuff)
  2. 2. 2 1) L’espérance d’utilité (Von Neumann et Morgenstern) a) principes ∑= j ijji GUpEU )(
  3. 3. 3 100 = 1/2 (50) +1/2 (150) 50 150 U(50) U(150) gain Utilité ½ U(50) + ½ U(150) U{½ (50)+ ½ (150)}= u(100) 70=EC Prime de risque Prime de risque = 100 – 70 = 30 Soit une loterie A {(50€;150€),(1/2;1/2)} =U(70) La fonction d’utilité concave (utilité marginale décroissante) indique l’aversion au risque
  4. 4. 4 Prime de risque et préférence vis–à-vis du risque • Si PR>0, alors UE > EU et l’agent est risquophobe (averse au risque) • Si PR<0, alors UE < EU et l’agent est risquophile (goût pour le risque) • Si PR=0, alors UE = EU et l’agent est neutre vis-à-vis du risque
  5. 5. 5 L’espérance d’utilité • Si Pr (X=x) = {0,2 ; 0,5 ; 0,3} et U =ln(x) • Alors EU (A) = 0,2ln(100) +0,5 ln50 + 0,3 ln 30 = 3,9 • EMG (B) = 4.1 • EMG (C) = 3.8 • D’où B > A > C
  6. 6. 6 Comparaison des loteries et comparaison des distributions de probabilités • Une décision di est en fait une loterie, ie une distribution de conséquences attachée à une distribution de probabilités : • De même pour di’ : • Comme les conséquences peuvent en général être ordonnées, alors il est possible de regrouper toutes les conséquences et de différencier les loteries par leur distribution de probabilités : ( )iiiiii d n ddd n dd i pppcccLd ,...,,;,...,, 2121= ( )'''''' ,...,,;,...,, 2121 ' iiiiii d n ddd n dd i pppcccLd = ( )''' ,...,,,,...,,;,...,, 2121221 iiiiii d n ddd n dd n ppppppcccLD =
  7. 7. 7 exemple 504535 C Bus articulé en site protégé 407065 B Bus guidé 3050100 A Tramway Faible (0.3) Moyenne (0.5) Élevée (0.2) Demande projet
  8. 8. 8 exemple • L’ensemble des conséquences sur ces 3 loteries est : • Si on l’ordonne : • Chaque décision (loterie) peut alors être comparée par sa distribution de probabilité sur l’ensemble des conséquences C { }50,45,35,40,70,65,30,50,100=C { }100;70;65;50;45;40;35;30=C { }100;70;65;50;45;40;35;30=C ( ) { }2.0;0;0;5.0;0;0;0;3.0=AP { }100;70;65;50;45;40;35;30=C ( ) { }0;5.0;2.0;0;0;3.0;0;0=BP { }100;70;65;50;45;40;35;30=C ( ) { }0;0;0;3.0;5.0;0;2.0;0=CP
  9. 9. 9 b) Axiomatique de Von Neumann-Morgenstern • Par conséquent, si on prend le cardinal des conséquences des toutes les loteries, chaque loterie ne diffère que par sa distribution de probabilités, • Si on suppose que l’agent dispose d’un préordre complet sur les conséquences (relation de préférence et d’indifférence sur les conséquences), alors la définition d’une relation de préférence sur les loteries suffit à caractériser le comportement vis-à-vis du risque d’un agent, Cette relation de préférence doit respecter les axiomes suivants pour que la fonction d’utilité VNM existe :
  10. 10. 10 Axiomes d’existence de l’espérance d’utilité • Axiome 1 de comparabilité. soit p et q 2 distributions de probabilités appartenant à l’espace P, on a : • Cela implique que toute distribution de probabilités peut être comparée à une autre. qpqpqpPqp ~soit;soit;soit, pf∈∀
  11. 11. 11 Axiomes d’existence de l’espérance d’utilité • Axiome 2 de transitivité. Soit 3 distributions de probabilité, p, q et z. L’hypothèse de transitivité implique que : • Cette hypothèse correspond à une hypothèse de rationalité parfaite. zpalorszqetqpsiPzqp fff∈∀ ,,
  12. 12. 12 Axiomes d’existence de l’espérance d’utilité • Axiome 3 d’indépendance. Soit 3 distributions de probabilité, p, q et z et un réel α compris entre 0 et 1. L’hypothèse d’indépendance implique que : • Cet axiome peut également s’interpréter de la manière suivante : [ ] ( ) ( )zqzpalors qpsi Pzqp αααα α −+−+ ∈∀∈∀ 1.1. 1,0,,, f f ( ) ( ))1(,;,)1(,;, αααα −− zqLzpLalors qpsi f f
  13. 13. 13 Axiomes d’existence de l’espérance d’utilité • Axiome 4 de continuité. Soit 3 distributions de probabilité, p, q et z. L’hypothèse de continuité implique que : [ ] ( ) ( )zqqzp tels que : alors zqpsi Pzqp ββαα βα −+−+ ∈∃ ∈∀ 1.1. 1,0, ,,, ff ff
  14. 14. 14 Axiomes d’existence de l’espérance d’utilité • Axiome 5 de réduction des loteries composées. • Un agent doit être indifférent entre une loterie A qui lui donne une probabilité p de gagner x$ et (1-p) de gagner 0$ et une loterie qui lui donne une probabilité q de gagner une loterie B (x$,0$); (z, (1-z)) et une probabilité (1-q) de gagner 0$ ssi : • Exemple : un agent doit être indifférent entre une loterie A qui lui donne 25% de chances de gagner 100$ et une loterie qui lui donne 50% de chances de gagner une loterie B qui lui donne 50% de chances de gagner 100$ ( ) ( ) ( )( ) ( )pzqzqzq pzq −=−−+−+−⇔ =× 11111
  15. 15. 15 Théorème de VNM • Si les 5 axiomes précédents sont respectés, alors il existe une fonction u tq : ( ) ( )CuECuEqp Pqp qp > ∈∀ siseulementetsi ,, f
  16. 16. 16 Implication de la concavité des fonctions d’utilité • Si la dérivée seconde de la fonction d’utilité est négative, alors la fonction est concave, ce qui signifie que plus le niveau de richesse d’un individu est important, moins il est averse au risque, • Un agent infiniment riche est donc neutre vis-à-vis du risque
  17. 17. 17 2. La prime de risque : définition formelle (1) • Soit U(x) la fonction d’utilité d’un individu • soit une loterie : • On a l’espérance mathématique de la loterie : • Soit l’espérance d’Utilité (VNM) de la loterie : ( ) j j j e x p x= ∑% ( ) ( )j j j e U x p U x=   ∑% ( ) ( )1 1,...., ; ,....,J Jx x x p p=   % (1) (2)
  18. 18. 18 La prime de risque : définition formelle (2) • Soit l’utilité de l’espérance mathématique des gains afférents à la loterie : • Par définition de l’EU, on peut avoir : • On appelle Equivalent-Certain d’une loterie : • étant la prime de risque afférente à cette loterie. ( ) ( )U e x e U x≥<      % % ( ) ( ) xec x e x ρ= − %% % xρ% (3)( ) j j j U e x U p x   =       ∑% (4)
  19. 19. 19 La prime de risque : définition formelle (3) • Par définition de l’EC, on a forcément : • Par conséquent, on peut écrire : • Où est la fonction réciproque de U(x) [ ] ( ) ( )( ) j j j U ec x e U x p U x= =   ∑% % ( )1 ( ) j j j ec x U p U x−   =     ∑% ( )yU 1− (5) (6)
  20. 20. 20 La prime de risque : définition formelle (4) • En croisant (4) et (6), on peut écrire la valeur de la prime de risque : ( ) ( )1 x j j j e x U p U xρ −   = −     ∑% %
  21. 21. 21 Un exemple • Exemple : dans le cas d’une loterie [(50$ ; 150$)(1/2 ; 1/2)] et d’une fonction d’utilité bernoullienne U(x) = ln(x) • L’équivalent certain est calculé comme suit : 1 1 ( ) exp (50) (150) 86.6 2 2 ec x U U   = + =   %
  22. 22. 22 Graphique : l’utilité de la loterie pour U(x) = ln(x) 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0 x y
  23. 23. 23 L’approximation d’Arrow-Pratt (1964) (1) • On sait que : • Par définition de l’équivalent-certain de la loterie, on a : • Supposons une VA : • Sa moyenne est et sa variance suffisamment petite • Supposons que la fonction U(.) soit 2 fois différentiable, concave et strictement croissante, • La prime de risque sur cette loterie s’écrit : ε~~ += xx [ ] ( ) ( )( ) j j j U ec x e U x p U x= =   ∑% % ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]ερε ~,~~ xxUxUexUe −=+= x 2 εσ ( )[ ] ( )[ ]xUexeU x ~~ ~ =− ρ
  24. 24. 24 L’approximation d’Arrow-Pratt (1964) (2) • Un utilisant la formule des DL d’ordre 2 (expansion de Taylor), on peut écrire, ce pour toute valeur prise par • Soit compte tenu du fait que est lui- même un paramètre aléatoire : • Application : supposons que et que • Question : en supposant une distribution uniforme de probabilités, montrez que l’équation (2) s’applique en partant de l’équation (1) ε~ ( ) ( ) ( ) ( )xUxUxUxU '' 2 ' 2 ε εε ++≈+ ε ε~ ( )[ ] ( ) ( )xUxUxUe '' 2 2 εσ ε +≈+ { }1;1~ +−=ε (1) (2) 0=x
  25. 25. 25 Démonstration par l’exemple ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )xUxUxUe xU xU xUxU xU xUxUe xUxUxUxUxUxUxUe '' 2 1 '' 4 1 2 ' 2 1 '' 4 1 2 ' 2 1 '' 2 1 '1 2 1 '' 2 1 '1 2 1 22 +≈+⇔       +++      +−≈+⇔       +++      − +−+≈+ ε ε ε 12 =εσComme la variance de la loterie est égale à , on a bien : ( )[ ] ( ) ( )xUxUxUe '' 2 2 εσ ε +≈+
  26. 26. 26 L’approximation d’Arrow-Pratt (1964) (3) • Si on reprend l’eqn (2) : • Comme on suppose que est suffisamment petit, alors la prime de risque sera également petite, d’où (voir exemple*) : • Par définition de l’équivalent-certain, on peut écrire que (2)=(1), soit : • On extrait alors la prime de risque ε~ ( )[ ] ( ) ( )xUxUxUe '' 2 2 εσ ε +≈+ ( )[ ] ( ) ( ) ( )xUxxUxxU '~,~, ερερ −≈− ( ) ( ) ( ) 2' ''~, 2 εσ ερ ×−≈ xU xU x ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xUxxUxUxU '~, 2 '' 2 ερ σε −=+
  27. 27. 27 (*) Exemple avec U(x)=ln(x) • Exemple : dans le cas d’une loterie [(50$ ; 150$)(1/2 ; 1/2)] et d’une fonction d’utilité bernoullienne U(x) = ln(x) • L’équivalent certain était de 86.6$ • On a bien approximativement : [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 144.0605.4461.4 100 1 4.14100ln6.86ln 100'4.141004.14100 −≈⇔       −≈⇔ −≈− UUU
  28. 28. 28 3. Indices d’aversion au risque : Le niveau absolu et relatif d’aversion au risque • Pour une fonction d’utilité du type lnx ou racine carrée de x, le principe est que l’utilité marginale de la richesse est décroissante (D. Bernoulli, 1738), • Par ailleurs, si l’aversion au risque correspond au rapport de la dérivée seconde sur la dérivée première, celle-ci décroit en raison de x -1 0 1 2 3 4 5 6 0 20 40 60 80 100 120 140 x U(x) lnx x^0.5
  29. 29. 29 Aversion au risque et utilité marginale de la richesse • Plus généralement, pour des fonctions de type puissance d’une puissance inférieure ou égale à 1 (aversion au risque), l’utilité marginale va être d’autant plus faible que la puissance est faible, • Si r représente l’indice relatif d’aversion au risque, alors on a : 0 20 40 60 80 100 120 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 x x^(1-r) r=0 r=0.2 r=0.4 r=0.6 r=0.8 ( ) r xxU − = 1
  30. 30. 30 Fonctions CARA et fonctions CRRA • CARA : Constant Absolute Risk Aversion • CRRA : Constant Relative Risk Aversion • L’indice Absolu d’Aversion au Risque (IAAR) est une des composantes de la prime de risque : ( ) ( ) wxX xU xU w x ~avec 2' '' 0 2 ~ 0 0 += ×−= σ ρ IAAR
  31. 31. 31 Fonctions CARA et fonctions CRRA • L’indice Relatif d’Aversion au Risque (IRAR) s’écrit : • Une fonction d’utilité dont l’IAAR est constant (ne dépend pas de x) est dite CARA • Une fonction dont l’IAAR est variable et dont l’IRAR est constant est dite CRRA. ( ) ( ) x xU xU IRARx ×−= ' ''
  32. 32. 32 Exemples de fonction CARA et CRRA • La fonction U(x) = ln (x) est une fonction CRRA car l’IAAR est égal à 1/x • La fonction ln(x) est donc une fonction DARA (Decreasing Absolute Risk Aversion) et une fonction CRRA (l’IRAR est égal à 1) • La fonction exp(x) est CARA car l’IAAR est égal à -1. • La fonction U(x)=exp(-rx) est une fonction CARA car l’IAAR est égal à r (concrètement fonction type U(x)=cste – exp(-rx)) r>0 • Pour une fonction générique de type , cette fonction est CRRA (IAAR=r/x), l’indice relatif d’aversion au risque étant égal à r ( ) r xxU − = 1
  33. 33. 33 L’estimation de la fonction d’utilité du décideur : un exemple Option A Option B % de chanc e gain % de chance gain %de chance gain % de chance gain Diff. Gain espérés 10% 2 euros 90% 1,6 euros 10% 3,85 euros 90% 0,10 euros 1,17 euros1 20% 2 euros 80% 1,6 euros 20% 3,85 euros 80% 0,10 euros 0,83 euros2 30% 2 euros 70% 1,6 euros 30% 3,85 euros 70% 0,10 euros3 0,50 euros 40% 2 euros 60% 1,6 euros 40% 3,85 euros 60% 0,10 euros4 0,16 euros 50% 2 euros 50% 1,6 euros 50% 3,85 euros 50% 0,10 euros5 -0,18 euros 60°% 2 euros 40% 1,6 euros 60°% 3,85 euros 40% 0,10 euros6 -0,51 euros 70% 2 euros 30% 1,6 euros 70% 3,85 euros 30% 0,10 euros7 -0,85 euros 80% 2 euros 20% 1,6 euros 80% 3,85 euros 20% 0,10 euros8 -1,18 euros 90% 2 euros 10% 1,6 euros 90% 3,85 euros 10% 0,10 euros9 -1,52 euros 10 100% 2 euros 0% 1,6 euros 100% 3,85 euros 0% 0,10 euros -1,85 euros
  34. 34. 34 Estimation des préférences vis-à-vis du risque : une méthode • Si on suppose que la fonction d’utilité est de type puissance, alors sur la base des loteries précédentes, on peut faire les calculs suivants – Calculer l’utilité des paiements de chaque loterie avec une fonction de type x^(1-r) – Calculer les utilités espérées des loteries en pondérant par les probabilités respectives • La règle est que l’individu choisit A tant que U(A)>U(B) et « switche » sur B quand l’inégalité s’inverse… • Voir loterie.xls
  35. 35. 35 Classification des types d’individus Source : Holt and Laury (2002), AER.
  36. 36. 36 Application : questionnaire distribué en cours en décembre 2006, master 2 • Questionnaire 1 = 4 choix A et 6 choix B, donc sujet « neutre vis-à-vis du risque » (r compris entre -0.15 et +0.15 soit 0 en moyenne), • Questionnaire 2 (2005) = 6 choix A et 4 choix B, donc sujet « averse au risque » (r compris entre +0.41 et +0.68 soit 0.55 en moyenne). • ….
  37. 37. 37 2 4 6 8 10 5 10 15 20 25 30 7,01 )( 7,01 + = + x xU2 choix A
  38. 38. 38 2 4 6 8 10 2 4 6 8 85,01 )( 85,01 − = − x xU7 choix A
  39. 39. 39 Préférence « moyenne » de la classe (n=10, 6/12/2006) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 numéro de la décision fréquencedechoixA neutre fréquence observée 3,4 choix A : r = -0.3 « risk loving » à « risk neutral »
  40. 40. 40 Masclet, Colombier, Denant-Boemont & Loheac, 2008, JEBO 72 students + 36 salaries+ 36 self employed 144Choice (endogeneous, strangers design) 10 periods, sequential, random order (3) 72 students + 36 salaries+ 36 self employed 144Groups (strangers design) 10 periods, sequential, random order (2) 72 students + 36 salaries+ 36 self employed 144Individuals10 periods, sequential, random order (1) PopulationParticipants number Who choose?Set of lottery choicesTreatme nts
  41. 41. 41 Proportion of safe choices, sessions 1-4 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Decision PercentagechoosingA Individual treat. Group treat. after individual treat. Choice treat Risk neutrality Groups become less risk averse
  42. 42. 42 Importance des gains et aversion au risque (Colombier, Denant-Boemont, Loheac & Masclet, 2007) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 décision FréquenceduchoixA trait 1 trait2 trait 3 trait4 trait5 neutre au risque P P X 20
  43. 43. 43 4. Mesures de risque • Supposons qu’il existe 2 alternatives d’investissement, F et G, avec un résultat stochastique x, x étant compris entre [a,b]. • Si on définit F(x) et G(x) comme étant les distributions de probabilités cumulées respectivement de F et G • Il est alors possible de classer ces alternatives avec les critères de dominance stochastique de 1er ordre et de 2d ordre.
  44. 44. 44 Dominance stochastique de 1er ordre • La distribution de probabilités F domine stochastiquement la distribution de probabilités G si la probabilité cumulée que la variable prenne une valeur inférieure à x est plus importante dans le cas de la distribution G que dans le cas de la distribution F, càd si : • Et si pour au moins une valeur de x, l’équation (1) est une inégalité stricte. • Si F domine stochastiquement G, alors tous les investisseurs avec une fonction d’utilité non décroissante préféreront F à G. ( ) ( )xGxF ≤ (1)
  45. 45. 45 Exemple : DS 1 (Levy & Levy, 2001) • Soit deux loteries F et G • F domine stochastiquement au 1er ordre G : ½+25002/3+2500 ½-5001/3-500 probaGain /perte probagains/p ertes GF
  46. 46. 46 Dominance stochastique de 2d ordre • La distribution F domine stochastiquement au 2d ordre la distribution G si l’aire comprise sous la distribution de probabilité cumulée de G jusqu’à G(x) est plus grande que l’aire comprise sous la distribution de probabilité cumulée sous F jusqu’à G(x), ce pour toutes les fonctions d’utilité non décroissantes (DS1) càd si pour tout x : • Et si, pour au moins une valeur de x, l’équation (2) est une inégalité stricte. • De manière équivalente, F domine G si pour toute fonction U, U étant une fonction d’utilité non décroissante (DS1) et croissante concave (DS2), on a : ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫∫∫ ∞−∞−∞− ≥−⇔≤ xxx dyyFyGdyyGdyyF 0 (2) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ +∞ ∞− +∞ ∞− ≤ xdGxUxdFxU
  47. 47. 47 Exemple : DS 2 (Levy & Levy, 2001) • Soit deux loteries F et G • G domine stochastiquement au 2d ordre F (G en dessous de F pour au moins 1 x) : ¼+500 ½+1500¼+1000 ¼+2000 ½0¼-500 probaGain /perte probagains/pert es GF
  48. 48. 48 Implication des critères de DS • Ainsi un pari F est préféré à un pari G par tous les parieurs si F Domine Stochastiquement G à l’ordre 1 • Si F domine stochastiquement G à l’ordre 2, alors F sera préféré à G par tous les parieurs averses au risque • Si F domine stochastiquement G à l’ordre 1, F domine stochastiquement nécessairement G à l’ordre 2, mais l’inverse n’est pas vrai.
  49. 49. 49 Résultats des expériences de Levy & Levy, 2001
  50. 50. 50 5. limites du critère d’UE et résultats expérimentaux a) Axiome d’indépendance : le paradoxe d’Allais b) Axiome de transitivité : le renversement des préférences c) L’unicité de la fonction d’utilité et l’aversion aux pertes d) L’aversion à l’ambiguïté et le paradoxe de Ellsberg
  51. 51. 51 a) l’axiome d’indépendance et le paradoxe d’Allais • M. Allais, Prix Nobel d’économie 1989 • Soit deux billets de loterie A et B, lequel choisiriez vous ? A 15 000 € 0 € 0.09 0.91 B 10 000 € 0 € 0.1 0.9 A préféré à B en majorité !
  52. 52. 52 Le paradoxe d’Allais • Soit deux billets de loterie C et D, lequel choisiriez vous ? C 15 000 € 0 € 0.9 0.1 D 10 000 € 0 € 1 0 D préféré à C en majorité !
  53. 53. 53 Analyse des choix • Si A préféré à B et D préféré à C, alors incohérence des choix ! • En effet, supposons que je propose des « loteries de loteries » (loteries composées E et F) de ce type aux individus : E D 0 € 0.1 0.9 F C 0 € 0.1 0.9
  54. 54. 54 Analyse des choix • E est une composée de la loterie D et F est une composée de la loterie C • Les loteries « composées » ne divergent que par la différence entre C et D puisque les probabilités d’obtenir C ou D sont de 0.1 et la probabilité contraire d’obtenir 0€ est de 0.9 • Par conséquent, comme D préféré à C, E devrait être préférée à F… (axiome d’indépendance) E D 0 € 0.1 0.9 F C 0 € 0.1 0.9
  55. 55. 55 Si on réduit E… E 0 € 0.1 0.9 10 000 0 € 1 0 E 10 000 € 0 € 0.1 0.9 B !
  56. 56. 56 Si on réduit F… F 0 € 0.1 0.9 15 000 0 € 0.9 0.1 F 15 000 € 0 € 0.1 x 0.9 = 0.09 0.9 A !0 € 0.1 x 0.1 = 0.01 F 15 000 € 0 € 0.09 0.01+0.9=0.91
  57. 57. 57 Conclusion • Comme D est préféré à C, E devrait être préféré à F (car E est une composée de D et d’une autre loterie et F est une composée de C et d’une autre loterie identique)… • … Mais E est en réalité équivalent à B et F est en réalité équivalent à A. • Donc si les sujets sont cohérents avec la théorie de l’UE ils auraient dû choisir B en 1ère étape s’ils ont choisi D en 2de étape (ou choisir A s’ils ont choisi C) • Si A est préféré à B alors nécessairement C préféré à D ou inversement si B préféré à A alors nécessairement D préféré à C… • … Mais il est impossible dans la théorie de l’utilité espérée d’observer le résultat A préféré à B ET D préféré à C • Conclusion : l’utilité espérée ne reflète qu’imparfaitement les mécanismes de choix des individus !
  58. 58. 58 b) l’axiome de transitivité et le renversement des préférences • Q1. Choisissez entre : – A. 18 € avec proba de 30%, 0€ avec proba de 70% – B. 4€ avec proba 100% • Q2. Choisissez entre : – C. 8 € avec proba de 60%, 0€ avec proba de 40% – B. 4€ avec proba 100% • Q3. Choisissez entre : – C. 8 € avec proba de 60%, 0€ avec proba de 40% – A. 18€ avec proba 30%, 0€ avec proba 70% • Une majorité de sujets préfèrent A à B (Q1), puis préfèrent B à C (Q2), et enfin préfèrent C à A (Q3), ce qui est une violation de l’axiome de transivité ( Si A préféré à B et B préféré à C, alors A préfèré à C).
  59. 59. 59 Le renversement des préfèrences • Phénomène dit de « preference reversal » • Toutefois, explication relativement simple à ce paradoxe : • Si les sujets réalisent que les loteries diffèrent sur les gains ET sur les probabilités, leurs choix peuvent être fonction d’une combinaison des deux dimensions : – Quand les gains des loteries sont proches, ils vont privilégier la différence de probabilités (Q2 : B préféré à C car gains proches mais certitude pour B ; Q3 : C préféré à A car proba de gain 2 fois supérieure, pour un gain 2.25 fois supérieur) – Quand les gains des loteries sont éloignés, la différence de gain va compenser la différence de probabilités (Q1 : choix A préféré au choix B car gain 4.5 fois plus grand pour proba 3.33 fois plus faible)
  60. 60. 60 c) L’unicité de la fonction d’utilité et l’aversion aux pertes (Kahneman et Tversky) • … problèmes d’aversion aux pertes et de biais des choix en faveur du statu quo (Kahneman, Knetsch and Thaler, 1991) : les sujets expérimentaux ne valorisent pas les euros de la même manière selon qu’ils sont perdus ou gagnés…, • Càd que la fonction d’utilité n’est pas forcément la même dans l’espace des pertes ou dans l’espace des gains !
  61. 61. 61 Tversky et Kahneman, 1986 • Q1. supposez que vous soyez de 300 $ plus riche qu’aujourd’hui. Que choisissez-vous ? – A. un gain certain de 100$ (72%) – B. 50% de chances de gagner 200$ et 50% de chances de gagner 0$ (28%) • Q2. supposez que vous soyez de 500 $ plus riche qu’aujourd’hui. Que choisissez-vous ? – A. une perte certaine de 100$ (36%) – B. 50% de chances de perdre 200$ et 50% de chances de ne rien perdre (64%) • La différence de fréquence dans les réponses aux questions (en gras, en comparant les réponses A et les réponses B pour chaque question), traduit le phénomène d’aversion aux pertes des individus (Voir Eber et Willinger, 2005)
  62. 62. 62 La théorie des perspectives (« prospect theory », Kahneman, Tversky, 1979, 1992) • Hypothèses : 1. Dépendance à un point de référence : les individus évaluent leurs perspectives en termes de gains ou pertes par rapport à un point de référence (statu quo) plutôt qu’en termes de résultat net final, 2. Sensibilité décroissante : la valeur marginale perçue d’un gain ou d’une perte est décroissante, 3. Aversion aux pertes : une perte a davantage d’impact psychologique qu’un gain de même montant.
  63. 63. 63 La théorie des perspectives (Prospect Theory) de Kahneman et Tversky (1) • La théorie des perspectives peut formellement s’écrire : • Où la fonction transforme les probabilités en poids décisionnels compris entre 0 et 1. ( ) ( )i n i xvp∑=1 π ( )( )ixpπ
  64. 64. 64 Un exemple de fonction de transformation des probabilités 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 proba pie(p)
  65. 65. 65 La théorie des perspectives (2) • Fonction de pondération des probabilités ̟(p) + fonction de valeurs v(x), • Pour w(p) : 1. ̟(0)=0 et ̟(1)=1 (ie les agents ne déforment pas la certitude), 2. Pour de faibles probabilités, ̟(p) > p, mais ̟(p)+ ̟(1-p) ≤ 1 (les agents surestiment les faibles probas et sous estiment les fortes probas mais le second effet est plus faible que le premier), 3. ̟(pr)/ ̟(p) > ̟(prq)/ ̟(pq) (pour tout ratio de probabilité q, le ratio est plus proche de 1 quand les probas sont faibles que quand les probas sont fortes – exemple : ̟(0.1/ ̟(0.2) > ̟(0.4/ ̟(0.8) • Pour v(x) : 1. V(x) change d’allure à partir du point de référence 2. V(x) est concave pour les gains (risquophobie pour les gains) et convexe pour les pertes (risquophilie pour les pertes), càd v’’(x)<0 qd x>0 et v’’(x)>0 qd x<0 3. V(x) est plus pentue pour les pertes que pour les gains (aversion aux pertes), càd v(x) < - v(-x) pour x > 0
  66. 66. 66 Kahneman, Knetsch and Thaler, 1991 GainsPertes valeur
  67. 67. 67 Quelques problèmes de la TP • Ne respecte par le principe de dominance stochastique (un agent préfère plus de gain à moins de gain) • Exemple : soit une VA x+yi avec 3 états équiprobables, x positif et important, yi positif et suffisamment petit • Si x =1000€ et yi={50€ ; 100€ ; 150€} • Supposons que ̟(p) = {0.34 ; 0.32 ; 0.33} et que v(x)=x1-r avec r=0.5 • Alors v(x) < v(x+yi), ce qui viole la DS puisque yi est strictement positif ! • En effet ̟(1)* v(1000)= 1.(1000)0.5=100 • Et ̟(p1)*v(1050) + ̟(p2)*v(1100) + ̟(p3)*v(1150) = • 0.34*(1050)0.5 + 0.32 * (1100)0.5 + 0.33(1150)0.5= 99.5 • Ce qui implique que x est préférée à x+yi (une somme certaine est préférée à cette somme certaine + une variable aléatoire dont les réalisations sont strictement positives..
  68. 68. 68 d) l’aversion à l’ambiguïté et le paradoxe d’Ellsberg • Dans une urne, 90 boules • 30 boules sont rouges, 60 sont blanches ou noires • Les individus doivent choisir des billets de loteries de manière binaire : on leur propose d’abord de choisir entre E et F, puis entre G et H • Les gains monétaires sont fonction de leurs choix et du tirage au sort (on tire à l’issue de leur choix une boule dans l’urne dont on leur annonce la couleur, ce qui détermine leur gain)
  69. 69. 69 Le paradoxe d’Ellsberg 0 € 100 € 0 € 100 € Boule blanche 100 € 100 € 100 € 0 € G H 0 € 0 € 100 € 0 € E F Boule noireBoule rougeEtats Décisions
  70. 70. 70 Le paradoxe de Ellsberg • Mis dans cette situation, la majorité des sujets préfèrent E à F et H à G. • Cette réponse n’est pas cohérente avec la théorie de l’utilité espérée (aversion à l’ambiguïté) • En effet si E préféré à F alors Pr(B) < 1/3 ☺ Car Pr(R)*100+Pr(B)*0+Pr(N)*0 > Pr(R)*0+Pr(B)*100+Pr(N)*0 ↔ Pr (R) > Pr(B) • … mais si H préféré à G alors Pr(B) > 1/3… ☺ Car Pr(R)*0+Pr(B)*100+Pr(N)*100 > Pr(R)*100+Pr(B)*0+Pr(N)*100 ↔ Pr (B) + Pr(N) > Pr(R) + Pr(N) ↔ Pr(B) > Pr(R) • …ce qui est incohérent (la probabilité d’un état ne doit pas dépendre du choix de l’individu, car les probabilités des états sont indépendantes des choix dans le calcul de l’utilité espérée !!!
  71. 71. 71 Conclusion • Remises en causes nombreuses et nourries de la théorie de l’espérance d’utilité, • Certains économistes ou expérimentalistes ont déjà appelé à l’abandon de cette théorie pour décrire le comportement des individus face au risque au profit de la théorie des perspectives (Camerer, Starmer) • Toutefois, cette théorie reste de loin la théorie dominante utilisée en économie, la justification étant essentiellement normative (les sujets devraient choisir conformément à l’EU pour maximiser leur BE), • Par ailleurs, aucune théorie alternative à l’EU ne parvient à intégrer tous les paradoxes expérimentaux, ce qui signifie que l’on sait qu’elles sont également déficientes (même si moins que l’EU)

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